Die Lehre von den Kettenbrüchen

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B. a. TEUBNERS SAMMLUNG VON LEHKBÜCHERN

AUF DEM GEBIETE DER Phv^ -

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN ^A

MIT EIN8CHLU88 IHEEB ANWENDUNGEN ^■£,

BAND JUCJCVi ' ^"'■\

DIE LEHRE VON DEN

KETTENBRÜCKEN

VON

DB. OSKABJPEBBON

A. O. PB0FBS80B DBB KATHEHATXB *& DBB ÜHIVBBQITAt TÜBIBOBB

LEIPZIG UM) BERLIN
DßUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1913

J

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COPYRiaHT 1918 BY B. Q. TEUBNER IN LEIPZIG.

ALXiB BECHTEy
XIKSOHlilESSLIOH DBS ÜBHBSSTZUK6SRE0HT8, VORBEHALTEN

4

H
"I

MEIJSnEM LIEBEN VATER

GEWIDMET

418810

VORWORT.

Eine znsammenfassende Darstellung der Eettenbruehlehre existiert
zur Zeit nicht Allerdings pflegen die Lehrbücher der allgemeinen Arith-
metik und algebraischen Analysis einen Abschnitt über Eettenbrüche zu
bringen; doch liegt es in der Natur der Sache, daß diese Werke, deren
Hauptaufgabe eine andere ist, den Gegenstand bei weitem nicht er-
schöpfen können; die meisten gehen über die ersten Anfangsgründe
nicht hinaus. Diese Lücke in der mathematischen Literatur suchte ich
mit dem vorliegenden Buche auszufüllen, das in seinen Orundzügen aus
einer im Wintersemester 1909 — 1910 an der Universität München ge-
haltenen Vorlesung hervorgegangen ist. Um nun eine nicht aUzu volu-
minöse, dabei aber doch möglichst vollständige Darstellung zu geben
— nur eine solche konnte dem vorhandenen Bedürfnis entsprechen -,
mofite ich das umfangreiche in der Literatur aufgespeicherte Material
sorgfältig sammeln und sichten, um daraus ein zusammenhängendes in
sich abgeschlossenes Lehrgebäude zu errichten. Vieles konnte dabei als
minder wichtig unterdrückt werden, vieles war aber auch im Interesse
eines abgerundeten Ganzen neu hinzuzufügen.

Mein Hauptaugenmerk richtete ich überall auf peinliche Strenge
in der Beweisführung, und dabei war eine ziemliche Arbeit zu bewäl-
tigen, weil der größte Teil der vorhandenen Literatur in diesem Punkt
zu wünschen läßt Besonders die Arbeiten Eulers über Eettenbrüche
erwiesen sich als eine wahre Fundgrube fElr höchst interessante Be-
ziehungen sowohl zwischen verschiedenen Kettenbrüchen als auch
zwischen Kettenbrüchen und Reihen oder bestimmten Integralen; aber
es ist selbstverständlich, daß die Eulerschen Beweise fast alle den
heutigen Ansprüchen an Exaktheit nicht genügen. Wenn es auch nicht
meine Aufgabe sein konnte, alle in Betracht kommenden Eulerschen
Formeln hier mitzuteilen und mit strengen Beweisen zu versehen, so
kommen doch die meisten im Buche vor; und von denen, welche nicht
vorkommen, kann ich wohl behaupten, daß sie sich mit den von mir
entwickelten Methoden sämtlich gewinnen lassen.

VI Vorwort.

Ghroße Sorgfalt verwandte ich weiter auf die Formulierung der
Lehrsätze. Ich war darauf bedacht, daß ihr Inhalt beim Nachschlagen
möglichst für sich allein verstanden werden kann, allenfalls mit Be»
nutzung des Sachregisters, aber ohne daß man schon viele Seiten vorher
zu lesen anfangen muß. Unbestimmte und für die Anwendung unbrauch-
bare Redensarten wurden vermieden. So wäre es z. B. an sich auch
richtig gewesen, den Satz 5, Eap. lY einfach so zu formulieren: „Wenn
die Xf genügend schnell wachsen, so ist der Eettenbruch transzendent.^
Aber dann könnte man in keinem einzigen Fall die Transzendenz eines
gegebenen Eettenbruches behaupten; man muß vielmehr wissen, welche
Schnelligkeit im Wachstum der X^ sicher ausreicht, um für Transzendenz
garantieren zu können. Dabei kam es mir jedoch nicht darauf an, eine
möglichst kleine Schranke zu erhalten. Durch weniger rohe Abschätzungen
hätte ich die Bedingungen leicht verbessern können. Aber dadurch wäre
nur der Beweis länger geworden, ohne daß dem ein nennenswerter prak-
tischer Nutzen gegenüberstände.

Auf dieBeigabe eines möglichst vollständigenLiteraturverzeich-
nisses habe ich verzichtet, was ich um so eher tun konnte, als Wölffing
vor einigen Jahren ein derartiges Verzeichnis veröffentlicht hat {Wölf-
fing 1). Meine Liste enthält daher lediglich diejenigen Arbeiten, die im
Buche selbst zitiert sind. Über die Zitate ist noch folgendes zu bemerken.
Wenn bei irgend einer Formel oder einem Lehrsatz der und der Name
steht, so ist damit nicht gesagt, daß bei dem betreffenden Autor der
Satz in seinem ganzen Umfang sich findet; oft steht dort nur ein wesent-
licher Teil, oft mußten auch Teile weggelassen oder hinzugefügt werden,
damit der Satz überhaupt richtig ist. Darüber in den einzelnen Fällen
nähere Angaben zu machen, mußte ich mir der Kürze halber fast durch-
weg versagen. Meine Literaturangaben sollen also nichts weniger als
eine historische Darstellung bedeuten; sie sind auch frei von jeder Ejritik.
Es wäre ja ein billiges, aber für den Zweck des Buches wohl wenig
förderliches Vergnügen gewesen, bei älteren Autoren immer beizufügen,
daß der Beweis die und die Lücke enthält; daß man vor hundert und
mehr Jahren Beweise, wie man sie heute verlangt, nicht leistete, ist ja
ohnehin jedem Leser bekannt. Ferner darf auf keinen Fall aus meinen
Zitaten geschlossen werden, daß der Beweis eines Satzes an der bei dem
Satz zitierten Stelle ungefähr der gleiche ist wie im Buch. Da besteht
meistens nur eine sehr entfernte und oft überhaupt keine Ähnlichkeit.
Denn abgesehen von dem schon erwähnten Mangel an Exaktheit in der
Literatur ist es ja nur natürlich, daß ich im allgemeinen kürzer beweisen
kann als die Originalarbeiten, da ich mich bei meiner zusammenfassenden

Vorwort. YH

Darstellung doch viel mehr anf bereits Gefundenes zu stützen in der
Lage bin. Sehr oft tritt aber auch eine Formel ziemlich unerwartet in
einem bisher nicht bemerkten Zusammenhang auf.

Auf der andern Seite kann ich aber auch nicht alleS; was ohne
Literaturangabe geblieben ist, als mein geistiges Eigentum reklamieren.
Bei schwierigeren Sätzen ist das der Fall; aber so einfache Dinge wie der
Satz 1, Kap. I sind jedem, der sich mit Eettenbrüchen beschäftigt hat,
bekannt gewesen und auch Yon jedem Autor angewandt worden, ohne
daß man früher das Bedürfnis fühlte, den Satz zu formulieren. Ahnlich
liefen die Dinge bei den einfachsten Sätzen über regelmäßige Ketten-
brüche und noch bei zahlreichen andern, die, wenn auch nicht aus-
drücklich formuliert, doch implizit bei yielen Autoren vorkommen.

Über die Stoffeinteilung des Buches ist zu sagen, daß es in zwei
Hauptteile zerfällt. Der erste — elementar-arithmetische — Teil ist
hauptsächlich den regelmäßigen Kettenbrüchen gewidmet. Im zweiten
— analytisch-funktionentheoretischen — Teil handelt es sich um Kon-
vergenzfragen, sodann um den analytischen Charakter gewisser Ketten-
brüche, deren Elemente Funktionen einer Yariabeln sind. Man hat
solche Kettenbrüche als algebraische bezeichnet; doch habe ich diesen
nicht sehr passenden Nanien vermieden; auch zeigte sich nirgends das
Bedür&is nach einer besonderen Benennung. Eine Sonderstellung nimmt
das erste Kapitel ein, insofern es den gemeinsamen unterbau für
beide Teile bildet. Daher ist der erste TeU für sich abgeschlossen;
aber auch das erste Kapitel und der zweite Teil bilden zusammen ein
abgeschlossenes Oanzes, das man vollständig verstehen kann, ohne die
dazwischen liegenden Kapitel lesen zu müssen, wenngleich hin und
wieder auf gewisse Zusammenhänge zwischen Gegenständen der beiden
Teilet, aufinerksam gemacht ist. Die Formeln des ersten Kapitels sind
daher für das ganze Buch maßgebend; sie spielen die RoUe von Lehr-
sätzen und sind aus diesem Ghmnd auch fortlaufend numeriert. In den
folgenden Kapiteln dagegen haben die Formeln im allgemeinen nur für
den betreffenden Paragraphen Geltung, weshalb auch die Numerierung
mit jedem Paragraphen neu beginnt. Die Numerierung der Sätze be-
ginnt neu mit jedem Kapitel. Ein Verzeichnis der bemerkenswerten all-
gemein gültigen Formeln findet sich am Schluß hinter dem Literatur-
verzeichnis; es soll namentlich dazu dienen, das Nachschlagen einer
Formel, deren ungefähre Gestalt man kennt, oder die Feststellung, daß
irgend eine Formel schon bekannt ist, zu erleichtern. Freilich war es nicht
möglich, alle in der Literatur vorkommenden Formeln unterzubringen,
wogegen sich auf der andern Seite aber auch zahlreiche neue finden.

Vin Vorwort.

Die Yorkenntnissey die znm Verständnis des Buches erforderlich
sind^ habe ich mich bemüht^ auf ein Minimum herabzudrücken. Was
man für den ersten Teil braucht, wird ein Student vom zweiten oder
dritten Semester an bereits besitzen. Etwas mehr wird für den zweiten
Teil verlangt. Die Kenntnis der wichtigsten Eigenschafben der Oamma-
funktion, sodann Vertrautheit mit den Hauptsätzen und Methoden der
allgemeinen Funktionentheorie sind hier erforderlich. Dagegen sind
tiefergreifende spezielle Kenntnisse nicht notig. Elliptische Funktionen
z. B. kommen nur gelegentlich in Beispielen vor, die vom Leser ohne
Schaden überschlagen werden können. Ein gewisses Maß von mathe-
matisch-logischer Schulung und Selbständigkeit im Urteil muß freilich
wie bei der Lektüre eines jeden mathematischen Buches auch hier
Yorausgesetzt werden.

Bei der Durchsicht der Korrekturbogen unterstützte mich einer
meiner Schüler^ Freiherr von PidoU, dem ich auch an dieser Stelle
meinen herzlichen Dank für seine Mithilfe aussprechen möchte.

Tübingen, im Oktober 1912. OSKAR PERRON.

INHALT.

L Elementar-arithmetisoher Teil.

Erstes Kapitel.
Deflnitlonen und allgemeine Formeln»

% 1. Bezeichnungen 8

§ 2. Die ümwandlnng in einen gewöhnlichen Bruch 4

§ 8. Indepedente Darstellung der Näherungszähler und -Nenner 7

§ 4. Eontinuanten 10

§ 6. Die Fundamentalformeln 12

§ 6. Folgerungen aus den Fundamentalformeln 16

§ 7. Irreduaibilitat 18

§ 8. Numerische Kettenbrüche. Konvergenz 20

Zweites Kapitel.

BegelmUige Kettenbrficlie.

§ 9. Die endlichen regelmäßigen Kettenbrüche 26

§ 10. Die diophantische lineare Gleichung 80

§ 11. Inverse Kettenbrüche, symmetrische Kettenbrüche 82

% 12. Unendliche regelmäßige Kettenbrüche 87

§ 13. DasNäherungsgesetz. Kriterium dafür, daß ein Bruch Näherungsbruch ist 42

§ 14. Approximation durch rationale Brüche 48

§ 16. Das Gesetz der besten Näherung 62

§ 16. Nebennäherungsbrüche 66

{ 17. Äquivalente Zahlen 68

§ 18. Eine Anwendung 66

Drittes Kapitel.

RegelmUlge periodlgohe Kettenbrflehe.

§19. Bein- und gemischtperiodische Kettenbrüche 68

§ 20. Der Lagrangesche Satz von der Periodizität 73

§ 21. Zweiter Beweis des Lagrangeschen Satzes 77

§ 28. Reduzierte Zahlen und reine Periodizität 79

§ 28. Inverse Perioden. Satz von Galois 82

X Inhalt.

8«ite

§ 24. Qndratwnrzeln aus rationalen Zahlen 87

§ 26. Quadratwurzeln ans ganzen Zahlen 92

§ 26. Die PellBche Gleichung 102

§27. Kulminierende und fastkulminierende Perioden 110

Viertes Kapitel.

Hurwitische Kettenbrüohe. Transzendente Zahlen«

§ 28. Drei Hilfss&tze 117

§ 29. Definition der Hurwitzschen Kettenbrüche 126

§ 80. Der Hurwitzsche Satz 127

§ 31. Die regelmäßigen Eettenbrüche für die Zahlen e und ^^7 182

§ 82. Die regelmäßigen Kettenbrüche für «• und c^« + ^ 186

88. Liouvillesche Zahlen 189

84. Quasiperiodiflche Kettenbrüche 148

Fünftes Kapitel.

Halbregelmftfilge Ketienbrüche.

85. Der Konvergenzsatz von Tietze 149

§ 86. Definition der halbregelmäßigen Kettenbrüche 162

§ 87. Verwandlung halbregelmäßiger Kettenbrüche in regelmäßige .... 159

§ 88. Periodizität 166

§ 89. Kettenbrüche nach nächsten Ganzen 168

§ 40. Singulare Kettenbrüche 178

§ 41. Diagonalkettenbrüche 182

n. Analsrtisch-funktionentheoretisoher Teil.

Sechstes Kapitel.
Transformation von Kettenbriichen.

§ 42. Null als Teilzähler. — Äquivalente Kettenbrüche 198

§ 48. Kontraktion 197

§ 44. Extension 203

§ 45. Äquivalenz von Kettenbrüchen und Reihen 205

§ 46. Äquivalenz von Kettenbrüchen und Produkten 211

§ 47. Die Transformation von Bauer und Muir 215

Siebentes Kapitel.
Kriterien für Konvergenz und DlYergens.

§ 48. Bedingte und unbedingte Konverg^enz 280

§ 49. Divergenzkriterien von Broman und S);em 283

Inhalt. XI

Seite

§ 50. Konvergenz bei poslÜTen Elementen 287

§ 51. Konyergenz bei reellen Elementen 242

i 52. Irrationalität gewisser Kettenbrüche 250

§ 53. Die Konvergenzkriterien von Pringsheim 264

§ 54. Die Konyergenzkriterien von van Vleck-Jensen 264

§ 66. Periodische Kettenbrüche 271

1,66. Limit&rperiodische Kettenbrüche 280

S 67. Die Gleichung ^=:6^-f?ii + ^-| als Folge des Eekursions-

Xi I ^1 I öj

Systems: a?^« 6^0;,^ j + a^^^a?^^, 289

Achtes Kapitel.
Kettenbrflehe der Form l + ii^ + ^3i^ + ....

§ 68. Korrespondenz von Fotenzreihe nnd Kettenbrach 301

§ 69. Die Kettenbrache Ton Gauß xmd Heine BOl

§ 60. Qaadratworzeln 816

§ 61. Der assoziierte Kettenbrach 822

§ 62. Zusammenhang zwischen dem korrespondierenden and assoziierten
Keitenbroch. — Einige Transformationen des korrespondierenden

Kettenbraches 381

§ 63. Konyergenz and Diyergenz 840

§ 64. Beispiele. — Die Kettenbrüche von G«a6 and Heine 348

§ 66. Ein bemerkenswertes Diyergenzphänomen 364

Neantes Kapitel.
Die Kettenbrüche Ton Stleltjes.

§ 66. Der Integralbegriff von Stielijes 862

§ 67. Der korrespondierende and assoziierte Kettenbrach eines Stielijesschen

Integrals 876

§ 68. Der Satz yon Markoff 884

§ 69. Die Warzeln der Näherangsnenner eines Stieltj esschen Kettenbraches. 893

§ 70. Konyergenz and analytischer Charakter der Stieltj esschen Kettenbrüche 896

§ 71. Der Haaptsatz yon Stieltjes 401

§ 72. Fortsetzang. — Asymptotische Reihen. — Das Momentenproblem . .410

Zehntes Kapitel.

Die Padösche Tafel.

§ 78. Begriff der Pad^chen Tafel 418

S 74. Normale and anormale Tafel 424

§ 76. Die Exponentialfonktion 429

§ 76. Die Lagaerresche Differentialgleichung 436

§77. Die Kettenbrüche der Padäschen Tafel 446

§ 78. Die Konyergenzfirage 467

XII Inhalt

S«lte

Elftes Kapitel.

Über Kettenbrfiche^ deren TeilzUiler und »ITenner rationale
Funktionen ihres Stellenzeigerg sind.

§ 79. Die Konvergenz dieser Kettenbrüche 466

§ 80. Zusammenhang mit Di£ferentialgleichang^n 469

§ 81. Die Kettenbrüche mit dem allgemeinen Glied ^f^ » , , , ' .... 472

* '6y Ic + iv

§ 82. Die Kettenbrüche mit dem allgemeinen Glied r~ =« , -»^ ^ - • *S1

83. Die Methode von Ges^üro 492

§ 84. Die Formel von Pincherle. . . « 503

Literatur 511

Verzeichnis der bemerkenswerten Kettenbrüche 518

Sachregister 619

Bezeichnungen 520

\

I

ELEMENTAR-ARITHMETISCHER TEIL

Erstes Kapitel.

Definitionen nnd allgemeine Formeln.

§ 1. Beii^eicliiiungen.

unter einem endlichen Eettenbmch yersteht man einen Ausdruck
der Form

h+ V

h +

(1) h +

«»

*8+-. «n-l

h 4- -'^

K

Dabei denken wir uns vorläufig unter den Zeichen a^, b^ keine nume-
risch gegebenen Zahlwerte^ sondern irgend welche unbestimmte oder
Variable. Offenbar ist dann der Eettenbruch eine rationale Funktion
dieser Variablen und läßt sich daher als Quotient von zwei ganzen
Funktionen darstellen; z. B. ist für n ^ 0, 1^ 2:

"o 1

Bevor wir das allgemeine Bildungsgesetz dieser ganzen Funktionen
studieren, die hier im Zähler und Nenner auftreten, wollen wir für deu
Eettenbruch (1) eine gedrängtere Schreibweise einführen, nämlich

In der Literatur findet man statt dessen auch vielfach

4 Eistes Kapitel,

oder auch

oder noch anderes geschrieben. Doch besitzt unsere yon Pringsheim
eingeführte Bezeichnung wohl den Vorzug größerer Deutlichkeit.

Die a^, b^ heißen die Elemente des Kettenbruches. Speziell nennt

man \ das Anfangsglied; der Bruch ~ heißt der v^ Teilbruch

oder das v^ Glied; femer a^, h^ der v*® Teilzähler bzw. Teilnenner.
Das Anfangsglied b^ wird dann gelegentlich auch der nullte Teihienner
genannt. Von dem Eettenbruch selbst sagen wir, er sei (n + l)-gliedrigy
indem wir bei der Zählung der Gliederanzahl das Anfangsglied b^ aus-
drücklieb (als nuUtes) mitzählen.

Sind einige oder alle Teilzähler mit Minuszeichen versehen, so
schreibt man diese auch an Stelle der Pluszeichen vor die betreffenden
Teilbrüche; also statt

^0+1 b, ^\b,^\ b, ^ ^\b„

wird man z. B. auch schreiben:

Doch sind jetzt natürlich nicht a^ und a^ als erster und dritter Teil-
zähler anzusehen, sondern — a^ und — a^ .

§ 2. Die Umwandlung in einen gewöhnlichen Brach.

I. Da ein Eettenbruch als Quotient yon zwei ganzen rationalen
Funktionen seiner Elemente dargestellt werden kann, so setzen wir

(3) *o + r6; + |^ + --- + rj;--^;

und überhaupt für v == 0, 1, . . ., n:

Um nun das Bildungsgesetz der ganzen Funktionen A^, B^ zu er-
forschen, nehmen wir schrittweise v — 0, 1, 2, . . . Es ist

B, "^0- 1 )
wir dürfen daher

(5) A=«'o, ^0=1

wählen. Weiter ergibt sich

A_ — 7» 4. "i — Ml + "i

B, ^^o + t;~--6-

§ 2. Die Umwandlung in einen gewöhnlichen Bruch. 5

und folglich werden wir

(6) A^^hoh + a^, B^=^b,

A Ä

setzen. Nun geht offenbar -^ dadurch aus -g- hervor, daB wir 6^ er-
setzen durch &i + ?^ ; es ist also

so daB wir

wählen dürfen^ wofür man aber nach (5) und (6) auch schreiben kann:

-4j = h^Ä^ + o^Ä^j JBj =» h^Si + ^2-^0*

Nun erkennt man leicht, daß überhaupt die A^j B^ rekursorisch aus
den Formeln berechnet werden können {Wallis 1, Euler 4):

Denn für 1/ <— 2 ist dies soeben bewiesen worden; nimmt man aber an,
der Satz sei für einen gewissen Wert yon v und für alle kleineren von 2
an richtig, so erkennt man zunächst, daß erst die Funktionen J.,, B^
Ton a,, 6y abhängen, während -4y_i, JB^^i und erst recht -4^_2> ^r-2
von a,, &y noch unabhängig sind. Durch Division der Gleichungen (7)
ergibt sich aber

A^ ^v-^v-l I *»-^r-2

Ti ^ i~B ~.-\-a B o

Nun geht wieder ^^^ — offenbar dadurch aus -—- hervor, daß ft^ ersetzt

^ + l -^y

wird durch ft^ + r^ ; es ergibt sich also aus der letzten Gleichung:

^v

+Jl \ _^±}^ _

Indem man hier Zähler und Nenner beiderseits gleichsetzt, was offenbar
erlaubt (aber nicht notwendig, siehe nächste Seite) ist, kommen gerade
die Formeln (7), wobei nur v + 1 an Stelle von v getreten ist; damit ist

6 Erstes Kapitel.

die AllgemeingGlltigkeit bewiesen. Die Bekursionsformeln (7) gestatten
nun^ die Funktionen A^y J?,, nachdem sie ja f&r r » 0^ 1 nach (5)^ (6)
bereits bekannt sind; sukzessive auch fär t/ » 2, 3, . . ., abo schließlich
fQr V ^ n zxx berechnen, womit dann die Umwandlung des ursprüng-
lichen Eettenbruchs in einen gewöhnlichen Bruch, d. h. Quotienten Ton
zwei ganzen Funktionen, geleistet ist.

Da durch die Definitionsgleichung (4) nur der Quotient ^, aber

nicht Ä^, B^ selbst definiert sind, so hätte man natürlich ebensogut üi
beiden Gleichungen (7) auf der rechten Seite einen gemeinsamen Faktor
beifügen dürfen, der eine Zahl oder eine ganze rationale Funktion der

Elemente sein kann und sich bei dem Quotienten =^ ja weghebt. Die

Yon uns gewählte Gestalt der Gleichungen (7) ist daher keineswegs
notwendig, sondern sie empfiehlt sich lediglich durch ihre Einfachheit.
Doch ist vorlaufig natürlich nicht sicher, ob bei diesem Ansatz die
Funktionen Ä^ und B^ nicht trotzdem einen gemeinsamen Faktor haben,
der sich unterdrücken ließe; es wird sich aber in § 7 zeigen, daß ein
solcher tatsachlich nicht vorhanden ist. Man beachte, daß die Ä^y B^
ganze rationale Funktionen der Elemente sind mit positiven ga/neeahligen
Koeffizienten. Denn fär i/ » 0, 1 ist dies nach (5), (6) evident und gilt
daher wegen der Bekursionsformel (7) allgemein. Für viele Unter-
suchungen wird es sich als nützlich erweisen, noch die Größen

(8) A_,~l, JB_i-0

definitionsweise einzufahren; dadurch erreicht man nämlich, daß die
Formeln (7) auch fQr v « 1 fortbestehen.

Eine bemerkenswerte Tatsache ist es auch, daß die Funktion B^
aus A^_i hervorgeht, indem man die Indizes aller Elemente um 1 er-
höht. Wenn man nämb'ch zunächst die durch diese Erhöhung hervor-
gehende Funktion mit -4y_i ^ bezeichnet, so ergibt sich aus den Formeln

A_i= 1, -4^=- ho, -4.y_i= 6v_i-4y_8+ a^__^A^_^

durch Erhöhung der Indizes:

Es genügt also A^__j^ ^ der gleichen Kekursionsformel wie B^ und außer-
dem ist J._ii=»JBq, -4^1 — JB^. Daraus folgt aber ganz allgemein:
Ay_ii =» B^ (durch Schluß von v auf v + 1), w. z. b. w. Eine einfache
Folge hiervon ist es, daß B^ von b^ und a^ nicht abhängt, wie auch
direkt leicht einzusehen.

n. Wir werden, um die Abhängigkeit der Funktion A^ von den
Elementen deutlich zu machen, bisweilen das von Th. Muir eingefiihrte
Symbol

(9) ^-<°T»"'°'J

§ 8. Independente Darstellang der Näherangszähler und -Nenner. 7

gebrauchen. Es ist dann auch

und also durch Erhöhung der Indizes um eine Einheit :

(10) ^r'S(.W-'\)-

Endlich sei noch die folgende Formel wegen ihrer häufigen Anwendung
ausdrücklich hervorgehoben:

In der Tat geht ja dieser Eettenbruch aus

^ \h^ ^ I& i"^l6 ^ B ^bB , + aJB •

I 1 I v-l \^v -^v ^v v-l*^ v"v-i

durch bloße Änderung der Bezeichnung henror^ indem einfach b^ ersetzt
wird durch 1^.

Hieran schließen wir noch die folgende Definition: Die Brüche

^0 -^1 -^t ^n

jj^ ■*'i •"% -"n

heißen die Näherungsbrüche des Kettenbruches (2); und zwar all>

gemein ^ der Näherungsbruch v*" Ordnung.^) Der letzte Näherungs-

bruch fällt demnach mit dem Eettenbruch selbst zusammen, während
der Näherungsbruch v^^ Ordnung entsteht, indem man nur die i' + I
ersten Glieder mitnimmt, die n — 1/ letzten aber wegläßt. Die Funk-
tion J.y heißt entsprechend der Näherungszähler, ebenso B^ der Nähe-
rungsnenner v^ Ordnung.

§ 3. Independente Darstellung der Nähenmgszfthler und -Nenner.

I. Die Bekursionsformeln (7) des vorigen Paragraphen gestatten
die Näherungszähler und -Nenner A^^ B^ sukzessive für wachsende
Werte von v zu berechnen. Um auch eine independente Darstellung für
diese Funktionen zu erhalten, betrachten wir das Produkt

<12) P,.Mx..-^(l + 5fO(l + Ä)-(l + Ä)' ^«-V
Multipliziert man aus, so werden in dem entstehenden Aggregat ge-
wisse Glieder vorkommen, in denen alle h^ des Nenners sich wegheben,
z. B. die beiden Glieder

1) Von andern ala (v + l)*«"^ N&herungsbruch bezeichnet.

^ Erites Kapitel.

E« waKl..n »bar auch Teriue vorkommen, bei denen dies nicht der FaU
m, Run) Bttiiptel

B*«*ichnet man die Gesamtheit der Tenne der ersten Art mit P '.
die der tweiteu Art mit 1\", so ist

i\ - i»; + p;-.

3l»u T«ritiMert nun ohne weiteres

^ V — 6« — -4«,

\\>«« wir d«h<^r nooh die Rekursioneformd beweisen können:

** '''^.T*'* di* A, nach ,^7^ ebenderselben ««nögen. allgemein P '= 4
*eui v?s-^ihje Tx^n r a»»f r ^ l\ N«« folgt aber sofort aas der Definition

'•-M'->,%>'-.-».'--.-/--i'.-.=

aIx^ äu.'K iÄ^ui »tJUi r aurvh r — 1

• -1

»■fc

' ;^-t"--*

• • ^

§ 3. Independente Darstellung der Näherungszähler und -Nenner.
Aus Py ei^bt sicli für P^' und also f&r Ä^ die Darstellung:

(0,r-l o^y->

(13)

^^ . I - — ^ — ^— - — _»> « « « I

"t" /j I, 1» 1» li j» ». •

wobei in der ersten Summe der Index i die Werte von 0 bis v — 1
durchläuft, so daß diese Summe v Glieder hat; ebenso ist in der zweiten
Summe i, Je über alle Kombinationen der Zahlen 0, 1, . . ., r — 2 zur
zweiten Klasse ohne Wiederholung zu erstrecken (i'<1c)y so daß diese

Summe (^ « ) Glieder enthält; in der dritten Summe i, Jcy l über alle

Kombinationen der Zahlen 0, 1, . . ., i; — 3 zur dritten Klasse ohne

Wiederholung (i<ih<CT), so daß die Gliederzahl gleich \~I) ist, usw.

Die Reihe (13) ist soweit fortzusetzen, bis sie von selbst abbricht.^)
Ebenso beweist man nun, daß in dem Produkt

a-6A.--^(i+,fi-)--(i+^!;0

die Gesamtheit derjenigen Glieder, in denen die b^ des Nenners sich alle
wegheben, gerade gleich P, ist. Es ergibt sich dies aber auch sofort
aus dem Umstand, daß P, aus ^,.1 entsteht, indem man die Indizes
aller Elemente um 1 erhöht. Für P, erhält man daher die Formel:

Die Formeln (13), (14) hat in dieser Allgemeinheit dem Prinzip
nach Siem 2, übersichtlicher Minding 1 angegeben; für den Fall, daß
alle Teilzähler a^» 1 sind, schon Etder 8; wir nennen sie die Euler-
Mindingschen Formeln. Auf den Zusammenhang mit dem Produkt P^
hat für den Fall a^» 1 Siä>eck 1 aufmerksam gemacht, im allgemeinen
Fall wohl erst Jensen 1.

n. Um die Nützlichkeit unserer Formeln darzutun, wollen wir die
Anzahl der Tenne berechnen, aus denen sich A^^ P^ zusammensetzen.
Dazu ist aber nur notig, die verschiedenen Anzahlen, die den einzelnen

1) Natürlich Bind die Brüche in Formel (13) nur scheinbar; in Wahrheit
heben sich ja alle Nenner weg nnd jeder Term ist ganz. Das ist bei Anwendung
auf numerische Eettenbrüche zu beachten, wenn einige hi verschwinden, in
welchem FaU ja verschiedene Tenne, wenn man sie in ihrer Bruchform beließe,
sinnlos wären.

10 Erstes Kapitel.

Summen entsprechen und die wir schon angegeben haben, zusammen-
zuzahlen. Die Gesamtanzahl erweist sich so für Ä^ gleich

i+(I) + ('T") + ('7V--

und analog für B^:

•

wobei diese Reihen soweit fortzusetzen sind, bis sie von selbst abbrechen
{Stern 2).

Als weitere Anwendung berechnen wir den Wert des {y + l)-glied-
rigen Eettenbruches

ft + ^ + ^ + ... + f^

der also außer dem Anfangsglied h noch v untereinander gleiche Teil-
bräche ^ hat. Hier werden in den Formeln (13), (14) die Glieder unter
der ersten Summe alle gleich r, , die der zweiten alle gleich v-^- usw.,
so daß man erhalt {Stern 2):

woraus sich durch Division der Wert des Eettenbruches ergibt. Die
Reihen sind dabei wieder soweit fortzusetzen, bis sie von selbst ab-
brechen.

§4. Eontinnanten.

I. Eine von der Etüer-MindingBchen grundverschiedene indepen-
dente Darstellung der A^, B^ ist nach manchen älteren Ansätzen^) etwa
gleichzeitig durch zwei Autoren, S. Günther 1 und Nachreiner 1, syste-
matisch flir die Theorie der Eettenbrüche verwertet worden. Sie ergibt
sich am einfachsten, wenn man die Rekursionsformel (7) für A^ in der
Gestalt schreibt

und für v der Reihe nach die Werte 1, 2, . . .., v einsetzt. Man erhält
dadurch (vgl. (8)):

\Aq— A^ — — «1

aj-^o+tj^i — ^2 =0

aj^i + fts^l,— ^8 =0

a» A_2 + *r^v-l — A = 0.

1) Erstes Vorkommen bei Sylvester 1.

§ 4. Eontinuanten.

11

Schreibt man an die Spitze dieses Systems noch die Gleichung - ^ h^,

80 hat man im ganzen v + 1 lineare Gleichungen für die v + 1 Unbe-
kannten A^f A^, . . ,y A^. Löst man diese nach den elementaren Regeln
der Determinantentheorie speziell nach der letzten Unbekannten A^ auf,
so ei^bt sich ,

-1

-6«

ix

-1

-Ol

«»

ft,

-1

0

(-1)'+»^,-

a»

\

-1

0

«»-1 *T-1

-1 0

«»

6,0

wo die leeren Felder durch NuUen auszufüllen sind. Indem man die
letzte Kolonne an die erste Stelle bringt und das Vorzeichen ändert,
erhält man:

h -1

(15)

a.

h -1

a

9

6, -1

a,_i 6,_i -1

K'

Eine derartige Determinante wird als Kettenbruchdeterminante
oder Kontinuante, auch Eumulante bezeichnet. Durch ein analoges
Verfahren erhalt man JB,; doch kommt man rascher zu dem gewünsch-
ten Ausdruck, wenn man wieder bedenkt, daß B^ aus A^^^ hervorgeht,
indem man die Indizes der Elemente alle um 1 erhöht. So ergibt sich
augenblicklich

;&i -1 '

^ ft, -1

«8

(16)

R

h -1

a^-i K^i — 1

a.

woraus man weiter ersieht:
(17)

B

IL Als Anwendung dieser Formeln beweisen wir eine wichtige
Eigenschaft der Funktionen Ä^, die sich übrigens ebenso leicht aus der

12

Erstes Kapitel.

Euler-Mindingschen Darstellung ergeben würde und die sich bei
Benutzung des Muirschen Symbols in der Formel ausdrückt:

Schreibt man nämlich beide Seiten dieser Gleichung als Eontinuanteny
so haben sie die Gestalt

h

-1

K

1

«1

h -

-1

«,

K-i

-1

! .

h, -1

• • •

•

•

■ 1

-1

bzw.

«,-1

K-3 - 1

1

Oj &1

1

«V

K

«1

K

Diese Determinanten sind aber in der Tat einander gleich^ da die eine
aus der andern durch Umklappen um die Nebendiagonale hervorgeht.
Das Muirsche Symbol bleibt also unverändert, wenn man die Reihenfolge
der Elemente umkehrt.

Als Folgerung dieses Satzes bemerken wir sogleich die beiden
Formeln

(19)
(20)

\ +

^ + \i

a

+ T

'p-l

-4~ • • • —*— — — B^ _

1 • • • I — sa — — — — a

In der Tat sind diese Kettenbrüche zunächst gleich

+

\^»^ &r-l* > ^0/

\^_1, 2>y_2» ^0/

bzw.

\^'1 K^\y > h)

/ <*v-i» ö,._2» • ••! «2 \

Da man aber die Reihenfolge der Elemente in den Muirschen Sym-
bolen umkehren darf, so ergeben sich in der Tat die angegebenem Werte.

§ 5. Die Fundamentalformeln.

I. Wenn x^, x^y x^j , . . beliebige Variable sind, zwischen denen die
Gleichungen bestehen

Xq *■ Oq^Tj + a^x^

'b^x^ + a^x^

(21)

X,

X^— &v^y+i+ öty+l^r + »

§ 5. Die Fundamentalformeln. 13

so werden dadurch irgend zwei dieser Yariabeln unabhängig gelassen^
während alle andern lineare homogene Funktionen yon ihnen sind. Ins-
besondere werden also, wenn v ein beliebiger Index ist^ Xq und x^ solche
Funktionen von x^, x^^^ sein. Bevor wir diese berechnen, schreiben
wir die v ersten der Gleichungen (21) in der Gestali:

XqI Xi'^O^ + ^ . X
X^IX^^O^ + ,

^v-1 ' ^r — ^v-1 ~H

a

^> • ^v + 1

Dadurch fällt sofort der Zusammenhang in die Augen, der zwischen
diesem Gleichongssystem und den Eettenbrüchen besteht. Indem man
nämlich in jeder Gleichung für den Nenner der rechten Seite den durch
die nächstfolgende Gleichung gelieferten Wert einsetzt, erhält man
j:^: Xi in Form eines Eettenbruches :

z-'^^ö + TT-i 1- lü r

Nach Formel (11) kann man 'statt dessen schreiben

und wir wollen jetzt beweisen, daß hier nicht nur zwischen den beiden
äußeren Brüchen, sondern zwischen ihren Zählern und Nennern je für
sich Gleichheit besteht; also

In der Tat sind diese Formeln für 1/ » 1 ja evident. Nimmt man aber
an, sie gelten für einen gewissen Wert von v, so ergibt sich, indem
man für x^ den Wert aus der (v + 1)**^ der Gleichungen (21) einsetzt:

^0~ -^y-l(^r^y + l + «y + i^y + 2) + ^v^v-2^> + l
^1 = -ßy-lC^^y + l + ö^v + l^r + s) + ^r^v-i^v^U

wofür man unter Berücksichtigung der Rekursionsformeln (7) auch
schreiben kann:

Xq = A^x^^i + fly+i-4y_i^v+2

Dies besagt aber, daß die Gleichungen (22) auch für den nächstfolgen-

14 Erstes EapiteL

den Wert yon v richtig sind; sie gelten daher allgemein. Damit sind
Xq, x^ linear durch x^j x^^^ ausgedrückt.

U. Wenn man die Indizes aller a, b, x um eine Zahl X erhöht ^ so
geht jede Gleichung des Systems (21) in diejenige desselben Systems
über^ welche um l Zeilen später kommt. Daher müssen auch die daraus
abgeleiteten Gleichungen (22) richtig bleiben ^ wenn man darin die ge-
nannte Indizeserhöhung vomimmt. um die so entstehenden Gleichungen
bequem schreiben zu können, bezeichnen wir diejenigen Funktionen der
Elemente, welche aus Ä^, B^ entstehen, wenn man die Indizes aller
darin auftretenden Elemente um X erhöht, mit A^ j^ B^ ^^ e& ist also
nach dieser Definition

(23)

• W^+i, ,hj

B =^ k( ^^+«^ ^^+«' • • *^ ^^+»' \

^r,0==^r?

(23a) ^.,,,- 1, JB.,,,« 0, ^,,- &,, JBo,.- 1, ^i,.« 6.+i.

Nimmt man nun in (22) die gedachte Indizeserhöhung vor, so
kommt:

Wenn man jetzt die Gleichungen (22) speziell für den Wert v = i (der
übrigens beliebig ist) anschreibt und dann auf der rechten Seite für
^ky ^k+i ^^^ soeben gefundenen Werte einsetzt, erhalt man nach leichter
ümordnung der Glieder:

Anderseits ergibt sich aber direkt aus (22), indem man t' + A an Stelle
von V setzt,

^1 ^ ■^* + il-l^y + Jl+ <^v + X-^v+X'i^v-\-X-\-l'

Da die Variabein a?y+;i, oc^^x+i ^uiabhängig angenommen werden dürfen
(wodurch dann die andern x eindeutig bestimmt sind), so entstehen
durch Vergleichung der beiden letzten Formelpaare die zwei wichtigen
Gleichungen:

(24)

^v + X^l— -^A-l^v-l,;i+ ^X^X^i-^v-l.X
Sy + X^l "^ ^X^l^v^l.X + ^X^X-i^y-l,X7

§ 5. Die Fundamentalfonneln. 15

die sich übrigens auch durch den Schluß von v auf v + l erweisen
lassen. Diese beiden Gleichungen werden wir stets ab die Fnndamen-
talformeln bezeichnen. Dabei ist zu bemerken^ daß die zweite ihrem
Wesen nach mit der ersten identisch ist und sich nur durch die Be-
zeichnung Yon ihr unterscheidet. Es ist nämlich, wie man aus (23) und
(23 a) sofort erkennt,

(25) -»„i-A-Li+i-

Infolgedessen läßt sich in aU unsem Formeln der Buchstabe B rer-
meiden, und dafür A mit passender Indexänderung einsetzen. Tut man
dies speziell in den beiden Fundamentalformeln, so gehen sie über in

Hieraus erkennt man aber, daß die beiden Formeln sich in der Tat nur
durch die Bezeichnung unterscheiden; denn die zweite geht augen-
scheinlich aus der ersten hervor, indem man >l — 1 an Stelle von l
setzt und sodann bei allen Elementen den Index um 1 erhöht.

Bei Benutzung des Muirschen Symbols schreibt sich die erste der
Formeln (24) in der Gestalt

+ aK( ^1»**'^^-* \x( ^^+»' • • •' ^^+^-1 \

und die zweite geht daraus durch die besagte Änderung der Bezeich-
nung hervor.

Als Spezialfall der Fundamentalformeln bemerken wir den f&r

^x == h^x--i + <^xA^i7 ^x = h^x-^i + «i^i-»;

der offenbar auf die Rekursionsformeln (7) hinausläuft; sowie auch den
für 1-1:

wobei aber auch nur die erste Gleichung für uns neu ist. Erhöht man
in dieser noch sämtliche Indizes um eine Zahl X und ersetzt die Ä ver-
mittels (25) durch B, so entsteht:

(28) ^^+i,i-i ■= h^t,x + ^x+i^v-ux+i-

Hieraus erhält man endlich noch, wenn man v, X bzw. ersetzt durch
V + 1, A — 1, und statt B vermittels (25) A einführt:

(26)

1

16 Erstes Kapitel.

lU. Aus den beiden letzten Formeln ergibt sich eine neue rekurrente
Berechnungsart für den Eettenbruch (2). Während unser früheres Ver-
fahren in § 2 darin bestand^ daß wir sukzessive die Brüche

~? ._! ~1 _'

JB/ B^' B^'"^B

berechneten^ wobei jeder folgende aus den zwei vorausgehenden ver-
mittels der Formeln (7) hervorging^ können wir statt dessen auch die
Brüche

• • •

das heißt die Eettenbrüche

n-v+fft - + 11 +--' + r6 (^=-0,1,. ..,n)

der Reihe nach berechnen. In der Tat geht hier jeder folgende aus den
beiden vorausgehenden vermittels der Formeln (28) und (29), angewandt
für V + >l = n, hervor.

§ 6. Folgerungen aus den Fundamentalformeln.

I. Die Fundamentalformeln sind eine Quelle für eine ganze Anzahl
weiterer nicht minder wichtiger Relationen. Zunacht ergibt sich mit
Rücksicht auf die Rekursionsformeln (7):

Eier unterscheidet sich aber die ElammergröBe der rechten Seite nur
dadurch von der linken Seite, daß k durch k — \ ersetzt ist Indem
man daher für X der Reihe nach die Werte A, A — 1, . . ., 2, 1 einsetzt
und die entstehenden Oleichungen miteinander multipliziert, erhält man

also, wenn man für die Größen Ä^y JB^, -4_i, JB_i ihre Werte &o, 1, 1, 0

(30) ' A, B,_, - A,_^ B, = (- ly-H, a,...a,.

Diese Formel ist nützlich, um die Differenz von zwei aufeinander fol-
genden Näherungsbrüchen auszudrücken; sie ergibt:

(31) -^ - ^'-'- = (- ly-^ -*"*- - -^ •

§ 6. Folgerungen ans den Fondamentalformeln. 17

Die Gleichung (30) laßt sicli noch wesentlich yerallgemeinem. Ans
den Fnndamentalformeln (24) folgt nämlich

AIbo^ indem man für die Klammer der rechten Seite den in (30) ge-
fundenen Ausdruck einsetzt (wobei nur A — 1 an Stelle von A zu treten
hat):

(32) A+i-i J8..1 - ^z-i^.+i-i = (- iy-'«i«2 • • • (^xS^i^v

Mittels dieser Formel kann man nnn die Differenz von zwei beliebigen
Näherungsbrüchen ausdrücken^ nämlich

Für V = 1 geht diese Gleichung wieder in (31) über; daneben verdient
aneh der Spezialfiall v =-2 herroi^ehoben zu werden:

^"^^ ^.+ 1 «2-1 ^ ^ «.0«2-l

Oelegentlich werden wir auch die Formel gebrauchen^ welche aus (32)
herrorgeht, wenn man die Indizes aller Elemente um eine Zahl fi er-
höht; man erhält dadurch

«ine Formel^ die sich aber von (32) natürlich nur durch die Bezeich-
nung^ nicht nach ihrem Wesen unterscheidet.

II. Während die ursprünglichen Bekursionsformeln (7) aus irgend
zwei aufeinanderfolgenden Näherungszählem oder -Nennern den nächst-
folgenden zu berechnen gestatten, dienen die Fundamentalformeln dazu,
mit Hilfe von zwei aufeinanderfolgenden Äj^_^, Ä^_^ sogar ein beliebiges
Ä mit größerem Index direkt auszudrücken; ebenso für B. Wir woUen
nun noch eine Formel angeben, welche einen beliebigen Näherungs-
zahler durch irgend zwei Torhergehende nicht notwendig aufeinander-
folgende ausdrückt, also etwa -4„^.^+y_i durch Ä^_^ und J.„^^_i;
ebenso auch für die Näherungsnenner. Zu dem Zweck bezeichne U^
generell den Nähenmgszähler oder -Nenner X^' Ordnung. Es ergibt
sich dann aus den Fundamentalformeln (24), wenn man sie zuerst für
il = a, V « /8; sodann für A=»a, v = j3 + y anschreibt:

^a + /J + y-l "^ -^/:? + y-l,a ^a-1 + ^a^^ + y-l,a ^a-2*
Perron, Kettenbrüche. 2

(36)

18 Erstes Kapitel.

Durch Elimination von Vf^_^ aus diesen beiden Gleichungen erhält man:

Die Klammer der rechten Seite läßt sich aber nach Formel (35)^ ange-
wandt für k == ßy fi =^ a, V ^ y, ersetzen durch

so daß man erhält:

-^/*-l,a^a+/? + y-l ~ -^/*+ y-l,a ^a + /*-l

Damit ist unser Ziel erreicht; denn da das Symbol U^ sowohl Ä^ als
auch B;^ bedeuten kann^ so ergeben sich die beiden Formeln

■^^-l,o-^a + /3r + y-l'= -S/y + y-l,a-^a + ^-l

+ (- l>^"X + l«a + 2- • • öa + /*-By-l,a + /?^a-l
^j^-l.a^c + ^'^ + y-.l == ^^ + y-l,a^o + |*-l

die nun alle früheren; insbesondere auch die Fundamentalformeln als
Spezialfall enthalten. Übrigens sind auch diese zwei Gleichungen wesent-
lich miteinander gleichbedeutend; der Unterschied liegt wieder einzig
in der Bezeichnung.

Die Fundamentalformeln und alle, die wir soeben daraus abgeleitet
haben, finden sich bei Stern 2, für den Spezialfall a^^l schon bei Euler 8.

§ 7. Irreduzibilität

Wir sind jetzt im Stande, den Satz zu beweisen:
Die ganzen rationalen Funktionen A^, B^ sind irredueibel.
Da nämlich Ä^_^y -^vi ^^^ ^vj K ^^<i^^ abhängen, so ist wegen
der Formel

A^ eine in a^, h^ lineare Funktion. Daher muß A^ im Falle der Zerleg-
barkeit gewiß auch einen von a^, b^ freien Faktor haben. Sei also
-4^«= P^, wo Q von a^, b^ nicht abhängt, dann ist

A,^b,A,^, + a,A,_,^PQ,

Setzt man aber in dieser Identität speziell a^= 0, 6^= 1, wodurch ja Q
unverändert bleibt, so ersieht man, daß A^^^ den Faktor Q haben muß.
Es ist daher Q ein gemeinsamer Faktor von A^ und ^y_i, also wegen
der Beziehung

4,JB,_i- ^,.iB,= (- iy-'a,a,^' - a, (Formel (30))

§ 7. Irreduzibüitat. 19

auch ein Faktor von a^a^'-a^. Daher muß Q und folglich auch Ä^
einen Faktor a^ enthalten; dann muß aber jeder Term von Ä^ diesen
Faktor a^ haben. Allein Ä^ enthält den Term h^h^* -b^ (das erste Glied
in der Euler- Min dingschen Formel (13)), welcher den Faktor a^ nicht
hat. Wegen dieses Widerspruches ist unsere Annahme, daß Ä^ zerlegbar
ist, zu verwerfen.

Weiter bemerken wir, daß Ä^ auch keinen Zahlenfaktor hat; in der
Tat zeigt ja die Euler-Mindingsche Formel, daß jeder Term von A^
nur den Koeffizienten 1 hat.

Was wir soeben für Ä^ bewiesen haben, läßt sich ganz analog für
£^ beweisen. Doch ergibt sich die Sache auch wieder daraus, daß B^
sich von Ä^_^ nur durch die Bezeichnung (Erhöhung der Indizes um 1)
unterscheidet. Aus der Irreduzibilität und dem Fehlen eines Zahlen-
faktors bei A^^ B^ ergibt sich die bemerkenswerte, schon in § 2 ange-

A

deutete Tatsache, daß die Naherungsbrüche -^ alle schon ihre einfachste

Form haben, also nicht mehr gekürzt werden können.

Natürlich können aber die A^, B^ reduzibel werden, sobald die
Elemente nicht mehr unabhängige Variable sind. Wenn zum Beispiel

a^ = 62 ^^% s^ ^^^^

A =" ^0^1 ^2 + ^ih + K^y ^% = ^1^2 + ^2)
daher sind jetzt A^, B^ reduzibel und haben sogar einen gemeinsamen
Faktor b^. Doch bemerken wir die zwei folgenden besonderen Fälle:

A. Sind alle Teünenner gleich 1, so sind die A^, B^ vrreduzible
Funktionen der Teileähler.

B. Sind aUe Teilzähler gleich 1, so sind die -4^, B^ irreduzible
Funktionen der Teünenner.

Der Beweis des ersten Satzes ist wörtlich so zu führen wie oben;
eine Modifikation wird beim zweiten Satz nötig. Da lautet die Bekur-
sionsformel wegen a^ = 1 :

A^= b^A^__^ -\- -d.^_2*

Daher muß A^ im Fall der Reduzibilität wieder einen von b^ freien
Faktor Q haben und man erhält

Setzt man in dieser Identität einmal b^ = 0, sodann &, = 1 , wobei ja Q
unverändert bleibt, so ersieht man, daß Q auch ein Faktor von A^_^
und von A^_^-\- A^_^ ist, also auch ein Faktor von A^_^, Daher ist Q
ein gemeinsamer Faktor von A^ und A^_^\ also wegen

auch ein Faktor von 1, womit der Satz bewiesen ist. Daß in beiden
Fällen auch kein Zahlenfaktor existiert, zeigt wieder die Euler-Min-
dingsche Formel.

2'

20 Erstes Kapitel.

§ 8. Numerische Kettenbrflehe. Konyergeiiz.

I. Wir haben bis jetzt die Elemente eines Eettenbruches als un-
abhängige Variable vorausgesetzt. Sind aber die Elemente eines (n+1)-
gliedrigen Eettenbruches numerisch gegeben, so wollen wir jetzt über-
einkommen; dem Eettenbruch denjenigen Wert (Zahlwert) beizulegen,

A
der aus ^ entsteht, wenn man darin für die Elemente die gegebenen

Zahlen einsetzt. Sowie also B^ von Null verschieden ausföUt, wird der
Eettenbruch einen bestimmten Wert haben. Dagegen heißt er sinnlos,
wenn B^^O ist; ein Zahlwert kommt ihm in diesem Fall nicht zu.

Demnach wird zum Beispiel der Eettenbruch 1 — [j + ^; obwohl sein
letztes Olied - sinnlos ist, sehr wohl einen Zahlwert haben; denn es ist

A^\W+ a,l^+ a^l^^O + 0 + 1-1
jB,-6i6,+ a,« 0+1 = 1,

80 daß der Eettenbruch den Wert 1 hat. Überhaupt ist stets

All <*--_ll öt-,1 A- 9

sofern nur a^und5^_, von NuU verschieden sind. Denn es ist in unserm
Fall 6^ = 0, also vermöge der Bekursionsformeln (7)

-^n™^n-^n-l + ^n-^n-2— ^n-^«-2

woraus die Behauptung folgt.

Allgemeiner kann der Eettenbruch

^0 + -ir H r TT- + 71 !-••• +

^1 \h l^i + i |^i+*-i

sehr wohl selbst dann einen bestimmten Wert haben, wenn der Eetten-
bruch

den Wert Null hat. Letzteres besagt nämlich nur:

'^^^ - 0; also ^,_i,, = 0, 5,_,.,+ 0;

der ursprüngliche Eettenbruch ist daher unter Benutzung der Funda-
mentalformeln gleich

§ 8. Numerische Kettenbrache. Konvergenz. 21

^v^X-l ^1-1^9-1,1+ ^k^X-%^v-l,l __ ^X^X-2 ^

er liat tdso in der Tat den ganz bestimmten Wert ^ " , sofern nur
«i + 0, -B,_, + 0 ist. Andernfalls ist er aUerdings sinnlos.

II. Wenn zwei unbegrenzte Serien von Elementen

\f \} hf "1 <hy <h7 ^f"

Torliegen^ so kann man aus ihnen formal den unendlichen Eettenbruch
bilden

der dann unbegrenzt viele Glieder und daher auch unbegrenzt viele
Näherungsbrüche

B,> X' B,' B,>'"

hat. In vielen Fällen — und diese werden uns in erster Linie inter-
essieren — trifft es sich, das diese Näherungsbrüche mit wachsendem
Index einem endlichen Grenzwert

(37) lim ^ = I

zustreben. Der Eettenbruch heißt dann konvergent^ und g sein Wert.
Durch diese Definition rechtfertigt sich der Aasdruck ^J^äherungs-
brüche'^; denn diese Brüche sind jetzt Zahlen, welche dem wahren
Eettenbruchwert g mit wachsendem Index ganz beliebig nahe kommen.
Dazu sei jedoch ausdrücklich bemerkt^ daß unter den Näherungsbrüchen
sehr wohl eine endliche Anzahl sinnloser sich finden kann; durch die
Gleichung (37) soU nämlich nur gefordert sein, daß für hinreichend
große Werte von v, aber nicht notwendig schon von v = 1 an die

Zahlen ^ existieren (und einen Grenzwert haben).

Wenn der Grenzwert (37) nicht existiert, so heißt der Kettenbruch
divergent; er wird also insbesondere dann divergieren, wenn er un-
endlich viele sinnlose Näherungsbrüche hat. Unter den divergenten
Kettenbrüchen sind diejenigen besonders ausgezeichnet, für welche

lim ^^ = 0

V=00 V

ist; solche nennen wir „unwesentlich divergent'^; alle anderen
„wesentlich divergent'^ Bei unwesentlicher Divergenz kann es ins-
besondere auch vorkommen, daß unendlich oft jßy=» 0, ^^4* ^j ^^^ der

Näherungsbrach ^- sinnlos ist. Wir werden später sehen, daß die iin-

22 Erstes Kapitel.

wesentlich diyergenten Eettenbrüche in vieler Beziehung mit den kon-
vergenten auf eine Stufe zu stellen sind. ^)

III. Wir beweisen jetzt den wichtigen

Satz 1« Wenn zwei von den drei Gleichungen

B.

a.^A a

Jl+i , '•il+Ä

^i+i rz+2

bestehen, und wenn a^y a^, , . , a^^ von Null verschieden sind, so gut auch
die dritte. Dabei ist es güichgiUiig, ob die Kettenbrüche B, G wirJdich un-
endlich sind, oder vielmehr endlidi wnd mit dem gleichen Glied schließend.

Beweis. Wenn die Kettenbrüche B, C endlich sind^ so sei ihr letztes

Glied etwa j-—- — ^- Die Gleichungen A, B, C sind dann gleichbedeu-

tend mit den folgenden:

Aa. t ^'^x^xh+ ^x--i^x

A + v-l i — 1 »• — l,i~ i i-2 v-l,il

wobei die letzte Gleichheit aus den Fundamentalformeln folgt. Sind
aber die Eettenbrüche B, C unendlich, so ist einfach in Ba, Ca der
Limes für v =^ oo zu nehmen. Die Gleichungen lauten also in diesem
FaU:

A * fc _ ^^-1^^+ ^^-8 °^^

^^ • ^''-'B,_,ix+B,_,a,

Ä.

Ba* g;i=Hm

^v-l,i

r =00 ""v — 1,X

Ca* §o = li™ 15 lim^ -^ , ^ y. — -^ ^

y=oo -''jl+y-l v = oo-''il-l^»-l,l + ^X-'^X-i-'^v-l.X

1) Aus diesem Grund ist die Bezeichnung „unwesentlich divergent^^ der vom
Yerfaeser in früheren Publikationen gewählten ,,eigentlich divergent** vorzuziehen.

§ 8. Numerische Kettenbrüche. Konvergenz. 23

Wir entwickeln nun, um Wiederholungen zu vermeiden, den Beweis
für beide Fälle gemeinsam , und zwar in der Weise, daß wir alles, was
sich nur auf den zweiten bezieht, in <^^ stellen; der ganze nicht in O
stehende Text ist dann gerade der Beweis für den ersten Fall. Der
ganze Beweis gliedert sich naturgemäß in drei Teile.

Erstens: A, B vorausgesetzt; C zu beweisen.
Aus Aa<*>,Ba<*> folgt

A
^-1 7? T ^^-2"i 1 A y » A Ti

also in der Tat Ca<*>.

Zweitens: B, C vorausgesetzt; A zu beweisen.
Wegen Ba<*> ist <für hinreichend große v> B^_^j^ + 0; daher
nach Ca<*>:

go = /lim) f--A^

-^* - 1, i

In diesem Bruch hat nun nach Ba<*> der Nenner den <Grenz->Wert
•^i-iSi + ^i^x^ri ebenso der Zähler A^_^%^'\- a^A^^^' <^Diese Gfrenz-
werte können nicht beide verschwinden, weil sonst auch

sein müßte, während dieser Ausdruck doch nach (30) gleich ±^1^^ . . .a;i,
also nach Voraussetzung von Null verschieden ist. Daraus folgt nun, daß
der Grenzwert des Nenners nicht verschwinden kann. In diesem Fall
müßte nämlich, weil ja der Quotient einen endlichen (Grenzwert 1^ hat,
auch der Zähler die Null zur Grenze haben. Daher wären die Grenz-
werte von Zähler und Nenner beide Null, was dem soeben Bewiesenen
widerspricht. Nach diesen FeststeUungen sind wir nun berechtigt, in
der obigen Gleichung den Grenzwert des Quotienten durch den
Quotienten der Grenzwerte zu ersetzen.^ Dadurch entsteht aber gerade
die Gleichung Aa<*>.

Drittens: A, G vorausgesetzt; B zu beweisen:
Zunächst folgt aus Aa<'^>:

Hier kann nun die Klammer der linken Seite nicht verschwinden; sonst
wäre nämlich, weil a;i+0 vorausgesetzt ist, auch die Klammer der
rechten Seite NuU, und folglich Ä;^_^B;^_^— Ä;^_^B;^_^='Oj somit

24

Erstes Kapitel.

a^a^. , , a^_i » 0^ im Widersprach mit unsem Voraussetzungen. Es er-
gibt sich also

Setzt man aber hier für |q den Wert aus Ca<*> ein^ so kommt:

^-> R

6i '- — a;i /lim \ .

'X-1

5

a + y-

■^;i-2-^i + v-

— -Ä^^i^i^

U-2

— ^

X-1

— ^k-i^l + v-l

— -^^-l^l+y-l

In diesem letzteren Bruch ist aber der Nenner nach (32) gleich

Der Zähler dagegen geht aus dem Nenner hervor , indem Xj v durch
>l — 1, V + 1 ersetzt wird ; er ist also gleich

(~ 1)^-X«t. . • a^_iJB,,^.i- (- ly-'a^a^. . . a^_iA-i,i (nach(25))
Daher geht die letzte Gleichung über in:

Hl/-Va,

^y-hl

g ss= — a, (lim\ 5—5 ~ = (lim>-^i5 — —

also in Ba<*>. Somit ist unser Satz' in allen Teilen bewiesen.
Einleuchtend ist auch

Satz 2. Aus der Gleichung
folgt, sofern ^q + 0 ist, stets

£o

b, • |&,

und zwar ist es wieder gleichgültig, ob beide KeUenbriiche unendlich sind,
oder endlich und mit dem gleichen Glied schließend. Für ^^0 dagegen
ist der zweite Kettenbruch unwesentlich divergent, bezw,, wenn er endlich
ist, sinnlos.

Bezeichnet man nämlich die Näherungszähler und -Nenner v*®' Ord-
nung dieses zweiten Kettenbruches mit C^, D^, so ist

§ 8. Numerische Kettenbrüche. EonTergenz. 25

woraus allgemein 0^= B^_^, ^»^^ -^y-i folgt- Es ist also -^ «— -^ — ,

y-l

und daraus ergibt sich ohne weiteres der Satz. Wir werden übrigens
bei Eettenbrüchen^ deren Anfangsglied NuU ist^ dieses für gewöhnlich
weglassen, so daß die obige Gleichung sich so schreibt:

So \K^\h^\^^ '
Eine wichtige Er^^zung zu Satz 1 ist noch
SatB 8. Von den drei Bdationm

B. I - 6 + 5±ll + 5±^ + . . . in infin.

C. ^0 + iV H f" FiT + iir~^ + iiT""^ H "" unwesenäich divergent

zidien, wenn a^^ o,, . . . a^i von Null verschieden sind, je zwei die dritte
nach sich.

In der Tat, wenn der Eettenbruch A sinnlos ist, so hat sein letzter
Näherungsnenner den Wert NuU. Der letzte Näherungszähler kann
nicht verschwinden, weil sonst mit Bücksicht auf (30) auch a^a^,..ax^O
sein müßte, entgegen der Voraussetzung. Die Relation A ist daher
gleichbedeutend mit

A'. o-o+y+y+-..+^+5J,

da ja^ wie aus dem Beweis von Satz 2 hervorgeht, der Näherungsbruch
V**' Ordnung von A' gleich dem reziproken Wert des Näherungsbruches
(v — 1)**' Ordnung von A ist. Ebenso besagt die Relation C so viel wie

Von den Gleichungen A', B, C ist aber nach Satz 1 in der Tat jede
eine Folge der zwei andern, so daß auch Satz 3 richtig ist.

Zweites Kapitel.

Eegelmäßige EettenbrAclie.

§ 9. Die endlichen regelmäßigen Kettenbrflehe.

I. Wir bezeichnen mit x^y x^ zwei ganze Zahlen^ deren zweite
positiv sei. Wenn man dann x^ durch x^ dividiert, so erhält man einen
ganzzahligen Quotienten h^ und einen ELest x^, der nicht negativ, aber
jedenfalls kleiner als x^ ist:

Xq = OqX-^ -j- X^y ^1 ^ ^2*

Dabei ist fe^ = 0 für 0 ^ ^Cq < a?! ; sonst hat 6^ dasselbe Vorzeichen wie x^ .
Geht die Division nicht auf, ist also x^ > 0, so dividiere man nun x^
durch rr^; man erhält dann einen ganzzahligpn positiven Quotienten \
und einen Best x^^ der wiederum nicht negativ, aber kleiner als x^ ist:

Geht die Division abermals nicht auf, so wird man jetzt x^ durch x^
dividieren und erhält dann durch Fortsetzung dieses Verfahrens das
Bechenschema:

Xq = Oq 2^1 + X^

x^ =» Oj ij/j -j- ajj

X^ =» O^X^ "f- x^

(1)

wo die fty, x^ von v = 1 an positive ganze Zahlen sind und die Un-
gleichungen gelten:

(2) Xi> Xi>x^> ' -'

Da die ganzen Zahlen x^ von i/ => 1 an stets abnehmen, ohne je negativ
zu werden, so muß das Verfahren nach einer endlichen Anzahl von
Schritten notwendig ein Ende erreichen, indem einmal die Division
aufgeht, also ein Rest verschwindet. Ist dies etwa der Rest x„^^y so
wollen wir annehmen, daß n > 0 ist, daß also die erste Division Xq : x^
noch nicht aufgeht. Das Schema (1) endet dann mit den zwei Gleichungen

^n™ ^n^n + 1 *

§ 9. Die endlichen regelmäßigen Eetienbrüche. 27

Wegen n>0 ist a;^>a:„+i, und daher ist der letzte Quotient 6^ größer
als 1, also mindestens gleicli 2.

Das bescliriebene Diyisionsverfaliren ist nichts anderes als der be-
kannte Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten ge-
meinsamen Teilers yod Xq und x^ . Dieser Teiler ist, wie leicht zu sehen,
die Zahl ^„^i, worauf wir aber hier nicht eingehen; uns interessiert
yielmehr die aus dem System (1), welches ein Spezialfall des Systems (21)
S. 12 ist, hervorgehende Eettenbruchentwicklung.

Setzt man nämlich = 1^, so daß wegen (2) von t/ = 1 an stets

ly > 1 ist, so gehen die Gleichungen (1) über in

<3)

t ^0 « ifc

»1 I Si

6»_i = K-i + Y^ ^ *»-i + ii

H

■ 5, = &«,

uud hieraus reBoltieren unter Benutzung von Satz 1, Kap. I, sukzessive
die Kettenbruchentwicklungen

also schließlich

/4^ ^ =. t = j^ 4- II _L AL j L Ü.

IL Es empfiehlt sich, für Kettenbrüche, deren Teilzähler alle gleich 1
sind, eine kürzere Schreibweise einzuführen. An Stelle von

wollen wir einfach schreiben:

und analog auch bei unendlichen Kettenbrüchen. Für dieses neue
Symbol liefert Satz 1, Kap. I, sogleich die folgende Regel:

A. Irgend zwei der drei Gleichungen

siidien die dritte nach sich; dabei ist es gleicJigültig, ob die beiden letzten
Kettenbrüche unendlich oder endlich und mit dem gleichen Gliede
schließend sind.

28 Zweites Kapitel.

Als besonders nützlich heben wir einen Spezialfall dieser Regel
hervor:

6. Wenn die Gleichungen

gelten, so ist gang von selbst auch

unter Benutzung unseres neuen Sjmboles nimmt nun die Glei-
chung (4) die einfachere Gestalt an:

(5) |f = l«=[6o,&i,---,ftJ-

Hieran schließen wir die

Definition. Ein endlicher oder unendlicher Kettenbruch heißt regd-
mäßig, wenn die Teüisähler dUe gleich 1 und die Teilnenner positiüe ganjse
ZoMen sind; nur das Änfangsglied darf eine beliebige ganze Zahl sein.

Dann können wir unsere Ergebnisse vorläufig dahin zusammen-
fassen, daß jede rationale gebrochene Zahl ^^ sich in einen endlichen
regelmäßigen Kettenbruch entwickeln läßt, dessen letzter Teilnenner
mindestens gleich 2 ist. In der Tat ist ja eine solche Kettenbruch-
entwicklung durch die Gleichung (5) geleistet. Das Verfahren, welches
zur Herstellung des Eettenbruches diente, läßt sich nun im Anschluß
an das Gleichungssjstem (3) noch etwas einfacher beschreiben, als oben
geschehen, nämlich:

Man ziehe aus |q die größte ganze Zahl \ heraus; der Best sei -j--

Sodann ziehe man aus dem unechten Bruch 1^ die größte ganze Zahl b^

heraus, der Rest sei ^- • Dann ziehe man wieder aus dem unechten

Bruch 1, die größte ganze Zahl b^ heraus usw. Dieser Prozeß muß
nach dem Bewiesenen abbrechen, indem einmal §„ eine ganze Zahl b^
wird, die mindestens gleich 2 ist; es ist dann 5o— [^07 ^i; • • •> ^J-

Nun ist umgekehrt klar, daß jeder endliche regelmäßige Eetten-
bruch eine rationale Zahl vorstellt, und zwar selbst dann, wenn der
letzte Teilnenner nicht größer als 1 ist. In der Tat ist ja

[&07 K ^2;---;^J^ B%

WO die A^, B^ mittels der Rekursionsformeln des § 2 zu berechnen
sind; diese lauten jetzt, weil die Teilzähler gleich 1 sind:

(7) ^.1=0, B,^l, B,^b,B^,_, + B,^, {y^\\

so daß alle A^, jß, ganze Zahlen werden, und zwar B^ > 0, also in der

§ 9. Die endlichen regelmäßigen Eettenbrüche.

29

Tat ^ eine rationale Zahl. W. z. b. w. Für 6« ^ 0 wird, wie ebenso

leicht ersichtlich, auch ^ ^ 0; von v » 1 an (für 60 > 0 schon von
V — 0 an) sogar Ä^ > 0. Bei den regelmäßigen Eettenbrüchen ist es
zweckmäßig, noch die Ghrößen

(8) ^-»«0, -B_,-l

einzuführen, wodurch die Rekursionsformeln schon für 1; » 0 Gültigkeit
erlangen. Die praktische Ausrechnung eines Eettenbruches gestaltet
sich dann sehr einfach; z. B. erhält man für [2, 3, 2, 1, 4, 2, 3] das
Schema:

p

-1

0
2
1
0

1

8
2

1

2
2

7
8

3

1

16

7

4

4

28

10

5

2

108

47

6

3
289
104

825
869

^

^-1

0

^.-1

1

WO jede Zahl der dritten Zeile entsteht, indem man die vorausgehende
mit der darüber stehenden Zahl multipliziert und zu dem Produkt die
nächstvorausgehende hinzuaddiert; analog für die vierte Zeile. Es ist also

[2,3,2,l,4,2,3]-g^.

Wir beweisen jetzt, daß der so berechnete Bruch immer schon in
seiner irreduziblen Form erscheint; überhaupt gilt der

SatB 1. Sind ^ — , -^- zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche
eines regdmäßigen KeUenbruches, so sind die vier Zahlenpaare
(A„B^, (Ä,_„B,_,), (A„A,_,), (B„B,_,).

sämÜicli

B:

rdaüv prim; insbesondere sind also die Näherungsbrüche

irredueibd.

Beweis. Nach Formel (30), Eap. I, ist, weil jetzt alle Teilzähler

gleich 1 sind,

A,B,_,-A,_,B,= {-\y-\

Wenn also etwa J.^, B^ einen gemeinsamen Teiler hätten, so müßte
auch (— 1)^"^ diesen Teiler haben; ebenso für die drei andern Zahlen-
paare, womit der Satz bewiesen ist.

in. Es fragt sich nun, ob zwei endliche regelmäßige Eettenbrüche,
die nicht vöUig identisch sind, dennoch die gleiche rationale Zahl vor-
stellen können, oder, was dasselbe ist, ob eine rationale Zahl mehrere
nicht identische regelmäßige Kettenbruchentwicklungen zuläßt. Wir
werden sehen, daß dies jedenfalls nicht der Fall ist, wenn &^ ^ 2 ver-
langt wird; vielmehr gilt der

30 Zweites Kapitel.

Sat8 2. Jede rationale gebrochene Zahl ^ läßt sich auf eine und
nur eine Weise in einen endlichen regelmäßigen Kettenbruch entwickeln,
bei dem der letgte Teünenner mindestens gleich 2 ist.

Beweis. Daß überhaupt eine solche Entwicklung möglich ist,
wissen wir bereits; sei also

Offenbar ist So > ^o* Setzt man dann

(9) [6,, 6,+i, . . ., 6J - S, (v = 0, 1, . . ., n),
so ist auch S^^j = [6y_i, b^, . . ., 6J, also nach Regel A, S.27:

(10) lv-i-[^-i,IJ = 6,_i + -|- (v=l,2,...,n).

Femer ist

g^ > 1 für 1/ = 1, 2, . . ., n;

denn für i/ = n wird g^ = |^ = 6^ ^ 2; für 1 ^v <n aber nach (9):
ly > fty ^ 1. Daher besagt die Gleichung (10), daß \_i die größte in
|y_i enthaltene ganze Zahl sein muß. Insbesondere ist also b^ die größte
in §Q enthaltene ganze Zahl und als solche eindeutig. Dann ist aber
durch die Gleichung (10) für v ^ 1 auch g^ eindeutig bestimmt, und b^
als größte in 1^ enthaltene ganze Zahl wiederum eindeutig usw. Man
sieht so, daß alle b^ eindeutig bestimmt sind, und daß man gerade auf
das S. 28 beschriebene Verfahren geführt wird.

Es gilt nun auch der Satz, daß jede rationale gebrochene Zahl sich
auf eine und nur eine Weise in einen regelmäßigen Eettenbruch ent-
wickeln läßt, dessen letzter Teilnenner gleich 1 ist. In der Tat ergibt
sich dies sogleich aus Satz 2 auf Grund der Formel

(11) [6o, &i, . . ., ftj = [bo, 6i, . . ., 6„_i, b^— 1, 1],
welche ihrerseits aus Regel B, S. 28, folgt, weil ja

ist. Da von den Kettenbrüchen (11) der zweite ein Glied mehr hat wie
der erste, also stets die Gliederzahl des einen gerade, die des andern
ungerade ist, so ergibt sich weiter

Satz 8. Jede rationale gebrochene Zahl |q läßt sich auf eine und nur
eine Weise in einen regelmäßigen Kettenbruch mit modulo 2 vorgeschrie-
bener Gliederzahl entwickdn,

§ 10. Die diophantische lineare Gleichung.

Als eine wichtige Anwendung der bisherigen Untersuchung schalten
wir hier die allgemeine Lösung der diophantischen Gleichung

(1) px — qy^r

§ 10. Die diophantische lineare Gleichung. 31

ein, wo p, q, r gegebene ganze Zahlen (4* 0) sind^ und die Unbekannten
x^ y ebenfalls ganzzahlig sein sollen.

Wenn die Zahlen py q den gemeinsamen Teiler d haben^ so ist die
Aufgabe offenbar nur dann lösbar^ wenn auch r durch d teilbar ist Da
man aber einen Teiler^ der den Zahlen p, q, r gemein ist, in der Glei-
chung unterdrücken kann, so dürfen wir p, q Ton Tomherein als relatiy
prim Toraussetzen. Femer können wir q auch als positiy annehmen, in-
dem wir Gleichung (1) nötigenfalls mit — 1 multiplizieren; schließlich
wollen wir den triTialen Fall 9 »- 1 beiseite lassen. Nach diesen Vor-

bereitungen entwickeln wir die rationale gebrochene Zahl — in einen

3 umii ^

regelmäßigen Eettenbruch Ton gerader Gliederzahl:

D

V A
Da dann — » -^ ist und da diese beiden Brüche irreduzibel sind (nach

Satz 1) und positiye Nenner haben, so ergibt sich

Nun ist aber (Formel (30), Kap. I):

also auch

l,B,_,-3^,_,-(-l)-i-l,

weil wir die Gliederzahl n + 1 ftls gerade yorausgesetzt haben. Wenn
man diese Gleichung mit r multipliziert, so erhält man

(2) i,(B,_,r)-2(^_,r)-r,

und folglich ist x^ B^^^r, y '^^ A^_^r eine Lösung der diophanti sehen
Gleichung (1). Diese Lösungsmethode stammt Ton Lagrange 7.

Nachdem uns nun die Kettenbruchlehre eine Lösung geliefert hat,
ist es leicht, alle Lösungen ausfindig zu machen. Zu dem Zweck sub-
trahieren wir Gleichung (2) yon (1) und erhalten

p{x - B^^^r) - q{y - A^^^r) = 0
oder

Da aber der Bruch — irreduzibel ist, so folgt hieraus

x-B^^^r^mq, y-Ä^_^r^mp,

wo m jede ganze Zahl bedeuten darf. Es ergibt sich also, daß die dio-
phantische Gleichung (1) unendlich yiele Lösungen hat, und zwar:

(^) l^!""^'t^! (— o,±i,±2,...)-

\y ^ Ä^^^r + mp

^

32 Zweites Kapitel.

Übrigens hätte man — auch in einen regelmäßigen Eettenbruch

Yon angerader Oliederzahl n' + 1 entwickeln können. Dann wäre aber
(— 1)*'"^= — 1 und daher hätte die allgemeine Lösung jetzt die Form

wo mit J^'.i, Bn'-^i der vorletzte Näherungszähler und -Nenner dieses
neuen Eettenbruches bezeichnet sind. Natürlich müssen beide Lösungen
miteinander identisch sein^ wovon man sich auch unschwer durch wirk-
liche Rechnung überzeugt.^)

§ 11. Inverse Eettenbrflche^ symmetrische Eettenbrflche.

L Sei

ein regelmäßiger Eettenbruch und b^ > 0. Man kann dann leicht auch
■die beiden Zahlen r** , ^ " in regelmäßige Eettenbrüche entwickeln.
Es ist nänüich nachher Rfkil^-ionsformel:

-^-1 ^ ^fi-l-^n-2 + -^n-8

Eieraus folgt genau^ wie in § 9 aus dem System (1) die Eettenbruch-
entwicklung (6) folgte,

<2) ^ =- IK, K-1, ■ ■ ; \, \l

und auf analoge Weise

wie übrigens auch aus den allgemeinen Formeln (19), (20), Eap. I, be-
kannt ist Die beiden Eettenbrüche (1), (2) heißen zueinander inyers.
Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn ein Eettenbruch mit
seinem inyersen identisch ist, also

1) Es ist
wofSr der Beweis dem Leser überlassen sei.

§ 11. Invene Eettenbrüche. Symmetrische Kettenbrüche. 33

Ein solcher Eettenbruch; der also die Form

[60, 61, &2, . . ., hy &i, bo]
hat, heißt symmetrisch. Es gilt folgender

Sats 4. Die notwendige und hinrekhende Bedingimg dafür, daß ein

irredueibler Bruch -^, wo P> Q>1 eine symmeMsche regelmäßige

KeUeniruclientwuMung von gerader bzw. ungerader GliedereaM ssidäßt
(eventuell mit dem letzten Teilnenner 1), besteht darin, daß Q^+ 1 bzw.
Q^ — 1 durch P teilbar ist, (Serret 2.)

P .

Beweis. Wenn der Bruch -^ irrednzibel und einem (n + l)-glied-

rigen symmetrischen Kettenbruch gleich ist

-Q = [po) 0^) Oj, . • •> öj, Oj, OqJ «= ^ ,

80 ist P « Ä^, Q =^ B^. Ferner, weil der Eettenbruch mit seinem in-»
Versen identisch ist, nach (1), (2) auch ^ =^ a" j also B^=^ A^_^.
Aus der Gleichung A^B^_^ — A^_^B^^ (— 1)*~^ folgt daher auch

A-B«-i--B»*-(-l)"-S
oder also

P5,_i-<3»+(-i)-'.

Infolgedessen muß Q*+ (— l)""^ durch P teilbar sein; die Bedingung
des Satzes ist also notwendig. Sie ist aber auch hinreichend. Denn
wenn

ist, wo £ = ± 1 und Qf eine ganze Zahl, so entwickle man 7^ in einen
regelmäßigen Eettenbruch

(4) ^"\.\,K--,K]-^^

und wähle die Gliederzahl derart, daß (— 1)'*~^==6 wird, was nach
Satz 3 möglich ist. Es ist alsdann P ^ A^, Q '^ B^] also nach Voraus-
setzung imseres Satzes: A^> B^, und

Anderseits ist aber nach einer schon oft gebrauchten Formel

daher durch Subtraktion Yon der vorigen Gleichung:

B„{B,-A„_,) = A„(,Q'-B,_,).

Es muß also B^{B^— -^«-1) durch A^^ teilbar sein, und da B^ zu A^
relativ prim ist, so muß schon B^-— A^_^ durch A^ teilbar sein. Nun

Perron, Kettenbrttche. 3

34 Zweites Kapitel.

ist aber ^^ > J5„ > 0 und auch Ä^ = ^n^n-i + ^n-i > -^«-i 5 ^^^ g^
wiß -4„ > \B^— A^_^\. Eine Zahl kann aber nicht durch eine größere
teilbar sein, ohne zu yerschwinden; es folgt also: B^— A^_^^0. Setzt
man demgemäß in Gleichung (4) für B^ den Wert A^_^ ein, so kommt

Vergleicht man dies aber mit (2), so ergibt sich, da ein regelmäßiger
Kettenbruch mit modulo 2 vorgeschriebener Gliederzahl nach Satz 3
nur auf eine Weise möglich ist:

also die Symmetrie. W. z. b. w.

U. Aus Satz 4 läßt sich eine bemerkenswerte zahlentheoretische
Folgerung ziehen. Sei nämlich Q eine beliebige ganze Zahl größer als 1
und P(> Q) ein Teiler yon ^*+ 1. Dann sind P und Q relativ prim,

und nach Satz 4 läßt sich -q in einen symmetrischen Eettenbruch mit

gerader Gliederzahl entwickeln. Wenn diese Anzahl mit 2k + 2 be-
zeichnet wird, erhält man also

(5) "ö " [^o; hf • • •; h^i7 h> K ^*-i> • • •; hy K] = r ^—4 r

V -°2* + l -^2*

SO daß

^Jk + l*" ^kf ^*+2^ ^*-n • • '7 ^2*^ ^If ^2* + !*^ ^Of
■^ ^ ^k + lf V "*" ^2* + l~ -^Jb

ist. Nun besagt aber die erste Fundamentalformel ((24), Eap. I), an-
gewandt ftlr die Werte i/ = A: + l, A-=A; + 1:

Anderseits ergibt sich unter Benutzung des Muir sehen Symbols:

\^k+i} ^*+2; • • •; ^2* + i/ \^*; ''A-i; • • •> ^i; ^0/

weil ja die Reihenfolge der Elemente im Muir sehen Symbol umkehr-
bar ist. Analog ist auch

\6q, Ol, . . ., ft^^a, ^A-i/
Setzt man dies in Formel (6) ein, so geht sie über in
(7) F^Ä,,^^^Al + ÄU^

§ 11. Inyeise Eettenbrüche. Symmetrische Eettenbrüche. 35

Dies besagt aber, daß jeder Teiler P Ton Q^ + 1, der größer ist als Q,
sich als Summe yon zwei relativ primen Quadraten darstellen läßt.
Dabei kann die Bedingung P^ Q nachträglich wieder fallen gelassen
werden. Denn wenn P ein Teiler von Q*+ 1 ist und wenn P ^ Q, so
ist P auch ein Teiler von

wobei man die ganze Zahl a offenbar so wählen kann^ daß

P>Ö~aP^O.

Dadurch ist aber dieser Fall auf den vorigen zurückgeführt, außer wenn
Q — aP ^ 0 oder 1 ist. Dann ist aber P ein Teiler von 1 oder 2, also
entweder P= l*+0* oder P— 1*+ l^ womit auch diese Fälle er-
ledigt sind. Auch die Bedingung Q > 1 können wir nachträglich fallen
lassen, da für ^=1 ja wieder nur die trivialen Werte P= 1 und P« 2
möglich sind.

Endlich seien R, S irgend zwei relativ prime Zahlen, und P ein
beliebiger Teiler von R^+ S\ Dann ist P auch Teiler von

(i? + S») {x' + f) = (Ry 4- Sxy + (Ex - Sy)*,

wenn x, y irgend welche ganze Zahlen sind. Nun lassen sich aber, weil
JR, S relativ prim sind, x und y nach § 10 derart bestimmen, daß
JBrc — Sy ^ 1 ist; demnach erweist sich P als ein Teiler von
{Ry + Sx^ + 1 und ist folglich nach dem vorigen die Summe von zwei
relativ primen Quadraten. Dies ergibt das zahlentheoretisch interessante
Theorem:

Satz 5. Wenn eine ZcM die Summe von zwei rdaiiv primen Quadraten
ieHtj so ist sie seihst die Summe von zwei rdaiiv primen Quadraten. {Euler 6,
Serrei 1, 2.)

nL Hieran knüpfen wir noch folgende Bemerkung. Es ist, wenn
Je wieder die Bedeutung wie in Formel (5) hat,

Daher müssen die Zahlen Ä^^-k-ij ^k ^^ Teiler von R^k+i + ^ ^^^^ ^^^
Summe von zwei relativ primen Quadraten darstellen lassen. In der Tat
haben wir ja auch Ä^^+i in Formel (7) bereits in dieser Weise dar-
gestellt; um nun das gleiche auch für B^j^ zu leisten, gehen wir aus von
der zweiten Fundamentalformel, angewandt für v ^ k, k ^^ k + 1:

Aber man findet jetzt ähnlich wie S. 34:

A......-^(, V \)-<\' U)

\^k+i} ^k+2) ' • •; ^2*/ \^*; ^k-19 • • •; ^2; ^u

36 Zweitea Kapitel.

^ ^\h \ ' h' h ) ""^*-i'

80 daß ans (8) die gesuchte Darstellung hervorgeht:

(9) B,,-B; + B*_^.

Eine ähnliche Formel ergibt sich auch noch für -4,;^ *" ^2*+i» ^^^
erste Fundamentalformel liefert nämlich, angewandt für die Werte v — k,
X^k+ 1:

und wenn man hier für die Ä und J? mit Doppelindex die soeben ge-
fundenen Werte einsetzt:

(10) B,,^,^A^,^A,B,+ A,_,B,_,.

Diese Formeln rühren im wesentlichen von Serret 1 her. Wir
wollen nun noch die Analoga zu (7), (9), (10) für symmetrische Ketten-
brüche mit ungerader Gliederzahl entwickeln. Ein solcher hat die Form

\Po} ^19 ' ' -y ^k-iy ^*? ^*-i> • • '} ^i) ^o\ "" R~~ ~ 1 5

es ist also

Die Fundamentalformeln liefern jetzt die Gleichungen

Es ergibt sich aber wegen der Symmetrie des Eettenbruches:
Setzt man dies oben ein, so erhält man

§ 12. Unendliche regelmäßige Eettenbruche. 37

(11) '4,,= ^,_i(A+^i_»),

(12) B„- A,,_,^ B,_,A,+ B,_,A,_, = A,_,B,+ A,_,B,_,

(13) B,^_,^B,_,(B, + B,_,).
Dies sind die gesuchten Formeln.

§ 12. Unendliche regelmäßige Eettenbrflche.

I. Wenn ^ eine rationale gebrochene Zahl ist^ so ergibt sich ihre
regelmäßige Kettenbmchentwicklung^ deren letzter Teilnenner min-
destens gleich 2 ist^ aus dem Oleichungssystem

(1)

wobei allgemein b^ die größte in g^ enthaltene ganze Zahl bedeutet, also
5i > 1, Sj > 1, . . . Dieses System wird, wie wir sahen, irgendwo ab-
brechen, indem einmal |^ eine ganze Zahl wird (S„» &J.

Wenn nun aber die Zahl ^ irrational ist, so kann auf sie zwar
offenbar das gleiche Verfahren angewandt werden; doch wird dies jetzt
niemals abbrechen, sondern wird sich unbegrenzt fortsetzen lassen. Denn
wenn einmal |. eine ganze Zahl h^ wäre, so erhielte man wie in § 9
die Gleichung:

und ^ wäre demnach eine rationale Zahl, gegen die Voraussetzung.
Da unser Verfahren also nicht abbricht, so erhält man eine ganze
Zahl &Q und eine unbegrenzte Serie Ton ganzen positiven Zahlen hifh^,-..,
und die Vermutung li^ nahe, daß |^ gleich dem unendlichen regel-
mäßigen Eettenbruch [6^, b^, b^^ . . .] ist.

Dies ist in der Tat der Fall; zum Beweis beachte man zunächst,
daß die Näherungsnenner mit wachsendem Index über alle Grenzen
wachsen. Denn sie genügen den Rekursionsformeln (7) des § 9; aus
diesen folgt sogleich:

l--Bo^5i<l?,<-B8<. .,

und da die B^ ganzzahlig sind, so wachsen sie über alle Grenzen.^). So-
dann liefern die Gleichungen (1) für jedes v die Beziehung

1) Aus § 8| II folgt sogar, daß By mindestens gleich

•+('T')+('TV('7V-

ist.

38 Zweites Kapitel.

woför man auch schreiben kann (Formel (11), Kap. I):

Daher ist

^-1 A-i^y-l-A-l^y-i (-1)""^

So-

-By_l ^r-1 (-^v- Jy + "^v-2) ^r-l{^v-l^v+ ^y-i)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung ist aber der Zähler absolut
gleich 1; während der Nenner mit v über alle Grenzen wächst; daraus
folgt dann

So- lim ^'

A-i

oder also nach der Definition des Wertes eines unendlichen Eetten-
bruches (S. 21):

w. z. b. w.

Nun zeigen wir, daß auch umgekehrt jeder unendliche regelmäßige
Kettenbruch konvergiert und einen irrationalen Wert hat. um zu-
nächst die Konyergenz, d. h. die Existenz des Grenzwertes

lim^

nachzuweisen, genügt es bekanntlich, zu zeigen, daß zu jedem positiven e
ein Wert X gefanden werden kann, von der Beschaffenheit, daß für
V = 1, 2, 3, . . . die Ungleichung

^v + l~l _ ^X-1

<B

besteht. ^) Nach Formel (33), Kap. I ist aber, weil ja alle Teilzähler
a^ -= 1 sind:

(2) i^^^ - i- = (- ly-^ ^^'^^ •

-By + i-i -B^-i ^ "^ -By + ji-irBi-i'

femer nach der zweiten Fundamentalformel für A ^ 1 '):
so daß sich aus vorstehendem ergibt:

^v+X-l ^l-l

I -B^ + A-l -^Jl-l

J5^«2^A-1

1) Man könnte natürlich auch x>- - — 5" i "^ * schreiben. Im Text ist

nur deshalb % um eine Einheit yerringert, weil sich dann die Formeln des ersten
Kapitels ohne Änderung anwenden lassen.

2) Während die A^ sehr wohl negativ sein können, nämlich für \ <^ 0,
sind die -4.» 1, wenn Z^l, offenbar alle positiv, weil 5,, 6,, ftg, . . . positiv.

§ 12. (Jnendliclie regelmäßige Eettenbrüche. 39

Da aber JB*^ mit X über alle Grenzen wächst, so ist damit die Konver-
genz bewiei&en, und wir können demnach setzen:

[*o; ^i; ^2; • • •] = So-

Weil alle Naherongsbrüche offenbar größer als h^ sind, so ist auch ihr
Grenzwert ^^ ^ hQ. Um nun noch die Irrationalität von |q nachzuweisen^
8ei analog

[^Xf ^2 + 1? ^X + %9 • • • J ^ bZ (^=1>2, 3,...),

wo dann auch Si^^i^ 1 ist. Dann ergibt sich wieder (Regel A, S. 27):
woraus folgt:

■^2-1^2-2 — -^1-2^2-1 (— 0

jy t A -'X-l'^X-i -"i-2-^2-1

■^ji-i5o~ -^2-1 —

^/. - 1

Demnach wird der Ausdruck \B;^_i^— Ä;^_^\ zwar niemals Null,
aber doch mit wachsendem X ganz beliebig klein. Dies wäre aber nicht

möglich, wenn g^^ rational wäre; denn für So ^ 7 yto p,q ganze Zahlen

kann der Ausdruck

nicht unter — sinken, ohne zu yerschwinden.

Da somit 1^ und natürlich auch alle ^^ irrational sind, so kann in
der Ungleichung l^^. ^ ^x Gleichheit nicht bestehen; folglich ist 1^ > 6^.
Daraus folgt nun leicht, daß eine irrationale Zahl 1^ sich nur auf eine
Weise in einen regelmäßigen Eettenbruch entwickeln läßt. Denn wenn

So= U>07 &i; K"']

eine solche Entwicklung ist, und wir setzen wieder

[Ky K+u K+%> • • •] - Sr (v = 1, 2, 3, . . .),

so ist auch |y_i = IK-^u Ky ^r+i; • • •]; woraus folgt

Wegen 5y>6y^l ist also b^_^ die größte in l^_^ enthaltene ganz^
Zahl; daraus wird aber die Eindeutigkeit wörtlich ebenso erschlossen
wie S. 30. Zusammenfassend erhalten wir

Sats 6. Jeder unendliche regelmäßige Kettenbruch Jconvergieri und ist
eine irrationale Zahl, Umgekehrt läßt sidi jede irrationale ZaJU a/uf eine
und nur eine Weise in einen regelmäßigen Kettenbruch entwickln, u/nd
dieser ist notwendig unendlich.

40 Zweites Kapitel.

Hier sei bemerkt; daß bei regelmäßigen Eettenbrüchen die Teil-
neoner h^ auch als uQToUständige Quotienten bezeichnet werden^
während die 1, Yollständige Quotienten heißen.

n. Wir wollen nun noch untersuchen, welcher Ton zwei nicht identi-
schen regelmäßigen Eettenbrüchen den größeren Wert hat. Sei zunächst

ein endlicher Eettenbruch, mit welchem wir den folgenden yergleichen
woUen:

der endlich oder unendlich sein kann. Bezeichnet man die Tollständigen
Quotienten des ersten mit ^^, die des zweiten mit i;,, so ist zunächst

also |^<ij^. Aus den Gleichungen

1 "I

Sn-2 " K-.2 + F ~ ; Vn-2 == *»-2 +

t ; 'in -2 *'»-2 I -, f

6n-l Un-1

folgt dann sukzessive

*n-2 "^ ''?n-2;

wobei die Zeichen > und < alternieren. Die letzte dieser Ungleichungen
lautet lo ^ ^0 ^^®^ 5o<^ Vo9 j® nachdem die Gliederzahl n + 1 gerade
oder ungerade ist. So ergibt sich

Sats 7. Wenn man einem endlichen regdmäßigen Kettenbruch noch
endlich oder tmendlidi viele Glieder cmhängt, so wird dadurch sein Wert
verkleinert oder vergrößert, je nachdem er ursprünglich eine gerade oder
ungerade GliederzaM hatte.

Nunmehr untersuchen wir die beiden Eettenbrüche

§0 ™ L^o> ^19 ' • •; K-i) K) ' ' '\f

wobei c^ > b^ sein möge. Wenn dann etwa

So"- [K K • • •; K-u Ky 1]; ^o=" [^7 K • • •; K-^u K+ 1]

ist, so wissen wir aus §9 (Formel (11)), daß lo^'^o ^s*5 diesen Fall
schließen wir jetzt aus. Sind wieder g,, ri^ die Tollständigen Quotienten^
so ist zunächst

§1 12. Unendliche regelmäßige Eettenbiüche. 41

also ist 1}^ ^ ^, und zwar tritt Gleichheit offenbar nur in dem aus-
geschlossenen Fall ein. In Wahrheit ist daher rj^ > |^^ und daraus folgt
genau wie vorhin, daß So > ^o ^^®^ lo < Vo) j® nachdem n + 1 gerade
oder ungerade ist. Dies führt zu

Satz 8. Wenn zwei nickt identische regelmäßige Kettenbrüche sich
nur in der Weise voneinander unterscheiden, daß sie von der Gestalt

[6o, &i, . . ., ft„-i; \, 1], [6o; Ky • • •; ^n-i? K+ 1]
sindy so haben sie den gleichen Wert. In jedetn anderen FaU haben sie
voneinander verschiedene Werte, und gwar ist, wenn n(^0) die AniscM
der gemeinsamen Anfangsdemente bedeutet, derjenige der größere, welcher
bei geradem (ungeradem) n den größeren (kleineren) n^ Teünenner hat.

Hieraus folgt dann insbesondere noch, daß ein regelmäßiger Eetten-
bruch größer wird, wenn man einen der Teilnenner b^, b^, b^, . . . yer-
größert oder einen der Teilnenner b^, b^, b^, , . . verkleinert. Weiter er-
gibt sich

Satz 9. Wenn die regelmäßigen Kettenbrüche für die Zahlen rj^, g^
in den n ersten Gliedern übereinstimmen, so beginnt der Kettenbruch für
jede ztvischen rj^, und ^ gelegene Zahl |o ebenfalls mit diesen n Gliedern.
Das nädiste Glied muß zwischen den zwei entsprechenden Gliedern von
% unc^ io liegen, die Grenzen eingeschlossen.

Wäre es nämlich anders, so müßte nach Satz 8 die Zahl |q ent-
weder größer als jede der Zahlen rjQ, ^ oder kleiner als rj^, (q sein; sie
würde also nicht zwischen beiden liegen. Satz 9 ist von Wichtigkeit^
wenn es sich darum handelt, eine Zahl ^, von der nur einige Dezimal-
stellen bekannt sind, in einen regelmäßigen Eettenbruch zu entwickeln.
Denn durch den Dezimalbruch sind zwei rationale Zahlen bekannt,
zwischen denen g^ ^^S^] wenn man diese in Eettenbrüche entwickelt,
und sie stimmen in den ersten n Gliedern überein, so beginnt auch die
Kettenbruchentwicklung für g^ mit diesen n Gliedern. Natürlich wird
man, um unnötige Rechnung zu vermeiden, beide rationale Zahlen
gleichzeitig entwickeln und die Rechnung beenden, sobald sich in beiden
eine Abweichung ergibt.

Zum Beispiel gelten für die Ludolphsche Zahl Jt die Ungleichungen

3,14169265358 <üt< 3,14159265359.
Nun findet man

3,14159266358 - [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 1, . . .]
3,14159265359 « [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, . . .].

Da diese beiden Eettenbrüche in den acht ersten Gliedern übereinstimmen^
80 ist auch

7t - [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, . . .]

42 Zweites Kapitel.

und zugleich ersieht man, daß der nächste Teilnenner nur 1 oder 2 sein
kann. Bei Berücksichtigung yon mehr Dezimalstellen findet man in der
Tat 2 als nächsten Teilnenner.^)

§ 13. Das N&herungsgesetz. Kriterium dafttr^ daß ein Bruch

NSherungsbruch ist«

L Sei wieder |^ irrational oder rational gebrochen, und

(2) 5^=[^> K+iy *r+2;---l

und zwar soll; wenn ^ rational ist, diejenige Eettenbruchentwicklung
gemeint sein^ deren letzter Teilnenner größer als 1 ist, so daß für i^^l
stets §y > 1 ist. Aus der schon oft benutzten Oleichung

findet man

Wäre nun die Unke Klammer Null, so müßte auch die rechte ver-
schwindien, und folglich wäre A^^^B^^^— A^_^B^_^^0, während
dieser Ausdruck doch (— 1)" ist. Es ist also B^^^^^— Ä^__^ + 0, und
folglich erhält man

•"y— 1 »0 V— 1

Wegen g,,> 1 ergibt sich hieraus, daß die Zahlen jB^Iq— A^ mit wach-
sendem V ihrem absoluten Wert nach abnehmen, aber im Vorzeichen
alternieren, und zwar hat BJi^— A^ das Zeichen (— 1)", weil dies ja
für 1/ = 0 der Fall ist. Daher werden a fortiori auch die Zahlen

Iq — ^ absolut abnehmen und das Vorzeichen (— 1)" haben. Dies be-

sagt, daß jeder folgende Näherungsbruch näher an Iq liegt als ein vor-
ausgehender, und daß die Näherungsbrüche gerader Ordnung alle kleiner,
die ungerader Ordnung alle größer als i^ sind. Es gelten also die Un-
gleichungen

1) Das allgemeine Bildungdgesetz der Teilnenner von n ist nicht bekannt.
<7. WoiXlis 2a hat unter Benutzung yon 36 Dezimalstellen das Resultat erlangt:

% = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2,

2, 1, 84, 2, 1, 1, 16, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 1,...],

woraus keinerlei Gesetzmäßigkeit zu erkennen ist. Ein vom 26. unvollständigen
Quotienten an abweichendes Resultat erzielte Lambert Ib; doch ist die WalliS"
sehe Rechnung zweifellos die richtigere. (Vgl. auch die Fußnote S. 62.)

§ 18. Das Nftherongsgesetz.

43

(5)
<6)

i

|^<"^ <t*<

<

5«-

B

»-1

■B. ^-B*

^ 6o ^ ^ B, "^ B, ^ B,

Um den Grad der Aniüherang genauer zu ermitteln, greifen wir
auf die obige Formel (3) zurflck; aus dieser ergibt sieb

0) 5o-

A

y-l

^y_ 8 J9y_ 1 — -4y_ j B^_

(-1)

y-l

J?

y- 1 -^r- 1 (-^y- 1 Sy + -Br- s) -ß»- 1 (-^r- 1 Sr + -^r- 2)

Wegen ^ ^ 6, folgt hieraus zunächst

<8)

lo-

>-l

wobei Gleichheit dann und nur dann statthat, wenn i^ der letzte TeU-
nenner ist; daher auf jeden Fall:

<9)

lo-

B

<

v-l

B »

Des kürzeren Ausdrucks halber definieren wir nun: Unter dem Nähe-
rungsbruch (-Zähler y -Nenner) t/**'" Ordnung einer Zahl So versteht
tnan den betreffenden Näherungsbruch (-ZäMer, -Nenner) des regelmäßigen
Kätenbruchs, in den sich ^ entwickeln läßt; ist 1^ rational, so ist dabei
derjenige Kettenbruch gemeint, dessen letzter Teünenner größer ais 1 ist.
Die Ungleichungen (8), (9) lassen sich jetzt so aussprechen:

Satz 10 (Näherungsgeseiz): Die Näherungsbrüche einer Zahl 1^ ap-
proximieren den wahren Wert 1^ mit einer solchen Genauigkeit, daß der
Fehler Meiner ist als der reziproke Wert vom Quadrat des NäJterungs-
nenners, ja sogar Meiner oder gleich^) dem reziproken Wert vom Produkt
des Nätierungsnenners und des folgenden Näherungsnenners. (Lagrange 7.)

Multipliziert man (8), (9) mit B^_^, so entstehen unter Berück-
sichtigung des Vorzeichens die Formeln

d

(10)
(11)

B,^xio-^.-i=^(-ir^

5.-ii(

d'

v-l

(- 1)'-^ R -

0<d^l

0<<5'<1;

V-l

in dieser Oestalt werden wir das Näherungsgesetz auch häufig anwen-
den. Man kann nun ebenso auch eine untere Grenze für den Fehler
angeben. Da nämlich Sr < *r + 1 ^^^9 ^^ ^^^^

5.- J.+ B,_, < B,_,{b^+ 1) + B,^, = B^+ jB,.i,

1) Gleich dann und nur dann, wenn es sich um den vorletzten Nähe-
rungsbrach einer rationalen Zahl handelt.

44 Zweites Kapitel,

und folglich nach (7):

(12)

A-i

V— 1

> B,_,^B, + B^_,) • (Lagrangel).

II. Ist Iq eine nicht ganze Zahl, und — ein irreduzibler Bruch mit

positivem Nenner, so kann — nach Satz 10 nur dann ein Näherungs-

brach von ^q sein, wenn 1^ — - < ^ is^^* Diese notwendige Bedin-
gung ist jedoch nicht hinreichend, um eine notwendige und hinreichende
zu finden, setzen wir

(13) ^-J-V'

wobei 0 < -9' < 1, und e eine der Zahlen ± 1 ist. Wir entwickeln dann

— in einen regelmäßigen Eettenbruch

so daß p='Ä„_i, g^JB^^i wird, und also die Gleichung (13) die
Form annimmt .

n — 1 "*'» — 1

Da wir die öliederzahl nach Belieben gerade oder ungerade wählen
können, so wollen wir es so einrichten, daß

(-l)n-l=f

wird. Definieren wir nun eine Zahl w durch die Gleichung
so wird

— So— - -

KU *' K-1 ^n-l(^n-l«^ + ^n-2) ^« -l(^n- 1«' + ^n- 2)

Daher auch

oder nach w aufgelöst

nß\ .« -^n-l — *^n-2

(16) w = ^5—

Wegen 0 < -&■ < 1 ist also w positiv. Nun ist aber Gleichung (14)
gleichbedeutend mit

1) Dei Bruch ^ ^ hat hier also nicht die Bedeutung eines Nähernngsbruchs
von £q. Ob oder wann er doch ein solcher ist, soll gerade untersucht werden.

§ 13. Kriterium für Nfthenmgsbrüche. 45

Wenn daher u? > 1, so läßt sich w in einen regelmäßigen Eettenbruch

entwickeln^ bei welchem \^'i- ist. Daraus folgt aber nach der Regel A
auf S. 27

und folglich ist — = »~~ ^^ Näherungsbruch von |^; es ist eben tv

» «— 1

in diesem FaU nichts anderes wie der vollständige Quotient |„. Wenn
dagegen ti; ^ 1, so ist immerhin w positiv, und folglich

Entwickelt man daher die Zahl b^_i-\ in einen regelmäßigen Ketten-
bruch, so hat dieser die Form

wobei c ^ 1 ist. In Verbindung mit der Gleichung

5o=[*of hj-'-y *.-u «^] = [*o; ^>--;^-2> *n-l +

ergibt sich daher jetzt die regelmäßige Kettenbruchentwicklung von ^
in der Gestalt

Der Näherungsbruch (n— 2)'*' und (w— 1)*®' Ordnung von So sind daher jetzt

^n-l' ^n.l+C^n-2'

und folglich kann — = *~^ , da der Nenner zwischen den zwei vor-

» n— 1

stehenden liegt, kein Näherungsbruch sein. Die notwendige und hin-
reichende Bedingung dafür, daß ^ ein Nähemngshruch von ^ ist, lautet
daher: i€>l, was nach (15) gleichbedeutend ist mit

^n-l+ ^n-2

Von dieser Bedingung, die Legendre 3 angegeben hat, bemerken
wir einen Spezialfall. Sie ist nämlich wegen -Bn_2^-^«-i gö^iß er-
füllt, wenn -ö* < ^ is*- Dies ergibt

SatB 11. Wenn ein rationaler Bruch — die Eigenschaft hat, daß

2
< — 1 isty so ist er einem Näherungshruch von So gleich.

46 Zweites Kapitel.

Man bemerke, daß hierbei — nicht irreduzibel vorausgesetzt wer-
den muß. Denn wenn - sich noch reduzieren läßt, so ist für den re-

drrzierten Bruch die analoge Ungleichung erst recht erfüllt, so daß die-
ser ein Näherungsbmch ist. Wir wollen nun als Anwendung des allge-
meinen LegendreBchen Kriteriums noch den folgenden Satz beweisen^
der uns bald gute Dienste leisten wird.

SatB 12. Wenn die positiven ganzen Zahlen p, q der Ungleichung
\P^ "~ lo*2* ! < So Q^viügen, so ist der Bruch — einem Näherungsbruch von

Beim Beweis können wir uns offenbar wieder auf relativ prime p, q
beschränken. Setzen wir dann

(17) loV-i»*-««!«, 0<Ö<1, c = ±l,

SO ist

(18) ^'^^-^-uh'

und also, wenn man dies mit (13) vergleicht,

£o2 + P So^n-l+^n-l

Es ist daher nach dem Legendreschen Kriterium nur zu beweisen,
daß die Ungleichung

besteht, oder, was dasselbe ist:

Diese ist aber, wenn etwa w == 1 sein sollte, wegen ö < 1 gewiß erfüllt.
Ist dagegen n > 1, so zeigen wir, daß sogar die stärkere Ungleichung

besteht. In der Tat, subtrahiert man hiervon Gleichung (18) und divi-
diert dann durch ^, so kommt, weil p = ^„^i, q = -^«-i ist:

Da aber n so gewählt werden sollte, daß (— 1)""^= « wird, so ist diese
Ungleichimg, falls n==2 ist, gewiß erfüllt; ebenso aber auch für n>2,
weil dann stets B„_i ^^n-2+ ^ ^^^' Damit ist Satz 12 vollständig
bewiesen.

§ 13. £[riterium füi N&herungsbrucbe. 47

ni. Hierher gehört auch noch
SatB 18. Wenn die Gleichung

^ Qw + S

bestehty too to> 1, und wo P, Q, R, S ganze Zahlen sind, die den Be-
dingungen

PS-QR^±1, Q>S>0

j> jp
genügen, so sind -^ , -q zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrücke von

Iq, und w ist der eugeMrige vollständige Quotient.

Beweis. Zunächst bemerke man^ daß P und Q wegen der Glei-
chung PS — QR^ ±1 relativ prim sind; ferner ist Q^ 0 voraus-

jP . .

gesetzt. Entwickelt man daher ^ in einen regelmäßigen Eettenbruch

so ist P=»-4^_i, ö = JB^_i. Dabei möge die Qliederzahl derart ge-
wählt werden, daß

A,_,8-B,_,B - PS - ^ü = ± 1 = (- 1)-«
wird. Durch Subtraktion der Gleichung

A-i^.-i-5._i^_,=(-i)»-»

erhält man dann

A-x (S - B„_,) = B,_,{E - A,_,).

Da -4^_i und B^_^ relativ prim sind, so muß also S — B^_^ durch
B^_i teilbar sein; aber B^^^ ist nicht größer wie B^^^f S nach Vor-
aussetzung sogar kleiner wie Q^B^^y Daher ist die Zahl |iS— JB^.^t
kleiner wie ihr Teiler 5^_i, also 8 — B^_^^0] folglich auch

Die Gleichung unseres Satzes läßt sich demnach so schreiben:

^ n — 1 • n — a

^"" ^« 1 ^^K 9'

n — X n — «

und dies besagt soviel wie

Wegen w> 1 beginnt daher die regelmäßige Eettenbruchentwicklung
von ^ mit den unvollständigen Quotienten &o> ^j? * * v ^n-i* I^^her sind

in der Tat jf^~ 9 jj-~ - , das heißt aber ^ , y. aufeinanderfolgende

Näherungsbrüche von 1^, und außerdem ist w nichts anderes als der
vollständige Quotient ^. W. z. b. w.

48

Zweites Kapitel.

§ 14. Approximation durch rationale Brfiehe.

I. Nach dem Näherungsgesetz hat jeder Näherungsbrach -^ einer

Zahl Ig die Eigenschaft, daß

60-

^ w 2

ist. Man kann aber noch weit bessere Approximationen nachweisen.
Ein erstes Theorem dieser Art ist

SatB 14. Von zwei aufeinanderfolgenden Näherungshrüchen einer
Zahl ^ hat mindestens einer die Eigenschaft, daß

§0^ w" <

2BJ

ist; insbesondere gibt es also bei irrationalem 1^ unendlicli viele Brüche
dieser Art. (VaÜen 1.)

Zum Beweis nehmen wir an, es sei im Gegenteil für einen ge-
wissen Wert von v(^0):

lo-«-^

2B 8'

V

> + l

2-B4l'

daraus folgt durch Addition

^—w\ +

B

V I

u-

1 1

A A

Nun liegt aber nach § 13, 1 g^ zwischen -^ und w^^; also haben die

A A

Zahlen So "^ W" ^^^ ~Tf~^~ "~ So gleiches Zeichen (die letztere kann even-

tuell auch Null sein), und es ist

L-

B.

+

-D^ + l I I \ -°V ^-°V+ 1 ^

A.

«,«.+ 1'

80 daß die letzte Ungleichung soviel besagt wie

oder also

B,B,^.^2B/ + "2B,«\'

-Ki-^T^^-

§ 14. Approximation durch rationale Brüche. 49

Dies ist aber f ür v > 0 nicht möglich, weil dann stets B^^^ > J5y ist.
Für V = 0 dagegen liegt nur dann keine Unmöglichkeit vor, wenn
hi=l ist, und in allen Ungleichungen das Gleichheitszeichen gilt. Aus

der allerersten folgt dann aber insbesondere So "^ ^o "= Y ' *^®^ ^^^^
Ji=^ 1 sein muß:

t _j 4.114.11.

Aber dann ist ^ gar nicht als Näherungs brach von ^ anzusehen (siehe

die Definition Seite 43). Somit ist Satz 14 vollständig bewiesen.

n. Die Frage, ob noch bessere Approximationen möglich sind,
wird beantwortet durch

Sats 15. Van drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen einer
Zahl lo ^^ mindestens einer die Eigenschaft^ daß

So B^

<

ist; insbesondere gibt es also bei irra;tionalem ^q unendlich viele Brüche
dieser Art.

Dagegen gibt es irrationale Zahlen S^, für welche die Ungleichung

So s

<-

v)ewn c eine Zahl größer afe ^5 bedeutet , nicht mehr durch unendlich
aide rationale Brüche ^ befriedigt werden kann.

Daß schon von drei sukzessiven Näherungsbrüchen mindestens einer
die angegebene Eigenschaft hat, wurde erst von Bord 1 bemerkt; im
übrigen stammt der Satz von Hu/rwitz 2. Beim Beweis gehen wir aus
von der schon oft benutzten Formel

y Ay-l 1 1

(1) 1-0 B,^, B,^,(B,^J,+ B,_,) B^l/t.l

-0.+fe)'

der zafolge der erste Teil xmseres Satzes bewiesen sein wird, sobald wir
zeigen können, daß fQr drei aufeinanderfolgende positiTe v- Werte min-
destens einmal die Ungleichung

-Dy- 1

besteht. Setzt man also zur Abkürzung

(2) i^-"P. (v=l,2,3,...),

Perron, Eettenbrflohe. 4

50

Zweites Kapitel.

80 ist nachzuweisen, daß f&r jeden positiven Index X mindestens eine
der drei Zahlen

(3) h + 9>i} S2+1 + <Px+iy ix+i + ^l+%

größer als Yb ausfallt. Nun ist aber fftr v > 0

(4)

Sy + l

(5)

also auch

1 *' J 1 *'-»

(6)

t+9r-t +-

= K+ 9,1

(y > 0).

Nehmen wir daher an, die drei Zahlen (3) seien im Gegenteil sämtlieh
nicht größer als Yb, so können wir dies folgendermaßen schreiben:

(7)

^2 + 1 ^2 + 1

^2 + 2 ^2 + 2

^ ix+% + 92 + 2 - -t + —— < /5,

^2+8 ^2+«

woraus insbesondere auch durch Addition folgt:

(8)

^2 + 1

Nun lehrt aber die Gleichung (5), daß für zwei aufeinanderfolgende

positive V- Werte mindestens einmal g)^ < -^— ^ — ist. Wäre nämlich im
Gegenteil

^1/6-1 t/6 — 1

9v^ 2 ^ 9^v+i^ — ^2 — '

also auch

9

- <

V6 + 1

>/6— 1

SO würde hieraus, weil wegen der Rationalität von g>^^i Gleichheit aus-
zuschließen ist, folgen

9

»"+1

§ 14. Approximation durch rationale Brüche. 51

also 6, < 1 , was nicht sein kann. Es ist daher auch von den beiden

Zahlen qp;+i, SPx+i mindestens eine kleiner als — -; wir schreiben
etwa

(9) 9..,<%-,

WO also i eine bestimmte der Zahlen 1 oder 2 bedeutet. Da die Funktion

X -\ f&rO<a;<l monoton abnimmt (ihr Differentialquotient ist

negativ), so folgt aus (9):

(10) ^,,,+ ^>>^-l + -^ = /5.
Anderseits ist nach (7) und (9):

woraus wieder wegen der Monotonie der Funktion x -\ — folgt:

(») ITT, + «a« > '^Pi + pjCT - l^-

Addiert man jetzt die Ungleichungen (10) und (11)^ so kommt

was aber^ da % eine der Zahlen 1, 2 bedeutet, mit (8) im Widerspruch
steht. Damit ist unsere Annahme widerlegt^ und somit der erste Teil
Yon Satz 15 bewiesen.

Für den zweiten Teil betrachten wir speziell die Zahl

So** Ll> 1; 1; • • "J;

wo alle Teilnenner gleich 1 sind. Um zunächst den Wert dieses Eetten-
bmches zu berechnen, bedenke man, daß auch

ist. Wegen der Beziehung ^ = 1 + ^ erweist sich also |^ als eine
Wurzel der Gleichung x = \ + - y und da Sq positiv ist, muB daher

«0— 2

A

sein. Nimmt man nun an, es gäbe unendlich viele rationale Brüche -^ ,
für welche

i-^ < ^

»0 5 ^ cB'

52 Zweites Kapitel.

ausfällt^ wo c> Yb, also erst recht c> 2 ist^ so müssen nach Satz 11

diese ^ Naherungsbrüche von 5o sö^^- Setzt man aber -=- = ^^^ , so

ist wieder

1

So— 5

^v-l

und dies j^t nur dann kleiner als - -^— q- aus, wenn

wird. Diese Ungleichung müßte also für unendlich viele Wette von v
bestehen. Nun ist aber

wahrend sich die Zahl

1^ - [1, 1, 1, • • • 1, 1] (y-l Einser)')
beliebig wenig von

2

B

unterscheidet^ wenn nur v genügend groß. Daher liegt die Zahl |^ +

1-2

B

r- 1

für hinreichend große v beliebig nahe bei — J^ — h -7- =* V^ö, kann

also gewiß nicht größer als c sein. Somit ist auch der zweite Teil von
Satz 15 bewiesen. Übrigens sieht man leicht ein, daß dieser zweite Teil

nicht nur für die eine Zahl ^ = ^ *" gilt, sondern für jeden regel-
mäßigen Kettenbruch, dessen Teilnenner von einer gewissen Stelle
an alle gleich 1 sind.

§ 15. Das Gesetz der besten Näherung.

Lagrange 7 hat folgenden Satz bewiesen:

Satz 16. Ist -^ {v'^V) der Näfierungsbrueh v^ Ordnung von |q,

V

und ^ ein von -^ verschiedener Bruch, hei dem 0<iQ^B^ ist, so wird
stets

1) Nach § 11, Formel (8).

§ 16-. Das Gesetz der besten Nähemng. 53

Beweis (nach Legendre 3). Es ist identisch

(1) «lo- -P = m^bx-ä;) + jr(B,_,io- ^,_o,

wenn die Zahlen Jf, N aus den zwei Gleichungen

berechnet werden. Da Ä^B^_^'- Ä^_j^B^=- ± 1 ist, so ergeben sich
Mf N hieraus als ganze Zahlen. Wäre etwa N=0, so hätte man

P = MÄ^f Q = MB^, also V) = ß-; gegöii die Voraussetzung; es ist

daher iV+0. Femer muß M entweder Null oder von entgegengesetztem
Zeichen sein wie N, weil sonst wegen v ^ 1 aus (2) Q> B^ folgen
würde, wieder gegen die Voraussetzung. Daraus ergibt sich, daß die
beiden Summanden auf der rechten Seite von (1) gleiches Zeichen
haben, weil ja die zwei Klammergrößen nach § 13, 1 ebenfalls von ent-
gegengesetztem Zeichen sind. Es folgt daher aus (1)

1 ölo- -P I = I Jf(B,lo- A) I + I N{B^-xU- A-x) I,
und somit, weil N eine von Null verschiedene ganze Zahl ist:

Hiermit ist der Satz bewiesen; denn daß stets

ist, wurde schon in § 13, 1 gezeigt.^) Aus Satz 16 ergibt sich nun eine
wichtige, die Näherungsbrüche völlig charakterisierende Eigenschaft,
die wir folgendermaßen aussprechen.

SatB 17. Wenn der irreduztble Bruch ^ ein Näherungshruch min-

destens erster Ordnung von ^^ ist, so gibt es keinen von ^ verschiedenen

Bruch -^ , für den \ Qio— P\^\ B^q— A \ und zugleich Q^B wäre.

Wenn dagegen ^ kein Ncäierungsbruch von So ist, so gibt es einen von

^ verschiedenen Bruch ^ , für den \ Qi^ — P | ^ | Bi^ — A \ und zugleich
Q^B, im FaU B>1 sogar Q<B ist {Lagrange 7.)

1) Zwar kann nach Formel (4) des § 18 auch

sein; aber nnr, wenn ^^^i = 1 ist, wenn also der Kettenbmch die Form hat

A^
£^ s» [&^, 5|, . . ., 5y, 1]. Dann ist aber -^ kein Näherungsbruch von |q (siehe

die Definition Seite 43), so daß Satz 16 durch diese Ausnahme nicht berührt wird.

54 Zweites Kapitel.

Beweis. Der erste Teil dieses Satzes ist schon durch Satz 16 er-
ledigt. Was den zweiten Teil betrifft^ so erkennt man leicht^ daß für

B ^ 1 der Bruch n "^ ? ^^^^^ ^^^ Verlangte leistet. In dem ungleich

wichtigeren Fall JB> 1 sei B^ der erste Näherungsnenner, welcher
nicht kleiner als B ist^), also

B,_,<B<,B^,

Dann ist B < B^, und außerdem, weil ^ kein Näherungsbruch ist, ge-

wiß = von T^ verschieden. Nach Satz 16 ist daher
B B^

P -^v - 1

Da zugleich B^_i< B ist, so hat also der Bruch -^ =» = die behaup-

tete Eigenschaft.

In Satz 17 ist über den Näherungsbruch ^- nichts ausgesagt. Für

diesen erkennt man leicht, daß ein Bruch ^ mit den angegebenen Eigen-
schaften existiert oder nicht existiert, je nachdem 6^ === 1 oder fe^ > 1
ist. Für 6i = 1 leistet nämlich der Bruch ts ==* 5^ ^ö-s Verlangte. Hier-
an schließen wir die

Definition. Ein Bruch -^ Jieißt eine ,fieste Näherung von i^y

wenn jeder afhdre Brudi, der naher oder ebenso nahe an 5q liegt als ^,
notwendig einen größeren Nenner haben muß.

Von größter Wichtigkeit ist nun

SatB 18. Die Näherungsbriiehe einer Zahl |q sind von der ersten
Ordnung an „beste Näherungen". Der Näherungsbruch nuUter Ordnung
ist eine „beste NäJierung" oder nicht, je nachdem der Teünenner b^ größer
als 1 oder gleich 1 ist

Beweis. Für die nullte Ordnung erkennt man ohne weiteres die
Richtigkeit des Satzes. Für höhere Ordnungen aber nehmen wir an, es

sei etwa ^ keine beste Näherung. Dann muß es ex deiinitione einen

B

V

-4,. , p

von rT verschiedenen Bruch ^ geben, für welchen

1) Der Fall, daß alle Käherungsnenner kleiner als B sind, ist ganz trivial.
Daan ist ja der Eettenbruch endlich, und der letzte Näberungsbrach -=/^ leistet
das Verlangte, indem B„^ — Af^=^ 0 ist.

§ 16. Nebenn&henmgsbrüche. 55

P

So-

<

So — R- ? Q^^V}

Q
also durch Mnltiplikation auch

ist. Dies widerspricht aber dem Satz 16; also muß^ in der Tat eine

Übrigens ist diese Eigenschaft im Gegensatz zu der weitergehenden
Eigenschaft, welche in Satz 17 ausgesprochen wurde, keineswegs charak-
teristisch für die Näherungsbrüche. Vielmehr werden wir im nächsten
Paragraphen noch andere Brüche kennen lernen, welche ebenfalls beste
Näherungen sind. Das Gesetz der besten Näherung (Satz 18) war im
wesentlichen schon Daniel Schwenter 1 bekannt. Später kommt es bei
Wallis 2 a und namentlich bei Huygens 1 vor, welch letzterer es auch
praktisch anwandte, worüber näheres im folgenden Paragraphen.

§ 16. NebennähernngsbrUche.

I. Als „Nebennäherungsbrüche^^ oder „eingeschaltete
Brüche^' bezeichnet man die Zahlen

^^^ B^_,+ B,^,^ 25.-1 +^v-2''"H^- 1)^.-1 +^v-2'

die dem Wert v = 0 entsprechenden y? T ' ' * ' ~^~1 — ^oUen wir je-
doch nicht zu den Nebennäherungsbrüchen rechnen; wir denken uns
also V ^ 1. Wegen der Identität

sind auch Zähler und Nenner von Nebennäherungsbrüchen relativ prim.
Wir wollen jetzt die seither als Näherungsbrüche bezeichneten Zahlen
der Deutlichkeit halber „Hauptnäherungsbrüche^^ nennen und mit dem
Wort „Näherung'^ die Haupt- und Nebennäherungsbrüche zusammen-
fassen. Als Näherung in diesem Sinn gilt daher jede Zahl von der Form

(c^0,l,-,6,;v^l),

wobei lediglich der für v = 1, c = 0 entstehende uneigentliche Bruch

^-1 1

■g — = -^ auszunehmen ist.

Die Brüche (1) liegen alle zwischen

56

Zweites Kapitel.

Ä A

also zwischen ^-~- und -^y und zwar nähern sie sich in der ange-

y — 8 V

A^ A.

schriebenen Reihenfolge bestandig dem Wert ■^. Da aber -^ — und

A

>-«

^ auf der gleichen Seite von ^ liegen, so liegen auch die Zahlen (1)

V

auf dieser Seite. Man wird also alle Näherungen, die kleiner als ^ sind,

der Reihe nach erhalten, wenn man zwischen W^ , ^ , ^ , • • • noch die

betreffenden Nebennäherungsbrüche einschaltet. So entsteht die fol-
gende Reihe von Näherungen:

(2)

[Ä^ A + A, 2A_+A b,A, + A^_A, A+A 2^ + ^

JB.' B, + B,> 2B, + 'S,'''b,B,+ B, B,> B, + B,' '2B, + B,''

tuA+_Ä^^:^ A + A 2A+A bS+.A^A A + A

[b,B, + B, B,> B, + B,'2B, + B,''>b,B, + B; B\>B, + B^'

Die Reihe dieser Brüche nähert sich wachsend dem Wert l,. Analog
ergeben sich die Nihemngen, welche größer als 1, sind:

(3)

B. + B~ ' 85, + iL. ' ■ ■' &i 5, + B_i B, ' B. + B; ' 2B. + B. '
6,^ + ^. A ^4 + ^ 2^, + ^ \Aj,-\-A, A, A + A,

lb,B, + B, B,'B« + JB,'2B. + B.' 'ft.B.+ B, B,'B, + B,'

diese nähern sich abnehmend dem Wert %^. Man bemerke, daß beide
Zahlenreihen auch nach wachsendem Nenner geordnet sind und daß
beide mit Brüchen beginnen, deren Nenner gleich 1 ist. Man sieht
weiter, daß von den beiden Näherungen

i^ und "^'-^ + "*'-*

>-l

««v-l+^»-

2

(O^c^ft,)

stets eine der Serie (2), die andere der Serie (3) angehört; sie schließen
also den Wert |q ein, und daher sind die Zahlen

(4)

l

B

v-l

,So-

cB,_,+ 5,_/

wo c einen beliebigen der Werte 0, 1, . . ., h^ bedeutet, von entgegenge-
setzten Vorzeichen.

Nun sei ^ ein Bruch, der näher oder ebenso nahe an So (aber even-

tuell auf der andern Seite) liegt wie eine gewisse Näherung; also

6o § ^> cB,._i+B,_,

I

§ 16. Nebenn&hetnngsbiflche.

57

Darans folgt dann

<

lo-

'r-l

B

+

r — 1

lo-

'y-l

B.

+ ISo-

^1

cB^^,+ B^_,
cB.

letzteres^ weil ja die beiden ElammergröBen von entgegengesetztem Vor-
zeichen sind. Hier kann nicht beidemal Gleichheit eintreten. Denn beim

P -^ — 1

erstenmal müßte 1^ zwischen-^ und j.- — liegen; beim zweitenmal aber

müßte -jr ebenso nahe an 5o liegen wie j^~^ , J^'^ , also auf der an-
dem Seite, und folglich auf der gleichen Seite wie ^f^- • Es ist also

schließlich
PÄ

'v-l

y-1

<

CA , 4- J.

2

V — l

cB^.t+^r-

5,_i(cB,_x + £,_,)'

oder, indem man mit QBy_i multipliziert,

Q

verschieden; so ist | P£^_i — Q-^v-i I ®^^

Wenn nun ^ von = —

positive ganze Zahl^ also mindestens gleich 1, und aus der letzten

Ungleichung folgt daher Q> cB^_^ + B^_^. Ist aber q = ^ — , so

darf man diesen Schluß nicht ziehen; somit ergibt sich

8st8 19. Jeder BrtAch, der näfier oder ebenso nahe an ^ liegt als
die stoischen die Näherungsbrüche (v — 2)*^ und u^ Ordnung eingeschaltete
Näherung

cA„_i + ^,_

2

hat einen größeren Nenner als diese; eine Ausnahme lüdet allenfalls der

Näherungsbruch (v — l)*^ Ordnung >> {Bruno 1.)

Da die Zahlen (4) von entgegengesetztem Zeichen sind, so kann

r-l

niemals zwischen |q und

daher zu schließen:

C-^v-l + A-2

<^-Bv-r+X-2

liegen; aus Satz 19 ist

58 Zweites Kapitel.

SatB 20. Jeder Bruch, der zwischen 1^ und einem Haupt- oder
Nebennaherungsbruch liegt, hcU einen größeren Nenner als dieser, {La-
grange 7.)

Für die Hauptnäherungsbrüche ist diese Tatsache übrigens auch
schon in Satz 18 enthalten. Von größter Wichtigkeit ist nun der Um-
stand^ daß die in Satz 20 angegebene Eigenschaft die ^^Näherungen'^
yöUig charakterisiert. Wir beweisen nämlich jetzt die ümkehrung von

Satz 20:

P
Sats 21. Wenn ein Bruch -^ von der Art ist, daß jeder ztcischen

lo und -^ fallende Bruch einen Nenner Itont, der größer als Q, dann ist

-g- einem Haupt- oder Nebennäherungsbruch von ^ gleich.

Beweis. Wenn -^ keiner Näherung gleich ist, also weder der

p
Serie (2) noch (3) angehört, so sind zunächst die Fälle -g- < 6o ^^^

-^ > ^Q zu unterscheiden. Für -^ < So ^^^ ~q entweder zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Brüchen der Serie (2) liegen, oder aber kleiner

P JL p P

als der erste sein: 77 < 9^ • Für -^ > S^ dagegen muß -tt entweder
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Brüchen der Serie (3) liegen, oder
aber größer als der erste sein: -^ > -^~^-^' Wenn nun eine der Un-
gleichungen ' "' .

Z<^«^ oder Z > .4> + A- ^ M-_i

P

vorliegt, so gibt es einen zwischen ^ und -^ liegenden Bruch mit dem

Nenner 1, nämlich ^ ^^w. -^f— -; daher erfüllt -^ nicht die Voraus-

p

Setzung von Satz 21. Wenn dagegen -^ zwischen zwei Zahlen der

Reihe (2) oder der Reihe (3) fällt, so gelten im ersten Fall die Un-
gleichungen

für ein gewisses v und c, im zweiten die entgegengesetzten. Beidemal
liegt also einerseits der Bruch "ö^StV"" zwischen lo ^^^ 'q \ *n-
derseits ist aber auch

^^Q (c ~ 1) 2?,_i 4- b;_^ , ^ ; cB^^^ + £,:_, (c -^ 1) <_V+ B,l, :

1

(c^,_i + £,_,)((c-i)£,^, + B.^^y

§ 16. Nebennäherangsbrücbe. 59

also, indem man mit Q((ß—'l)B^_i + B^_^) multipliziert:
0 < lP((c - 1)B,_, + ^,_,) - Q{{c - 1)A,_, + A,_,)\ < ^^- -^-^___^ .

Hieraus folgt wieder, da das Mittelglied als positive ganze Zahl min-
destens gleich 1 ist:

Der zwischen ^ und -^ gelegene Bruch ^~—~±rw~~ ^** ^^^ einen

P
Nenner kleiner als Q. Daher erfüllt -^ wieder nicht unsere Voraus-
setzung, womit Satz 21 bewiesen ist.^)

U. Aus Satz 21 ergibt sich nun, daß insbesondere jeder Bruch, der
eine „beste Näherung^^ ist, ein Haupt* oder Nebennäherungsbruch sein
muß. Die Hauptnäherungsbrüche sind nach Satz 18 auch wirklich beste
Näherungen (wenigstens von der ersten Ordnung an); wir untersuchen
jetzt noch, inwieweit auch die Nebennäherungsbrüche das gleiche leisten.
Dazu gibt Satz 19 uns die Mittel in die Hand. Dieser lehrt nämlich, daß

der Nebennäherungsbruch j^" j^ J^" dann und nur dann eine beste

Näherung sein wird, wenn er näher bei |q liegt als der Bruch ^-^^ ,

wenn also

A.

«0 cB~'_, + B,~^ ^

6o-

ist. Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit

da aber nach der allgemein gültigen Formel (4) des § 13

^1-2^^0 — -^v-2 _ t

ist^ so besagt dies soviel wie
•oder also

1) Die Sätze 20 und 21 werden sehr hübsch durch die Kl einschen Umriß-
polygone Teranschanliüht; indes wollen wir auf diese geometrische Interpretation
der regelmäßigen Eettenbrüche, welche yon der allgemeinen Theorie ziemlich
abseits steht, nicht eingehen. Man vergleiche die Note Klein 1, sowie die aus-
fthrlichere Darstellung bei Klein 2.

60 Zweites Kapitel.

Nun ist c< &y^|y; so daß man auf der linken Seite dieser Ungleichung
die Absolutstriche weglassen kann; es kommt dann schließlich

Diese notwendige und hinreichende Bedingung ist nun gewiß er-
füllt, wenn 2c ^ 6^ + 1 ist; dann wird nämlich

Die Bedingung ist dagegen nicht erfüllt^ wenn 2c ^\— 1 ist; dann
wird immlich

Unentschieden ist also nur noch der Fall 2 c => 6^; in diesem lautet die
Bedingung:

oder^ was dasselbe ist^

und indem man beide Seiten in Eettenbrüche entwickelt^

IK K-u • • •; h^ h] > IKf K+u K+i7 "']'

Ob diese Bedingung erfüllt ist oder nicht, laßt sich aber nach Satz 7
und 8 in jedem Fall sofort entscheiden. Wir erhalten so

Satz 22. Der Nebennäherungsbruch -^- — -Trw~~ ^^ dann und nuT

dann eine ,Jbeste Näherwn^^ wenn 2c'>b^ oder auch wenn 2c = b^ und
zugleich [b^, b^_^, . . ., b^, tj > [6^, 6^^^, 6,.^,, . . .] ist. Dagegen liegt
für 2c < 6y niemals eine beste Näherung vor»

Man sieht so, daß von den zwischen -^- — und -^eingeschalteten
Nebennäherungsbrüchen

A.-l + ^.-,2 2^v-i+^,,2 (&,-l)^,_i + ^.-2

immer nur die zweite Hälfte beste Näherungen gibt, die erste Hälfte
nicht. Ist die Anzahl &, — 1 ungerade, so wird der mittlere Bruch eine
beste Näherung sein oder nicht, je nachdem [6^, 6y_i, . . ., 62; ^1]
>" [^y> ^y+i> ^y+2^ • • •] ^^^ ^^®^ uicht. Dauach ist es nun leicht, die
sämtlichen besten Näherungen der Reihe nach anzuschreiben, so zwar,
daß jeder folgende Bruch näher bei i^ liegt als ein vorausgehender.
Die Brüche sind dann ganz von selbst auch nach wachsendem Nenner
geordnet; sie werden teils größer, teils kleiner sein als |q, und
zwar findet der Übergang von größeren zu kleineren und umgekehrt

§ 16. NebennähernngBbrflche. 61

jedesmal nach einem Hauptnäherungsbruch statt. Sind -^ , -^ zwei auf-
einander folgende Brüche dieser Reihe, so ist unter allen Brüchen, die
näher an 1^ liegen wie -^ , gerade -^ der mit dem kleinsten Nenner.

III. Wir wollen diese Verhältnisse an dem Beispiel der Ludolph-
schen Zahl illustrieren. Auf S. 41 fanden wir

Ä « [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, . . .].

Die Hauptnäherungsbrüche sind daher:

2^ 22 838 365 108993 104348
1 ' T' 106' 113' 88102 ' 88216"' * * '

während die Nebennäherungsbrüche die Oestalt haben:

8c+l 22c' + 8 366 c''+ 333

""c ' Yd^+T ' iiTir + ioe ' ' " "

l^c^6 l^c'^14 l^c'"^291

QOOg" I 22

Die Brüche der Form -^^ ,, , „ fallen aus, weil 6,=» 1 ist, also schon

106c +7 7 9 7

für c'^ 1 der nächste Haupt näher ungsbruch zum Vorschein kommt.
Die Nebennäherungsbrüche sind „beste Näherungen'^ fClr

. f' a 1 18 16 19

c-4, 5, 6; also-, y, -,

' Q Q in 11 io ia u 1 l'^ö 201 223 246 267 289 311

c 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14; also -^y , -^^ , ^-, ^^ , g^-, ^^ . -99";

1il7 lilR 1 ^^^^® ^®T^

C — 14/, 140, . . ., also jgYl7' 16830' • • •

Ob auch schon der Wert c" » 146 eine beste Näherung gibt, hängt
davon ab, ob die Ungleichung

[\y &a, 62, 61] > [64; hy hy • • •]

erfällt ist; diese wird aber: [292, 1, 15, 7] > [292, 1, 1, . . .], ist also
nach Satz 8 in der Tat erfüllt; daher ist auch schon der für c"' ^ 146

62.168

entstehende Bruch eine beste Näherung. Hiemach sind nun die

besten Näherungen der Reihe nach

1. IL ^ J5 ^ 179 201 228 246 267 289 811

1 ' 4 ' 6 ' ' 6 ' 7 ' "öT" ' 64' ' 71 ' "78~ ' "85 ' 92" ' 99" '

333 366 62163 62618 62873

106' 113' 16604' 16717"' "l683Ö"' * ' ''

wobei wir diejenigen Brüche, die kleiner sind als x, unterstrichen, die
größeren überstrichen haben. Eine Tabelle sämtlicher Haupt- und Neben-
näherungsbrüche, die aus den 34 ersten Teilnennem herrorgehen, hat

62 * Zweites Kapitel.

22

Wallis 2 a berechnet. Unter diesen Brüchen fällt y als eine besonders

günstige Näherung auf; denn um dem wahren Wert tc noch näher zu
kommen^ muß man den Nenner ganz erheblich, von 7 bis auf 67, ver-

855

großem. Vor allem aber ist . eine vorzügliche Näherung; hier ist der

Nenner noch nicht sehr groß; aber um dem wahren Wert noch näher
zu kommen, müßte man die enorme Yergrößerui^ des Nenners bis auf
16604 in Kauf nehmen, und selbst dann wäre der Gewinn nur äußerst
gering; der Fehler würde nämlich, wie die unten stehende Tabelle zeigt^

nur um etwa 27oo verkleinert. Dagegen ist der Bruch j^, obwohl in

unserem Sinn eine „beste Näherung^^ und sogar ein Hauptnäherungs-
bruch, ziemlich ungünstig. Denn durch eine nur mäßige Erhöhung des
Nenners auf 113 wird der Fehler schon bedeutend verkleinert. So er-
kennt man, daß die besonders günstigen Näherungen allemal dann zum
Vorschein kommen, wenn große Teilnenner auftreten, hier 15 und 292.

y = 3,142 857 , Fehler « - y 0,001 ;

^^' = 3,140845, Fehler = + 0,000 7 ;

71

883
106

3,141 5094, Fehler = + 0,00008 ;

?f4 - 3,14159292085, Fehler 0,00000026676;

113 ' '

^1^ = 3,141592387376, Fehler = + 0,00000026621.

Interessant ist, daß einige von diesen Brüchen als gute Approxi-
mationen von jr längst bekannt waren, ehe man sich mit Eettenbrüchen

beschäftigte. Ärchimedes fand, daß sr zwischen y und — liegt; aus

228

diesem Grunde wurde gerade der Bruch - — in die obige FehlertabeUe

aufgenommen. Die beiden Brüche -^ und — kennt Ädriamis Metius

(1571 — 1635), und ums Jahr 1700 war der Wert — « sogar in Japan
bekannt.^)

l) Nach Hayashi 1. Das Verfahren, durch welches die Japaner diesen
Näherungsbrach fanden, ist kaum mehr als eine hübsche Spielerei. Geradezu
staunen muß man aber über Hajashis Angabe, daß im Jahr 1766 die beiden Brüche

6419 361 428 224 693 349 304
1726033 ' 136308121 Ö70ri7

als gute Näherungen von ^ in Japan entdeckt wurden. Wie der erwähnten Wallis -
sehen Tabelle zu entnehmen ist, sind das nämlich in der Tat Hauptnäherungs-
brüche, und zwar diejenigen, welche den ziemlich großen Teilnennem 14 und 18

§ 17. Äquivalente Zahlen. 63

Die j^besten Nähernngeii'^ haben durch die Erfindung der Dezimal-
brüche natürlich bedeutend von dem Wert verloren, der ihnen sonst
für die Praxis des numerischen Rechnens zukommen würde. Daß sie
aber trotz der Dezimalbrüche noch immer recht nützlich sind, zeigt
zum Beispiel das Problem, durch welches Huygens 1 zur Erfindung
der regelmäßigen Eettenbrüche angeregt wurde. Bei der Konstruktion
eines Planetariums sah er sich nämlich der Aufgabe gegenüber, zwei
ineinander greifende Zahnräder zu konstruieren, deren ümlaufszeiten
sich verhalten sollen wie zwei der Beobachtung entnommene große
ganze Zahlen a:b. Um das exakt zu erreichen, müßte man dem einen
Rad a, dem andern b Zähne aufsetzen. Dies ist aber, wenn a, b sehr
groß sind, praktisch nicht mehr ausführbar, und es handelt sich dann
darum, das Verhältnis a : b möglichst angenähert durch kleinere Zahlen
auszudrQcken, und zwar so, daß durch noch kleinere Zahlen eine bessere
Annäherung nicht mehr möglich ist (sonst würde man eben die kleineren

vorziehen). Huygens fand nun, daß man zu diesem Zweck -j- in einen

Eettenbruch entwickeln muß, und daß stets die Haupt- sowie die eine
Hälfte der Nebennäherungsbrüche die Aufgabe lösen. Somit ist der
wesentliche Inhalt der Sätze 18 und 22 schon Huygens bekannt, wenn
auch von einer Beweisführung im modernen Sinn natürlich keine Rede
ist. Vollständig bewiesen, auch unter Berücksichtigung des Falles 2c» 2»^^
wurde Satz 22 von H. J. Stephen Smith 1.

§ 17. Äquivalente Zahlen.

Definition. Zwei irrationale Zahlen ß, y heißen miteinander äqui-
valenty wenn zwischen ihnen eine Gleichung der Form besieht

^ cß + d'

wo a, 6, c, d ganjse ZaJden sind, für die ad — 6c «« ± 1 ist.

Indem man speziell a» — l,c=»0,(2»l wählt, sieht man, daß
insbesondere zwei irrationale Zahlen mit ganzzahliger Summe äquivalent
sind. Femer gilt der folgende Satz, dessen Beweis wir wohl dem Leser
überlassen dürfen:

„Sind zwei Zahlen mit der gleichen dritten äquivalent, so sind sie
auch miteinander äquivalent.''

▼orauBgehen (siehe die Faßnote S. 42). Es läßt sich schwer begreifen, wie man
ohne ein kettenbmchähnliches Verfahren diese außerordentlich genauen «^besten
Näherungen" herausbekommen kann. Zugleich ist aber damit doch eine gewisse
Eontrolle für die Richtigkeit der Wallis sehen Rechnung gegeben, im Gegen-
satz zu der Lambertschen abweichenden Rechnung.

64 Zweites Kapitel.

Nan seien |o^ t^q zwei irrationale Zahlen, deren regelmäßige Ketten-
bruchentwicklungen

5o"* L^O; ^1» • • •> ^n-l> 9o) 9iy 9i) ' • '\f

Vo ^ [^01 ^u • • •; ^m-u 9o) 9i9 9^y • • •]

vom Teilnenner g^ an übereinstimmen. Bezeichnet man die Näherungs-
zähler und -Nenner des ersten Kettenbruches wie immer mit A^^ B^,
die des zweiten mit C^, D^ und setzt noch

\ßo>9i,9i>"]^^7
80 ist

Demnach ist sowohl 1^ als rjQ mit o äquivalent, so daß also ^, tjq auch
miteinander äquivalent sind.

Wir nehmen jetzt umgekehrt an, daß zwei irrationale Zahlen ^, tjq
miteinander äquivalent seien; also

W ^0-^1;; + ^;

(2) adr-6c = ±l.

Es läßt sich dann zeigen, daß die regelmäßigen Eettenbrüche für 1^ und
tJq von einer gewissen Stelle an miteinander übereinstimmen. Beim Be-
weis wollen wir die Zahl c|q -\- d sla positiv voraussetzen; dies läßt sich
nötigenfalls dadurch erreichen, daß a, b, c, d durch - a, - 6, - c, - d
ersetzt werden, was ohne Schaden geschehen kann. Nun sei in ge-
wohnter Bezeichnung

also

wo ly als vollständiger Quotient natürlich größer als 1 ist; für die zu-
nächst beliebige Zahl v behalten wir uns eine geeignete Wahl noch vor.
Aus der vorausgesetzten Gleichung (1) folgt nun, indem man für
I0 den Wert aus (3) einsetzt:

^^ ^^ Qiv + S'

wobei wir der Kürze halber

gesetzt haben. Natürlich sind P, Q, Rj S ganze Zahlen, und außerdem
besteht die Gleichung

PS-QB^ (ad - hc)(A^_,B,_,-Ä,_,B,_,) = ± 1.

§ 18. Eine Anwendung. 65

Nan ist nach dem Näherangsgesetz (§ 13, Formel (11))

■"v-l -°v — 2

wo S, d' absolat kleiner als 1 sind. Folglich wird, wenn man dies in
die obigen AnsdrOcke für P, Q, B^ S einfuhrt:

Da wir c^+ d positiv gewählt haben, so werden also für hinlänglich
große Werte von v auch Q^ S positiv und außerdem (? > S. Dann folgt

aber aus (4) mit Hufe von Satz 13, daß -^-^ "^^^^^ aufeinanderfolgende

Näherungsbrüche von i^o ^üid, und daß 1^ der zugehörige vollständige
Quotient ist. Man hat also

und damit ist bewiesen:

SatB 28. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß
die regdmäßigen Kettenbrüche für zwei irrationale Zahlen ^, i^o ^^^^
einem gewissen Teünenner an übereinstimmen, besteht in der Äquivalenz
der Zahlen ^, ly^. {Serret 1.)

Beispiel: Die Zahlen ^ und — ^ sind äquivalent (sie haben eine
ganzzahlige Summe). Setzt man

io =■ L^o; ^If ^if ^Z) • • -Jy

80 ist auch in der Tat

[-(6o+l), 1,61-1,62. &3;--] für 6i>l,
[~ (&0+ 1)> 62+ 1, K K • ' •] för 61= 1,
wie der Leser leicht verifizieren wird.

-10=-

§ 18. Eine Anwendung.

Bereits in § 11 wurde der Satz bewiesen, daß eine Zahl der Form
a'+ 6', wo a und b relativ prim, nur Teiler von der gleichen Form
haben kann (Satz 5). Eine analoge Eigenschaft kommt aber noch
einigen anderen Zahlformen zu, wie sich ebenfalls mit Hilfe von Eetten-
brüchen beweisen läßt.

SatB 24. Eine Zahl der Farm a* + 2sb^, wo a, b relativ prim, und
* — ± 1, ha^ nur Teiler der gleichen Form a* + 2 5/3*. (Lagrange 4.)

Perron, Kattonbrflohe. 6

66 Zweites Kapitel.

SatB 25. Jeder ungerade Teuer einer Zahl der Form a^+ Sb', wo
a, b rdativ prim, ist wieder von der Form a* + 3/3*. (Lagrange 4.)

Beweis (nach Lucas^ 1): Wenn X eine der Zahlen 26 oder 3 be-
deutet, 80 ißt jeder Teiler von a*+ A6* zugleich auch Teiler yon

(a«+ Xb^){x^+ Ay») = (ax + Xhyy+ X{ay - hx)\

Bei relativ primen a^ b kann man aber nach § 10 x, y so wählen, daß
ay — bx ^ 1 ist; also genügt es, die beiden Sätze für Zahlen der Form
m* + A zu beweisen.

Sei daher n ein (positiver) Teiler von w*+ A. Sollte n = 1 oder
A| sein, so ist durch die Formeln

l«l«+A.O«, 2-0» +.21»« 2«- 21«, 3 = 0«+ 31»
die Sache erledigt; sei also n von 1 und |>l| verschieden. Dann ist der

«n, A

Bruch — gewiß irreduzibel. Unter seinen Näherungsbrüchen J' gibt

es, weil n > 1 ist, sicher solche, für die J9/ < n; denn mindestens -^

hat diese Eigenschaft. Da — irreduzibel, so gibt es aber auch solche^
bei denen j?,» > n ist; denn mindestens der letzte Näherungsbruch hat diese
Eigenschaft. Sei daher -^ derjenige sicher existierende und eindeutig
bestimmte Näherungsbruch, für welchen

(1) BKn^Bhi

wird. Nach dem Näherungsgesetz (Satz 10) ist

o<(^-J)'<^U*

Daher, wenn man mit nB^ multipliziert:

0<i-(»J,-mB,)»^-^-5-.

Addiert man hierzu die Zahl — B^, so kommt

V

(2) AB,«<„^^«-2mA5,+ ^5/^ ^:' +X-J

y + 1

Daraus folgt aber mit Rücksicht auf (1), wenn il = 2, 3 ist:

(3a) 0<n^,»-2m^,B,+ ^-^*-B/<l + A;

dagegen, wenn A = — 2 ist:

(3b) - 2 < «^,* - 2m^,B, + '"' + ^ B,» < 1.

§ 18. Eine Anwendung. 67

In diesen Ungleichungen steht nun, weil in^+ k nach Voraussetzung
durch n teilbar ist; in der Mitte eine ganze Zahl; diese kann daher
för Jl — 2, 3 nur einen der Werte 1, 2, >L, für JL =« — 2 nur einen der
Werte — 1, 0 haben. Multipliziert man dann noch mit n, so kommt:

(4) far ;i = 2: {nA^- wJBJ*+ 2JB^«« n oder 2n,

(5) far A « - 2: {nÄ^- mB;)^- 2B^ n oder 0,

(6) för X = 3: {nA^ - m JBJ» + 3 JB/ - n oder 2w oder 3n .

Im Fall Jl » 2 ergeben sich daher die beiden Möglichkeiten

w = (n^,-mB^)>+2JB^«
oder

n = JB/+2(*^"-^-^^)",

so daß n in der Tat die Form a*+ 2/3* hat.^)

Im FaU A « — 2 ist in Gleichung (5) die Null unmöglich, weil
sonst 2 ein Quadrat sein müßte; es bleibt also

Da aber die rechte Seite identisch gleich

ist, so ist damit auch dieser Fall erledigt.

Endlich im Fall X » 3 ist bei ungeradem n die Gleichung

(n^,-mJB,)«+3JB,«=2n

nicht möglich, weil die rechte Seite ^ 2 (mod 4) ist, während die linke
offenbar nur ^ 0, ± 1 sein kann. Es bleiben also nach (6) nur die
Möglichkeiten

w-(w^,-mB,)*+3J?/
oder

womit auch Satz 25 YoUstandig bewiesen ist.

1) Man sieht auch leicht, worauf es uns aber nicht ankommt, daß a, /?
relaÜT prim sind; ebenso auch in den Fällen Z =» — 2 und X ^ 8.

6*

1

Drittes Kapitel.

Regelmäßige periodische Kettenbrftclie.

§ 19. Rein- nnd gemischtperlodlsche Kettenbrflche.

I. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit unendlichen regel-
mäßigen Kettenbrüchen, deren Teilnenner ein bemerkenswertes Bildungs-
gesetz befolgen. Der einfachste Spezialfall; den wir vorausschicken wollen,
besteht darin ; daß aUe Teilnenner einander gleich sind. Ein solcher
Kettenbruch hat die Gestalt

und sein Wert läßt sich leicht in geschlossener Form angeben auf dem
gleichen Weg; den wir schon in § 14, II bei dem Fall 6 ==» 1 eingeschlagen
haben. Es ist nämlich auch; wenn 1^ unsere gewohnte Bedeutung hat,

ll« [6; 6, 6;. . .] = 1^.

Anderseits aber lo "^ ^ + T ? ^^ ^^ ^ ®^^® Wurzel der Gleichung

oder

x^-bx—1^0

sein muß. Man erhält daher

und zwar ist das Vorzeichen der Wurzel positiv zu nehmen; weil ja
Iq > 6; also positiv ist.

Der soeben behandelte Kettenbruch ist ein Spezialfall des folgenden
allgemeineren:

bei dem die Teilnenner 6^; 6i, . . ., &i_i sich in unendlicher Folge
;;periodisch^' wiederholen; ein solcher Kettenbruch ist also dadurch cha-
rakterisiert; daß stets

h^V-K (l/ = 0,l;2;...)

ist. Er heißt periodisch; und zwar speziell reinperiodisch; die

§ 19. Bein- und gemiBchtperiodische Eettenbrüche. 69

Zahlenfolge to> ^i> • • •* ^*-i lieiß* <ü® Periode. Wir schreiben einen
solchen Kettenbnich in der Form

sein Anfangsglied &q ist positiy^ da es anch an einer späteren Stelle
wieder vorkommt (&o*" ^k)] ^^^^^ sind nicht nur die Näherangsnenner
£^, sondern auch die Näherungszähler A^ positiv. Der Wert eines rein-
periodischen Eettenbruches kann wieder leicht berechnet werden; denn
es ist jetzt

Daher ergibt sich aus der Gleichung

^^'^k^Jk + ^~k-2
für Iq die quadratische Gleichung

^ -^i - 1^ + -^* -2
^^^^k-l^ + ^k-i'

oder also

(1) B,_,x'+(B,_,-Ä,_,)x-A,_,~0.

Diese Gleichung hat eine positive und eine negative Wurzel; da aber
Iq > ig, also positiv ist, so folgt durch Auflösung:

wo die Quadratwurzel wieder positiv zu nehmen ist. Da ^ als unend-
licher Eettenbruch irrational ist^ so kann der Radikand unmöglich ein
Quadrat sein. Man erkennt dies auch durch Rechnung, indem man ihm
die Form gibt:

= iA,_, + B,_,y+4(-iy-K

Dieser Ausdruck wäre aber offenbar nur dann ein Quadrat, und zwar
Null, wenn k gerade und Ä^_^ -f- JB^t^i« 2 wäre; aber für gerade k
ist stßts

Wir haben bis jetzt bloß von der Gleichheit So "" 5* Gebrauch ge-
macht; es ist aber auch, wie schon erwähnt, |^ « l^^^. Wir dürfen daher
in unserem ganzen Räsonnement k auch durch nk ersetzen und erhalten
so für lo noch die unendlich vielen quadratischen Gleichungen

(2) B,,_,x*+{B,,_,-A,,_,)x-A,,_, = 0 (n- 1,2,3,...),
die natürlich, weil ^ eine eindeutig bestimmte irrationale Zahl ist, alle

70 DriUes Kapitel.

miteinander identisch sein müssen. Wir wollen dies a priori klare Re-
sultat auch durch Rechnung bestätigen; dazu ist nur nachzuweisen^ daß
die Koeffizienten der Gleichung sich proportional bleiben, wenn man
die Zahl n durch irgendeine andere m ersetzt, daß also die Gleichungen

-^nt-lC-Smi-« — Ank-l) — i^nk-i — ^nk-l)^fnk-l = ^>
-^«*-2(-Sm*-2""-^mt-l) ~" \^nk-9~ -^«*-l) Ai*-2 ** ^

bestehen. Diese folgen aber in der Tat aus der Periodizit&t, durch welche
nämlich bewirkt wird, daß bei der Bezeichnung des § 5, II

• • •

ist, weil ja die b^ unverändert bleiben, wenn man ihren Index um Je er-
höht. Daher ergibt sich ans den Fundamentalformeln, angewandt für
den Wert X — nJc:

^r + nk"! " ^nk-l^v-l + -^ni-E-^y-iy

Setzt man hier fClr v speziell den Wert mk^ sodann auch mk — 1, so
bleiben die linken Seiten bei Vertauschung von n und m jedesmal an-
geändert; es müssen also auch die rechten Seiten ungeändert bleiben.
Daraus Folgt

-^(n + m)i~2"^-^«i-l-^OT*-2+-^«*-2^m*-2**-^m*~l-^»*~2 + -^m*-2-^«Jb-2>
•^(ii + m)t-.2""^n*~l^m*-2+-^i»*-2^in*-2='-^m*-l-^«*-2 + -^in*-2^»*--2-

Dies sind aber gerade die zu beweisenden Gleichungen, wie sich durch
etwas andere Zusammenfassung ihrer Terme sofort ergibt.

n. Eine noch etwas allgemeinere Klasse von Kettenbrüchen erhält
man, wenn man die Periode nicht schon beim Anfangsglied 6^, sondern
etwa erst bei 6^ beginnen läßt, so daß die Gleichung 6*+^ « 6y erst von
1/ =» A an erfüllt ist. Derartige periodische Kettenbrüche, bei denen nun
auch wieder &o ^ ^ ^^^^ ^*^> haben die Form

und heißen speziell gemischtperiodisch; der Zahlenkomplex b^,
*A+i> • • '; ^A+jfc-i ^s* wieder die Periode, während der Komplex

§ 19. Rein- und gemischtperiodische Kettenbrüche. 71

Öq, &i, . . ., ft^.i als Vorperiode bezeichnet wird. Wir schreiben auch
solche Eettenbrüche in abgekürzter Form, indem wir die Periode über-
streichen:

Ist & — 0, so kommt man aaf den früheren Fall der reinen Periodizität
zurück.

Auch der Wert eines gemischtperiodischen Kettenbruches laßt sich
leicht berechnen. Es ist nämlich in unserer gewohnten Bezeichnung

und offenbar ist ^^ gleich dem reinperiodischen Eettenbruch

den wir bereits berechnen können. Dadurch ist dann auch der Wert
Ton ^ bekannt. Da sich ^ rational durch |^ ausdrückt, und ^j^ Wurzel
einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist, so muß
auch Ig einer solchen Gleichung genügen, die sich wieder in yerschie-
denen Gestalten aufstellen läßt. Die einfachste erhält man, wenn man
bedenkt, daß l^+it^ ^a ^^^f ^^ ^^^ ^^ Gleichung besteht:

^A + t-l*A I -°A + *-2

Eliminiert man |;^ aus (3) und (4), so ergibt sich die gesuchte Gleichung

für 1^, in der Form:

(5) P|o^+(2lo+J?=0,

wobei

^ — -^A-2"^A+t-l ^A-l^A + *-2>
(6) Q =- ^A«i-4^^4_2+ -4a-1-^A+*-2"~ •^A-2-^A + *-1"~ ^h^^^h + k-l}

Für Ä-=.0 kommt also speziell P— J?|_i, Q^B^_^-'Af^_-^j jR=*— -i^^j,
in Übereinstimmung mit der für diesen Fall aufgestellten Gleichung (1).
Für Ä > 0 ist freilich zunächst einzuwenden, daß vieUeicht P = ^ == J? =— 0
sein könnte, so daß die quadratische Gleichung eine identische wäre,
die zur Berechnung von |q nichts nützte. Dies ist jedoch nicht möglich ;
denn wäre P = 0, also

^h-i-^h + k-l^ -^A-l-^A + *-2?

so wäre die rechte Seite dieser Gleichung durch P^^j^-i teilbar. Da aber
der Faktor -B^+i^j zu P|^t_i relativ prim ist, so müßte der andere
Faktor JB;i_i durchP^^^_i teilbarsein, während doch P;^_i<J?;i^ 4- 1 ^^'^)

1) Nur wenn ä^O, versagt dieser Schluß, weil 5_j = 0 ist. Aber dieser
Fall ist schon erledigt, da er auf reine Periodizität führt.

72

Drittes Kapitel.

Eine Schwierigkeit entstellt nun bei der Fi-age, welche yon den
beiden Wurzeln der quadratischen Oleichung (5) dem Eettenbmch
gleich ist. Dies läßt sich auf zwei Arten entscheiden. Erstens kann
man nämlich die quadratische Gleichung für |^ aufstellen. Da der
Kettenbruch für |^ rein periodisch ist; so hat diese quadratische Glei-
chung; wie wir wissen, nur eine positive Wurzel, und diese ist |^.
Vermöge Oleichung (3) ist dann auch ^ eindeutig bestimmt. Man kann
aber zweitens; auch an die Gleichung (5) direkt anknüpfen. Es muß
nämlich |q zwischen \ und 1)^+ 1 liegen. Hat nun die Gleichung (5)
nur eine Wurzel in diesem Intenrall, so muß diese ^ sein. Liegen da-
gegen beide Wurzeln zwischen 6^ und bQ+ 1, so bedenke man, daß |^
auch zwischen [6q, b^] und [60, b^ + 1] liegen muß. Wenn also nur eine
Wurzel in diesem engeren Intervall liegt, so ist dadurch die Fri^e ent-
schieden; liegen aber beide Wurzeln darin, so beachte man weiter, daß
I0 auch zwischen [&q, fe^, ftg] und [6^, ft^, feg-f- 1] liegt. Durch Port-
setzung dieses Verfahrens gelangt man im allgemeinen rasch zum Ziel.
Gleichwohl ist in der Praxis die erste Methode meist bequemer.

Als Beispiel berechnen wir den Eettenbmch

Hier ist

lo

|,-[2,3, 10, 1, 1, 1].

WO I2 ein reinperiodischer Eettenbmch, dessen Periode aus k = 4 Glie-
dern besteht:

Um diesen letzteren zu berechnen, bilden wir seine Näherungszäliler
und -Nenner:

V -1

1

0 1

2 3

1

^,,, 1 10 ' 11 21

1 1 j

82

B,,» 0

1

1

1 ! 2

8

Die quadratische Gleichung fSr ^ lautet daher (Formel (1)):

3a;» + (2 - 32)« - 21 = 0
oder

«»-10a;- 7 = 0.
Hieraus folgt

^ = 5 +1/32 = 5 + 41/2.
Setzt man dies oben in den Ausdruck für ^^ ein, so kommt

r2 3 IQ 1 1 11 -£ 86 + 281/2 + 2 20-1/2
[2, 6, 10, 1, 1, IJ _!„_ ------_-__

§ 20. Der Lagrangesche Satz von der Periodizität. 73

Ist die Gliederzahl h nicht groß^ so ist es meist bequemer, die
quadratische Gleichung für den reinperiodischen Kettenbruch direkt auf-
zustellen, ohne auf die fertige Gleichung (1) zurückzugreifen. Zum
Beispiel för lo*=[2, 3] wird man einfach so yerfahren:

s + i. ^«0 + 1

bo

Multipliziert man mit 3|q-{- 1, so kommt die gewünschte Gleichung

3|o^-6|o-2 = 0;
also ist

_8+yl6.

[2,3]

8

lU. Man kann, wo es zweckmäßig erscheint, einen reinperiodischen
Eettenbruch auch als gemischtperiodisch auffassen, und einen gemischt-
periodischen auch als einen ebensolchen mit längerer Yorperiode. Denn
es ist ja offenbar

L^O» ^i; • • •> ^A-i; ^hi ^» + 1? • • V ^A + *-iJ

Ferner kann man mehrere Perioden zu einer einzigen zusammenfassen
und folglich einen Eettenbruch mit X;-gliedriger Periode auch ansehen
als einen mit (nX;)-gliedriger Periode. Zum Beispiel ist

[6q, . . ., Ö4„i, 64, . . .| ^k-k-k-ll

Im Grunde genommen haben wir ja hienron schon bei Aufstellung der
Gleichung (2) Gebrauch gemacht.

Wir nennen eine Periode primitiv, wenn sie nicht in dieser Weise
durch Zusammenfassung von mehreren kleineren gebildet ist. Andern-
falls heißt sie imprimitiv. Bei einem periodischen Eettenbruch ist
dann die Gliederzahl einer imprimitiven Periode stets ein Multiplum
von der Gliederzahl der primitiven Periode.

§ 20. Der Lagrangeselie Satz von der Periodizität.

Eine reelle irrationale Zahl, die einer quadratischen Gleichung mit
rationalen Eoeffizienten genügt, nennen wir eine quadratische Irra-
tionalzahl. Mit dieser Terminologie läßt sich das Hauptergebnis des
vorigen Paragraphen folgendermaßen aussprechen:

Sats 1. Ein periodischer regelmäßiger Kettenbruch stdlt eine quadra-
tische IrrationaUahl dar. {Erder 1, 4.)

74 Drittes Kapitel.

Nun ist es eine der wichtigsten Tatsachen der ganzen Eettenbruch-
lehre^ daß dieses Theorem sich umkehren laßt:

Sats 2. Der regdmäßige Kettenbrücke in welchen sich eine quadrcUi-
sehe IrrcUionahahl entwickeln läßt, ist stets periodisch. (Lagrange S.)

Beweis. Jede quadratische Irrationalzahl hat die Form

wo Pq, Qo(^ 0\ D ganze Zahlen sind, und zwar D positiv, aber kein
Quadrat; umgekehrt ist jede solche Zahl eine quadratische Irrational-
zahl. Dabei können wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit YD po-
sitiy annehmen, weil ja

-yp + p, VD--P,

Femer dürfen wir voraussetzen, daß

(2) ^'-«-

eine ganze Zahl ist; sollte dies nämlich nicht Ton Tom herein der Fall
sein, eo setzen wir

und jetzt wird die Zahl

bei geeigneter Wahl Ton c gewiß ganz. Wir denken uns also Ton Tom
herein den Ausdruck (1) in der angegebenen Weise präpariert. Ent-
wickelt man nun g« ia einen Kettenbrucb, so kommt zunächst:

also
woraus folgt

Dabei ist

^ _ p-JhQ,-P.J^^n-_P^+UQ, n - ^'^.'^ «;>.,+2&oPo- V Qo.

Vo Vo

§ 20. Der Lagiangesche Satz von der Periodizität. 75

Es sind also Pj, Q^ ganze Zahlen, und außerdem ist

-<?.

wieder eine ganze Zahl. Folglich hat der Ausdruck

. yp + p,

ganz die gleichen Eigenschaften, die wir von dem Ausdruck (1) rorau«-
gesetzt haben. Geht man daher in der Eettenbruchentwicklung einen

Schritt weiter, indem man li "» &i + -£~ setzt, so wird sich auch f&r ^

wieder ein Ausdruck der gleichen Art ergeben. Bei Fortsetzung des
Verfahrens erscheinen dann die vollständigen Quotienten immer in der
Gestalt

V2)+ P,

(3) S.=

Ö.

j) p>

wobei Py, Q^y — — ganze Zahlen sind.

Wir bezeichnen jetzt mit i^, die zu 1, konjugierte Zahl y das heißt

-y-ö + p.

Aus der Gleichung

folgt dann, indem man das Zeichen von )/2> ändert^):

(4) '?,= ^

(6) % =

1) Dafi das zol&sBig ist, zeigt man folgendennaßen. Die Gleichung (5)
nimmt, wenn man mit dem Nenner heianfmnltipliziert, die Form an:

(a) ü+VYB^O,

vo [7, V ganze Zahlen sind; ebenso nimmt (6) die Form an:

(b) ü—VVD^O

mit denselben Zahlen üy V, Man hat also nur zn zeigen, daß (b) eine Folge
Ton (a) ist. Nun folgt aber ans (a): F=0, i/«0, weil sonst yi)« — —

daraus hervorginge, also }/!) rational wäre. Daher ist in der Tat auch U— Vy/D^^O.
W. z. b. w.

Überhaupt zieht hiemach jede GUeichung der Form f{yD ) — 0, wo f eine

rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten ist, immer auch /*( — VD) » 0
nach sich.

76 Drittes Kapitel.

Durch Auflöstmg nach t]^ ergibt sich hieraus

lo —

^-«

V — 1

Da aber ^ — , -g — Näheningsbrüche von 1^ sii^d, so nähert sich der
letzte Bruch mit wachsendem v dem Grenzwert --^f^=l: es ist also

V.-- i (1 ± O;

>— 1

WO fiy beliebig klein. Daher wird 7}^ für genügend große Werte von v
jedenfalls negativ. Genauer findet man sogar, daß tj^ zwischen — 1 und 0

liegt; denn aus der Gleichung l,,_i = 6y«i + v- folgt auch durch Über-

gang zu den konjugierten Zahlen (vgl. die Fußnote S. 75) : r^^^i = b^_i -\ — ,

und, weil für genügend große v natürlich auch r]^_^ negativ ist, so
schließt man hieraus, daß

■r ^-1 + Vv-i < - K^i < - 1

ist, woraus die Behauptung folgt. Da also — 1 < ly^ < 0, anderseits
aber ^^ > 1, so werden die Zahlen f ^ — rj^ und 1^ + ly^ positiv. Dies be-
sagt aber, wenn man für 5^, rj^ die Werte aus (3), (4) einsetzt:

21/15 ^ 2P

also jedenfalls Qy> 0, Py>0. Weiter muß, damit rj^ negativ wird,

Py< ]/B sein, also, wenn E die größte in VD enthaltene ganze Zahl
bezeichnet:

(7) p, <: E.

Endlich findet man noch, weil S^ > 1 sein muß,

^—^^^ > 1, oder (?, < yS + P„

also auch

(8) Q^ ^ 2E.

Damit ist gezeigt, daß die P^, Q^ von einem gewissen Index v an
positive ganze Zahlen sind, welche höchstens gleich E, bzw. 2E sein
können. Es liegen also bei großem v für P^ überhaupt bloß E und

für Qy bloß 2E verschiedene Möglichkeiten vor, daher für |^ = ~ — TT ~^

§ 21. Zweiter Beweis des Lagrangeschen Satzes. 77

bloß 2E^ Möglichkeiten. Folglich müssen notwendig mehrere ^^ den
gleichen Wert haben, etwa Ia^^Ia^j^; das heißt aber

und weil eine unendliche regelmäßige Kettenbruchentwicklung nur auf
eine Weise möglich ist, so folgt hieraus

*A4-*=*A? ^A + A + l'^^Ä + l? *A + i + »—^A + S>* * '

womit die Periodizität bewiesen ist.

Zugleich zeigt unsere Analyse, daß die primitive Periode höchstens
2E* Glieder aufweisen kann, weil för |, bloß 2E^ verschiedene Werte
möglich sind, sobald v genügend groß ist; zumeist wird die Periode
sogar sehr viel weniger Glieder haben. Jedoch ist zu beachten, daß wir

— ~Z ^ als ganze Zahl vorausgesetzt haben; es wäre zum Beispiel falsch,

wenn

^ 8 ^ —8

ist, einfach D = 2, also E = l zu setzen und daraus zu schließen, daß
die Periode höchstens zwei Glieder hat. Vielmehr müssen wir

^"^ — 32

also D =» 32 setzen, weil erst bei diesem Ansatz D—F^ durch ^q teil-
bar wird. Es ist dann J? » 5; also können wir nur schließen, daß die
Periode höchstens 2£^» 50 Glieder hat. In Wahrheit hat sie, wie wir
auf Seite 72 sahen, vier Glieder, so daß die vorhin erhaltene Höchst-
zahl 2 in der Tat falsch ist.

§21. Zweiter Beweis des Lagrangeschen Satzes.

Der im vorigen Paragraphen mitgeteilte Beweis des Lagrange-
schen Satzes weicht zwar in der Form erheblich von dem Lagrange-
schen Originalbeweis ab; doch ist er seinem Wesen nach kaum davon
verschieden; Grundlage und Hilfsmittel sind die gleichen. Dagegen ist
der folgende sehr einfache Beweis, der von Charves 1 herrührt, der
Idee nach verschieden, indem er als wesentlichstes Beweismoment das
Näherungsgesetz zu Hilfe nimmt. Dabei sei bemerkt, daß die zahl-
reichen Beweise, die außerdem existieren, alle mehr oder weniger auf
einen der beiden hinauslaufen.

Die quadratische Gleichung, welcher |q genügt, sei

(1) a5*o+6|o+c = 0.

78 Drittes Kapitel.

wo a, b, c ganze Zahlen. Wenn wir nun |q in einen regelmäßigen
Kettenbmch entwickeln, so ist in unserer gewohnten Bezeichnung

(2) lo -

^v-lK + -^f-Ä

Setzt man dies in (1) ein, so kommt

oder

(3) . PA.*+9Ar+rr=0,
wobei

(4) 1),= aJ«_i + bÄ,-iB,-i + cB*-i

(5) g,= 2aÄ,_,A,_, + b{A,_,B,_, + Ä,_,B,_,) + 2eB,_,B,_,

(6) r,= a^«_,+ 6^,_,5,_, + cB«_,.

Gleichung (3) ist keine identische. Denn wäre etwa p^ = 0^ so würde
ein Vergleich von (1) mit (4) lehren, daß die Gleichung (1) die ratio-

Ä

v~l

nale Wurzel ^ — hat; dann müßten aber beide Wurzeln rational sein^

B

v-l

während Iq doch irrational ist.

Weim wir nun zeigen können^ daß die ganzen Zahlen p^^ q^, r^
absolut imter einer von v unabhängigen Schranke bleiben, so sind unter
den quadratischen Gleichungen für die vollständigen Quotienten 1, nur
eine endliche Anzahl verschiedener. Daher sind für die 1^ selbst nur
eine endliche Anzahl verschiedener Werte möglich, woraus die Periodi-
zität wieder augenblicklich folgt.

Eine solche Schranke für die p^y q^, r^ findet man aber leicht durch
Anwendung des Näherungsgesetzes; nach diesem ist nämlich

*v-l

Setzt man dies in (4) ein, so kommt

B .

Da aber aSo*+ ^5o + ^ = 0 ^s^; so folgt hieraus

|i,,|<|2aS„| + |a| + |&|-

Unter der gleichen Schranke bleibt auch r^, weil nach (4) und (6) ja
^v'^Pv-i ^^^' ^^ endlich auch q^ unter einer Schranke bleibt, ergibt

§ 22. Bedazierte Zahlen und reine Periodizität. 7&

sich sogleich ans der durch einfache Ausrechnung zu yerifizierendea
Identität

da nämlich A^_^B^_^— A^_^B^_^=^ ± 1 ist, so folgt hieraus
ff,*^ \Prr, 1+ I 6»- ac |< (I 2a|J + I o I + I 6 |)«+ I 6»- ac |.

Man findet aber eine Schranke f8r q^ auch, indem man das Nähemng»-
gesetz in der schärferen Form

A-i = lo-B,-i + /-, -^,-,= lo^r-, + /--, |<J|<1,|<J'|<1

-"v—l "°r — 1

anwendet. Setzt man nämlich diese Werte von A^^^^ -4^_2 ^ Glei-
chung (5) ein, so kommt

- 2B,_,B,_,(a^' + b^ + e) + 2a^ (* §^« + d') + 2a /^

+ K' fei + *•)•

Also, weil wieder a^' + 6|^ + c « 0 ist,

3j<|4a|o| + |2a|+|26|.

Daher bleiben in der Tat p^, q^, r^ absolut unter einer von v unab-
hingigen Schranke; w. z. b. w.

Dieser Beweis des Lagrangeschen Satzes ist viel kürzer als der
erste, was ja nur natürlich ist, da er bessere Hilfsmittel, nämlich das
Nähernngsgesetz, benutzt. Gleichwohl hat auch der erste Beweis seine
besonderen Vorzüge, weil er uns gleichzeitig einige Nebenresultate lie-
ferte, die wir alsbald gebrauchen werden.

§ 22. Reduzierte Zahlen und reine Periodizität.

I. Definition. Eine quadratische Irrationalmhl heißt reduziert,.
wenn sie größer ist als 1, und wenn ihre Konjugierte zwischen — 1 und 0
liegte)

1) Dies entspricht der Qa aß sehen Definition der reduzierten quadratischem
Form mit positiver Determinante {Gauß 1, § 183}.

80 Drittes Kapitel

Auf Seite 76 haben wir gesehen, daß die Yollstandigen Quotienten
ly, die bei Entwicklung einer quadratischen Irrationalzahl in einen
regelmäßigen Eettenbruch auftreten, für genügend große Werte von v
gerade diese Eigenschaft haben; sie sind also reduzierte Zahlen. Wir
untersuchen jetzt speziell einen reinperiodischen Kettenbruch

Hier ist lo^" ?*= 1«*= Ss* =* • • •; folglich wird ^ auch einem 1^ mit
passend gewähltem, aber beliebig großem Index gleich; ein solches $,
ist aber eine reduzierte Zahl, und daher ist |q selbst eine solche. Wir
erhalten also

SatB 3. Ein reinperiodischer regelmäßiger Kettenbruch stellt eine re-
duzierte quadratische Irrationaieahl dar. {Gcüois 1.)

Dieses Theorem läßt sich noch auf eine zweite Art beweisen. Einer-
seits ist nämlich wegen der reinen Periodizität: \=hk^^\ ^'^^ gewiß
|q> 1. Anderseits ist |q die positive Wurzel der quadratischen Gleichung

B,.i x" + (£,_,- ^_,)a; - A-2= 0 (§ 19, Formel (1)).

Die zu ^ konjugierte Zahl i^q, das heißt die andere Wurzel dieser
Gleichung, ist negativ. Da aber die linke Seite für a: = 0 und x^—l
die Werte

- A-2, fezW. (5^_i - ^^.sj) + (^^1 - ^^_,)

annimmt, welche von entgegengesetztem Zeichen sind, so liegt f^^ zwischen
0 und — 1. Daher ist in der Tat 1^ eine reduzierte Zahl. Satz 3 läßt
sich wieder umkehren:

SatB 4. Der regelmäßige Kettenbmch, in den sich eine reduzierte qua-
dratische IrraticmalzaM entwicJceln läßt, ist stets reinperiodisch, {Gälois 1.)

Beweis. Wir bezeichnen wieder allgemein mit tj^ die zu |^ kon-
jugierte Zahl. Ist ^ reduziert, so bestehen die Ungleichungen

lo > 1, - 1< % < 0-
Entwickelt man also J^ in einen Kettenbruch, so erhält man zunächst

lo = &o + ^7 h'kh

und, indem man zu den konjugierten Zahlen übergeht (vgl. S. 75, Fuß-
note):

'?o = 6„ + ^.
Daraus folgt aber

§ 22. Reduzierte Zahlen und reine Periodizität. 81

also — 1 < 1^1 < 0, so daß auch |^ eine reduzierte Zahl ist. Geht man
in der Kettenbmchentwicklnng einen Schritt weiter, so erweist sich
ebenso i^, und bei Fortsetzung des Verfahrens überhaupt jeder voll-
ständige Quotient l^ als eine reduzierte Zahl; es ist also stets

- 1< 17, < 0.
Aus der Gleichung

l-K + T^-

folgt nun durch Übergang zu den konjugierten Zahlen:

v + 1
oder

^ + 1

Da aber ri^ zwischen 0 und — 1, also — rj^ zwischen 0 und 1 liegt, so
lehrt diese letzte Gleichung, daß h^ nicht nur die in g^, sondern zugleich

die in enthaltene größte ganze Zahl ist.

^ + 1

Nehmen wir nun an, der periodische Kettenbruch, in den sich |q
entwickeln läßt, sei nicht reinperiodisch, sondern die Periode beginne
etwa erst mit h^^, wo h'^l] es ist dann

wobei, da die Periode nicht schon mit bj^^j^ beginnen soll,

sein muß. Wegen der Periodizität ist jetzt lA^-l^+t; also auch rj^^rjj^^j^,

oder, was dasselbe sagt:

1 1

Nimmt man aber hier beiderseits die größten ganzen Zahlen heraus, so
kommt nach dem Bewiesenen: 6;k_i = ft^^^^i, im Widerspruch mit
unserer Annahme. Der Kettenbruch muß also reinperiodisch sein. W.
2. b. w.

II. Über die Yorperioden bei gemischtperiodischen Kettenbrüchen
gibt folgender Satz einige Auskunft:

SatB 5. Wird die quadratische Irrationalzahl 60 > 1> deren Konjur
gierte tjq ist, in einen regelmäßigen Kettenbruch entwicTcdt, so erhalt man

1. für — 1 < T^j, < 0: reine Periodizität,

2. für ijj, < — 1: ein Glied vor der Periode,

3. für %> 0: ein oder mehr Glieder vor der Periode,

PeTTOB, Kettonbraehe. 6

'82 Drittes Kapitel.

Der Fall 1 ist im Vorstehenden schon erledigt, weil in diesem ^
reduziert ist; ebenso aber auch der Fall 3; denn da in diesem Ig nicht
reduziert ist, kann der Kettenbruch nach Satz 3 nicht reinperiodisch
sein. Es bleibt noch der Fall 2. Auch in diesem kann der Kettenbruch

nicht reinperiodisch sein. Da aber jetzt aus der Gleichung i^o ^ ^o H

« sogleich

- ^ =" *o - % > - ^0 > 1

folgt, so ist — 1 < 1^1 < 0, also |i reduziert, und folglich der Ketten-
bruch far li reinperiodisch. Bei dem Kettenbruch fQr ^ geht also nur
das eine Glied b^ der Periode voraus. W. z. b. w.

§23. Inyerse Perioden. Satz Ton Oalois.

L Sei lo" [^0? ^u • • •> ^*-i] ®^^ reinperiodischer Kettenbruch, also
So eine reduzierte ZaÜ. Die voUiitandigen Quotienten 1^ sind dann eben-
falls reduzierte Zahlen, und für sie besteht das System von Gleichungen

in deren letzter von der Beziehung 1^ — ^^ Gebrauch gemacht ist. Geht
Aan zu den konjugierten Zahlen über, so erhält man

oder in umgekehrter Reihenfolge mit leichter Umstellung der Terme

Der Deutlichkeit halber ändern wir nun ein wenig die Bezeidinung^
indem wir setzen

-f = ?o» -f-g*-, (v-1,2,. ..,*-!).

Da ly reduziert, also — 1 < i?y < 0 ist, so sind alle J^ größer als 1, und
die Torausgehenden Gleichungen lauten:

So ~ ^*-l "1" y ' »1 "^ *-8 + y ? • • •; bjfc_8 — Öl + "^7^ I bJt-i ~ ^0 "t" y >

woraus sofort die Kettenbruch entwicklung hervorgeht:

^ ■" £o"* L^*-l? ^k-i} • • V ^l) K\'

§ 28. Invene Perioden. Satz von Galois. 83

Die Periode dieses Eettenbraches entstellt aus der ursprünglichen^ in-
dem man die Reihenfolge ihrer Glieder umkehrt; wir nennen sie zu ihr
inyers. So köimen wir das folgende von Galois 1 herrührende Theorem
aussprechen:

Sati 6. Ist ^ ein reinperiodischer regelmäßiger Ketteriyruch

und rjQ die eu ^ konjugierte Zahlf so ist der regdmäßige Kettenbruch für

die Zahl AenfaUs reinperiodisch ^ und zwar ist seine Periode die

inverse der vorigen:

II. Auch die Reihen der YoUstandigen Quotienten der beiden
Kettenbrüche zeigen eine gewisse Inversion^ wie wir jetzt beweisen
wollen. Zu dem Zweck entwickeln wir zuerst einige Hilfsformeln, die
auch für gemischte Periodizität gelten und die uns auch später noch
Yon Nutzen sein werden. Wie in § 20 nehmen wir dabei |^ wieder in
der Form an

wo

(2) -i-"--«-

eine ganze Zahl ist. Dann ist, wie wir sahen, allgemein |^ = - — ~ " ,

WO auch Py, Q^ ganze Zahlen sind. Die Gleichung S, =■ 6^ + -j — er-
gibt daher

oder nach Beseitigung der Nenner:

Diese Formel spaltet sich aber wegen der Irrationalität von yD sofort
in zwei, nändich

(3) D .+ P,P,+i -= 6,<?,P,+i + <2,Ö,+i,

Multipliziert man Gleichung (4) mit P^^i und subtrahiert sie dann

▼on (3), 80 kommt

(5) D-P.%i-Ö.Ö.+i,

6*

84 Drittes Kapitel.

eine Formel, die mit Rücksicht auf (2) auch noch für v = — 1 gilt.
In (3), (4), (5) haben wir die wichtigen Hilfsformeln gewonnen, die wir
ableiten wollten«
Nun sei wieder

£ - J^'5+-^« - \h~h T^l

ein reinperiodischer Eettenbruch. Die yoUständigen Quotienten sind
der Reihe nach |q, gj, . . ., I^^^, oder

ra\ T^+Po VR+Pi V^+?. Vd+Pj^^

von hier an wiederholen sie sich periodisch. Ebenso sind mit unserer
obigen Bezeichnung die YoUstandigen Quotienten des Eettenbruches

1

diese: 5oy fi> • • •> Sjb_i^ öder was dasselbe ist

(7) -JL ^ L ... ^1 _Jl

Es ist aber

1/5+p, , -yj^+p.

iv Q^ — 7 also rj^ = ^^ ;

1 Qr QXV^+P,.)

daher

% VD-P^ 1>-PJ

Nach (5) ist aber D- P^^^ Qr-iQ^} also

1 ^yp + p^

Die vollständigen Quotienten (7) sind daher die folgenden:

vp_+Po yp+_Pkr^ Yp+pl-1 vs'+j?« y^+Pi

Hier kann aber der erste Nenner Q_^ noch etwas anders ausgedrückt
werden. Es ist nämlich So^^S*» also Pq=^ P^, Qq^ Q^, Dann lehrt
aber die Formel (5):

Q_, <2o = D - P„»= i) - P,* = Q,_, Q, = Q,_, (?o,

also ö_i= Qk-i' Wir erhalten daher

Sats 7. Sind die voUsUmdigen Quotienten des reinperiodischen Ketten-
brudies [fe^, &^, . . ., &^_J der Reihe nach

§ 83. Inverse Perioden. Satz Ton Galois. 85

yS+P, V^+P; VJ^+P, T/5 + P,,,
wobei D — Pq* durch Q^ teilbar ist, so sind

diejenigen des Kettenbruches [6t_i, &*_8> • • •> ^i? &o]> <^^^ Periode die
inverse der vorigen ist, {Legendre 8.)

IIL Aus dem Galoisschen Satz ergibt sich leicht noch folgender

Sati 8. Die regdmäßigen Kettenbrüche für ewei zueinander Iconjur
gierte quadraiische Irrationalzahlen haben inverse Perioden. {Serret 1.)

Beweis. Sei

feo — \pQ9 ^i; • • •; ^h-19 ^hf ^h + lf ' ' '} ^Ä + A-lJj

daraus folgt
wobei

reinperiodisch ist. Nach dem Galoisschen Satz 6 ist daher

"^ ■" L^A + ifc-l' ^A + *-S> • • V ^A+17 ^aJ-

Anderseits erhalt man aus (8), wenn man zu den konjugierten Zahlen
übergeht:

,.X.A+^... ^A..(-~) + e^A-x)

Die Zahlen i^^ und sind also äquivalent^ so daß nach Satz 23,

Kap. n, ihre regelmäßigen Kettenbrüche von einer gewissen Stelle an
übereinstimmen. Folglich muß auch der Kettenbruch für rj^ die Periode

^A + *-n ^A + *-f> • • •> ^A + l? ^A

haben, das heißt aber die zur Periode von ^ inverse. W. z. b. w.
Man findet zum Beispiel

- ~8^- = [2, 1, 1, 173;^],

14 + y37

8

= [6, 1, 2, 3],

86 Drittes Kapitel.

wobei es allerdings zunächst scheint^ als ob der zweite Ketienbrach
nicht die inverse Periode des ersten hätte. Doch tritt dies sofort in die
Erscheinung^ wenn man die Periode des zweiten an passender Stelle
beginnen läßt, nämlich

yL-ti^i - [6, 1.-2,^,-1].

Interessant ist der von Serrd 1 behandelte Fall, wenn zwei kon-
jugierte Zahlen |q, rj^ miteinander äquiyalent sind. Dann hat nach
Satz 23; Kap. II; tjq die gleiche Periode wie Ig; anderseits nach dem so-
eben Bewiesenen auch die inverse Periode. Es wäre aber falsch, hieraus
zu schließen, daß die Periode notwendig symmetrisch ist. Das kann sie
zwar sein; im allgemeinen braucht sie aber erst dann in die inverse
überzugehen, wenn man sie an geeigneter anderer Stelle beginnen läßt.
Ist also wieder

die Periode, so wird es einen Index i geben, derart, daß die Periode

zur vorigen invers ist. Teilt man daher erstere in die zwei Abschnitte

^A> ^A+i; • • •; ^A+<-i I' ^A+<; ^a+<+i? • • •; ^a+*-i?
und analog auch die zweite

^A + <> ^A + < + l? • • '7 ^A + *-l 1. ^h9 ^A + i; • • 'y '^A + f-lJ

so sieht man, weil beide zueinander invers sein müssen, daß jeder Abschnitt
für sich symmetrisch ist. Die ganze Periode setzt sich also aus zwei
Teilen zusammen, von denen jeder symmetrisch ist. Ausnahmsweise
kann aber auch der eine Teil wegfallen und die Periode also selbst
symmetrisch sein; dies ist nämlich der Fall, wenn i « 0 ist.

Die Zahl ^ J" — zum Beispiel gibt mit ihrer Konjugierten die

Summe 3, ist also mit ihr äquivalent. Ihre Periode muß daher die an-
gegebene Eigenschaft haben. In der Tat findet man

1/7 + 3

=^ [2, 1, 4, 1, 1],

so daß sich die Periode aus den beiden symmetrischen Teilen (1, 4, 1)
und (1) zusammensetzt.

§ 24. Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen. 87

§ 24. Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen.

I. Sei d eine rationale, nicht notwendig ganze Zahl, großer als 1,
aber nicht das Quadrat einer rationalen Zahl. Es ist dann Yd eine
quadratische Irrationalzahl, und wenn man diese in einen regelmäßigen
Eettenbruch entwickelt, so wird nach Satz 5 ein Glied der Periode
Yorangehen; es ist also

(1) v'rf-[&o,«'ir^7^&j-

Hieraus folgt

Yd^h,

— - = U>if h} • • '} h]y

und wenn man auf diesen reinperiodischen Eettenbruch den Galois-
schen Satz 6 anwendet, erhält man

(2) Yd + 6o= [*i» h-u ' • •; *87 ^] — [&*7 h-u ' • '7 ^> K **]•
Anderseits liefert aber der Eettenbruch (1) direkt:.

Durch Vergleich mit dem vorigen ergibt sich wegen der Eindeutigkeit
der Eettenbruchentwicklung:

Daher sieht der Eettenbruch (1) schließlich so aus:

Die Periode beginnt also gleich ncuih dem Anfangsglied wnd sie besteht
OAAS einem symmetrischen Teü, gefolgt von dem doppelten Anfa/ngagUed;
übrigens kann auch h ^1 sein, dann hat der symmetrische Teil Null
Glieder, d. h. er fällt weg. Dies Gesetz fand Legendre 3.

umgekehrt wollen wir nun zeigen, daß ein regelmäßiger Eettin-
brach dieser Form stets die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl
darstellt. Da er nämlich periodisch ist, so muß er jedenfalls ein»
quadratische Irrationalzahl 1^ sein, deren Eonjugierte wir mit rj^^ be-
zeichnen wollen. Es ist also

[hj ^7 ^7 • • •; ^7 f^u 26o] = So5
folglich

[6i, 6„ . . ., fe„ 6i, 26o] — |^~6/
und daher durch Anwendung des Galoisschen Satzes

[2&0, 6i, ^2, . . ., h, bj] = 6o— Vo

88 Drittes Kapitel.

Subtrahiert man beiderseits &o, so kommt

Anderseits war aber dieser Kettenbruch gleich |^. Es ist also So+ ^o"^ ^r
und folglich hat die quadratische Gleichung für 1^ die Form a^^— c^O,

so daß 6o*"T^'~" ^^^5 ^' ^' ^' ^* Natürlich muß auch ^q>1 sein; denn

&Q=»0 ist ausgeschlossen^ weil sonst bf^^ 2bQ'^ 0, also der Eettenbruch
gar nicht regelmäßig wäre. Wir sprechen diese Resultate aus in

Satz 9. Der regelmäßige Kettenbruch für die Quddratwwrzd aus
einer rationalen Zahl größer als 1 ist von der Form

und umgekehrt stellt jeder Kettenbruch von dieser Form die Quadratwurzel
aus einer rationalen Zahl größer als 1 dar,

II. Wir wollen jetzt beweisen^ daß auch die vollständigen Quotienten

eine gewisse Symmetrie befolgen. Zu dem Zweck setzen wir Yd = Vj ^

wo D, Qq ganze Zahlen sind, und zwar D durch Qq teilbar. Dadurch
haben wir wieder unsere frühere Bezeichnung; nur ist dem speziellen
Fall entsprechend P^^O. Bezeichnet wieder k die Gliederzahl der
Periode des Kettenbruches

so sind seine Tollständigen Quotienten der Reihe nach

t Vd t _ yP + P, t 1^ ±A t V^+Pk

wo durch den Strich die Periode angedeutet ist. Da aber auch

(3) li « [2fto, h;r^~r~Kh7^\^ - lo + «-0 = ^^^^7^ ,

so folgt zunächst

Sodann sind die vollständigen Quotienten des reinperiodischen Eetten-
bruches [6^, 2),, . . ., 2>,, \, 2&o] der Reihe nach 1^, ^, . . ., %^, also

§ 24. Qnadratwnizeln aus rationalen Zahlen. 89

Diejenigen des Kettenbruches

(4) [26o, 6i, hy-^K K]

sind dann, weil seine Periode die inverse der vorigen ist^ nach Satz 7:

yp + P, VB+P, Vd + P^ V1> + P,

oder, indem man die Periode eine Stelle weiter rechts beginnen läßt
und berücksichtigt, daß Q^^ Qq ist:

V^+fi V^+Pk VJS+Pk-i yg+p, yn + p^
«0 "' Qk^i ' Qk-. ''"' Qi ' Co

Anderseits sind diese vollständigen Quotienten, da der Kettenbrach (4)

augenscheinlich den Wert 6o+ ^o ^^^7 gleich 5o+ ^o? Su Sg? • • •? S*- ^^
ist also insbesondere

fe-t ^'' Qk-. ^''"'' ~Qi ^*-^' Co ~^*-

Dies besagt aber, da doch allgemein |^ = - ^ ~ war:

P ^ P P =P P ^ P

ö*-i = vi> V*-8'^ Q%j • •. -7 Co"^ QkJ

und folglich sind die beiden Zahlenfolgen

P P P

ylo7 XI? ' ' '7 xk

symmetrisch. Dieses Ergebnis fassen wir mit einem Teil der Aussage
von Satz 9 zusammen in das folgende Theorem von Muir 1:

Satz 10. Ewtwickdt man die Zahl ^ , wo Qq ein Teiler von D und

Vo

Meiner als YD ist, in einen regelmäßigen Kettenbruch

Q~ = [^o; *i; ^2? • • ■; **-i> 2 fco],

und bejseichnet man die Beihe seiner vollständigen Quotienten mit

yn yn+p^ yp + p, V^±^*
Qo ' ~QV ' Q. '" '' Qk

so sind die drei Zahlenfolgen

90 Drittes Kapitel.

V V TV

Qof Qif ' ' '} Qk^if Qk

.symmetrisch. Es ist also

P,^x-P,^. (i/-0,l,...,t-l)

Q.-Qk^r (l/-0,l,. ..,*).

III. Die hiermit bewiesene Symmetrie der P^, Q^ bringt es mit
-sich; daß es bei geradem k zwei P^ mit aufeinanderfolgenden Indizes
gibt, die einander gleich sind, nämlich P^^ Pj^ . Ebenso gibt es bei

ungeradem h zwei aufeinanderfolgende Q^^ die einander gleich sind,
nämlich Q^^ =- ö*+i- ^^ di© Praxis ist nun von größter Wichtigkeit,

-daß, wenn die Ä;-gliedrige Periode die primitive ist, zwei auf-
einanderfolgende Py oder Q^ auch nur in den soeben bezeichneten Fällen
•einander gleich sein können.

Wegen der Primitivität, und weil die Periode nicht schon mit h^
beginnt, sind nämlich die vollständigen Quotienten

(5) So; Sl; • • •; %k

alle voneinander verschieden. Es ist femer unter Berücksichtigung von
Satz 10

Wenn nun einmal P^,^,^^^^ ist, so ergibt sich hieraus

folglich, weil die Zahlen (5) alle voneina^der verschieden sind: Ä;— -i/=-v.
Daher ist Tc gerade, und v ^ -r^. Es ist also in diesem FaU die Glieder-
zahl Ä;— 1 des symmetrischen Periodenteils ungerade, und h^=^h^ ist

8

-das Mittelglied.

Ist dagegen einmal C^+i = Q^, so folgt aus (6)

Daher ist Ä — i/=i/ + 1; folglich Ä; ungerade, und v = — ^ — In diesem

Fall ist also die Gliederzahl des symmetrischen Periodenteiles gerade,
und iy= b^_i ist das letzte Glied der ersten Hälfte. Man erhält also

I 24. Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen.

91

SatB 11. Hai der regelmäßige Kettenbruch für die Zahl |q = ^y^ ,

wo Q^ ein Teiler von D und Meiner als yD ist, eine primitive Periode
von k Gliedern, und sind

_ 1/5 4- P,

Qk

die eugehörigen voUsländigen Quotienten, so ist für diese stets P^ + P^^^;

k

nur, wenn k gerade und v ==» -5-; ist P^ — P,

2

k—l

r + l'

Ebenso ist stets

^^+ör+i; nur, wenn k ungerade und v-^'^Y^y ist Q^^ Qy^i- (Muirl.)

Die praktische Bedeutung dieses Satzes besteht darin; daß er, so-
bald man im Verlauf der Rechnung am Ende' der ersten Periodenhälfte
angdangt ist, dies zu erkennen gestattet. Die zweite Hälfte ist dann wegen
der Symmefarie Ton selbst bekannt, ohne daß man die Rechnung weiter
fortzusetzen braucht, die sich also dadurch um die Hälfte verringert.
Wir illustrieren dies an je einem Beispiel für ungerade und gerade
Werte von k.

Beispiel I: V^-i^

|/78

8 +

1/73 — 8

1/73 — 8
9_

1/73—1
8

1/73 — 7
3

1/73 + 8 _ 1/73 — 1

~9 """^"^ "9

1/73 + 1

8

73 + 7
8

1/73 + 8

1 +

ö +

1/73 — 7

8

TJ • • 1 TT VI8 1/62 /62 \

Beispiel II: ^^ =- - — ( — = ganz I

V^ — 4

52
4"

1/52+4

1/62

\)

1 +

1 +

9

9

1/62 + 6

1/73 — 8

8

I/02 — 6

8
1/62 — 7

= ^-^---- 4 +

1/62 — 7

3

1/62 + 7

3

14 +

1/62

Weiter braucht man die Rech-
nung nicht fortzusetzen. Denn da
jedesmal das P^ der folgenden Zeile
gleich der Zahl wird, welche auf

1/73 — s 3

Weiter braucht man jetzt die
Rechnung nicht mehr fortzusetzen.
Denn da die zwei letzten Nenner Q^ " ^^' rechten Seite der vorausgehen-
einander gleich, nämlich 3, sind, 1 ^^^ ^eUe negativ steht, also zuletzt
Bo ist die Gliederzahl der Periode 1'^^ ^^ bekommt P, hier zweimal
ungerade; also die des symmetri- ! nacheinander den gleichen Wert 7.
sehen Periodenteils gerade, und die Paber ist die Qliederzahl der Periode
Teilnenner 1, 1, 5 büden die erste ; 8^™^^5 also die des symmetrischen
Hälfte. Man erhält also, da das 1 ^^^^^^^^^^ ungerade, und 14 ist
letzte PeriodengUed gleich dem dop- ^^ Mittelglied. Da das letzte Pe-
pelten Anfangsglied sein muß: riodenglied gleich dem doppelten

VT3 - [8, 1,1,5,5,1,M6] ^7«8"^^ '''' kommW^her:

; ^^' = [1,1,4,1474,1,2].

92 Drittes Kapitel.

IV. Aus Satz 10 folgt noch ein bemerkenswertes Resultat fQr den
Fall, daß Je ungerade ist; sei etwa Tc ^2r + \, Dann ist nach Satz 10:

e,= ftr+i-, (r = 0,l,...,2r+l),

also speziell für v = r:

Nun haben wir aber in § 23 die ganz allgemein gültige Gleichung (5)
bewiesen:

"^ 1 + 1 ^r^v + l'

Aus dieser folgt für v = r:

Wir erhalten also

SatB 12. Besitzt die Zahl D einen Teiler Qq Meiner als yCD und von

der Beschaffenheit, daß der regelmäßige Kettenhruch für die Zahl J^ eine
Periode von ungerader Glieder zahl 2r + 1 l^t^ so ist D die Summe von

zwei Quadraten; und zwar besteht, wenn i^.^ = - — ^^ — ^^^ der (r + 1)*

Vr + l

vollständige Quotient ist (6o= q~ ^^ nuUter gerechnet), die Zerlegung:

D =^ P^ 4-0*

Die Zahl D wird demnach insbesondere dann die Summe von zwei

Quadraten sein, wenn der Eettenbruch für ]/^ eine Periode von unge-
rader GUiederzahl hat; dann ist einfach Qq=\. Wie wir später zeigen
werden (S. 106), sind in diesem Fall die Quadrate sicher relativ prim,
was für Qfi>l nicht immer zutrifft.

§ 25. Quadratwurzeln aus ganzen Zahlen.

I. Ein regelmäßiger Eettenbruch der Form

(1) 5o=" [^o; \^ *27 • • • ; hj *n 26o]

stellt nach Satz 9 die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl dar; wir
untersuchen jetzt die Beschränkungen, denen die h^ unterliegen müssen'
damit dies eine ganze Zahl ist. Bezeichnet U die Gliederzahl der primi-
tiven Periode, so sind die vollständigen Quotienten

(2) lo7 5i^ »»> • • •? Sit

wieder alle von einander verschieden. Ist S^ = l/Z), wo D eine ganze
Zahl, so muß zunächst h^ gleich der größten in )/Z) enthaltenen ganzen

§ 26. Quadratwurzeln aus ganzen Zahlen. 93

Zahl E sein. Femer sind in den vollständigen Quotienten S, = - — >^ *

die Py, Q^ ganze Zahlen, und speziell P^^O, Qq^^^ 1. Für v^l aber
sind die i^ als reinperiodische Eettenbrüche reduzierte Zahlen, und
daher folgt genau wie Seite 76:

(3) 0<P^^E ^\ v^l

(4) 0<Q,^2E^2h, 1/^1.

Während außerdem Qj^= Qq==1 ist, wollen wir jetzt noch beweisen,
daß

(5) g, ^ 2 fQr t; = 1, 2, . . ., * - 1

sein muß. In der Tat, wenn für einen dieser i/ -Werte $,=» 1 wäre, so
hatte man

V __ yn + P. -. J: ^ P

und folglich 6y+i = 6i, im Widerspruch mit der Tatsache, daß die Zah-
len (2) alle voneinander verschieden sind.

Von der Gleichheit Q^^2 läßt sich weiter zeigen, daß sie nur für

k

den Index v => y eintreten kann. In der Tat ist unter Berücksichtigung
von Satz 10

Sßv

Daher durch Subtraktion

Die beiden Elammergrößen der linken Seite liegen aber zwischen 0
und 1; also folgt

(6) l^,--P,+i<«,-

Anderseits ist nach der allgemein gültigen Formel (4) Seite 83

(7) P,+ P,+x = 6,<2,.
Wenn nun einmal Q^^ 2, so folgt aus (6) und (7):

Daher ist P^-f- P^^^, also auch P^— P^^^ eine gerade Zahl, und zwar

letztere absolut kleiner als 2; sie muß also Null sein, d. h. P^= P^^t.

k
Nach Satz 11 ist dann aber v =' „ ; ^i^s gibt

)* •.

^

94 Drittes Kapitel.

Sat8 13. Entwickelt man g^ = yD, wo D eine ganze nickt quadrati-
sche Zahl, in einen regelmäßigen Kettenbruch [&^, tj, 6„ . . ., 6,, 6^, 2JJ,
und ist k die Gliederzahl der primitiven Periode, so sind die Nenner Q^
der vollständigen Quotienten

mindestens gleich 3; aUenfoMs, wenn k gerade und f * v; ^<^'^ Qv^^
sein.

Nun beweisen wir weiter

SatB 14. Unter den Voraussetzungen von Satz 13 sind die h^ des

2

symmetrischen Periodenteües kleiner als ^^of dbg^sehen dllenfaUs bei ge-
radem k von dem Mittelglied (^ ^ n )- -^^ dieses Miüdglied größer als

2

^- Jq, so kann es nur einen der Werte h^ oder fc©"" 1 haben, und gleich-
zeitig ist Q^ = 2.

Beweis. Für 6^ ^ y 6o i^t nach Formel (7)
also mit Rücksicht auf (3):

Q.£-^-- £-2 -3.

T ^0 Y *•

2

Dabei kann Gleichheit nur eintreten , wenn b^'^Y^o ^^^ gleichzeitig

k
P^= P^^i = Jq ist; aber dann muß nach Satz 11 gewiß v =» y sein^

also 6y das Mittelglied des symmetrischen Periodenteiles ^ womit dieser
Fall erledigt ist. In allen andern Fällen^ also insbesondere^ wenn

b^>Yh ^^^9 ™^ß öy< 3, also Q^^2 sein, so daß nach Satz 13 wie-

deram v ^ — ist. Für v — -^ ist aber, wenn wir zunächst noch Q^ be-
liebig lassen, P^'^^ P^^^, also auch

"- 2 2 '

daher einerseits mit Rücksicht auf (3)

2P 26«

::(8) ».-«r^X'

§ 26. Quadratwurzeln aus ganzen Zahlen. 9&

anderseits aber

Daher

(9) ^>%-2-

Wegen (8) und (9) und, weil -^- — P^ eine ganze Zahl ist, kommen
für die Zahl b^ Iv =» yj überhanpt nur die Q^ Möglichkeiten in Bäraeht:

2h^ 2(6^^1) 2(6^ _ 2) 2(&,-g, + l)

(Stern 4). Speziell für Q, ■» 2 kann also nur b^ = b^ oder &o — 1 sein,
womit Satz 14 vollständig bewiesen ist. Zugleich ergibt sich aus (8),
daß ftbr Qy^2 stets P,-» b^ sein muß.
Eine Ergänzung zu Satz 14 ist

Sats 15. Wenn unter den Voraussetzungen von Säte 13 k gerade ist^

und ^4 — 2, so ist stets P^ = 6j=« b^ oder b^— 1. Umgekehrt ist für

T Y 8

bj^^ \ oder Jq— 1 stets Q^^ 2, ausgenommen die Fälle D «=» 8 und

i Y

D ^ 12, in welchen b^^^bQ— 1, und trotzdem Q« =» 4 bzw, 3 ist.

Y Y

Beweis. Da wirden ersten Teil des Satzes soeben schon bewiesen haben,

2 k

handelt es sich nur um den zweiten. Wenn dann 6» > y Jo ^^ ^ ™ Y'

so ist schon im Satz 14 ausgesprochen, daß Q, — 2 ist, so, daß nur noch
der Fall \ < - - 6^ übrig bleibt. Da aber b^ — 6q oder Jq — 1 sein soll,

2

und da nicht ^o ^ T ^o ; ^^ führt dies zu

8

0<6,-6o-l<;4-6c

S ^'o;

also hQ^2 oder 3, so daß f&r D bloß die zehn Möglichkeiten

D - 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15

übrig bleiben. Prüft man diese einzeln durch, so zeigt sich, daß in der
Tat 2) = 8 und D = 12 als Ausnahmen bestehen bleiben. Bei D =» 8

ist nämlich YS — [2, 1, 4] ; der symmetrische Periodenteil besteht also

l/ft -l- 2

aus dem einen Glied 1 — 6^—1, und man findet: Si= -- 7~ , daher
Cj - 4. Bei D = 12 ist j/lä = [3, 2,~6]; der symmetrische Periodeij-

* j «

96 Drittes Kapitel.

teil besteht also wieder aus dem einen Glied 2 = b^ — 1, und man

findet: g^ = ^ 3 ; ^^^ öi = 3.

n. Nach Th. Muir heißt die primitive Periode von j/D (D ganz-
zahlig) kulminierend, wenn ihre Gliederzahl k gerade und b^=^bQ ist;

fastkulminierend, wenn 6^=« 6^— 1 ist. Wir werden in § 27 sehen,

daß es zu jedem &q wirklich kulminierende und fastkulminierende Peri-
oden gibt. Hier woUen wir nur noch folgenden von Gröpd 1 herrühren-
den Satz beweisen:

Sat8 16. Abgesehen von den Fällen D = 8 und 12 muß bei einer
fasthdminierenden Periode von Je Gliedern b^ _^=^ 1 sein; also

Beweis. Die Formeln VS^- [2,T74] und yl2 = [3, 276] zeigen,
daß jedenfalls D = 8 und D =» 12 Ausnahmen bilden. Sieht man von

diesen ab und setzt wieder -^^v^^o ist nach Voraussetzung b^^b^—ly

also nach Satz 15

Femer ist nach der allgemein gültigen Formel (5), Seite 83
also

Daher mit Rücksicht auf Formel (4), S. 83:

Da aber P^= 6^— 1, und da P^_i nach (3) auch nicht größer als 6^
sein kann^ so folgt hieraus ft^^j < 2; also in der Tat &y_i = 1. W. z.
b. w. Einige weitere Sätze von der Art des Satz 16 findet man bei
Muir 6.

111. Die Sätze 14, 16 enthalten zwar notwendige, aber keineswegs
hinreichende Bedingungen dafür, daß der Kettenbruch die Quadratwurzel
aus einer ganzen Zahl darstellt'. Die Eruierung der notwendigen und
hinreichenden Bedingungen knüpfen wir an folgende Fragestellung an:

Wenn in dem regelmäßigen periodischen Kettenbriwh

60= l-^o; ^; hf • • '7 b^f ^1; 26o]

der symmetrische Periodenteil b^, b^, » - », b^, b^ gegeben ist, wie muß als-
A dann b^ beschaffen sein, damit §0*= D ganzzdhlig wird?

§ 25. Quadratwurzeln ans ganzen Zahlen. 97

Zunächst wissen wir aus Satz 9, daß ^ gewiß die Quadratwurzel
aus einer rationalen Zahl ist; daß also bei der quadratischen Gleichung,
welcher |q genügt, das lineare Glied herausfallen muß. Diese quadrati-
sche Gleichung ergibt sich, wenn Ic die Gliederzahl der (nicht notwendig
primitiven) Periode bedeutet, aus der Beziehung

indem man darin |;^ =» &q + So eüisetzt. Es kommt dann

Weil aber das lineare Glied von selbst herausfallen muß, so ist zunächst

(10) b,B,_, + B,_,^A,_,^),
und die quadratische Gleichung lautet dann einfach

Setzen wir ^^ » D, so handelt es sich also darimi, ig so zu bestimmen,
daß die durch die Gleichung

(11) DB,_,^b,A,_,-\-A,_,

definierte Zahl D ganz wird. Wir haben daher eine diophantische Glei-
chung mit den Unbekannten b^ und D zu lösen. Diese ist aber nicht
linear, wie es auf den ersten Blick scheinen könnte; denn die Koeffi-
zienten Ä^_i, ^k-i ^^^^ selbst noch lineare Funktionen von b^, und
zwar ist nach den Formebi 27, Kap. I

Setzt man dies in (11) ein, so kommt

Diese Gleichung läßt sich aber noch etwas vereinfachen. Substituiert
man nämlich in Formel (10) für B^^i, Bj^^^ die Werte aus (12) und
(13), so erhält man

und wenn man dies mit der ersten Gleichung (12) vergleicht,
(15) A->,i = B*-,.i *).

1) Dies ergibt sich anch ans § 11, 1, da der (k -\- l)-gliedrige Eettenbruch

BjmmetriBch, und sein vorletzter N&herangsz&hler A ist.

2) Diese Gleichung kann übrigens auch direkt aus § 11, 1 entnommen werden,

ureil ja der Eettenbruch

A

[6i, 6,, . . ., 6j, ftj] = ^*~ '^
«ymmetrisch ist. " '

Perron, Kettenbrttohe. 7

1

98 Drittes Kapitel.

Setzt man dies in die diophan tische Gleichung (14) ein, so nimmt sie
die Gestalt an:

(16) Ä,^^,(D - V) - 5»-,,x • 2 Jo - £,_,,,.

Diese Gleichung ist aber in den beiden Unbekannten 2bQ, D — h^
linear und läßt sich sofort auflösen. Da nämlich

(17) A-,.i-B*-..i- ^*-2.i^*-..i- (- 1)*-'
ist, so lautet die allgemeine Lösung:

26o-(- 1)*-%_mS*_,.i + «»^*_,,i
D - V - (- 1)*-'B*-m5*-,.i + »«-B*_2.i

- (- 1)*-»A*-m + «»^*-..i ("ach (15)),

WO m eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Da aber nicht nur 2\y son-
dern \ selbst ganzzahlig und zwar positiv sein soU, so muß man m
auf solche Werte beschiünken, für welche der Ausdruck

(-1)*- %_,.,£»_,.,+ mV,,,

eine positive gerade Zahl wird. Wir erhalten somit
SatB 17. Wenn von dem regdmäßigen Keüenhruch

mit k-gliedriger Periode der symmetrische Teil der Periode vorgegeben ist,,
so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß i^ die
Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl ist, darin, daß b^ die Form hat
(Bezeichnung siehe § 5, II):

WO m eine ga/nze Zahl bedeutet. Und zwar ist dann

Dieses schöne Theorem, für das wir sogleich eine Reihe von Ein-
zelbeispielen aufstellen werden, findet sich bereits im Jahre 1765 bei
Euler 9, der die betreffenden Formeln für ä; =• 1, 2, . . . 8 einzeln an-
gibt, woraus wohl zu schließen ist, daß er die Allgemeingültigkeit völlig
durchschaut hat. Freilich war das Gesetz der Periodizität damals noch
nicht bekannt; das hat Euler der Erfahrung entnommen und darauf
seine weiteren Schlüsse richtig aufgebaut. In neuerer Zeit ist das Theo-
rem von mehreren unabhängigen Autoren neu entdeckt worden, zuerst
von Muir 1, 2; einige Jahre später von K, E, Hoffmann 1. Muir hat
^ bemerkt, daß der Ausdruck für &o dann und nur dann ganzzahliger
-:: : Werte fähig ist, wenn von den Zahlen Ä]^^^^, ^k-z\ ^^® ®^^® gerade

•> •

o to w I

§ 26. Quadratwurzeln aas ganzen Zahlen. 99

ist.^) Dann wird nämlich h^ zum mindesten für gerade Werte von m
ganzzahlig. Sind dagegen beide ungerade, so können wegen (17) die
Zahlen Ä^^^^ und -B^^si ^<^ht ebenfalls beide ungerade sein; aber
nach (15) ist ^«.s i^ ^^..s i; also nach unserer Annahme ungerade,
daher muß A^^^i g^^^^^ s^iii* Unter diesen Umstanden wird aber der
für b^ gefundene Ausdruck nie eine ganze Zahl.

lY. Wir wenden uns nun den einfachsten Beispielen zu, indem wir
aUe ganzen Zahlen aufsuchen, deren Quadratwurzeln Perioden mit 1, 2,
3, 4 Gliedern besitzen.

Erstes Beispiel: A: *— 1.
in diesem Fall ist

daher

6o-|; D-V+l.

Es ist also b^ beliebig, und man erhält

Zweites Beispiel: A; » 2.
In diesem Fall ist

^*-.M =- ^-1,1 = 1; -B*-8,i -^ -B_i^i = 0; ^4_,^i - ^0,1 = ^•
Daher

Es muß also \ ein Teiler von 2&q sein, und man erhält

so oft m ein Teiler von 26^ ist.

Drittes Beispiel: Ä; -» 3.
In diesem Fall ist

letzteres, weil ja (6j, J,) der symmetrische Teil, also 6i= b^ ist. Daher

1) Dafi beide gerade sind, ist wegen (17) nicht möglich.

100 Drittes Kapitel.

Damit b^ ganzzahlig ist, muß b^ gerade (^ 2b), und ebenso m gerade
(=« 2») sein, und es ergibt sich

y(n(46*+l) + 6)'+4»6 + l

> *i

= [n(4&«+ 1) + 6, 2b, 2b, 2n(46>+ 1) + 26].

Viertes Beispiel: t = 4.
In diesem Fall ist

A-8,1 = ^1,1 « 6i6, + 1; -0*^8,1 ^ -^1.1 -» 62;

^*-2,l ^ ^2,1 = ^*8*8 + 63 + ^ == 6i''*2 + 26i,
weil ja (61 , &2; ^s) ^^^ symmetrische Teil, also b^ =61 isi Daher

Wenn hier 6, gerade ist, so wird b^ stets ganzzahlig; wenn aber b^ xm-
gerade, so muß auch b^ ungerade, und m gerade sein.

Diese Beispiele mögen genügen. Setzt man in ihnen für die b^,
m, n eine Reihe kleiner Zahlen ein, so erhält man eine ziemliche Anzahl
von Quadratwurzeln, deren Eettenbruchentwicklung somit bekannt ist.
Zum Beispiel findet man unter den Quadratwurzeln aus den Zahlen
zwischen 1 und 100 bereits 56 dieser Art; die betreffenden Ketten-
brüche können daher ohne alle Rechnung im Lauf weniger Minuten
hingeschrieben werden. Will man eine größere Tabelle berechnen, so
tut man gut, auch ftir A: > 4 noch ein paar einfache Spezialformeln
aufzustellen. Solche sind auf anderm W^eg von de Jonquieres 1, 2, und
in großer Anzahl von Boutin 1 angegeben worden. Doch können wir
auf deren Tollstandige Mitteilung yerzichten, weil sie nichts enthalten,
was nicht aus dem Muirschen Satz 17 ohne Schwierigkeit entnommen
werden kann. Man bringt es leicht dahin, daß die meisten Zahlen der
zu berechnenden Tabelle in den aufgestellten Spezialformeln enthalten
sind; fiir die andern muß man freilich die Rechnung direkt in Angriff
nehmen. Solche Tabellen sind mehrfach berechnet worden; die größte
ist die von Degen 1, welche die Zahlen D < 1000 umfaßt. Von anderen
sei etwa die bei Seeling 1 erwähnt, welche bis D =- 602 reicht. Wir
schließen hier ebenfalls eine kleine Tabelle an. Die Konstruktion ist
derart, daß in der ersten Spalte die Zahlen D, in der zweiten die Reihe

der Teilnenner des zu YD gehörigen Kettenbruches aufgeführt sind.
Dabei ist, um Raum zu sparen, außer dem Anfangsglied nur die erste
Hälfte des symmetrischen Periodenteiles angegeben, weil damit ja die
^anze Periode bekannt ist. Hat der symmetrische Teil eine ungerade
pliederzahl, also ein Mittelglied, so ist dies durch Einklammerung dieses

§ 26. Qnadratwuizeln aus ganzen Zahlen.

101

Gliedes angedeutet. Besitzt die Periode einen nuUgliedrigen, d. h. keinen
symmetriselien Teil^ so steht natürlich nur das Anfangsglied in der
Tabelle. Es ist also zum Beispiel:

VöO - [7, 14] ; 1/51 ~ [7, 7, 14] ; 1/53 = [7, 3, 1, 1, 3, 14] ;

1/54 - [7, 2^^0^:2,141 .

Die Erklärung der mit x and y Qberschriebenen Spalten erfolgt
in § 26.

D
2

X

1 y :

D

X

182

1

y ■

1

1

1

63

7, 8, l

st 1

8

1,(1)

2

1

64

7, 2, 1, (6)

486

6

2

2

1

65

7. 2, (2)

89

12

G

2,(2)

6

2

56

7,(2)

15

2 !

7

2, 1, (1)

8

3

67

7,1,1,(4)

161

20

8

2,(1)

3

1

68

7, 1, 1, 1

99

13

10

3

3

1

69

7, 1, 2, (7)

580

69

11

8,(8)

10

8

60

7, 1, (2)

31

4

12

3,(2)

7

2

: 61

7, 1, 4, 3, 1, 2

29718

3806

13

8,1,1

18

6

62

7, l, (6)

63

8

14

3, 1, (2)

15

4

'63

7,(1)

8

1

1

16

8,(1)

4

1

66

1

8

8

1

17

4

4

1

66

8, (8)

65

8

18

4,(4)

17

4

i67

8,5,2,1,1,(7)

48842

5967

19

4, 2, 1, (8)

170

89

68

8.(4)

33

4 ;

20

4,(2)

9

2

69

8, 8. 8, 1, (4)

7775

936

21

4, 1, 1, (2)

65

12

70

8, 2, 1, (2)

251

30

22

4, 1, 2, (4)

197

42

71

8, 2, 2, 1, (7)

8480

413

23

4, 1, (3)

24

6

72

8,(2)

17

2

24

4,(1)

6

1

73

8, 1, 1, 6

1068

125

26

6

6

1

74

8, 1, 1 •

43

6

27

*6, (5)

26

6

76

8, 1, (1)

26

3

28

6, 8, (2)

127

24

76

8,1,2,1,1.5,(4)

57799

6630

29

6,2,1

70

13

77

8, 1, 3, (2)

351

40

80

ö,(2)

11

2

78

8, 1, (4)

63

6

31

5, 1, 1, 8, (6)

1620

273

79

8, 1, (7)

80

9

32

6, 1, (1)

17

3

80

8,(1)

9

1

33

6, 1, (2)

23

4

82

9

9

1

34

5, 1, (4)

35

6

83

9,(9)

8-2

9

36

6,(1)

6

1

84

9,(6)

56

6

37

6

6

1

86

9,4,1

378 '

41

38

6,(6)

37

6

86

9, 8, 1, 1, 1, (8)

10405 !

1122

39

6,(4)

26

4

87 ■

1

9.(3)

28

8 1

40

6, (8) i

19

3

88'

9, 2, 1, (1)

197

21 ;

41

6,2 ;

82

6

89

9,2,8

600

68

42

6,(2)

13

2

90

9,(2)

19

2

43

6, 1, 1, 3, 1, (6)

3482

531

91

9,1,1,5,(1)

1574

165

44

6, 1, 1, 1, (2)

199

30

92

9,1,1,2,(4)

1151

120

46

6,1.2,(2)

161

24

93

9, 1, 1, 1, 4, (6)

12151

1260

46

6,1,3,1,1,2,(6)

24335

3588 1

94

9,1,2,8,1,1,6,1,(8)

2143295

221064

47

6, 1, (6)

48

7

96

9, 1, (2)

39

4

48

6,(1)

7

1

96

9, 1, (3)

49

5

60

7

7

1

97

9, 1, 5, 1, 1, 1

5604

569

61

7,(7)

50

7

98

9, 1, (8)

99

10 ;

52

7,4,1,(2)

649

90

99

9,(1)

10

1

102 Drittes Kapitel.

§ 26. Die Feilsche Glelcliiing.

I. Als Pel Ische Gleichung bezeichnet man die diophantische Glei-
chuniT

wo D positi? ganz^ aber kein Quadrat ist. Dieses Yon Fermat gestellte
Problem wurde zuerst von Peli (nach dem Zeugnis Eulers) und WaUis 2 C,
später von Euier 9 mit ziemlichem Erfolg in Angriff genommen. Die
vollständige Lösung; insbesondere der Nachweis^ daß überhaupt immer
Lösungen außer der trivialen x^±l,y'^0 existieren, gelang aber erst
Lagrange auf zwei verschiedenen Wegen. (Lagrange 1, 2.) Wir können
unserer Untersuchung gleich eine etwas allgemeinere Gleichung zu-
grunde legen wie die Pellsche, nämlich

und uns dabei auf relativ prime Lösungen beschränken. Darauf läßt
sich offenbar der allgemeine Fall zurückführen; denn wenn x und y
einen Teiler d gemein haben sollen, so muß L den Teiler cP haben, und
man kann die ganze Gleichung durch d^ dividieren. Auch darf man
x^ y positiv annehmen.

Ist X ^Pj y ^ q eine Lösung unserer Gleichung, so muß nach

Satz 12, Kap. II, wegen der Voraussetzung L < YD jedenfalls — ein

Näherungsbruch von )/Z) sein {Lagrange 7). Wir werden daher einfach
für X, y die verschiedenen Näherungszähler Ä^ und -Nenner B^ einsetzen
und zusehen, ob die Gleichung erfällt ist. Um die hierzu nötigen Hilfs-
mittel bereit zu stellen, gehen wir mit unserer gewohnten Bezeichnung
aus von der für alle v gültigen Formel

Multipliziert man mit dem Nenner herauf, so kommt
DB,_, + iB,_,P, + B,_, Q:) Yd - A,_, Vß + A,_,P,+ A-iQ^,
eine Gleichung, die sich sofort in zwei spaltet:

(2) ^,_i = 5,_,P,+ 5,_,Ö„

(3) DB,_,^ A^_,P,+ A,_^Q,.

Von diesen multiplizieren wir die erste mit -4.^_i, die zweite mit jBy_i,
und subtrahieren sie dann; dadurch ergibt sich

(4) ALi-z)5;.i-(A-i5v-«-^v.«5.-i)«.-(-i)''e..

§ 26. Die Feilsche Gleichung. 103

Unsere diophantische Gleichung wird daher dann und nur dann
auflösbar sein, wenn L unter den Zahlen Q^ vorkommt und wenn dabei
das gegebene Vorzeichen ± den Wert (— 1)" hat. Es gibt dann immer
gleich unendlich viele Lösungen; denn ist U die' Gliederzahl der primi-
tiven Periode; so ist auch

und dies wird mindestens für gerade n ebenfalls gleich (— 1)''^^ . Wenn
J: ungerade ist^ so kommt für gerade n das entgegengesetzte Zeichen wie
für ungerade n; in diesem Fall ist also die Gleichung x^— Dy^'== ± L,
wenn L unter den Zahlen Q^ vorkommt, für beide Vorzeichen auflösbar.
In der Eettenbruchentwicklung von YD haben wir somit ein unfehl-
bares Mittel; um jederzeit zu entscheiden; ob die diophantische Gleichung
lösbar ist; und gegebenenfalls die unendlich vielen Lösungen auch an-
zugeben. Diese Lösungsmethode stammt von Euler 9; der bereits die
Formel (4) fand.

Wir wenden uns jetzt speziell der Gleichung

zu. Bei dieser ist also v derart zu wählen; daß Qy= 1 ist; und dies
findet nach § 25; I dann und nur dann statt; wenn v ein Vielfaches
Ton k. Setzen wir also v = nt in (4) ein, so kommt

und es gibt keine anderen Lösungen. Daher der in vollem Umfange
von Legendre 3; zum Teil auch schon von Lagrange 1; 2 herrührende

Sats 18. Die Feilsche Gleichimg x^ — Dy^^ + 1 ist immer lösbar,
und »war auf unendlich viele Arten, Ist ^ der Näherungsbruch v^ Ord-
nung van Yd, und ist k die Glieder zahl der primitiven Periode, so ist die
Gesamtheit aüer Lösungen:

^ /n = 1, 2, 3, . . . bei geradem k \

"*"' ' ^ "*-' \n = 2, 4; 6; . . . bei ungeradem kj

Dagegen ist die Gleichung x^— Dy^^ — 1 dann und nur dann lösbar ^
icenn k ungerade ist, und zwar hupten dann die Lösungen:

^-Ak^ly y=^«t-l (n=l;3;5,7;...).

Übrigens kommt auch für n = 0 eine Lösung der Feilschen
Gleichung herauS; nämlich die triviale a; = 1; y =» 0; welche kein Inter-
esse bietet.

II. Die unendlich vielen Lösungen der Gleichung x^ — Dy^ — ± 1
stehen untereinander in einem bemerkenswerten schon von Lagrange 1
erkannten Zusammenhang. Nach den Fundamentalformeln ist nämlich

104 Drittes Kapitel.

(5)

Nun ist aber

v — ltk

= h+ [*oi hy hf • • -7 ^-i] = ^0 + V- = ^-^ ^^ •

Also, da beide Brüche irreduzibel sind:

Setzt man das in (5) ein, so kommt

Dies Uißt sich noch etwas anders schreiben; denn die Formeln (2), (3)
besagen für v ^ k:

SO daß die beiden letzten Gleichungen noch übergehen in

Diese beiden Formeln lassen sich aber in die eine zusammenfassen:

(6) A^,_, + B,^,_, VD = (A-t + B^_,yDXÄ,_, + B,_, YD).
Wählt man hier speziell v »* (n — 1)Ä:, so ergibt sich

und hieraus sogleich

(7) Ä,,_, + B,,_, VD = {Ä,_, + B,_, VD)".

Diese Formel drückt den erwähnten Zusammenhang aus. Sie ge-
stattet, sobald die eine Lösung JL^_i, i?4_i der Gleichung a;*— Dy*« ± 1

1) In der Tat ist ja p^.= 2;^,, wie sich aus 5it = So + ^oi ^' ^» *^*

^"^-'^-VD + K

sofort ergibt.

§ 26. Die PellBche GleichuDg. 105

bekannt ist^ alle andern der Reihe nach sehr viel rascher zu berechnen^
als dies durch die gewöhnlichen Rekursionsformeln für die Näherungs-
zahler und -Nenner möglich wäre. Gleichung (7) zerfällt nämlich, wenn
man auf die rechte Seite den binomischen Satz anwendet, sofort in die
zwei folgenden:

(8)

In der Tabelle S. 101 sind in den mit Xy y überschriebenen Spalten
die Werte von -4^_i, J^k-i ang©göhen. Diese sind nun Lösungen der
Gleichung

x^-Dy^^ + l
oder der Gleichung

a;»-J)y«=-l,

je nachdem Tc gerade oder ungerade ist. Das ist aber aus der Tabelle
sofort zu ersehen; denn wenn k gerade, so ist die Gliederzahl des sym-
metrischen Periodenteiles ungerade; es gibt also ein mittleres Glied,,
und dies ist in der zweiten Spalte eingeklammert. Die Werte rr, y der
Tabelle geben daher eine Lösung der ersten oder zweiten Gleichung, je
nachdem in der zweiten Spalte die letzte Zahl eingeklammert ist oder
nicht. Im ersten Fall, wenn also k gerade, hat die zweite Gleichung,
wie wir sahen, überhaupt keine Lösung. Im zweiten Fall lautet die
kleinste Lösung der ersten Gleichung: a? = ^jj_i, y '= B^j^_^y und er-
gibt sich daher nach (7) aus der Formel

X + yYD - {A,_, + B,_^yB)\
also

X - AU + -D-B/-!, y = 2 A_iB*_i .

Für D « 13 zum Beispiel liefert die Tabelle Aj^_^ = 18, JB^_i = 5, und
da die letzte Zahl der zweiten Spalte nicht eingeklammert ist, so ist
dies eine Lösung der Gleichung x*— 13y*«= — 1, wie auch die Aus-
rechnung bestätigt. Es ist nun

(18 + 5/13)^ = 649 + 180]/i3;

also ist a? = 649, y=180 die kleinste Lösung der Gleichung a:*— 13y*= 1.
Umfangreichere Tafeln für die kleinste Lösung der Feilschen Glei-
chung findet man bei Degen 1 (bis X) = 1000), und bei Legendre 3 (bis^
D - 1003).

IIL Ein Blick auf die zweite Spalte unserer Tabelle zeigt, daß die
letzte Ziffer viel häufiger eingeklammert als nicht eingeklammert ist.
Das heißt aber, die Zahlen D, für welche die Gleichung x*— Dy^=^ — 1

106 Drittes Kapitel.

lösbar ist^ sind Terhältnismäßig selten.^) Ein allgemeines Kriterium,
das über die Lösbarkeit dieser Gleichung entscheidet, ohne daß man die
Eettenbruchentwicklung wirklich durchführt, ist nicht bekannt. Doch
gibt es in dieser Richtung einige bemerkenswerte Sätze, die wir jetzt
entwickeln wollen.

Wenn die Gleichung x^ — Dy^ = — 1 besteht, so ist zunächst X>
«in Teiler von ic* + 1 ; nach Satz 5, Kap. 11, muß daher D als Summe
von zwei relativ primen Quadraten darstellbar sein. In der Tat ist unJs
«ine solche Darstellung auch schon bekannt. Denn da in unserem Fall
Jk ungerade, also etwa A- *= 2r + 1 ist, so folgt aus Satz 12 mit (^o= 1:

und wir müssen nur noch zeigen, daß P^^.i und Q^^^ relativ prim
«ind. Haben aber P^^.^ und ^^^^ einen Teiler d gemein, so muß X>
durch d} teilbar sein, und aus den nach Formel (4) bestehenden Glei-
-chungen

folgt dann, daß auch A^r und Ar-\ den Teiler d haben Da aber Ar und
Ar^\ relativ prim sind, so ist d= 1. Wir erhalten also

Satz 19. Die Gleichung x^— Dy^^ —■ l ist sicher nwr dann auf-
lösbar, wenn D die Summe von zwei relativ primen Quadraten ist.

Diese Bedingung ist aber nur notwendig, nicht hinreichend. Zum
Beispiel ist 34 = 25 + 9 die Summe von zwei relativ primen Quadraten;
trotzdem ist die Gleichung a?'— 2)y'= — 1, wie die Klammer in der
zweiten Spalte der Tabelle anzeigt, nicht lösbar.

Weiter beweisen wir

Satz 20. Von den drei Gleichungen

x^-Dy^ 1; x^- Dy^^ 2; a;*- Z)y*= - 2

isty abgesehen vom Fall X) = 2, höchstens eine lösbar.

Beweis: Sei zunächst D > 5. Dann ist 2 < YD, also kann die
Gleichung x^ — Dy^ = ± 2 nach den Erörterungen zu Beginn dieses

Paragraphen nur bestehen, wenn 2 unter den Zahlen Q^, vorkommt

Je
Nach Satz 13 ist aber ^^ — 2 nur für v = (mod Je) möglich; es ist

also ifc gerade, und daher die Gleichung x^ ■— Dy^ = -— 1 nicht lösbar.

1) Eine Tabelle aller Zahlen B unter 7000, für welche die Gleichung
X* — Dy*^' — 1 lösbar ißt, hat Seeling 2 aufgeatellt.

2) Es ist Qr= Qr+i^ ^®il ^i® Zahlenreihe Qq^ <?ii • • -i Qir+i symmetrisch
ist (nach Satz 10).

§ 26. Die Feilsche Gleichung. 107

Aber auch die Gleichung rt* — Dy^ = ± 2 ist nicht filr beide Vorzeichen
möglich; es ist nämlich, wenn Ä; = 2r gesetzt wird und Q^=-=2 ist,
nach (4):

und wir wissen, daß keine anderen Lösungen existieren. Nun bleiben
noch die bisher ausgeschlossenen Zahlen 2) » 2, 3 zu untersuchen. FQr
D = 3 ist die Gleichung a:* — 2)y* = — 1 , wie die Klammer in der
Tabelle zeigt, nicht möglich; ebensowenig ist die Gleichung x^—J)y^^2
möglich, weil offenbar x^-—^ nie durch 3 teilbar sein kann. Endlich
f&r D — 2 sind alle drei Gleichungen lösbar; es ist nämlich

1«_2.1»«-1; 2«- 2.1«= 2; 4*- 2- 3»^ 2,

80 daß i> » 2 als Ausnahme bestehen bleibt.

Der hiermit bewiesene Satz 20 läßt sich in gewissen Fällen um-
kehren. Sei nämlich die Gleichung a:* — Dy* = — 1 nicht lösbar, also
Ä « 2r. Wegen der Symmetrie der ZiJilenreihe P,, P,, . . ., P,^
(Satz 10) folgt dann aus der schon oft benutzten Formel (4) S. 83 für

(9) '■ 2P,-6.<?..

Setzt man daher in den Formeln (2), (3) speziell v — r und multi-
pliziert mit 2, so kommt

(10) 2^_,-B,_,.2P,+ 2B,_,^,= (5,_,6,+ 2S,_,)<2„

(11) 22)J5,_,- ^,_i. 2P,+ 2^,_,«,-. (^,_,6,+ 2^,_,)<2,.

Folglich ist Q^ ein (von 1 verschiedener) gemeinsamer Teiler von 2A^_^
und 2DB^_,; also, weil -4^_i und P^_i relativ prim sind, ein gemein-
samer Teiler von 2^^_i und 22). Aus Formel (4) für v^r ergibt
sich dann, wenn man mit 4 multipliziert und durch Q^ dividiert:

Infolgedessen haben die ganzen Zahlen Q und ^ keinen ungeraden

Vr

Faktor gemein. Daher enthält Q^ jeden ungeraden PrimfaJäor von 2),
wenn überhawpt, so in der gleichen Potenz wie D,

Nunmehr können wir den folgenden Satz beweisen:

Sats 21. Ist die nichtqtiadratisch^ Zahl D eine (erste oder hölm-e)
Potenz einer ungeraden Primzahl oder das Doppelte einer solchen Potenz,
so ist von den drei Gleichungen

a;>~ Dy^ 1; x^-Dy^^ 2; a:»- Dy«- - 2

immer eine, aber auch nur eine lösbar.

108 Drittes Kapitel.

Beweis. Daß höchstens eine dieser drei Gleichungen lösbar ist^
wurde bereits in Satz 20 bewiesen; es bleibt noch zu zeigen^ daß wirk-
lich eine lösbar ist. Sei etwa die Gleichung a? — Dy^ = — 1 nicht lös-
bar^ also Tz = 2r. Dann muß nach dem soeben Bewiesenen Q^ ein Teiler
von 2D sein, der jeden ungeraden Primfaktor von 2), wenn überhaupt^
so in der gleichen Potenz wie D enthält. Dies gibt aber, weil D nach
unsem Voraussetzungen bloß einen ungeraden Primfaktor hat und
auch nicht durch 4 teilbar ist, nur die fünf Möglichkeiten

«, = 2i), D, |, 4, 2,

und zwar die Fälle ^^ = y , 4 nur, wenn B gerade ist. Nun sind aber
die Möglichkeiten Q^ = 2Dy D, ^ ohne weiters auszuschließen. Denn

wegen (9) müßte dann P^ durch D oder y teilbar sein; allein es ist
nach § 25, Formel (3) P^< &o> ^^^ * fortiori, da in Satz 21 2> min-
destens gleich 3 ist, P^ ^ f/jD — 1 < y Aber auch (?r==4 ist nicht

möglich. Dann wäre nämlich nach (10) -4^_i gerade, also S^^i un-
gerade; daher in (11) die rechte Seite durch 8, die linke nur durch 4
teilbar. Es bleibt also einzig Qr=2 übrig. Dann ist aber nachFormel (4)

für V = r\

Al^x-^BB'r-i-i-ir'2,

womit Satz 21 vollständig bewiesen ist.

Der Satz läßt sich für spezielle Formen von Primzahlen noch prä-
zisieren:

Satz 22. Ist die nichtqttadratische Zahl B eine Botenz einer Frim-
zahl der Form 4n + 1, oder das Boppelte einer Potenz einer Primzahl
der Form Sn -{- 5, so ist die Gleichung x^ — By^ = — 1 lösbar.

Beweis. Nach Satz 21 ist nur zu zeigen, daß die Gleichungen
j;2 __ 2)y* = -L- 2 unmöglich sind. Wenn aber erstens B eine Potenz von
4« + 1 ist, so hat B selbst die Form 4n + 1, und dann ist die Glei-
chung x^ — Btß = ± 2 unmöglich, weil die rechte Seite = 2 (mod 4)
ist, während die linke nur = 0, ± 1 sein kann.

Wenn aber zweitens B einen Primfaktor der Form 8» + 5 hat, so
muß dieser, wenn die Gleichung x^ — By^ = + 2 lösbar ist, auch ein
Teiler von a;* + 2 sein, also nach Satz 24, Kap. II die Form a^ + 26*
haben. Nun sieht man aber leicht, daß eine Zahl der Form a^^2V^
nicht = 5 (mod 8) sein kann, so daß die Gleichung 8n + 5 = a*HF26*
unmöglich ist. Also hat die Gleichung x^ — By^ = ± 2 keine Lösung.

Man bemerke, daß für das Doppelte einer Potenz einer Primzahl
der Form 8n + 1 ein ähnlicher Satz nicht gilt. Vielmehr gibt es unter

§ 26. Die Feilsche Gleichung. 109

diesen Zahlen sowohl solche^ ffir welche x^ — Dy* = — 1 losbar ist
(Beispiel: 15« — 226 • 1* = — 1), als auch solche, für die x^ - Dy* = 2
lösbar ist (Beispiel: 6* — 34 • 1* = 2), und endlich auch solche, für die
^ - 7)y« = _ 2 lösbar ist (Beispiel: 12« - 146 • 1' = - 2).

Sat8 23. Ist die nichtquadratische Zahl D eine Potenz einer Prim-
jsahl der Form 8» + 7, oder das Doppelte einer solchen Potenz, so ist die
Gleichung x^ — Dy^ = 2 lösbar.

Beweis: Nach Satz 21 ist nur zu zeigen, daß die Gleichungen

x^ - 2)y« = - 1; rp* - Dy* = - 2

unmöglich sind. Da aber D einen Primfaktor der Form 8w + 7 hat, so
müßte dieser, wenn eine der beiden Gleichungen möglich wäre, auch
«in Teiler von x^-\-l bzw. a;^ + 2 sein. Er müßte daher nach den Sätzen
5 und 24, Kap. II selbst von der Form a* + b^ bzw. a^ + 26* sein. Man
sieht aber leicht, daß diese Ausdrücke nicht == 7 (mod 8) sein können,
daß also die Gleichungen

8n + 7 = a« + 6«; 8w + 7 = a« + 26«

nicht möglich sind.

Sats 24. Ist die nichtquadratische Zahl D eine Potenz einer Prim-
zahl der Form 8w + 3, oder das Doppelte einer solchen Potenz, so ist die
Gleichung x^ — Dy^ = — 2 lösbar.

Beweis. Es braucht wieder bloß gezeigt zu werden, daß die Glei-
chungen

x^ -^Dy^^- 1; x^ - Dy^ - 2

unmöglich sind. Da nun D einen Primfaktor der Form 8w + 3 hat, so
müßte dieser, wenn eine der beiden Gleichungen möglich wäre, ein Teiler
von X* + 1 , bzw. x^ — 2 sein. Nach den Sätzen 5 und 24, Kap. II
müßte er also die Form a* + 6* bzw. a* — 26* haben. Aber die Glei-
chungen

8n + 3 = a« + 6«; 8w + 3 = a> - 26«

sind offenbar wieder unmöglich.

Die Sätze 21 bis 24 stammen in der Hauptsache von Legerere 3,
Gopd \, Boberts 1. Durch Kombination der Sätze 19 und 22 erhält
man noch einen der schönsten Sätze der elementaren Zahlentheorie:

Satz 26. Eine Primzahl der Form 4w+ 1 läßt sich als Summe von
jgwei Quadraten darstellen.

Dieses J^ermo^sche Theorem wurde zuerst von Euler 7 bewiesen;
ein Beweis, der sich im Prinzip mit unserm deckt, findet sich zuerst bei
Gauß 1, § 266. Ahnliche Sätze gelten auch für die Primzahlen der
Form 8n + 7 und 8w + 3. Nach Satz 23 ist nämlich eine Primzahl

110 Drittes Kapitel.

der Form 8w + 7 Teiler von a?* — 2, so daß sie nach Satz 24, Kap. II
die Gestalt a* — 26* hat. Ebenso ist eine Primzahl der Form 8n + 3 nach
Satz 24 Teiler von x^ + 2, so daß sie nach Satz 24, Kap. II die Gestalt
a*+26» hat. Daher:

SatB a6. Eine Primzahl der Form 8» + 7 läßt sich in der Gestalt
ei«— 26* darstellen, {Lagrange 6, Göpel 1.)

SatB 27. Eine Primssahl der Form 8n + 3 läßt sich in der GestaU
a*+ 26* darsteUen. (Lagrange 5, Göpel 1.)

Hierzu sei bemerkt, daß es ganz ohne Belang ist, die Sätze 25, 26,.
27 so, wife die vorausgehenden, ebenfalls för höhere Potenzen der be-
treffenden Primzahlen oder deren Doppeltes auszusprechen. Denn die
Zahl 2, sowie das Produkt von zwei beliebigen Zahlen der betreffenden
Form läßt sich stets wieder in die gleiche Form setzen:

2-l* + l*; 2 = 0*+ 2-1*; 2 = 2*- 21*;

(a*+ A6*) (c*+ Ad*) = {ac + X6rf)*+ X{ad - 6c)* (A=l,±2).

§ 27. Kulminierende und fastkulminierende Perioden.

I. Daß es zu jedem Anfangsglied 6q kulminierende Perioden gibt,,
zeigt das zweite Beispiel auf Seite 99. Nach diesem ist nämlich speziell
für m = 2:

y6o^2 = [6o,6o726o];

hier ist die Periode kulminierend. Eine fastkulminierende entsteht au»
dem vierten Beispiel auf Seite 100, wenn man 6^ = 1, m = 6q setzt; es
wird dann nämlich 62= 6o— 1, und man erhält den Eettenbruch mit
fastkulminierender Periode:

1/(60 +"1)^-2 = [60, m^t,t;^] .

Beide Formeln finden sich bereits bei Etder 9. Außer diesen
Beispielen ist dem vorigen Paragraphen zu entnehmen, daß, wenn 2>
eine Potenz einer Primzahl der Form 4w + 3 oder das Doppelte ist, die

Periode von yD entweder kulminierend oder fastkulminierend wird. In der
Tat ist dann nach den Sätzen 23, 24 eine der Gleichungen ic* — Dy^ = ± 2
lösbar, folglich kommt unter den Zahlen Q^ die 2 vor. Dann ist aber
nach Satz 15 das Mittelglied des symmetrischen Periodenteiles gleich
b^ oder 6q— 1, also in der Tat die Periode kulminierend oder fastkul-
minierend.

Wir wollen jetzt neben diesen Einzelfällen auch die allgemeine
Form derjenigen ganzen Zahlen untersuchen, deren Quadratwurzel kul-

§ 27. Kalminierende und fastkulminierende Perioden. Hl

minierende oder fastkulminierende Perioden besitzen. Zunächst sind die
beiden Perioden von

1/8 = [2, 174]; Vl2 = [3,2T6]

fastkolminierend; von ihnen sehen wir in der Folge ab, da sie der all-
gemeinen Untersuchung sich nicht unterordnen. Bezeichnen wir dann
die Gliederzahl der primitiven Periode mit Jc = 2r, so ergibt sich der
Wert des Eettenbruches

YD =- [60, ti, . . ., 6^, . . ., 61, 26j
wie auf Seite 97 aus der Gleichung

Da aber außerdem b^ « b^ oder b^— 1 sein soll, so muß nach Satz 15
^^=2, und folglich nach dem gleichen Satz auch P,.= b^ sein. Die
Formeln (2), (3) des vorigen Paragraphen lauten daher für 1/ = r:

Wir werden am Schluß dieses Paragraphen (Ziffer IV) den Bewei»
nachtragen, daß die Gleichungen (2)^ (3) eo ipso (1) nach sich ziehen,
unter Vorwegnähme dieses Resultats haben wir demnach nur die Auf-
gabe, die Zahlen b^ und D in allgemeinster Weise so zu wählen, daß die
Gleichungen (2), (3) erfüllt sind, und zugleich b^ = 6q oder 6^ == 6© "^ 1
ist. Da dann Gleichung (1) von selbst erfüllt ist, haben wir damit im
ersten Fall die allgemeinste kulminierende, im zweiten die allgemeinste
fastkulminierende Periode. Nun läßt sich Gleichung (2) etwas anders
schreiben-, nach den Formeln (27), Eap. I ist nämlich identisch

(4) ^r-l=*0^r-«,l+^r-2.i; -^r-l = ^r-2. 1 5 ^r-8=^r-8,l>

wodurch (2) übergeht in

(5) 2^,.,,^ = 5_,,,+ (60- 6,)^,_,,i.

Indem wir zuerst den Fall der kulminierenden Perioden behandeln,
haben wir b^^^b^] also kommt

Dies ist zunächst eine Bedingung, welcher die Teilnenner b^y b^, - * .f
b^_i genügen müssen; wir denken sie erfüllt. Dann handelt es sich noch
darum, die Zahlen b^ = b^ und D so zu wählen, daß auch Gleichung (3)
besteht. Nun ist aber wieder nach den Formeln (27), Kap. I:

^^r-i^ ^0-^r-8,l+ -^r-3,1 = ^0 q~^ I" ^r-8,1-

112 Drittes Kapitel.

Setzt man dies in Gleichung (3) ein und berücksiclitigt h^^hQ, so geht
sie über in

J5^r-M= 6o(Mr-,.l+ 5r-..l) + 2(^0 ^^ + ■»,-...).

oder

A-,,iiD - 60*) - -Br-,.! • 26o = 2:B,_,.i .

Dies ist nun eine in den Unbekannten 26q, D — i^ lineare diophantische
Oleichung, die sich sofort auflösen läßt. Da nämlich identisch

-^r-S, l-^r-8,l~~ ^r-«, l-^r-8,1 = ("" 1/ ~

ist; SO lautet die allgemeine Lösung:

26o= (- iy-»^,„3.i- 25,_8,i + fnA,_,^,

= (- l)'-«25;„3,i + 2m^,_3,i,

wo m eine ganze Zahl. Nun ist aber J5^_g ^ = 2^^_g ^ gerade, folglich
^r-s,i g^wiß ungerade. Es muß also, damit h^ ganzzahlig wird, m eine
gerade Zahl sein; setzt man daher m ^ 2n, so ergibt sich der folgende
von Muir 6 herrührende

SatE 28. Wenn der regelmäßige Kettenbruch

[fco, 61, . . ., ^_i, &o> ^r-i; • • V hy 20^]

mit "kulminierender Periode die Quadratwurisel am einer ganzen Zahl D
sein soU, so müssen bei der Bezeichnung des § 5, 11 die Teünenner b^,
hf • • •> ^r-i ^^^ Gleichung 2^^_3 i = 5^_2 1 befriedigen, Ist dies der
Fall, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung darin, daß
Jq die Form hat

! WO n eine ganze Zahl, Und zivar ist dann

\ D=^b,^+ 4nAr-,s,^ - (- I725;_3,i .

Als Beispiel wollen wir alle ganzen Zahlen bestimmen, deren Qua-
dratwurzeln kulminierende Perioden von 6 Gliedern haben. Hier ist
i r = 3 ; die Bedingung 2 ^^ _ g ^ « 5^ _ g 1 lautet also einfach : 2 -4^ ^ = jB^^ ^ ,

das heißt ^, ,

I 26i=Oj.

Für 6q und D ergeben sich die Ausdrücke

60= wAi + A,i^o.i = <&i^2+ 1) + 61 = n(2V+ 1) + 61,

1>= V+ 4w^o,i + 2^0% = V+ 4n6, + 2.
Man erhält also fQr die allgemeinste 6-gliedrige kulminierende Periode
die Formel

KV + 4n6i + 2 = L60, b„lib„\;2bjb„ '2\] ,
wobei

§ 27. Knlminierende and fastknlminierende Perioden. 113

und wo n, \ beliebige positive ganze Zahlen sind. Auch n » 0 ist zu-
lassig; doch ist dann die 6-gliedrige Periode imprimitiy, während die
primitive nur zwei Glieder umfaßt.

II. Wir untersuchen nunmehr ebenso die fastkulminierenden Peri-
oden. Bei diesen ist hr^K~^ ^7 ^^^^ lautet diesmal die Bedingung (5)

Ist sie erfiillt, so geht (3) über in

oder

Das ist jetzt eine lineare diophantische Gleichung für die Unbekannten
200—1 imd D — h^] ihre allgemeine Lösung lautet analog wie vorhin

2) - V= (- ly— 5r-».i • 2J5,_,.i + «.5,_,,,.

Nim sind die Zahlen -4^_2 , , -B^-»,! relativ prim, können also nicht
beide gerade sein. Wegen der Bedingung 2A^_^ ^ = B^_^ i+ Ä^^^ i
sind sie daher beide ungerade. Dann wird aber der Ausdruck für b^ dann
und nur dann ganzzahlig^ wenn m ungerade ist. Setzt man demgemäß
m ^ 2n + If so erhält man den ebenfalls von Muir 6 herrührenden

Sats 29. Wenn der Kettenbruch

mit fasthüminierender Periode die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl
2)(+ 8, 12) sein sottf so müssen die Teilnenner 6^, ftj, . . ., b^_^ bei der
Bezeithung des § 5, II die Gleichung 2^^_g ^ = JB^_2,i + ^-2,1 befrie-
digen. Ist dies der FaU, so besteht die notwendige und hinreichende Be-
dingung darin^ daß b^ die Form hat

tvo n eine ganze Zahl, Und zwar ist dann

D = V+ (2» + 1)B.-,,, - (- ir2JB»_,,,.

Bereits in Satz 16 fanden wir, daß bei einer fastkulminierenden
Periode von 2r Gliedern &^_i= 1 sein muß; das muß sich natürlich
auch aus unsem jetzigen Formeln ergeben. In der Tat besagt die Be-
dingung

soviel wie

Perron, Kettenbrüehe. 8

114 Drittes Kapitel.

Nun können B^^^^ und B^_^ nicht beide Null sein; denn das ersiere
würde r » 1^ das letztere r — 2 erfordern. Es ist somit

daher b^_^ < 2, also in der Tat 6^_i = 1.

Als Beispiel suchen wir die aUgemeine Form der 6-gliedrigen fast-
kulminierenden Perioden. Bei diesen ist r = 3; die Bedingung

lautet also einfach 2-4^1— -^1,1+ -^1,1» ^^^^

26i«6,+ 6i6g+l,

oder, da fc, =« 6^_i = 1 sein muß,

26i« Jj + 2; also 61— 2.
Sodann ist

•^r-s,! - Ai =- ^1 =* 2; ^^_ j^i » .li^i - 616, + 1 « 5
Also wird

D - V+ 2n + 1 + 2 - (3n + 4)»+ 2n + 3.
Setzt man noch n — 1 an Stelle von n, so ergibt sich

y{3n + iy+ 2n + 1 « [3n + 1, 2, 1, 3n, 1, 2, 6n + 2]

als die allgemeine Form einer fastkulminierenden Periode von sechs
Gliedern.

in. Die Zahlen D, deren Quadratwurzeln kulminierende oder fast-
kulminierende Perioden besitzen, haben noch eine bemerkenswerte
Eigenschaft, welche sich aus den Sätzen 28 und 29 nicht erkennen
läßt. Wir sehen dabei wieder von den Zahlen D » 8 und 12 ab. Ist
% a. 2r die Gliederzahl der primitiven Periode, so ist nach Satz 15

Q^ « 2, also

^? _ 1 - D5,^ 1 « (- 1 )'" . 2 (§ 26, Formel (4)).

Daher ist D ein Teiler von Ä?-i — {— l)**« 2, und muß daher nach Satz
24, Kap. II sich selbst in der Gestalt a*— (— 1)'"26* darstellen lassen.
Beispielsweise müssen die Zahlen

[w(2 V + 1) + 61 J' + 4nfci + 2; (3n + 1)« + 2n + 1

§ 27. Kulminierende und fastkulminieiende Perioden. 115

sich in der Form d^+2b^ darstellen lassen; denn ihre Quadratwurzeln
haben^ wie wir Seite 112 und 114 sahen^ kulminierende bzw. fastkulmi-
nierende Perioden yon 6 Qliedem. Und in der Tat ist auch identisch:

[n(2V+ 1) + &iP+ 4n6i+ 2 » (2nV+ &i- »)"+ 2(2n6i+ 1)*
(3n + 1)«+ 2n + 1 - ««+ 2(2n + 1)1

Es wäre nun höchst wünschenswert^ ist aber bis heute nicht er-
reicht^ daß man ebenso wie bei diesen zwei Beispielen, auch im allge-
meinen Fall die Darstellung von 2) in der Gestalt a*±26* wirklich
leisten könnte, etwa auf Grrund der in den Sätzen 28 und 29 gegebenen
Muirschen Darstellung. Dazu wäre wohl in erster Linie eine ToUstän-
dige Diskussion der iü diesen Sätzen auftretenden Bedingimgsgleichungen

2 A_«,i = ^r-»,i bzw. 2i4,_8^i - B^_^i -i- Ä^_^^,

erforderlich, die aber bis jetzt noch nicht geleistet ist.

lY. Es ist noch der Beweis nachzutragen, daß die Qleichung (1)
eine Folge von (2), (3) ist. Nun hat der symmetrische Eettenbruch

Th h h h ?. 1 _ ^0^>r-l + -^>r-l

eine ungerade Gliederzahl 2r + 1, Durch Anwendung der für diesen
Fall aufgestellten Formeln (11), (13) des § 11 erhält man daher:

Also mit Rücksicht auf (2) und (3):

woraus in der Tat sofort die Gleichung (1) hervorgeht. W. z. b. w.

8'

Viertes Kapitel.

Hur witz sehe Kettenbrttehe. — Transzendente

Zahlen.

§ 28. Drei Hilfssätze.

I. Seien Ig, tj^ zwei irrationale Zahlen, welche durch die Oleichnng
verbunden sind:

wo a, h, c, d ganze rationale Zahlen bedeuten. Natürlich ist ad — hc
von Null verschieden, weil sonst 17^ =- — = — , also rational wäre. Ent-
wickelt man ^^ in einen regelmäßigen Eettenbruch

(2) lo=[&o,&i;&2,...]

und bezeichnet wieder mit A^_^y -^r-i ^^^ Näherungszähler und
-Nenner {y — !)*•' Ordnung von ^, so werden die Zahlen

C _ 1- d

sich beliebig wenig von % unterscheiden, wenn v hinreichend groß ist.
Daraus folgt zwar keineswegs, daß es Näherungsbrüche von 17^ sind;
doch kann dies für einzelne Werte von v sehr wohl der Fall sein. Um
hierfür wenigstens ein hinreichendes Kriterium zu gewinnen, setzen wir
die Zahl

(3) ad — 6c «= w

als positiv voraus; ferner sei auch ci^^ d positiv. Dann ist nach dem
Näherungsgesetz (§ 13, Formel (10))

§ 28. Drei Hilfasatze. 117

wobei I d I < 1 mit Ausschluß der Gleichheit^ weil |q irrational. Also ist

-5,_,(c|„ + rf) + ^.

Daher ist auch cA^_^+ ^-B^-i gewiß positiv, sobald nur v so groß ist,
daß die Ungleichungen

(4) ^,_l(cgo+rf)^l; Sr^\c\

bestehen. Wir nehmen dies von jetzt ab an.

Nach Satz 11, Kap. II wird nun /" — , jJ"" sicher dann einem
Näherungsbruch Ton i^^ gleich sein, wenn

(5) !i7o-

0

<

ist. Die linke Seite dieser Ungleichung ist aber gleich

c^ + d c^V.i + dX-i

n

B.

so daß die Bedingung (5) übergeht in

^.

Diese wird aber wegen ^ | < 1, -By ^ \B^_^ a fortiori erfüllt, wenn
man sogar

n ^v--v-i ^ -— >-i\-90 ' ^/ • 5

V

fordert, oder, was dasselbe ist:

Hieraus schließt man leicht, daß auch die einfachere Bedingung

(7) 6,^2« + |ci

genügt. Ans dieser ergibt sich nämlich

-B. = ^-B.-i + B,_, ^ 6, ^ 2n + I c ; ^ 2n;

118 YierieB Kapitel,

also aucli

Wegen der ersten der voransgesetzten Ungleichungen (4) folgt hieraus
erst recht

also in der Tat (6), wie behauptet war. Zusammenfassend ergibt sich:
Hilfssatz 1. Wetm zwei irrationale Zählen ^, % durch die Be-

laUon

%

^1^ (c^+d>0,ad^hc^n>0)

c^+ä

miteina/nder verbunden sind, wo a, b, Cj d ganze rationale Zahlen'^ wenn
femer die Näherungszähler und -Nenner von

mit A^, B^ bezeichnet werden; wenn endlich für einen gewissen Index v^
die Ungleichungen

bestehen: dann hat der Bruch

einen positiven Nenner und ist einem Ni^ierungsbruch von rj^ gleich.

Bei der Formulierung dieses Satzes konnte die in (4) gemachte
zweite Voraussetzung B^^ ^\c\ unterdrückt werden, weil sie wegen

ohnedies erfüllt ist.

Wir geben hierzu ein Beispiel: Sei

6,= l + 2i/, also |o»[l, 3, 5, 7,...].
Setzt man

^ ^^-^
"^^ ^ + 1'
so ist

a «= 1, 6 == — 1, c = 1, d = 1, n — arf — 6c = 2,

c|o+^ = So+l>2.

Also sind die Bedingungen

§ 28. Drei Hilfsiätze. 119

Toa 1^ »- 2 an daaemd erfüllt, und folglich müssen die Brtlclie

-^y - 1 "T -°T - 1

samüicli gewissen Naherongsbrüchen von i}q gleich sein.

Das Beispiel lehrt aber, daß die angegebene Form der Naherungs-
brüche von ri^ nicht immer die irreduzible zu sein braucht. Denn hier ist

^ 1 ^ _4^ Jj 21 A^ ibi

Etf sind also Ä^^ B^j und wie man leicht erkennt ^ überhaupt Ä^^^ B^^

stets ungerade, so daß Zahler imd Nenner des Bruches -i — -r- ^— den

Faktor 2 gemein haben.

IL Wir lassen jetzt die Voraussetzungen des Hilfssatz 1 fortbe-
stehen. Wenn dann

<8) %=»[rfo> ^i; ^;--]

der regelmäßige Eettenbruch für i^^ ist, und wenn seine N&herungs-
Zahler imd -Nenner mit C,, D, bezeichnet werden, so können wir

ras «^..-»+ft^>.-i C,^_j_

setzen, wobei sich über die Abhängigkeit des Index n^ von Vg folgendes
aussagen läßt. Es ist

(arf-6c)(|,B,^_i-^^_0

C, _, A, _.

Folglich haben die Zahlen ij^ — tt^ — ''"^^ 60 — r ^ — gleiches Vor-

zeichen; es ist also (— !)''•" — (— !)'•" , oder

(10) ^0 = ^ (mod2).

Die Gleichung (9) läßt sich dahin interpretieren, daß dem Ab-
schnitt &o, h^, . . ., h i des Eettenbruches für |g ein entsprechender

120 Viertea Kapitel.

Abschnitt d^y rfir»v^/<o-i ^^ Kettenbruches für rj^ zugeordnet ist, wo-
bei fiQ — Vq eine gerade Zahl, und derart, daß die Gleichung besteht:

welche ja mit (9) gleichbedeutend ist.

Bedeuten jetzt 1^^, rj^^ die durch die Gleichungen

definierten vollständigen Quotienten, so ist auch

Daher muß wegen (1) zwischen |,.^ und iy^^ eine Gleichung bestehen^
die wir jetzt herleiten wollen. Zunächst ergibt sich aus (9):

(13)

(14),

wo Tg der größte gemeinsame Teiler der zwei rechts stehenden Zahlen
ist. Hieraus findet man

- icÄ,^_, + dB,,_,)(a^,_, + bB,^_,)

Es ist also Tq ein Teiler von n. Setzen wir demgemäß

(15) n = roSo,

so ist auch Sq eine ganze positive Zahl, und zwar ergibt sich aus (14)
für sie der Wert:

(16) (- 1)'% = C,,_, (c A„_, + d5.,^_,) - D^„_,(a^,,_, + fe5,._,) .

Neben r^ und ^q werden wir sogleich noch eine ganze Zahl t^ ge-
brauchen, die durch die Formel definiert ist:

(17) (- 1)*%= C,._,(c^,„_, + rfB„_,) - D,,_,(a^„_, + 6B,,_,).

Setzt man nach diesen Vorbereitungen in Gleichung (1) für ^q, ^^^
die Werte aus (12) ein, so kommt

c,. _^,, +f ^ _, « (^,, -t I., + ^., - ,) + K^>.-i^ + ^.,-0

r.D^._iS, +c^,._,+ d£.,_,

(nach (13)).

§ 28. Drei Hilfasfitee. 121

Durch Auflösung nach rj findet man hieraus:

wofür man unter Benutzung der Abkürzungen (16), (17) schreiben kann:
(18) - (-. irs,ri^^ = ro(C?,,_, D,^_, - i)„._, C,^_,)|,^ + (- l^H, .

c c

Nun sind aber t^'"* ~*, n "~~ aufeinanderfolgende Näherungsbrüche
eines regelmäßigen Kettenbruches, und folglich

letzteres wegen der Kongruenz (10). Dadurch geht (18) schließlich
über in

(19)

'0

Die ganze Zahl ^q läßt sich noch etwas anders darstellen. Elimi-
niert man nämlich die Größe aA^^_2+ ^^ro-« ^^^ (^^) ^^^ (^')^ ^^
erhält man

= (-l)'»-'(c^,„_,+ d5,._,);
oder durch Auflösung nach t^:

<A=5.

® 1> 1 1> 1

Ersetzt man hier den Nenner D„ . im zweiten Bruch durch den in
(13) stehenden Wert, so kommt die gesuchte Formel:

(20) ^0 - .„ ^^ -^ - r. ^- j^^r^5-_- •

Hier erscheint zwar die Tatsache, daß ^q eine ganze Zahl ist, verdeckt;
die Formel wird uns aber doch bald von Nutzen sein.

Wir wenden jetzt die soeben für 1^, r]^ durchgeführten und zum Teil
in Hilfssatz 1 formulierten Überlegungen auch auf die Zahlen

(21) 5,,= 1^7 K+u K+i> '"^y '^f'o^ t^/'o' ^/*o+i' ^Mo+^y ' • •]

122 Viertes Kapitel.

aO; deren Näherungsbrüche i^^ Ordnung wir in Übereinstimmung mit

dem ersten Kapitel (§ 5, 11) durch ^^^ , ^^^ bezeichnen. Da zfrischen

i^^ und 71^ die Gleichung (19) besteht^ so müssen wir dabei die Zahlen
Uy by Cy d ersctzeu durch r^y — t^y 0, s^y so daß die Zahl n^ad — hc
übergeht in r^^s^y also nach (15) die gleiche bleibt.

Sei Vi(>V0) ein Index , für den &y^^2n ist.^) Dann wird ent-
sprechend der Gleichung (11)

0

«ein, wobei auch wieder analog zu (10) /^^ — ft^ = t/j — v^ (mod 2), also

/ij = Vj (mod 2).

Zwischen den vollständigen Quotienten S,^, ri^^ ergibt sich analog zu
(19) eine Relation:

1 Vj 1

wobei r^y ^^^ ^ ganze Zahlen sind, und zwar ist entsprechend wie bei
den Gleichungen (13) r^ der größte gemeinsame Teiler der zwei Zahlen

femer in Analogie zu (15) und (20):

«1 — , ti — «1 -^ fi —^

1 ^i - /'o - If /'o 0-"i'i - r© - 1, ^0

Wenn nun weiter ein Index V2(> v^) existiert, fOr den wiederum
b^^^2n ist, so können wir die gleichen Schlüsse jetzt auf die Zahlen
ivi> Vß^ anwenden, usf. So ergibt sich schließlich:

Hilfssatz 2. Wenn ztoischen den irroHonaien Zahlen Sq, % die
Gleichung

''«■"^It^ (arf-6c-n>0,c|,+d>0)

bestehty wo a, 6, c, d gcmze rationale Zählen sind; wenn 1^ ^^ regel-
mäßige Kettenbruclientwicklung

1) Dies ist analog zn der in Hilfssatz 1 gemachten Voraussetzung &, ^^n-^^c •
Das Analogon zu der in Hilfssatz 1 außerdem geforderten Ungleichung

reduziert sich jetzt auf JB^ _ ,. _ ^ ^ *o ^ ^i i®* *^"^» da die linke Seite eine po-
sitiye ganze Zahl ist, von selbst erfüllt.

S 28. Drei HilfBS&tze. 123

4

hat; wenn endlich eine unbegrenzte Serie von tcachsenden Indizes v^j v^,
v,y . . . existiert, derart, daß die Ungleichungen

^^2n (i-1,2,3,...)

erfittU sind: dann lassen sich die regelmäßigen Kettenbrüche für l^ und 17^
in Abschnitte teüen

Ji^ cferar^ einander zugeordnet sind, daß (i^ = v^ (mod 2), und außerdem

'i

wird. Dabei sind r^, s^, t^ ganze ZaMen, die sich rekursorisch in nach-
stehender Weise berechnen:

r^ ist der größte gemeinsame Teiler von

a^,^_i + bB,^,^ und cA^^^^ + dB^^,^]
femer ist

Allgemeiner ist r^^^ der größte gemeinsame Teiler von

r^A^ -• -1 • — ^i^v -• -1 * ^'•^ ^i^9 _»_!.>

fifuJ endlich

n . /"<+i-A',— «»*'< •'< + !- "•-*'"•

1 + 1 A'i + l-/'|— If/'»- ^i^l—U—^^U

III. In Hilfssatz 2 sind alle r^^^, s^^^ Teiler Yon n. Die Formel
für die ganze Zahl t^^^ zeigt ferner^ da die beiden darin auftretenden
Brüche nicht großer als 1 sein können, daß t^^^ zwischen den Qrenzen

— r^^i und 5,^1, also, weil r^+j, s^^^ Teiler von n sind, gewiß zwischen

— n und -f n liegt. Info^edessen ist für die Zahlentripel r^, s^, t^ bloß
eine endliche Anzahl yerschiedener Möglichkeiten gegeben; es muß also
ein Zahlentripel mehrmals Yorkommen. Sei etwa

(22) r^^r^,s,^Sf,t^^ty

124 Viertes Kapitel.

Außerdem wollen wir jetzt voraussetzen, daß die entsprechenden
Abschnitte von ^ übereinstimmen, abgesehen allenfalls von ihren ersten
Oliedem, die aber wenigstens nach dem Modul n kongruent sein sollen;
also

(23) v,+i-^<-v^+i-^y

(24) 6,^^6,^ (modn)

Dann unterscheiden sich die beiden endlichen Eettenbrüche

l\y ^< + i> • • •? *r< + i-i] ^^ l\y Kj+i>'", Kj^i -il
nur um die ganze durch n teilbare Zahl b^ — ft^.. Ihre Nenner

7? 7?

sind also einander gleich, während ihre Zähler

A A

wenigstens nach dem Modul n kongruent sind.

Daher ist der größte gemeinsame Teiler r,^i der beiden Zahlen

r,^,.^^_,._i,,.-^,5,.^^^^,._i,,.. und 6V.B,^^^_,._i,,..,

da er, wie wir wissen, zugleich ein Teiler von n ist, der gleiche wie
bei den Zahlen

die ja wegen (22) den vorigen nach dem Modul n kongruent sind. Es
ist also r,^i = r^+j, und folglich auch 5,^1 = 5y^i .
Weiter ist nach Hilfssatz 2

'"tT^ ' ^v +1' • ■ •» K,^.-i\ — h

«i

'J

Also durch Subtraktion unter Berücksichtigung der Voraussetzungen
(22) und (25):

§ 28. Drei Hilfssätze. 125

was nach Yoraussetzang (24) eine ganze Zahl ist. Da ferner

ft+i - ^ = ^<+i — v^ = v>+i - ^i = f*i+i - l^j (mod 2),

80 folgt aus Gleichung (26) wegen der Eindeutigkeit einer endlichen
Eettenbruchentwickelung; deren Gliederzahl modulo 2 vorgeschrieben

ist^):

>y ' • n

J

Es sind also die zugeordneten Abschnitte Yon rj^ ebenfalls identisch^
abgesehen von ihrem ersten Glied. Nun wurde bereits bewiesen, daß
r^^i= r^^i und s^+i= 5^+i ist; in Uilfssatz 2 ist aber weiter

und da die hier auftretenden Näherungsnenner B und D nur von

abhängen, also ungeändert bleiben, wenn man i durch j ersetzt, so folgt
auch ^,-+1= ^y+i- Wir erhalten so den

Hilfssatz 3. Wenn unter den Voraussetzungen des Hüfssate 2 die
beiden Abschnitte

1^..> ^V+l'-"' *'i + l-ll ****^ l^^> ^y+l>--; ^y + i-ll

sich nu/r in ihren Anfangsgliedem unterscheiden, die aber nach deni Modul
n kongruent sein sollen, und wenn zugleich

ist, dann unterscheiden sich auch die beiden zugeordneten Abschnitte
nur in ihren Anfangsgliedem, und zwar ist

Außerdem unrd auch noch

1) Diese Eindeutigkeit wurde zwar in Satz 8, Kap. 11 nur für rationale
gebrochene Zahlen ausgesprochen, gilt aber, was ganz trivial ist, auch für
ganze Zahlen. Das kommt hier in Betracht, falls z. B ft, •+ 1 = ^^ -{- ^ ist.

126 Viertes Kapitel

§ 29. Deflnition der HurwitESchen EettenbrAche.

Unter einer arithmetischen Reihe w**' Ordnung

<p(P), 9(1), 9(2), 9(3), . . .,
versteht man eine solche^ deren m^ Differenzenreihe

zf»9(0), z/-y(l), ^^ip{2), ^ip(S), ...,

die erste ist^ welche kuter gleiche Glieder hat. Das allgemeine Glied
einer derartigen Reihe hat bekanntlich die Form

(1) <piX) = 9(0) + (J) z/9(0) + (l) J\(S>) + • • • + (i) ^'"9(0).

Eine Reihe mit lauter gleichen Gliedern ist speziell eine arithmetische
Reihe nuUter Ordnung. Sollen die Glieder einer arithmetischen Reihe
lauter ganze Zahlen sein, so sind g?(0), z/g?(0), . . ., z:/™9?(0) ebenfalls
ganze Zahlen, und man bekommt daher ans (1) für (p{X) den Ausdruck

(2) 9{i)-iim,

wo fix) ein Polynom m*** Grades mit ganzzahligen Koeffizienten be-
deutet. Sollen die Glieder 9>(A) außerdem alle positiv sein, so muß der
Koeffizient von X^ in f{X) einen positiven Wert haben. Daraus folgt
dann, daß die Glieder von einem gewissen Werte X an bestandig und
daher ins unendliche wachsen (abgesehen von dem Fall 9n «= 0, wo sie
konstant sind).

Wir beschäftigen uns jetzt mit regelmäßigen Kettenbrüchen, deren
Teilnenner wenigstens von einer gewissen Stelle an eine arithmetische
Reihe bilden. Ist die Reihe von der nullten Ordnung, so entsteht ein
periodischer Kettenbruch, und zwar mit einer Periode von nur einem
Glied, um in ähnlicher Weise auch eine YeraUgemeinerung der Ketten-
brüche mit beliebiger Periode zu erhalten, brauchen wir uns nur zu
denken, daß in den Kettenbruch mehrere arithmetische Reihen inein-
ander geschachtelt sind.

Es mögen etwa

f 9o(0), 90(1); 9o(2),

(3)

9i(0), <)Pi(l), <Pi(2),
9^it-i(0), 9*-i(l), ^^t-iCS),

Tc arithmetische Reihen von irgend welchen Ordnungen sein. Dann ist
der Kettenbruch

§ 30. Der Hnrwitzsche Satz. 127

/4N IK • • 'f h^u Vo(9\ 9t (0); • • V 9*-i(0), (Po{l)y 9i(l), . . .,

der allgemeinste von diesem Typus. Wir wollen derartige Eettenbrüche
als Hnrwitzsche benennen, weil Hurwitz 3 sie genauer untersucht hat.
Wir beaeichnen den Kettenbruch (4) der Kürze halber durch das Symbol

(5) \.K K ' ' •; &A-n VoW? 9i W; • • ', 9*-iW] .

Sind die arithmetischen Reihen aUe von der nullten Ordnung, so ist er
periodisch.

Ebenso wie bei den periodischen kann man auch bei den allge-
meinen Hur witz sehen Kettenbrüchen den Querstrich in dem Symbol
(5) an einer beliebigen späteren Stelle beginnen lassen; denn der Ketten-
bruch (5) ist offenbar auch gleich

1 = 0

Ferner kann man dem Kettenbruch (5) eine Form geben, in der
an Stelle von k irgend ein Multiplum von k getreten ist, analog wie
man bei einem periodischen Kettenbruch mehrere Perioden zu einer
einzigen (imprimitiven) zusammenfassen kann. Zum Beispiel läßt er
sich auch so darstellen:

eo

9o(34-,9»-i(3A), 9>o(3A+l),-,9*-i(3^+l), 90(3^+2), ..., 9*_i(3A+2)],
wo sich der Querstrich nun über 3k Glieder erstreckt.

§ 30. Der Hurwitz sehe Satz.

Man besitzt kein Mittel, den Wert jedes Hurwitzschen Ketten-
bruches in geschlossener Form anzugeben, wie dies bei den periodischen
Kettenbrüchen der Fall war. Das wichtigste Theorem dieser Theorie ist
vielmehr der folgende von Hwrwite 3 bewiesene

SatB L Wenn zwischen zwei irrationalen Zahlen 1^, ijq die Rdation
hesteht ^ , ,

wo a, hy Cj d ganze rationale Zahlen sind, und wenn der regelmäßige
Kettenbruch für die Zahl ^ ein Hurwitzsdier ist, so ist der für rj^ ebefi-
faüs ein Hurwitzscher, und zwar sind die Ordnungen der vorkommenden
arithmetischen Beihen hei t^q die gleichen wie bei |q, abgesehen allenfalls
von der nullten Ordnung, welche im einen Kettenbruch vorkommen, im an-
dern fehlen kann.

128 VierteB Kapitel.

Beim Beweis dieses Satzes können wir von dem Fall absehen, daß
die in dem Eettenbruch für ^ auftretenden arithmetischen Reihen alle
Yon der nullten Ordnung sind. Denn in diesem Fall ist der Eettenbruch
periodisch, also ^ eine quadratische Irrationalzahl. Folglich ist auch rj^
«ine quadratische Irrationalzahl, also der zugehörige Eettenbruch wieder
periodisch, womit für diesen Fall der Satz bewiesen ist.

Wir nehmen also jetzt an, daß mindestens eine arithmetische Reihe
von höherer als nuUter Ordnung vorkommt. Wir dürfen femer die Zahl

{1) ad — lc^n

als positiv voraussetzen, indem wir nötigenfalls an Stelle von i^^ den
reziproken Wert betrachten. Endlich dürfen wir auch

(2) c6o + d>0

voraussetzen, indem wir eventuell die Vorzeichen von a, h, c, d alle
vier ändern.

Sei also jetzt

00

{3) 10==- [*o> h^ • • 'j \^i7 9oW> 9iW; • • •; 9*-iWl-

&ier dürfen wir nun weiter annehmen, daß für alle X die Eongruenzen

(p^{X + 1) = <Pi{X) (mod n)

bestehen. Sollte das nämlich nicht von vornherein der Fall sein, so kann
«s dadurch erreicht werden, daß wir dem Eettenbruch (3) eine Form
geben, in welcher die Zahl h durch ein geeignetes Multiplum pk ersetzt
ist. Um das einzusehen, ist offenbar nur zu zeigen, daß bei geeigneter
Wahl von p stets

(i-O, 1,..., Ä-l)

wird. Nun ist aber, wenn m^ die Ordnung der Reihe 9^(A) bedeutet,
nach Formel (2) des vorigen Paragraphen:

oder, indem man mit M den größten der Nenner m^\ bezeichnet:

9>,W = ^j;(A) (t=0,l,. .,*-!),

wo die F^{k) Polynome mit ganzzahligen Eoeffizienten sind. Wählt man
-daher p = Mn, so wird

F.{X + i?) = F^{X + Mn) = F^iX) (mod Mn) ;

§ 30. Der Harwitzsche Satz. 129

also, iBdem man durch M diyidiert,

9j(^ + P) = 9, W (j^^^ w) •

Die Zahl p = Mn leistet somit das Gewünschte.

Wir denken uns daher jetzt den Eettenbruch (3) von vornherein
80 dargestellt; daß die Eongmenzen (4) erfüllt sind, eine Eigenschaft,
die offenbar erhalten bleibt, wenn wir nachträglich eine Darstellung
wählen, bei welcher nochmals £ durch ein Multiplum von h ersetzt oder
der Querstrich weiter nach rechts geschoben ist. Dies behalten wir
uns vor.

Bei der weiteren Behandlung unserer Aufgabe wird es nun not-
wendig, diejenigen arithmetischen Reihen, welche nicht nuUter Ordnung
sind, von den andern zu unterscheiden. Indem wir dann in dem Eetten-
bruch (3) den Querstrich bei einem Glied beginnen lassen, welches einer
Reihe nicht nullter Ordnung angehört, können wir ihn so darstellen:

(5) «

wo wir durch ^o(^)> ^iWy • • •? ^g-iW diejenigen arithmetischen Reihen
herrorgehoben haben, die nicht nullter Ordnung sind. Dabei ist wegen
der Eongmenzen (4)

tl;.(X + 1) ^ t,{k) (modn)

^ ^ (i = 0, 1,...,(7-1).

Natürlich können die arithmetischen Reihen nullter Ordnung auch aUe
oder zum Teil wegfallen; zum Beispiel kann etwa auf ^q(>1) direkt i^i{X)
folgen, in welchem Fall v^ = i'o + 1 zu setzen ist.

Die !^{(>l) werden als arithmetische Reihen nicht nullter Ordnung
mit A ins Unendliche wachsen. Indem wir daher nötigenfalls den Quer-
strich nochmals bei einer passenden späteren Stelle beginnen lassen,
dürfen wir den Index Vq so groß voraussetzen, daß

(7) ^,._i(c|«+d)^l, M0)>2n + \e\

<8)

i'M)^2n (,^0,1,2,... j

ist. Wenn wir dann den Eettenbruch (5) in die Abschnitte teUen:
lo - [h> ■ ■ ; *r.-i I ^o(0), • • •, ^.-1 I V'i(O), . . ., 6,,_i I . . .

%-ii^)> •••>^„-i|V'o(l)» •■■,\-i\---]f

<9)

80 können wir nach Hilfssatz 2 den regelmäßigen Eettenbruch für die
Zahl fJQ in gewisse zugeordnete Abschnitte teilen:

(10) %— K, . . ., d^,-i I d^^j . . ., d^^_i I d^^, . . ., d^^^.i I . . .];

Perron, Kettenbrflche. 9

130 Yiertes Kapitel

und zwar ist der dem Abschnitt

von ^ zugeordnete Abschnitt von r^^ der folgende:

Nach Hilfssatz 2 besteht aber die Zuordnung darin, daß
(11) f*<=f< (mod2)

ist; und daS die Gleichung statthat:

(12)

1

^i-\'Xg

Betrachten wir nun die unendlich vielen Zahlentripel

^Xg7 hgy hg (^^O, 1, 2, ...)y

so müssen unter diesen wieder gleiche sein (vgl. S|)ite 123 unten). In-
dem wir aber den Querstrich bei dem EetteDbruch (5) nötigenfalls
an einer späteren Stelle beginnen lassen, können wir voraussetzen, daß
schon das Zahlentripel r^, ^q, t^ mehrmals vorkommt. Wir dürfen dann
weiter annehmen, daß bereits

(13) »"o-V «o = V h-^
ist. Denn wenn etwa erst

sein sollte, so haben wir, um die Gleichungen (13) zu erzwingen, nur
nötig, den Kettenbruch (ö) in einer Form darzustelleu, bei der die An-
zahl k der überstrichenen Glieder durch das Multiplum pk ersetzt ist.
Wir zeigen jetzt, daß infolge von (13) überhaupt die Gleichungen

(14) ^l-^^l + gP ^l-^l^gy ^l-Ug (?= 0, 1,2, . . .)

bestehen. In der Tat ist dies nach (13) gewiß für Z = 0 richtig. Nimmt
man aber an, die Gleichungen seien für einen bestimmten Wert von l
erfüllt, so setze man { in die Form

(15) l^i^Xg^

wo f der kleinste nicht negative Rest von l modulo g ist. Die den Zahlen

(14) entsprechenden Abschnitte des Kettenbruches (9) sind dann

\i>iWy\^i7'';\^^-i\ ^d k,(A+l), t^^+i, ...,^,^j.iU

§ 30. Der Hurwitzsche Satz. 131

sie unterscheiden sich also bloß im ersten Glied ^ und zwar wegen (6)
nm ein Moltiplum von n. Nach dem Schlußsatz von Hilfssatz 3 ist
daher infolge von (14) auch

Die Gleichungen (14) gelten also noch für den nächsthöheren Index ly
und sind daher allgemein richtig.
Infolgedessen ist aber auch

wenn wieder l^i + Xg ist. Die hierzu gehörigen Abschnitte von 1^

unterscheiden sich nur im ersten Glied ^ und zwar offenbar wieder nur
um ein Multiplum von n. Nach Hilfssatz 3 unterscheiden sich also auch
die zugeordneten Abschnitte von i}q

ebenfaUs nur im ersten Glied^ und zwar ist

Setzt man daher

(16) d^^ + u^'^i^^^TuiX) (i^(i,\,...,g-\),

so ist

ä,, - Z,(A) 1

^ ^ A -A A -A fari^i + Afl'.

Folglich bekommt der Eettenbruch (10) die Gestalt

%^* L^o; • • •; ^A^o-i'
(17) "

Xov^); ^//o+i ' * • •' ^1-1 ' Xi(^)y ^/"i+i ' • • •> j"»-i » • • •' Xy-iC^y; a«^-i+i >'"^ f*g''^\ '

Da die Zahlen

Z,(0), Z,(l). Z,(2), ä(3), ..

offenbar eine arithmetische Reihe bilden Yon der gleichen Ordnung wie

*«(0),^,(l). *,(2), *,(3), ...,

80 ist damit der Hurwitzsche Satz vollständig bewiesen.

9*

132 Viertes Kapitel.

§ 31. Die regelmäßigen Eettenbrttche fSr die Zahlen e und \/e.

Wir behandeln jetzt einige Beispiele. In § 64 werden wir die
Formel beweisen:

\^) 1 "" I S« f" I ftw "^ I 10« •" I 14« i • • • ^

1

— 1

1
2y

+

1

ßy

+

1

+

1 1

i*y

«»

+ 1

WO e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet; wir wollen sie
hier einstweilen gelten lassen. Wenn 2y eine ganze positive Zahl Tc, so
ist der Eettenbruoh regelmäßig und zwar ein Hurwitz scher:

2

00

(2) lo= ^r^ - [0,*, 3Ä, 5Ä, 7fc, ...]== [0, (2A + 1)*] .

c* +1

Daher muß nach dem Hu rwitz sehen Satz auch jede irrationale Zahl
der Form ^Y~X-d ^^^^i ^^ dasselbe sagt, der Form — j— ^— -? wo a, V,

c\ ä! ganze Zahlen sind, einen Hurwitzschen Kettenbruch liefern,
dessen Bildungsgesetz sich nach den vorausgegangenen Entwicklungen
bestimmen laßt. Wir wollen dies speziell für die Zahl

(3) ''o=eLj-ilL

durchführen. Hier ist

(4)

a == 1, 6 = 1; c = — 1, rf = 1

so daß wir nicht erst die Vorzeichen von a, 6, c^ d zu ändern oder den
reziproken Wert von rj^ zu nehmen brauchen. Die fernere Rechnung
gestaltet sich nun für gerade und ungerade Je verschieden. Wir behan-
deln in diesem Paragraphen den Fall gerader k und setzen demgemäß
k^2q.

Die Teilnenner des Kettenbruches (2) sind dann schon von b^^öq
an alle größer als 2n + | ^ | = 5> ui^d es ist

ye + i

g 81. Die regelmafiigen Eettenbrüche für e nsw. 133

Wir werden daher den Kettenbruch |q in folgender Weise in Ab-
schnitte teilen:

lo=[0,22l6«!10g|14g|...],

wobei auch gleich erreicht ist^ daß die Glieder der Abschnitte nach dem
Modul n =» 2 kongruent sind (Formel (4) des vorigen Paragraphen). Da
der erste Abschnitt zwei^ jeder folgende nur ein Glied enthält^ so muß
auch bei t^q der erste Abschnitt eine gerade^ jeder folgende eine unge-
rade Anzahl von Gliedern haben. Nun ist aber

a[0,2g] + 6 a + 2qb ^ 1 + 2g ^ f[2, 1] f ür j == 1

e[OM]+d^ c+2qd -i + 2g l[l, g-1, 1, 1] fürj>l.

Der erste Abschnitt yon tjq ist also^ weil er eine gerade Gliederzahl

haben soll:

2,1 fürg«!

1, g-1, 1, 1 für q>l.

Femer ist r^ der größte gemeinsame Teiler von 1 + 2q und — 1 + 2q]
folglich *"o= 1, und daher, weil n == 2 ist, 5q= 2. Für t^ ergibt sich

fall8(7>l-^ =5 ^-r g^+^0^2.— ^--1> ^ + ^ -1;

also beidemal tQ= l. Indem wir jetzt zum zweiten Abschnitt übergehen,
erhalten wir, weil er eine ungerade Gliederzahl haben muß:

ül^]^.,l«lll_[33- 1,1,1].

Der zweite Abschnitt von rj^ ist also 3g — 1, 1, 1. Femer ergibt sich
Tj als größter Teiler von 6q — 1 und 2; daher wieder r^ = 1, «i = 2.
Endlich

Es ist also bereits y*i = ^o» ^i =^ ^o? h^ ^o- ^^^ braucht daher die Rech-
nung nicht mehr weiter fortzusetzen und erhalt sogleich:

'»o=[2, l,7(X)7l,"lf farj-l

wobei nach Formel (16) des vorigen Paragraphen

134

Viertes KapiteL

Also schließlich, weil i^q — ycwar:

(5) e-[2,l,2 + 2A, 1, l] -[2, 1, 2 + 2i, l] ,

(6)

00

Ve = [l,q-1, 1, 1, (3 + 2i,)q - 1, 1, l]_

[1,(1 + 2% -1,1]

(«>!)•

i^O

In ausführlicherer Schreibweise lauten diese Formeln:

(5-) e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...]

(6') f^-[l,g- 1,1, 1,32-1, 1,1, 62-1, 1,1, 7s- 1,1,...] (g>l).

Beide Eettenbrüche wurden schon von EtUer 4 zunächst durch Induktion
gefunden und dann auf Grund der Formel (1) auch wirklich bewiesen.
Im übrigen ist aber die Eulersche Methode yöllig von der Hurwitzschen
verschieden, und es ist nicht überflüssig, sie hier noch anzuschließen,
da sie zeigt, wie man bisweilen durch Benutzung geeigneter Transfor-
mationsformeln unter Umgehung der allgemeinen Methode rasch zum
Ziel gelangen kann.

Sind ^ die Näherungsbrüche des Eettenbruches

der sich in leicht verständlicher Abkürzung folgendermaßen schreiben läßt

ee
\ßX9 K *2? '-9 **-l] 9

x = 0

SO gilt, wenn h — 1 eine gerade Zaiil ist, die allgemeine Formel:

W \9X9Kh9'''9\^^ +

'*— 2

i = 0 ^k-1

welche, wenn die Zahlen 9o,gi}9i,"-, eine arithmetische Reihe bilden,
eine Beziehung zwischen zwei speziellen Hurwitzschen Eettenbrüchen
darstellt. Dies ist also eine fertige Formel, welche den Übergang von
einem zum andern Eettenbruch ohne Zwischenrechnung vermittelt. Wir
werden die Gleichung (7) in § 43 beweisen; hier sei nur für den Fall
ib » 3, den wir im folgenden allein gebrauchen werden, ein kurzer Be-
weis mitgeteilt. Für A; = 3 besagt die Formel (7):

(8)

K

[9o> hi ht 9i, h> h, 9t, \, K 93> h, ^2. • • •] + 576, +1
"676,Vl l^»*^*!*» + 1) + ^ + h, 9i(Pih +l) + h+ h,

§ 81. Die regeln^igen Eettenbrüche ftlr e ww.

135

Zum Beweis dieser Gleichung seien -^ die Näherangsbrüche des

auf der rechten Seite stehenden Eettenbruchs; dann gelten die Bekur-
sionsformeln

l>-i=-0,Z),-l, I>r-[9rihh+i)+h+ht)I>,_^+D,_,.

Für die Nähernngsbrüche des links stehenden Eettenbruches ist dagegen

-^«y-l™ ^8-^8r-2 + ^t-S

-*i

^9v "^ 9v^$v^l+ -^v-i

hh + 1

-^r + 1 — ^lAv +-4«v-l

*,

-^«r + S*" ^«-^3f + l+ -^8y

1

Addiert man diese Gleichungen, nachdem man sie der Reihe nach mit
den beigeschriebenen Faktoren moltipliziert hat, so kommt

und ebenso erhalt man auch ftlr die Nähernngsnenner

^j,+, - {9riiA + 1) + &1 + h) -83,-1 + -Bj,-*-

Daher genügen die ^y+s'-^sv+s genau der gleichen Rekursionsformel
wie die C^ und D^. Es ist außerdem

^_i = 1, ^ = S^o(*i*s +l) + h
■B_i = 0, JBg -= 6163 + 1 ,
80 daß gewiß für v ^ — 1 und 1/ » 0 die Gleichungen bestehen :

Wegen der Bekursionsformeln gelten diese dann allgemein (Beweis so-
fort durch Schluß von v auf v + 1). Durch Dirision ergibt sich aber

•■8 » + 2

c

^

woraus für lim v = 00 die zu beweisende Gleichung (8) hervorgeht.
Wir wählen jetzt speziell

(7,= j(l + 2A)-l,6,= l,6,= l.

136 Viertes Kapitel.

Alsdann geht die Formel (8) über in

[q-1, 1, 1, 3g- 1, 1, 1, 5g- 1, 1, 1, 7g- 1, 1, 1, . . .] + |

« y [2?, 6g, 10g, 14g, . . .] ^ y f-^zl ^''''''^ ® ^^' * = ^g) .
Daher

(9) [2-1,1,1,38-1,1,1,52-1,1,1, ...] = i|^--;=5P.i

Für g = 1 ergibt sich hieraus, indem man den reziproken Wert
nimmt:

[l,l,2,l,l,4,l,l,6,l,l,8,l,l,...]-e-l,

also, wenn man beiderseits noch 1 addiert, in der Tat die zu beweisende
Formel (5').

Für g > 1 folgt aus (9), wenn man wieder zum reziproken Wert
übergeht:

[0, 8- 1, 1,1, 32-1,1,1, 5g- l,l,l,...]-fc-l,

also, wenn man wieder 1 auf beiden Seiten addiert, gerade die Formel
(6^), die damit auch zum zweitenmal bewiesen ist.

§ 32. Die regelmäßigen Kettenbrfiche für e^ und e^^

+ 1

Wir knüpfen jetzt wieder an die Formeln (2), (3), (4) des vorigen
Paragraphen an und behandeln den Fall, daß k ungerade ist. Die Un-
gleichung 6^^ 2w + I c I = 5 ist dann von \= bk an erfüllt. Da aber
5j(c|q+ (?) = (3ä;*+ 1)(1 — So) wenigstens für Ä « 1 noch kleiner al»
1, während Bi(c^Q + d) stets größer als 1 wird, so werden wir zur Vor-
sicht den ersten Abschnitt des Eettenbruches ^q bis zu b^^bk laufen
lassen, also folgende Einteilung vornehmen:

^^==[0,kySk,bk\lki9k\llk\.,.],

wobei die Forderungen (4) des § 30 wieder bereits erfüllt sind. Dann
muß auch bei rj^ der erste Abschnitt eine gerade, jeder folgende eine un-
gerade Gliederzahl haben. Da nun k ungerade, so bestätigt man leicht:

([7,2,1,1] mrk^l

[],^7^,6Ä,'V.l,l]fö^*>l

Der erste Abschnitt Ton rjQ ist also
falk* = l: 7,2,1,1

falls k>l: 1, -7-, 6Ä, -.J^, 1, 1.

§ 32. Die regelmäßigen Eettenbrüche für e* usw. 137

Ferner ist r^ der größte gemeinsame Teiler von a = 15ä;*+ lbJc^+ 64 + 1
und ß = 15Ä^— 154*+ 64—1; aber a, ß sind offenbar ungerade^ und^
da ihr größter Teiler^ wie wir wissen, auch ein Teiler von n, also hier
von 2 sein muß, so ist r^ » 1; wegen n » 2 ist dann Sq =» 2. Für ^ er-
gibt sich,

fiais*=l: <o=*o|-'-oli-+-|; = 2. 1-1 £^+-4^ = 1.

Q 2 ^ ^— 3 K -j- SnJ — [- 1 ^

"" "^ ' TöX-»(X-^^ir+"6i-— 1 "" ~ (iTfcM- 1) + 16 ;fc« + 6Ä; ^ ^'

also beidemal ^o= 1.

Indem wir jetzt zum zweiten Abschnitt übergehen, erhalten wir^
weil er eine ungerade Gliederzahl haben muß, und weil Je ungerade ist:

-!!- =^=[|(7*-i)]-

Der zweite Abschnitt von rj^ ist also -r- (74 — 1). Femer ergibt sich r^
als größter Teiler von 74—1 und 2, alsori = 2; daher 5^=1 ; außerdem

Für den dritten Abschnitt kommt alsdann:

r, = 1, s, = 2, ^ = s, • -j- — r, • ^ - 0.
Für den vierten Abschnitt:

*•»= 1; «»'^ 2, ^= Äj. y - rj . Y = 1 .
Es ist somit

so daß wir die Rechnung nicht weiter fortzusetzen brauchen. Schreibt
man der Deutlichkeit halber den Kettenbruch für |q in der Form

00

lo = [O, *, SÄ, 5ifc, "(T+6A)ft,(9+6Ä)Ä, (iI+6;i)Ä] ,

Ä = 0

138

Viertes Kapitel.

flo ergibt sich

~k

[l,2,l,l,x,ii.),ZiW,XtW,h^.

X = 0

« =^0 = i

fc — 1

6jfc— 1

fÖr*=l,
farÄ;>l,

;i=o

[l,^, 6Ä, -"-— 1, 1, XoW, ZiW, Z,a), 1, 1
-wobei nach § 30, Formel (16)

;K„(A) = i- (7Ä; - 1) + V (y:^=^ - I (7* - 1) + 3Aifc

X,a)^i-(lU-l) + V^" + 'y-"*-i-(lU-l) + 3Afe
ist. Also zunächst für 2; » 1 :

<i)

«»- [7, 2, 1, 1, 3 + 3A, 18 + 12;i, 5 + 3A, 1, Ij

i = 0

[7, 2 + 3A, i, 1, 3 + 3A, 18 + 12a] ,

oder in extenso geschrieben:

e«= [7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, 14,
^ ^ 1, 1, 15, 66, 17, 1, 1, 18, 78, . .].

Ebenso für (ungerade) Ä; > 1 :

k

['.

; 6ft,— ^-, 1, 1,

2

(2)

7ifc— 1

2 + SXh, ISk + I2lk, -^f- + 3A*, 1, l]

Jl = 0

ÖÄ;— 1

[l, — -- + 3AÄ, 6k + 12Afc, ^*2— + 3Xk, l] .

;i=o

Der Kettenbruch (1) ist schon vor Hurwitz durch Sundman 1 ge-
funden worden. Schon früher aber kannte Stieltjes bereits die Eetten-
brüche (1) und (2), doch hat er sie nicht publiziert. {Stieltjes 5.) Sund-
man und Stieltjes bedienten sich einer ähnlichen Transformationsme-
thode, wie sie Euler für die einfacheren Kettenbrüche des vorigen Para-
graphen benutzte. Bemerkt sei noch, daß Stieltjes den Kettenbruch (1)
trotz seines gewiß verwickelten Bildungsgesetzes durch Induktion fand
und erst nachträglich bewies.

§ S3. Liouvillesche Zahlen. 139

§ 33. LiouYlllesche Zahlen.

I. Die für e und (? gefundenen Kettenbrüche zeigen, daß diese
Zahlen irrational und nicht Wurzel einer quadratischen Gleichung mit
rationalen Koeffizienten sind. Denn sonst müßten die Kettenbrüche end-
lich, bzw. periodisch sein, was nicht der Fall ist. Nun hat bekanntlich
Hermite bewiesen, daß die Zahl e transzendent ist, das heißt, daß sie
überhaupt gar keiner algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizien-
ten genügt Es liegt die Frage nahe, ob man diesen Charakter der Zahl e
auch aus ihrer Kettenbruchentwicklung erkennen kann. Leider ist dies
bis heute nicht möglich. Zwar hat Hwrmtz 3 auf diesem Wege noch
bewiesen, daß e auch nicht Wurzel einer kubischen Gleichung ist, wo-
rauf wir indes nicht näher eingehen; doch ist dies das äußerste, was
heute erreicht ist.

Trotz dieses negativen Ergebnisses gibt es aber doch umfangreiche
Klassen Ton regelmäßigen Kettenbrüchen, welche ohne weiteres erkennen
lassen, daß die durch sie dargestellten Zahlen keiner algebraischen
Gleichung von gegebenem Grad, oder auch überhaupt keiner algebra-
ischen Gleichung genügen. Die wichtigsten in dieser Richtung vor-
liegenden Resultate stellen wir in diesem und dem folgenden Para-
graphen zusammen.

Wir stützen uns dabei auf den folgenden Satz:

Hilfssatz 4. Ist ^ Wurzel einer im Bereich der rationalen Zahlen
irreduziblen algebraischen Gleichung »*"* Grades (w > 1), so gibt es eine
positive Zahl c < 1 derart, daß für alle ganzen Zahlen p, g > 0, die
Ungleichung besteht:

— — So > ~» • (LiouviUe 1.)

2

a

Beweis: Wenn — — g^ > 1, so ist die behauptete Ungleichung

wegen o < 1 sicher erfüllt. Folglich haben wir bloß nötig, den Satz
für solche p, q zu beweisen, bei welchen

(1) if-^'^^

ist. Sei dann

(2) f{x) = Co^" + ^1^" ^ + 1- ^n-i^ + ^n = 0 (c^^ ganz)

die Gleichung, welcher Iq genügt. Da sie irreduzibel sein soll, so hat
sie auch keine rationale Wurzel — ; also ist /*(— ) + 0, und folglich

(3) \f[j)\ ^ ^^'

140 Viertes Kapitel.

weil ja der Zähler als positive ganze Zahl mindestens gleich 1 ist.
Anderseits ist f{!^) = 0, und daher nach dem Mittel wertsatz der Diffe-
rentialrechnung :

WO y eine passende Zahl zwischen -^ und |q bedeutet.
Setzt man dies in (3) ein, so kommt

(4) !(f-^)/'(y)

9

V2

I

Nun folgt durch Differentiation von (2)
also

(5) ir(y)l^»koy"-'l + (w-i)kiy"-*l + --- + k-i|.

Da aber y zwischen |q und y Uegt, so ist nach (1) gewiß |y;<|Sol + lr
so daß nach (5) gewiß \f{y)\ unter einer von p, q ganz unabhängigen
Schranke bleibt; etwa /'(y) < — , wo man natürlich auch c < 1 an-
nehmen kann. Mit Rücksicht auf (4) folgt dann aber

if-lo;>^- w.z.b.w.

Aus Hilfssatz 4 folgt nun leicht

Satz 2. Der regelmäßige Kettenbruch [&o> ^i> ^s' • * -] ^^ ^^^ Nähe-
rungsnenner v^ Ordnung B^ kann nur dann eine Wurzel einer irredugibeln
algebraischen Gleichung n^" Grades mit rationalen Koeffizienten darstdlen^

wenn die Zahlen — ~: 2 ww^cr einer von v unabhängigen ScfiranJce bleiben.

{LiouviUe 1.)

In der Tat ist nach dem Näherungsgesetz

^^L< ^ -<- '

Wenn sich nun zu jedem beliebig großen C ein Index v finden ließe,,
für den -_ g > C wäre, so würde daraus folgen:

,5, '^ • OB,"'
nud dies widerspricht dem Hilfssatz 4, sobald C > — gewählt wird.

§ 33. Liouvillesche Zahlen. 141

Die Bedingung des Satz 2 ist weit davon entfernt, hinreicliend
za sein. Sie liefert z. B. für die quadratischen Irrationalzahlen nur den
Satz, daB die Teilnenner unter einer endlichen Schranke bleiben; aber
aus dem dritten Kapitel wissen wir, daß dies nicht genügt, daß yiel-
mehr noch die Periodizität erforderlich ist. Für n > 2 läßt sich übrigens
der Satz (ebenso wie Hilfssatz 4) nach neueren UntersuchiHigen von
77^2«^ 1 noch wesentlich verschärfen. Doch würde uns ein näheres Ein-
gehen darauf zu weit von nnserem Hauptgegenstand entfernen, so daß
wir uns mit diesem Hinweis begnügen.

n. Wir definieren jetzt nach Maillet:

Deflnition. Eine Zahl So ^ [^o' ^ly ^s> • • -] ^^^ ^^ Näherimgs-
brücken w- heißt eine Liouvillesche Zahl, wenn zu jedem noch so großen

n ein Index v gefunden werden kann, für welchen ft^+i > BJ^ ist.

Es gibt dann, da n beliebig groß sein darf, zu jedem n sogar un-
endlich viele solcher Indizes i/, also insbesondere auch ganz beliebig
große.

Aus Satz 2 folgt nun sogleich

SatB 8. Eine Liouvillesche Zahl ist transzendent.

Würde sie nämlich einer Gleichung n^° Grades genügen, so würde
für aUe v die Ungleichung gelten: b^^^<,CB"~ , was aber mit
b^^i> B^ für große v nicht verträglich ist.

Der Satz 3 stammt ebenfalls von LioumUe 1, der dadurch zum
ersten Mal die Existenz transzendenter Zahlen nachgewiesen hat. Denn
die wirkliche Herstellung von Kettenbrüchen, welche nach obiger De-
finition Liouvillesche Zahlen sind, unterliegt ja nicht der geringsten
Schwierigkeit. Man braucht nur etwa 6y^.i > BJ zu wählen.

Das wichtigste Theorem über Liouvillesche Zahlen ist nächst
Satz 3 folgender

Satz 4. Wenn zunschen zwei irrationalen Zahlen g^, i^q die Relation

besteht^ wo a, &, c, d ganze Zalüen sind, und wenn l^ eine Liouville-
sche ZaJd ist, so ist t^q ebenfalls eine LiouvillescJie Zahl. {Maillet 1.)

Beim Beweis können wir wie in § 30 wieder cJo + ^ als positiv
voraussetzen, indem wir andernfalls die Vorzeichen von a, b, c, d ändern

würden. Dann ist für genügend große v auch c ^+ d, also CÄ^+ dB^

positiv, und zwar wird cA^-\- dB^ mit v ganz beliebig groß.

Nun sei n eine beliebig große, aber festgewählte ganze Zahl. Dann
gilt, da ^ eine Liouvillesche Zahl ist, für gewisse beliebig groß

142

Viertes Kapitel.

wählbare v die Ungleichung ft^^j > JB^"; also nach dem Nähemngs-
gesetz

So-B.-AI<

<

<

Daher auch

^.+i^^+i5,^ v-"'

I 1

ad — hc\.\l^B^—A^\ad-he

(ci^+ d){cÄ^-\. dB,) - c^ + d B,'+\eA,+ dB,)
ad — 6c

c^ + d

Nun bleibt aber der Ausdruck

ad — hc

cL + d

( ^p v+*

offenbar unter einer von v unabhängigen Sckranke G. Daher geht die
vorige Ungleichung über in

(6)

<

G

<

{cÄ. + dB,)''-^^ 2(cA^+dB^)

s ;

da ja n positiv^ und cÄ^ + dB^ beliebig groß^ also größer als 2 an-
genommen werden kann.

aA^-\-bB^
Nach Satz 11, Kap. 11 ist daher ^ ,~ einem Näherungsbruch.

von i/q gleich, etwa dem Näherungsbruch ft**^' Ordnung

(7)

aA^-^-bB^
'iÄ~+~dK

D.

Es ist dann D ein Teiler von cA^ + d JB^, und daher nach (6) gewiß

(8)

%

D.

<

G

Dabei darf auch D ganz beliebig groß angenommen werden. Denn
erstens ist cÄ^+ dn^ beliebig groß; zweitens ist nach (7)

D^ - I (cA+ dB;),

WO r den größten gemeinsamen Teiler von aA^-\- bB^ und cÄ^+ dB^
bedeutet. Dieser muß aber wie in § 28, II ein Teiler von ad — bc sein,
wie man auch aus der Identität

§ 84. Quasiperiodische Kettenbrüche. 143-

(a^,+ bBXeÄ,-x+ dB,_,) - ieÄ,+ dB;)(aÄ,_,+ bB,_,)
- (ad - be)iÄ,B,_, - ä,_,B;) - (- iy-\ad - he)

sofort erkennt. Infolgedessen kann D^ in der Tat beliebig groß gedacht
werden.

Nun haben wir in der Formel (12) des § 13 eine allgemeingültige

untere Grenze för den Fehler ! L —

0 B

Fonnel auf i/^ an^ so kommt

V

hergeleitet. Wendet man diese

80 daß in Verbindung mit (8) folgt:

daher

B;^'< aD^(D^^, + D^) < 2GD^D^^,;

(9) ^.+i>F«^,

n+1
2G "

Wenn aber d^^^ der (ft + 1)*® Teilnenner von ti^ ist, so wird

80 daß aus (9) folgt:

Also gewiß, da D beliebig groß vorausgesetzt werden darf:

(10) ä^^,>B;-\

In dieser ganzen Untersuchung durfte die Zahl n von vorn hei ein
beliebig groß angenommen werden; dann besagt aber die Ungleichung
(10), daß iJq eine Liouvillesche Zahl ist. W. z. b. w. Zahlreiche weitere
Theoreme über Liouyillesche Zahlen, die wir hier beiseite lassen müssen,,
findet man bei MaiUet 1.

§34. Quasiperiodische Kettenbriiche.

I. Die Liouyilleschen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, daß-
unter den unvoUsiändigen Quotienten h^ sich eine unbegrenzte Serie h^ ,

6^^, fc^^,... befindet, für welche 6^. > 5/ii ist, wobei lim »^=oo. Daher

wachsen die \ außerordentlich stark ins Unendliche. MaiUet 1 hat

aber eine zweite Klasse von Eettenbrüchen angegeben, bei denen die
Yollstandigen Quotienten sogar unter einer endlichen Schranke bleiben
dQrfen, und die doch stets transzendente Zahlen darstellen.

144 Viertes Kapitel.

Wir denken uns einen regelmäßigen Eettenbruch wieder in Ab-
schnitte geteilt:

Dabei soll der Abschnitt 6 • . .; &y. . _i bestehen aus der A^-maligen
Wiederholung eines X^^-gliedrigen Zahlenkomplexes; es ist also

imd

]6y^,..., ^»1^1-1 1 ~ l^y,.>"-> ^y^+tj-i>^y^;"-;^y^ + *j._i;' • •; ^y^; • • -j^r^+i^-ll-

Wir nennen einen solchen Eettenbruch^ wenn er nicht periodisch
ist; und wenn unter den X^ beliebig große vorkommen ^ mit Mai 11 et
y^quasiperiodisch^', und bezeichnen ihn durch

Es wird sich zeigen, daß, wenn die Exponenten X^, wenigstens zum
Teil, genügend rasch wachsen, der Eettenbruch sicher eine transzea-
•dente Zahl darstellt {MaiUet 1). Dazu benötigen wir zunächst den

Hilfssatz 5. Genügt ^ einer im Bereich der rationalen Zahlen
irredujsibeln algebraischen Gleichung n**" Grades, wo n > 2, so gibt es
eine positive Zahl c < 1 derart, daß für alle quadratischen Irrationaieahlen

^- ^- (tio Py q, d ganze Zahlen), die Ungleichung besteht:

P + Vd

-lo >

q - ' (iPl + kl + Vd)^«'

Beweis. Wie bei Hilfssatz 4 ist es wieder nur nötig, die Unglei-
chung für solche p, q, d zu beweisen, bei denen

(1) I™ -^<

ist. Sei dann

<1

{2) f{x) = c^a^ + Cjo;"-^ H h c^ = 0 (c,. = ganz)

•die Gleichung, welcher gg g^^^g^- Da sie irreduzibel und von höherem
iJs dem zweiten Grad sein soll, so ist /*(-—- ) + 0; daher

^(^±Vfr).f(p=vI)

Q"

.»

c, (p - Vd )' + c. (f - ^/dY- ^g + • • • +c„g'

§ 84. Quasiperiodische Kettenbrüche. 145

Das Produkt der beiden Zähler ist aber offenbar eine ganze rationale
Zahl, so daß sich ergibt

Nun ist /'(So) = ^7 A^so nw:}! dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
WO y zwischen f q und '^ liegt. Setzt man dies in (3) ein, so kommt

<4) :(^Y"-^»)^'(^>K^)I^4--

Da y zwischen ^q und liegt; so folgt aus (1): |y|<||o| + l,

woraus wieder wie beim Beweis des Hilfssatz 4 zu schließen ist, daß

f'{y) unter einer von p, q, d unabhängigen Schranke -r bleibt. Aus

c

(4) folgt also weiter

Nun ist aber

1 f (P-V^\ = I '^.(p-T^'^')'+c.(f-yd)''~'94--- + c„g"

1 ' \ « / I a"

wo <? =- l^ol + Ic^ I H hl^nl von p^ g, d nicht abhängt. Daher

wegen (5)

P'\-VS fc u^ ^' ^

c

So ^ _ , .«/, . : . , . _/,-\«^ ^

9 "^ cigr(ipi+i«i+i/d)« c(ipi+i2i+i/dr'

womit der Hilfssatz 5 bewiesen ist, indem für c jede Zahl stehen darf,
die kleiner als 1 und kleiner als -^ i^^-

II. Wir betrachten jetzt einen positiven quasiperiodischen Ketten-
bruch, kleiner als 1:

Dabei ist Vj^j — v^= h^X^, also

(7) v<= Vq+K^o+K^i H + ^V-i'^i-i-

Perron, Kettenbrüohe. 10

146 YierteB Kapitel.

Daneben betrachten wir den periodischen Eettenbruch

(8) Vo'^i^fhf -y Ko-if Ko^"'7 K^u \f'"> Ki-iyKifKi+ir^'7 Ki+k^^i^r

der mit (6) in den v^^^ ersten Gliedern übereinstimmt. Die beiden
Zahlen

"< + !

-1 -"r

feO R ; ^0

<+l-l^)

B ' '^ B

-1

haben gleiches Vorzeichen (— 1) '+^'' und sind nach dem Nähenings-
gesetz absolnt kleiner als — ^ • Daher wird auch

(9) |So-i?ol<^2— •

Nun ist aber der Eettenbruch t^^ leicht zu berechnen. Nach § 19, U ist
er nämlich eine quadratische Irrationalzahl, und zwar ist nach den
dortigen Formeln (5) und (6) die quadratische Gleichung, welcher er
genügt, die folgende:

wobei

Durch ganz rohe Abschätzung folgt hieraus, weil wegen der Voraus-
setzung 0 < I0 < 1 auch 0 <Ä^<B^ ist:

Daher ist

wobei

yrf<V4£;:,.,., + 45.%.,-,<3B^,,,.,;

1) Ob mit •=- die Näherangsbrüche von (6) oder (8) gemeint sind, ist hier

gleichgültig, weil nur solche vorkommen, die bei beiden Eettenbrüchen überein-
stimmen«

§ 84. Quasiperiodische Eettenbrüche. 147

also

Aus Hilfssatz 5 folgt daher, falls |q einer Gleichung n*^ Grades
(n>2) genügt:

5o ^0 1 ™ I *o q

^{\p\+\q\ + Vdy~'^l'''B^^^

Hieraus ergibt sich aber durch Yergleichung mit (9) :
oder, wenn die positive Eonstante c mit -j bezeichnet wird:

(10) ^.,..-i<'^v^.;:»,-.-

Nun lehren aber die Fundamentalformeln:
Infolge von (10) ist daher erst recht

(11) ^v,-x.^<'^"K;*.-x-

Hier hängt 'aber die rechte Seite gar nicht von X^ ab, während die linke
bei genügend großem l^ ganz beliebig groß sein wird. Man kann sich
daher augenscheinlich die X^ mit i so stark wachsend denken, daß die
Ungleichung (H), wie groß auch die Zahlen n und y gewählt werden,
f&r gewisse Werte von i nicht erfüllt ist. Alsdann ist aber ^ nicht
Wurzel einer Gleichung n^^ Grades, also, da n beliebig groß sein kann,
gewiß transzendent. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir nachträg-
lich die Annahme ^q» 0 wieder fallen lassen, weil eine transzendente
Zahl bei Vermehrung um eine ganze Zahl doch transzendent bleibt
Wir erhalten so den

Satz 5. Wenn in dem quasiperiodischen Kettenbruch

*0 '~ *1

WO Vo^ 1, die Exponenten X^ so beschaffen sind, daß für jedes noch so große
n und y ein Index i gefunden werden kann, für welchen die Ungleichung

besteht, so steUt der Kettenhruch eine transzendente Zahl dar.

Die Voraussetzung dieses Satzes ist sicher erfüllt, wenn für un-
endlich viele i die Ungleichung statthat:

(12) ^*.Vt.^>^.U**-x-

10

•

148 Viertes Kapitel.

Als Beispiel wählen wir den einfachen quasiperiodischen Ketten-
brach

(13) [0, 2^*» 3^* 2^3^'2^*---]

und wollen untersuchen^ wann er sicher eine transzendente Zahl dar-
stellt. Dabei mag eine ganz rohe Abschätzung genügen. Bei dem Eet-
tenbruch (13) ist Vq=^1] femer sind alle A;^» 1^ so daß aus (7) folgt

(14) v^^l + Xo+^i + ^+'- + ^i^i-

Die Näherungsnenner von (13) genügen für v^ 1 der Bekursionsformel

WO 6y= 2 oder 3; also ist jedenfalls B^<,4:B^_^, und folglich

B^<4rB^^4.' (für 1/^1).

Femer ist auch für v ^ 1, ft ^ 1

also sicher A^^^ > 2-4y_i ^,; folglich
Daher ist insbesondere

SO daß die Ungleichung (12) gewiß erfüllt ist^ wenn

2'^^ 4'^*_ 4'a+^o+ix+ •+^1-1) (nach (14));

also wenn

(15) l, ^ 22(1 + ^0 + ^1 + • • • + ^<-i)-

Für die Transzendenz des Eettenbruches (13) genügt es daher, wenn
für unendliche viele i die Ungleichung (15) statthat. Das ist beispiels-
weise der Fall für A,- (2t)! und erst recht für X^ > (2i)\ .

Fünftes Kapitel.

Halbregelmäßige Kettenbrüche.

§ 35. Der Konyergenzsatz Ton T letze.

Den Untersuchungen dieses Kapitels schicken wir das folgende
Theorem voraus:

Satz 1. Wenn die Elemente des unendlichen Kettenbruches

irgend wdcke reelle Zahlen sind, die den Bedingungen

genügen, so bestehen für die Näherungsnenner B^ die Beziehungen

jB^^I (A = 0, 1,2...)

lim JB;i= oo,

und der KeUenbruch ist konvergent. Sein Wert liegt zwischen den Gren-
zen 6q (ausgeschlossen) und 6^ + a^ (eingeschlossen). {Tietze 2.)

Zum Beweis knüpfen wir an Formel (28), Kap. I an, die sich so
schreiben läßt:

(1) . ■B,+i.i-i--BM-(^-.-i)-ß..-.+«-i+i^»-i.2+i;

oder, indem >L — v an Stelle von k tritt:

Wir zeigen nun zunächst, daß, unter X eine Zahl der Reihe 1, 2, 3,...
verstanden, die Ungleichungen

(3) -»^.i-^^-B^-Li-^+i für^-l,2,...,i

bestehen. In der Tat ist ^i i_x= h^, B^i= 1, so daß fQr /» = 1 die

150 Fünftes Kapitel.

Behaaptimg zutrifft. Nimmt man aber aii| sie sei für /i — 1^ 2^ . . ., 1/ (< iL)
richtig; so ist

und aus (2) ergibt sich dann mit Rücksicht auf unsere Voraussetzungen :

SO daß die Ungleichung (3) auch für (i = v -{- 1 besteht, woraus ihre
Allgemeingültigkeit folgt.

Man hat daher die Kette von Ungleichungen

(4) -B.^5.-».x>5i-M^--^^«.;.-l'

aus der sich auch speziell ergibt (nach einfacher Änderung der Indez-
bezeichnung):

(6) ^M^JS.-i. 2+1^1 (^^1>
Nun folgt aus (1) mit Rücksicht auf (6)

(7) fürai+,- + l: B,^,,,_,-B,.,^J5,_,.,^,^1 (i/^l);

dagegen, weil nach den Voraussetzungen des zu beweisenden Satzes
für a^^^ =« — 1 stets 6^ ^ 2 sein muß,

^1.2-1 — J5o.2"-*2- i^l;

80 daß in jedem Fall für i^ ^ 1

^,+1. .-1 - 5„ 2 ^ Min (1, 5„ , - B,_,. ,^,) 1)
ist, oder, wenn v + Xy l — x an Stelle von v, l gesetzt wird, für v + «^ 1 :

•^y + x + l,2-x-l~ ^r + x,2-x ^ ^^^(l^-Sr + x, 2-x"" -By + x-1, 2-x + l)-

Wenn daher für einen bestimmten Index x(< iL) der Ausdruck

^»' + x,2-x- ^. + x-l,2-x + l (v + «^l)

mindestens gleich 1 ist, so muß er für den nächstgrößeren Wert von x
ebenfalls mindestens gleich 1 sein (bei festgehaltenem 1/, X).
Nun folgt aber aus (7) und (8), daß die Ausdrücke

B -H wobei l''^^*''^'"'*^+i^ + ^

-^r + x,2-x -'^^ + x-l,2-x + 17 WODei ^ ^.. ,

l v-O für a;i^i« — 1
ist, für X »" 1 mindestens gleich 1 sind. Nach obigem erweisen sie sich

1) Mit Min(a, b) wird die kleinste der Zahlen a, b bezeichnet; z. B.
Min (1, — 2) = — 2; Min (1, 1) = 1.

(8) füra,^i--l:

§ 85. Der Eonvergenzsatz von Tietze.

151

also sukzessive aach fQr x = 1,2,3^ ,, .^ l mindestens gleich 1. Man
hat somit

■^^ + «,2-8"" -^r+1,2-1 ^1

^^+2 — J^v + 2-1.1^1

/v^lfürai^., = +l\
U=-Ofüra;i^.i-- 1/

und daher durch Addition^ weil nach (6) auch B^^j^^l ist:

(9) füra,+,« + l: ^,+.^^ + 1 (t'^l),

(10) fÜra;i+i-=-l: B^ ^A + 1.

Gibt es nun unendlich viele Indizes Xy fQr die a;i^i — + 1; so sind
darunter auch beliebig große^ so daß aus (9) folgt:

(11)

lim JB;i «=■ oo .

Wenn dagegen für hinreichend große X stets ä;^^^^ — 1, so schließt
man das gleiche Resultat aus (10).

Nunmehr kann auch leicht die Konvergenz gefolgert werden. Es
ist dazu nur nötig zu beweisen^ daß der Ausdruck

^X + v-l

'l-l

B

i+r-l

B

x-i

unter einer von v unabhängigen Schranke bleibt, die mit wachsendem k
beliebig klein wird. Dieser Ausdruck ist aber nach Formel (33), Kap. I,

weil die a^ alle gleich ± 1 sind, gleich -p- — ^-^ , also nach (5)

höchstens gleich -^ — , was in der Tat wegen (11) beliebig klein wird.
Nachdem hiermit die Konvergenz bewieseD, setzen wir

(12)

und analog

(13)

h 4.?l!4.?li4.

lo

h+

h + 1

+

*i + l

+ ' " =^ix (A = 1,2, 3, . . .),

da ja auch diese Kettenbrüche alle aus dem gleichen Grunde konver-
gieren müssen. Nach Satz 1, Kap. I ist dann

(14)

ix=h + -

a

i + i

h + i

(A = 0,l,2,...).

152 Fünftes Kapitel.

Ferner ist wegen -4y_i,^+i *= B^.^ (Formel (25), Kap. I):

1,^, =. lim f-''^^' = lim ^'- , U-0,1,2,. . .);

also mit Rücksicht auf (6):

(16) 5,^,^1 (X-0,1,2,...).

Nach (14) liegt daher ^j^ zwischen den Grenzen 6;^ (ausgeschlossen)
und bx"^ ^i+i (eingeschlossen). Da dies speziell auch für il^O gilt,
so ist damit Satz 1 vollständig bewiesen.

§ 36. Definition der lialbregelmäßigen Settenbrftclie.

I. Wir denken uns jetzt eine unbegrenzte Serie von reellen Einheiten

(1) ai = ±l, aa«±l, a3-±l,--

mit beliebigen Vorzeichen gegeben. Ist dann 1^ irgendeine reelle Zahl
und ist sie nicht ganz, so sei h^ diejenige eindeutig bestimmte ganze
Zahl, welche zwischen |q und 1^ — a^ liegt. Setzt man dann

lo=6o+J,

SO ist dadurch eine Zahl S^ > 1 definiert. Ist |^ wieder nicht ganzzahlig,
so sei b^ die zwischen || und |^ — a^ gelegene ganze Zahl, so daß durch
die Gleichung

eine Zahl l^ > 1 definiert ist. Wenn Ig abermals keine ganze Zahl, so
läßt sich das Verfahren in gleicher Weise fortsetzen. Es ergibt sich
auf diese Weise das allgemeine Schema:

(2) g^=6^+"^.y „ = 0,1,2,..,

S| +1

(3) |,>1 t; = l,2,3,...,

wobei b^ stets die zwischen |^ und 1^— a^^^ gelegene ganze Zahl ist.
Die b^ genügen gewissen Bedingungen; da nämlich für v^l stets
|^> 1, so müssen auch die ganzen Zahlen b^ und b^+ a^^i, zwischen
denen 1^ nach (2) und (3) eingeschlossen ist, positiv sein, alsTo

(4) &,^1, &v+«,+.^l (fari;^l).

Sind alle 0^= + 1, so deckt sich das Verfahren mit demjenigen,
welches die regelmäßige Kettenbruchentwicklung der Zahl |q liefert
(§ 12, 1). Andernfalls besteht aber immer noch eine große Analogie.

§ 86. Definition der halbregelmaßigen Eettenbrüche. Iö5

Man erkennt zunächst:

«1 . «8 . . «v-1 . «V

(5) |,= 6„+^ + _J. + ... + ^ + l^

Femer findet man^ daß bei rationalem ^ das Verfahren ein Ende er-
reicht^ indem einmal 1^ eine ganze Zahl wird; die dann^ falls v> 0,
wegen 1^ > 1 mindestens gleich 2 ist. In der Tat erweisen sich jetzt
nach (2) für v = 0, 1, 2, . . . sukzessive auch die Zahlen |,, Ij,.. . als

rational: wenn man daher |^= — setzt^ wo x^, y^ teilerfremde ganze

positive (für v > 0) Zahlen sind, so lehrt Gleichung (2), daß y^^x^^^

X

ist. Man hat also |^« --— , und daher x^,^<x^\ die x^ sind folglich

^i' + i

mit wachsendem v abnehmende positive ganze Zahlen. Wäre nun i,^
nie ganzzahlig, also das Verfahren unbegrenzt fortsetzbar, so müßte
auch die Reibe der x^ unbegrenzt sein, was nicht möglich ist. Gleich-
zeitig folgt aus (5), wenn etwa |„ eine ganze Zahl ist und als solche
mit 6 bezeichnet wird,

^o=^o+^ + -- + ^^, 6,^2, wenn n>0.

Ist {q irrational, so lehrt die Gleichung (2) für v =- 0, 1, 2, . . .
sukzessive, daß auch §j, ig, . . . irrational sind. Daher wird niemals 1^
ganzzahlig, und das Verfahren ist unbegrenzt. Wir woUen jetzt zeigen^
daß in diesem Fall die Gleichung

So^^ *o + J^ + [1^ + • • • in infin.

gilt. In der Tat sind wegen (4) die Voraussetzungen von Satz 1 erfüllt^
also lim J5^ = oo . Femer ist

woraus folgt:

Wegen |, > 1, |a,| — 1 ist daher

|-B,_ilo- ^,_i|< 15,_,|„- ^,_,|.

Die Größen IB^Iq— A^\ nehmen daher mit wachsendem v monoton ab
so daß wegen lim B^^ oo notwendig

lim • = lo

sein muß. W. z. b. w.

154 Fünftes Kapitel.

Im Fall eines irrationalen ^ kommt zn den Einschränkungen (4),
denen die b^ genügen^ noch die weitere hinzn, daß nicht für aUe v Yon
'einer gewissen Stelle an 6^ + a^^i« 1, d. h. 6^= 2, ö^^+i = — 1 sein
kann. Wäre dies nämlich der Fall; so würde aus (2) für hinreichend
große V folgen:

Daher würden die 1^ von einer gewissen Stelle an beständig zwischen
1 und 2 bleiben, aber mit v wachsen; sie müßten also einen endlichen
Orenzwert | haben; der größer als 1 ist. Ans der letzten Formel würde
•dann aber für lim v =^ oo folgen:

I — 2 — y, also S « 1,

was mit | > 1 im Widerspruch steht.
n. Nunmehr definieren wir:

Definition. Ein endlicher oder unendlicher KeUenhruch

mit ganzeahligen Elementen heißt halbregelmäßig ^ wenn er folgenden Be-
dingungen genügt:

a) I«vHl für 1/^1,

b) K>^7 ^+ör+i^l fürv^t,

c) faUs er endlich ist und außer dem Anfangsglied noch mindestens
ein Glied hat, ist der letMe Teünenner größer als 1; falls er unendlich
ist, ist unendlich oft 6^ + a^^^ ^ 2.

Die regelmäßigen Eettenbrüche sind hiernach unter den halbregel-
mäßigen mit inbegriffen (im Fall der Endlichkeit mit einem letzten
Teilnenner größer als 1). Femer ist zu beachten, daß die Bedingungen
«); b) gerade die in Satz 1 verlangten sind.

Nach dem Bewiesenen ist jede rationale Zahl einem endlichen; jede
irrationale einem unendlichen halbregelmäßigen Kettenbruch mit will-
kürlich vorgegebenen ^) Teilzählern a^ (=» ± 1) gleich, der durch das zu
Beginn dieses Paragraphen beschriebene Verfahren gefunden werden
kann. Umgekehrt woUen wir jetzt zeigen, daß jeder endliche halbregel-
mäßige Kettenbruch eine rationale, jeder unendliche eine irrationale
Zahl vorstellt.

1) Vorgegeben ist stets die unendliche Folge von Teilzählem, von denen
freilich, wenn der Kettenbruch endlich wird, nur eine endliche Anzahl wirklich
vorkommt.

§ 86. Definition der halbregelmäßigen Eettenbrüche. 155

Im Fall eines endliehen Eettenbruches ist gewiß

«ine rationale Zahl, sobald B^+0 ist; dies wird aber durch Satz 1
garantiert.

Von einem unendlichen halbregelmäßigen Eettenbruch sagt
Satz 1 auS; daß er konvergiert, also jedenfalls einen bestimmten Zahl-
wert hat, und es bleibt noch zu zeigen, daß dieser irrational ist. Setzen
wir zu dem Zweck

(6) h+^T^+^ + ----U

and analog

b, ' |&,

*»+i , "»+1

^y + 1

80 ist

<8) 1,-6,+ g —

Nach Satz 1 liegt 5» zwischen 6^ (ausgeschlossen) und b^+ a^^i (ein-
geschlossen), also ist Sy ^ 1 für v> 0. Wäre nun für hinreichend
große V dauernd 1^— 1, so würde aus (8) folgen 1 — 6^+ »y+i für alle
hinreichend großen Vy was aber der Definition der halbregelmäßigen
Kettenbrüche widerspricht. Also muß unendlich ofl 1^ > 1 sein. Femer
folgt aus (6) und (7) nach Satz 1, Kap; I

woraus man erhält:

(9) 5,(B,_xlo - A-i) - - «,(^,-slo - A-i)-

Wäre eine der beiden Klammergrößen gleich NuU, so müßten sie daher
beide verschwinden, was aber wegen der Relation

nicht möglich ist. Wegen '«» =» 1, 1^ ^ 1 folgt dann aus (9):

und zwar findet für unendlich viele v -Werte wirklich Ungleichheit
statt, weil ja unendlich oft 1, > 1 ist. Es gibt also imendlich viele von-
einander verschiedene Zahlen der Form \B^^— A^ , die alle unter einer
endlichen Schranke bleiben; dies wäre aber unmöglich, wenn ^ rational
wäre. *)

1) Ist nämlich ^ rational i=^, so ist {By^^ — Äy\ notwendig eine der

12 3 9-

Zahlen 0, — , — , — ,... Unter emei Schranke wäre also nur eine endliche

2 « 2

Anzahl verschiedener Werte möglich.

156 Fünftes Kapitel.

Als bemerkenswertes Nebenresultat ergibt sich hieraus, daß die
Ungleichung S^ > 1 nicht nur für unendlich viele, sondern für alle
V > 0 besteht. In der Tat ist ja |^ «= 1 ausgeschlossen, weil 1^ als un-
endlicher halbregelmäßiger Eettenbruch irrational sein muß.

Endlich beweisen wir, daß eine reelle Zahl nur einem halbregel-
mäßigen Eettenbruch mit vorgegebenen Teilzählem gleich ist. In der
Tat, wenn

ein halbregelmäßiger Eettenbruch ist, so wollen wir zeigen, daß er mit
demjenigen identisch sein muß, zu welchem man durch das zu Beginn
dieses Paragraphen beschriebene Verfahren gelangt. Ist nämlich erstens
Iq irrational, und setzen wir wieder

00) |,= 6,+ ^ti! + «-- + ...,

so wissen wir, daß für i/ > 0 stets S^ > 1 ist. Aus (10) folgt aber

(11) i,-K+T^-,

wegen l^'^i > 1 liegt daher b^ zwischen |^ und Sr^ ö^v+i- Da dies für
i/ = 0, 1, 2, . . . gilt, so sieht man in der Tat, daß sich die b^ gerade
durch das beschriebene Verfahren ergeben.

Wenn aber zweitens |q rational ist, so muß der Eettenbruch end-
lich sein, weil ja ein unendlicher einen irrationalen Wert hat. Ist also

(12) ^=^«+^ + --+K

und setzen wir noch

^»' + 11 , , ^n

^r- K+ li-^ +■■•+■;- (l'=l,2,..,«-l)
rv + 1 ^n

80 gelten wieder die Gleichungen (11) für i; = 0, 1, . . ., w — 1. Es ist
aber nach der Definition der halbregelmäßigen Eettenbrüche: 5^= b^ > 1.

Also ist S„_i =« 6^_i + -r^ zwischen fe„_i und 6„_i + öt„ gelegen, die
Grenzen ausgeschlossen; daher gewiß 5„-i > 1- Weiter ist dann
Sn-2='6n-2+ fc'*"' zwischen 6^_2 ^^^ K-i + ^n-i gelegen, und zwar

S/i-l

wieder mit Ausschluß der Grenzen; also 5«_2 > 1- So fortschließend
findet man überhaupt |y> 1 für i/>0. Aus (11) folgt dann wieder, daß
6^ zwischen 1^ und 6^— ■ ö^y+i liegt, so daß sich auch diesmal die b^ durch
das beschriebene Verfahren ergeben. Zusammenfassend erhalten wir

r

§ 36. Definition der halbregelmäßigen Kettenbrüche. 157

Sats 2. Jede reelle Zahl ^^ ist einem und nur einem hoUhregdmäßigcn
Keüenbruch mit vorgegebenen Teilmtdem («= ± 1) gleich. Dieser ist endlich
oder unendlich, je nachdem 5o rational oder irrational ist. Umgekehrt stellt
auch jeder hcdbregdmäßige Kettenbruch eine reelle Zahl dar, {Tietze 2.)

III. Eine irrationale Zahl läßt unendlich viele b albregelmäßige
Kettenbnichentwicklungen zu, da ja für jeden der unendlich vielen
Teilzähler das Vorzeichen beliebig gegeben sein darf. Für eine ratio-
nale Zahl dagegen ist die Anzahl der halbregelmäßigen Eettenbrüche

«ndlich und läßt sich leicht bestimmen. Sei — die rationale Zahl in

n

irreduzibler Form und mit positivem Neuner; die Anzahl der halbregel-
mäßigen Eettenbrüche sei fi—y Offenbar ist f(-r) =■ l. Ferner ist liir
ungerade w (m ■=» 2Ä; + 1):

und andere halbregelmäßige Kettenbrüche für die Zahl — gibt es nicht;

also ist /'(y) = 2. Wir behaupten nun, daß allgemein f\—) = w ist,

und führen den Beweis durch vollständige Induktion, indem wir an-
nehmen, für irreduzible Brüche, deren Nenner kleiner als n, sei das be-

reits erkannt. Ist dann b^ die größte in — enthaltene ganze Zahl und

der Rest, so kann die Entwicklung in einen halbregelmäßigen Eetten-
bruch auf zwei Arten beginnen:

erstens für a, = -t- 1: - — 6n H , —=:...

zweitens für a. »= — 1 : =» L + 1 , -= . . .

wobei die Brüche - und offenbar wieder irreduzibel sind. Daraus

r n — r

ersieht man, daß f \~^'^ f\~)'^ f\ :i. 7 ^^t, also nach unserer An-
nahme: /"(— ) ^r + (n — r) =^n. Damit ist bewiesen

AM

SatB 3. Der irredujsible Bruch — (w > 0) läßt genau n hdlbregeU
mäßige KettenbruchentwicMungen bu, (VaMen 1, Netto 1.)

IV. Wie bei den regelmäßigen Eettenbrüchen sind auch bei den
halbregelmäßigen die Näherungsbrüche irreduzibel. Denn wegen der
Gleichung

A^,-i - -4,-1^5,= (- ly^a^a^ . . . a,= ± 1

können A^ und B^ keinen gemeinsamen Teiler haben.

1

158

Fünftes Kapitel.

Im Gegensatz zu den regelmäßigen braucht aber bei den halb-

A
regelmäßigen die Konvergenz nicht derart zu sein^ daß stets

%-

'* + i

't + i

ist; auch nicht i^- 4^^^ <%-^\ {Netto l). Wir

I Ä^

wollen vielmehr jetzt zeigen, daß sogar, wenn A irgendeine (beliebig'
große) positive ganze Zahl ist, man eine Zahl k und einen halbr^el-
mäßigen Eettenbruch angeben kann, derart, daß

(13)

lo-

^k + JL

>

wird. Der halbregelmäßige Eettenbruch

1
12

2

1

[2

k*

h+i + i

+

— 1

bei dem die Anzahl der Teilbruche p^- gleich k + l — ly hat nämlich

für k> l und ^i+i+i < Ä — A + 1 die verlangte Eigenschaft. In der
Tat liefert hier die Rekursionsformel für die Näherungszähler und
-Nenner sukzessive:

Ä.

2^

2

• • •

A
Bu

^i + ;-i fc-hi + l ^

B

Also

lo
Daher weiter

* + ;i-i

k-\-l

B

k-\-l

A; + 2
k + V

1

1

(14) lo-^i-

(15)

&.-

^t + ^i+i + ^ + ^ + i

-1

n+i+i+* + i

Nach YorausBetzong ist aber h^^^^■^<k — k + l, also auch li+i+i
< Ä; — A + 2, oder also

SO daß aus (14) and (15) in der Tat die Ungleichung (13) herroigeht.
W. z. b. w.

■

§ 37. YerwandlTmg halbiegelmäßiger Eettenbrüche in regelmäßige. 159

§ 37. Terwandlung halbregelmäßiger Settenbrflche in

regelmäßige.

L Jeder halbregelmaßige Eettenbrucli stellt eine reelle Zahl dar^
die dann nach dem gewöhnlichen Verfahren auch in einen regelmäßigen
Kettenbruch entwickelt werden kann. Dieser läßt sich aber, wie wir
jetzt zeigen wollen, auch aus dem halbregelmäßigen nach einfachen
Regeln, die im wesentlichen Lagrange 7 angegeben hat, ganz mechanisch
herstellen.

Wir denken uns zu dem Zweck irgendeinen (nicht notwendig halb-
regelmäßigen, sondern ganz beliebigen endlichen oder unendlichen)
Eettenbruch der Form

(1) 6, + _-,... + |^^^_ + _^ +

und betrachten daneben den folgenden:

Den Übergang von (1) zu (2) nennen wir die Transformation t^; ihren
Einfluß werden wir alsbald untersuchen. Ist nun irgendein halbregel-
mäßiger Eettenbruch gegeben, so leiten wir aus ihm einen neuen her^
indem wir den ersten negativen Teilzähler durch die Transformation t^
beseitigen. In diesem neuen Eettenbruch (der nicht mehr halbregel-
mäßig zu sein braucht), beginnen dann die negativen Teilzähler erst an
einer späteren Stelle, und wir beseitigen jetzt wieder einen durch die
Transformation t^. So fahren wir fort und nennen die Gesamttrans-
formation, die alle negativen Teilzähler (es dürfen deren auch unendlich
viele sein) beseitigt, %^. Die Transformation %^ ist augenscheinlich
gleichbedeutend mit folgendem Prozeß:

4 I

Man schalte vor jeden negativen Teilzähler das Glied , ein; so-

dann verwandle man alle Minuszeichen in Plus; endlich ersetze man
jedes b^ durch

\, faUs a^= + 1, a^^i= + 1,

6^— 1, falls a^= + 1, a^^i «= — 1, oder a^= — 1, a,^i =- + 1,

6^—2, falls a^-» — 1, a^^, — — 1.

Dabei ist a^ «=■ + 1, und, falls bei einem endlichen Kettenbruch b^ der
letzte Teilnenner ist, auch a^^^^ + 1 zu denken.^)

1) Man kann die drei Fälle dahin znsammenfaBsen, daß jedes b^ ersetzt

wird durch ^ «

1 — a,. 1 — a^ + i

^- 2- 2 *

Davon werden wir häafig Gebrauch machen.

160 Fünftes Kapitel.

Die Teilzähler des transformierten Eettenbruches sind hiemach
alle gleich 1 ; die Teilnenner sind positiv oder Null. Kommen NuUen
nicht Yor^ so ist er regelmäßige und wir werden zeigen^ daß sein Wert
gleich dem des ursprünglichen Eettenbruches ist.

Andernfalls sieht man, daß eine Null nur auftreten kann, wenn
das betreffende Glied ursprünglich einen negativen Teilzähler hatte;

infolgedessen geht jeder Null ein eingeschaltetes Glied pp , also iin Teil-

nenner 1 voraus, so daß insbesondere der Nenner des ersten Teilbruches
nie Null sein kann. Es ist aber unmöglich, daß von einem gewissen
Glied an nur die Teilnenner 1, 0 in infinitum miteinander abwechseln;
denn alsdann müßte, wie man leicht einsieht, ursprünglich dauernd
«y ^1 = — 1, 6y= 2 gewesen sein, was der Definition der halbregelmäßigen
Eettenbrüche widerspricht. Folglich treten die NuUen immer nur in
Gliederserien der Form

^^^ |1^|0^|1^|0^ ^|l^|0^|c K^'r'^h

auf, wo der nächstvorausgehende und der nächstfolgende Teilnenner
von Null verschieden sind.

Wir denken jetzt weiter einen Eettenbruch der Form

(4) «'o+rL*+-- + i|^^ + TV+.5~i + -- (i^l)

• 1 IX I A + Z

und betrachten daneben den folgenden:

Den Übergang von (4) zu (5) nennen wir die Transformation tj. Bei
dem durch %^ transformierten Eettenbruch wollen wir dann jeden ein-
zelnen Teilnenner 0 durch die Transformation t^ beseitigen und nennen
die Gesamttransformation, welche alle Nullen beseitigt, %^. Augen-
scheinlich besteht ^ darin, daß jede Gliederserie der Gestalt (3) ersetzt

wird durch ij-r— , wo l die Anzahl der in (3) auftretenden Nullen ist.

Der durch %^ entstehende Eettenbruch ist nun sicher regelmäßig
(eventuell mit dem letzten Teilnenner 1), und wir werden sehen, daß
sein Wert gleich dem des ursprünglichen halbregelmäßigen Ketten-
bruches ist, so daß in jedem Fall der regelmäßige ganz mechanisch
aus dem halbregelmäßigen hergeleitet werden kann. Als Beispiel
nehmen wir: ^^ ^ ^ ^^ ^ ^^ ^ ^,

durch %i entsl^ht zunächst

^!l ^:0 ^'1 ^10 ^12 ^il ^,0 ^11 ^11»

§ 37. Verwandlung halbregelmäßiger Kettenbrüche in regelmäßige. 161
und hieraas durch X^i

1 + 11+ Li . _iJ.

16

Alle drei KetteobrQche sind gleich r^, also in der Tat einander gleich,

11. Um nun unsere Behauptungen zu beweisen, prüfen wir zuerst
die Wirkung einer einzelnen Transformation t^^ die den Kettenbruch (l)

überführt in (2). Bezeichnen wir die Näherungsbrüche von (1) mit J" ,

Q

die von (2) mit j^ , so lehren die Rekursionsformeln für die Näherungs-

V

Zähler augenblicklich:

(6) \c,^i- 0,+ C,^,^ A,,

und entsprechende Formeln bestehen auch für die Näherungsnenner,
woraus folgt, daß unter den Näherungsbrüchen von (2) alle die von (1)

enthalten sind; nur ist von dem Bruch ^- an die Ordnung um eine

Einheit erhöht. Daraus folgt nun^ daß auch der durch die Transforma-
tion %^ entstehende Kettenbruch unter seinen Näherungsbrüchen alle
die des ursprünglichen enthält. Denn fassen wir etwa den Näherungs-

bruch -jc~ des ursprünglichen Kettenbruches ins Ange und sind unter

den X + \ ersten Teilzählem /t negative^ so wird durch die ft Trans-
formationen t]^, welche zu deren Beseitigung notwendig sind, die Ord-
nung jedesmsd um 1 erhöht, also im ganzen auf 1 + fi gebracht. Durch
die folgenden Transformationen t^ aber, welche die späteren negativen
Teilzähler beseitigen, wird die Ordnung nicht mehr verändert, bleibt

also beständig k + /u. Daher ist ^ auch ein Näherungsbruch des durch

die Gesamttransformation %^ entstehenden Kettenbruches, und zwar der
von {X + /t)*"' Ordnung.

Aber noch mehr. Bezeichnet man nämlich in Verallgemeinerung
einer in § 16, 1 gegebenen Definition als „Nebennäherungsbrüche^^
«ines Kettenbruches der Form

6^ + «li + ^ I +... (6^«ganzeZahl^0füri;>0)

Perron, Kettenbrüche. 11

162 Fünftes Kapitel.

aUemal, wenn 6,, > 1 ist (v > 0), die Brüche

80 sind aach die Nebennäherongsbrüche von (1) unter den Hanpir und
Nebennäherungsbrüchen von (2) enthalten. Dies ist nach (6) ganz
selbstyerständlich außer für die Brüche

^^X-\ + ^X^X^%

und

für welche der Beweis aber auch nicht schwer ist. Denn nach (6) ist

also für c ■= 1 , 2, . . ., 6;i — 2 ein Neben-, für c = 6^ — 1 der Haupt-

^x
näherungsbruch -^ von (2). Ferner ist nach (6)

also für c'=2, 3,...,6;i+i— 1 ein Neben-, für c'= 1 der Hauptnäherungs-
bruch ^ von (2).

Durch wiederholte Anwendung ergibt sich so, daß die Haupt- und
Nebennäherungsbrüche von (1) sämtlich auch unter den Haupt- und
Nebennäherungsbrüchen desjenigen Kettenbruches enthalten sind, der
aus (1) durch die Gesarnttransformation %^ hervorgeht.

Untersuchen wir nun ebenso die Wirkung einer Transformation tj,

welche den Kettenbruch (4) überführt in (5). Bezeichnen wir mit ^^
die Näherungsbrüche von (4), mit -^ die von (6), so ist diesmal

r

A' n' A' = C A' m» C*

^-^x + 3 ~ ^'x + P ^^+4 ^XJfty X^h ^^ + 8''*''

§ 37. Verwandlang halbregelmäßiger Kettenbrüche in regelmäßige. 163

und da die gleichen Beziehungen auch für die Näherungsnenner be-
stehen^ so sieht man, daß die Näherungsbrüche von (4) unter denen

von (5) alle vorkommen bis auf einen, nämlich ^, welcher aber ein

Nebennäherungsbruch von (5) ist. Bei allen folgenden wird die Ord-
nung um zwei Einheiten verringert. Ebenso ersieht man, daß auch jeder
Nebennäherungsbruch von (4) unter den Nebennäherungsbrüchen von
(5) vorkommt.

Daraus ergibt sich wieder leicht, daß die Haupt- und Nebennähe*
rungsbrüche eines Kettenbruches stets auch unter den Haupt- und
Nebennäherungsbrüchen des durch die Gesamttransformation X, hervor-
gehenden enthalten sind. Und durch Zusammenfassung mit dem früheren
erkennt man, daß der durch die Transformation %i%2 ^^^ einem halb-
regelmäßigen Eettenbruch hervorgehende regehnäßige unter seinen
Haupt- und Nebennäherungsbrüchen aUe Haupt- und Nebennäherungs-
brüche des ursprünglichen enthält.

Bei endlichen Eettenbrüchen siebt man aus (6) und (7) ohne wei-
teres, daß eine Transformation t^ oder t^ den letzten Näherangsbruch
stets in den letzten Näherungsbruch überführt,, den Wert des Eetten-
bruchs also ungeändert läßt. Dasselbe gilt dann auch von der Gesamt-
transformation X^Zj- Der ursprüngliche und der transformierte Eetten-
bruch haben also in diesem Fall den gleichen Wert. Dasselbe trifft aber
auch bei unendlichen Eettenbrüchen zu. Da nämlich der ursprüng-
liche in diesem Fall einen irrationalen Wert 1^ hat, aber die Näherungs-
brüche rational sind, so hat er unendlich viele voneinander ver-
schiedene Näherungsbrüche mit dem einzigen Häufungswert ^. Diese
müssen aber xuiter den Haupt- und Nebennäherungsbrüchen des Trans-
formierten enthalten sein, der also, da er als regelmäßiger gewiß kon-
vergiert, auch nur den Wert £q haben kann.

Damit ist bewiesen, daß die regelmäßige Kettenbruchentwicklung
einer durch einen halbregelmäßigen Eettenbruch dargestellten Zahl ge-
rade durch die Transformation %i%2 gewonnen wird. W. z. b. w. Zu-
gleich ergibt sich

SatB 4. Jeder Haupt- und Nebennäherungsbruch eines hdlbregelr
mäßigen Kettenbruches ist gleich einem Haupt- oder Nebennäherungsbruch
des die gleiche Zahl darstellenden regelmäßigen Ketienljruchs. {Tietze 2.)

Es kann jedoch sein, wie man sich an dem Zahlenbeispiel auf
Seite 160f. überzeugt, daß ein Hauptnäherungsbruch des halbregelmäßigen
ein Nebennäherungsbruch des regelmäßigen ist, und ebenso, daß ein
Nebennäherungsbruch des ersteren ein Hauptnäherungsbruch des letzteren
ist. Dagegen haben wir gesehen, daß die Transformation %^ allein die
Hauptnaherungsbrüche stets in ebensolche überfuhrt. Wenn also der
durch %^ entstehende Eettenbruch bereits regelmäßig ist, so wird jeder

11'

164 Fünftes Kapitel.

Hauptnäherungsbruch wieder ein solcher des regelmäßigen Ketten-
braches sein. Nach der auf Seite 159 gegebenen Beschreibung der
Transformation %^ und unter Berücksichtigung der dortigen Fußnote
tritt dies aber dann und nur dann ein, wenn die h^ für 1/ > 0 den Un-
gleichungen genügen:

Diese Bedingung ist nach der erwähnten Beschreibung für den letzten
Tailnenner b^ zu ersetzen durch

ist also, weil definitionsgemäß h^^2 sein muß, von selbst erfüllt. Man
erhält somit

Sats 5. Wenn die Teilnenner des Jialbregdmäßigen Kettenbruches

^=io+T\^ + ri^ +

— vom eventueU vorhandenen letzten abgesehen — den Ungleichungen

genügen^ so sind alle Näherungsbrüche zugleich Näherungsbrüche des die
glei<^ Zahl darstellenden regelmäßigen Kettenbruches (eventueU mit dem
letzten Teünenner 1), und zwar sind sie tuich wadisenden Nennern geordnet.

In der Tat wird ja die Reihenfolge der Näherungsbrüche durch X,
nicht geändert.

IIL Endlich beweisen wir noch

SatB 6. J^ sei

ein halbregelmäßiger Kettenbruch, und es werde

eil • <*« 1 1 A«.

gesetzt. Femer sei für einen gewissen Index n:

^« 2 2 "^

Wenn dann a^ = — 1 , so ist ^^^^ i ein vollständiger Quotient des regel-
mäßigen Keüenbruches für l^. Ist aber a„= + 1, und bedeutet l die
kleinste positive Zahl, für welche

r 1 — ^n-l ^ ^^n -l + 1 >s. A

^n-I 2 2 "^^

so ist i^+ l — \ ein solcher vollständiger Quotient

I 87. Verwandlung halbregelm&ßiger Eettenbrüche in regelmäßige. 165
Beweis. Für a^ = — 1 ist

n

5« "o-t-ift^i- +|ft^_^ ij^

Wendet man snf diesen endlichen Eettenbnich die Transfonnation
X^ an, wodarch ja sein Wert nicht geändert wird, so kommt

lo= d. + ri,l + ••• + i^ + fi + ll^J, wobei d,^Ofarv>0.

Sind einige d^ » 0^ so wendet man noch %^ an, und findet

^o-Slo+Y^ + "' + lgl+Y^[y wobei g^>Omrv>0,

so daß für a„ = — 1 unsere Behauptung bewiesen ist, sobald wir zeigen
können, daß S« — 1 > 1 . Nach Voraussetzung ist aber für flr„ = — 1

6 — 1 — ^^ > 1 •

n

also auch

6,^ 2 + --"'^^2,

*. + «.+x^2 + -'-+|^^2,

und da S, zwischen 5, und hn"^ ^n+i ^^^ ^^^ Ausschloß der Grenzen,
so ist |^> 2, also in der Tat S„— 1 > 1 •
Im Fall a^ = + 1 ist dagegen

also, wenn man %^ anwendet und dabei die Voraussetzungen des Satz 6
sowie die Fußnote Seite 159 beachtet:

wobei

1 ' 1 '

und wo die Anzahl der Gliederpaare yl + • a gleich Z — 1 ist. Daher
folgt durch Anwendung von %^:

So = go+j^ + '- + |^ + .g^+\_i. wobei (7,>0 für i/>0.

Da aber 6«+ ü — 1 ^ S» > 1? 80 folgt hieraus die Richtigkeit unseres
Satzes auch für a„ = + 1 .

166 Fünftes Kapitel.

\+T\r + ^ +

§ 38. Periodizität.
Definition. Wenn der unendliche halbregelmäßige Kettenbruch

\ ^\\
die Eigenschaft hat, daß von einem gewissen v a/n stets

isty so heiß er periodisch, und iswar spesiell reinperiodisch, wenn diese
Bedingu/ngen schon von v =- 0 an erfiUU sind, andernfalls gemischtperi-
odisch.

Diese Definition enthält die in § 19, I und II für regelmäßige
Kettenbrüche gegebene als Spezialfall. Wir beweisen nun

Satz 7. Ein periodischer halbregelmäßiger Kettenbruch stellt eine
quadratische IrrationalzaM dar.

In der Tat ist ein periodischer halbregelmäßiger Eettenbrucb, weil
unendlich, eine irrationale Zahl. Femer ist zunächst bei reiner Perio-
dizität So "^ Sib) ^^^

Daher ist 1^ ^i^^ Wurzel der quadratischen Gleichung

die wegen ^i_i ^ 1 (Satz 1) gewiß keine identische ist. Bei gemischter
Periodizität dagegen ist 1^ für genügend große v ein reinperiodischer
Eettenbruch, also nach dem Bewiesenen eine quadratische Irrational-
zahl Die Gleichung

lehrt dann, daß auch 1^ eine solche ist.

Satz 7 läßt sich in folgender Weise umkehren.

Satz 8. Wenn hei der EntwicMung einer quadratischen Irrational'
zahl in einen halbregelmäßigen Kettenhruch die Folge der Teilzähler peri-
odisch vorgeschrieben ist, dann wird der Kettenbruch selbst periodisch.

Dieses Theorem läßt sich auf ganz ähnliche Art beweisen, wie in
§20 der Lagrangesche Satz, der ja ein spezieller Fall davon ist. Indes
kommen wir rascher zum Ziel, wenn wir uns auf den Lagrangeschen
Satz bereits stützen Wir unterscheiden dabei die zwei FäUe:

A. Von einem gewissen v-Wert an ist durchweg a,, « — 1.

B. Es ist unendlich oft a,. = + 1 .

§ 38. Periodizität. 167

Im Fall A muß nach der Definition der lialbregelmäßigen Ketten-
brüche unendlich oft 5^ ^ 3 sein; dann ist aber auch unendlich oft

1 — a„ 1 — fl-, . 1

Nach Satz 6 ist also för alle diese v -Werte 6^—1 ein vollständiger
Quotient des regelmäßigen Eettenbruches. Weil dieser aber nach dem
Lagrangeschen Satz periodisch ist, so ist unter seinen ToUständigen
Quotienten nur eine endliche Anzahl verschiedener. Also ist für die ge-
dachten unendlich vielen v -Werte S^— 1 und folglich auch 5» selbst
auf eine endliche Anzahl verschiedener Werte beschränkt. Ist daher

etwa 5,,=' in+ky ^^ ^^^ ™*^

fc _!, _ 1 I L^_

^n+l r'n + t

\^n + k + l \^n + k + i

Da aber bei vorgegebenen Teilzählem der halbregelmäßige Kettenbruch
eindeutig bestimmt ist, so folgt:

also in der Tat Periodizität.

Im Fall B ist wegen der vorausgesetzten Periodizität der a^ etwa:

(^n+k-1 ~ *i» + 2*-l ~" ^i«+8*_l

Dann ergibt sich aber für 1=^0, 1,2,...

T ^'^^n+lk ^""^n+Xk + l

On+Xk— 2~ 2

, 1 — «„+U + 1
= On+lk "2

_ K + Xk . K-^lk + ^n+Ak+l "" ^ \ ^» +^'^* >-^ 0
— 2 "T" ' 2 — 2 ^^•

Denken wir uns also einen bestimmten Index X(> 0), so ist

On+Xk 2 2 - ->^y

und wenn Ix die kleinste positive Zahl bedeutet, für welche auch

On+Xk-ii 2 — 2 -^ '

168 Fünftes Kapitel.

80 muß h^^ Bein, so daß für h bloß h yerschiedene Möglichkeiten
vorli^en. Nach Satz 6 ist aber jetzt

ein vollständiger Quotient des regelmäßigen Kettenbruches. Also findet
sich unter den imendlich vielen Zahlen

in^Xk + h-1 (X^l,2,3,...)

nur eine endliche Anzahl verschiedener. Da aber für Ix bloß k verschie-
dene Werte möglich sind, so sind auch die l^n-iXk auf eiue endliche An-
zahl verschiedener Möglichkeiten beschränkt. Ist daher etwa ^n + rk=in+skf
so folgt

fc J> I "'» + 1 I _L "«+a I ,

in + rk =» On + rk + Th •" 1^ >

^n + rk + l \^n + rk + i

= 5n + «ifc = 0n + 9k -T TT T i";,- h * ' '

Also wegen der Eindeutigkeit eines halbregelmäßigen Eettenbruches
bei vorgegebenen Teilzählem:

^»• + r*~ ^« + «*> ^n + rk + 1^ ^n + tk + lf K + rk + i^ ^n + sk + i7 '-'f

womit auch für diesen Fall die Periodizität bewiesen ist.

Halbregelmäßige Eettenbrüche, bei denen alle Teilzähler gleich
— 1 sind, nennt man reduziert-regelmäßig. Mit dieser Terminologie
ergibt sich speziell

Satz 9. Jeder periodische reduziert^egdmäßige Kettenbruch ist eine
quadratische Irrationalzahl y und umgekehrt ist die reduziert-regelmäßige
Kettenbruchentwicklung einer quadratischen IrrationcdzaM stets periodisch.

Weitere spezielle Arten von periodischen halbregelmäßigen Ketten-
brüchen werden in den nächsten Paragraphen zu betrachten sein.

§ 39. Kettenbrüche nach nächsten Ganzen.

I. Unter den ^albregelmäßigen sind die ,»Kettenbrüche nach nächsten
Ganzen'' bemerkenswert, die zuerst von Minnigerode 1, ausführlicher
von Hurwitz 1 studiert wurden. Sie sind dadurch charakterisiert, daß
bei ihrer Herstellung nach dem Verfahren von § 36, 1 für 6^ jedesmal die
am nächsten bei 1, gelegene ganze Zahl gewählt wird, wodurch dann
das Vorzeichen von a^^j und also a^^^ selbst mitbestimmt ist. Die b^
sind somit eindeutig festgelegt durch die Ungleichungen

(1) -^<l-K< + Y'

§ 89. Eettenbrüche nach nächsten Ganzen. \ß9

außer wenn 1, zufällig die Form g + -^ ^^^^^ sollte, wo g eine ganze

Zahl. In diesem Fall kann man nach Belieben b^^ g oder b^^ g + 1 .
wählen^ und der Kettenbruch endigt dann mit dem nächsten Glied in
folgender Weise:

oder

§0 ^0 + I ft^ i- ^ I r^ ^ I 2

Bei der Ungleichung (1) ist daher zu beachten, daß in dem angegehenen
AusnahmsfaU, aber auch nur in diesem, auf einer Seite Gleichheit ein-
tritt. Sieht man dayon ab, so ist der Eettenbruch nach nächsten Ganzen
fOr jede Zahl ^^ yöUig eindeutig bestimmt. Er ist ausnahmslos ein-
deutig, wenn man noch yerlangt, daß er nicht mit dem Glied -r^
schließen darf; indes wollen wir auf diese Forderung verzichten.

Dat-6.-

V + l

j — , SO folgt aus (1)

fe — <4-i also |,+i>2,
*i ' + 1

wobei jedoch in dem bezeichneten Ausnahmsfall Gleichheit eintritt. Da
aber S^+i stets zwischen b^^^ und b^^^+ a^^^ liegt, so muß auch

(2) ^+1^2, 6,^,+ a,^,^ 2 (v^O)

sein. Umgekehrt, wenn die Ungleichungen (2) erfüllt sind, so ist
iv+i ^ ^f *1^^ fc — ^ T y ^^®^ I Sy— b^\ < T • Daher liegt eine Ket-

tenbruchent Wicklung nach nächsten Ganzen yor, da Gleichheit offenbar
nur in dem Ausnahmsfall eintreten kann. Es ergibt sich also

Satz 10. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß
der halbregelmäßige Kettenbruch

einer ,^nach nächsten Ganzen" ist, besteht in dem ErfülUsein der Un-
gleichungen

^.^2, 6,-fa,^x^2 (/äri;= 1,2,3,...);

der eventuell vorhandene letzte Teilnenner b^ unterliegt nur der Bedingung

170 Fünftes Kapitel.

II. Von Wichtigkeit ist nun

Satz 11« Unter allen halbregdmäßigen KeUenbrüchen y in die sich
eine rationale Zahl enttvickdn läßt, findet sich keiner, der toeniger Glieder
hätte als der nach nächsten Ganeen.^) (Vahlen 1.)

Den Beweis stützen wir auf folgenden

Hilfssatz. Sind a, b positive ganze ZaJden, und zwar a<ib, so

n 1 li

hat der Kettenbruch nach nächsten Ganzen für die ZaJd *" höchstens
soviel Glieder wie der für die Zahl ^ •

Zum Beweis des Hilfssatzes nehmen wir an, er sei fQr kleinere
Werte von a -\-b bereits bewiesen, da er ja für a + 6 =» 3 offenbar
richtig ist. Dann sind drei Fälle zu unterscheiden.

Erstens: &^ 2a, In diesem Fall ist 1 die nächste bei ^^^-- ge-
legene ganze Zahl; die Identitäten

a + b_ - 1 I a + b - b

a

zeigen dann, daß der E. n. n. GF.') fEir ^7" ein Glied mehr hat als der

far«^--^

a

Zweitens: b<.-ra. In diesem Fall ist 2 die nächste bei ^T

2 0

I 1.

und bei gelegene ganze Zahl. Die Identitäten
a + b „ J I a + b „

lehren dann, daß die K. n. n. G. für 7^ und für - gleich viel
Glieder haben.

Drittens: 2a>i)>~a. In diesem Fall ist 2 die nächste bei

^-y— , und 3 die «nächste bei ^^ gelegene ganze Zahl. Femer ist

0 < 2a - & < & — a, (2a - fe) -4- (6 - a) - a;
also hat nach unserer Annahme der K. n. n. G. für ^ — ^^ nicht mehr

2a — 0

Glieder wie der für , • Die Identitäten

6 — a

1) In dem bemerkten Fall, wo es zwei verschiedene Kettenbrüche nach
nächsten Ganzen gibt, haben beide offenbar gleich viel Glieder.

2) E. n. n. G. = Eettenbruch nach nächsten Ganzen.

§ 89. Kettenbrüohe nach nächsten Ganzen. 171

6

1 j z_

lehren dann, daß auch der K. n. n. G. für — - nicht mehr Glieder bat
wie der för ^'^ •

0

Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Um nun daraus den Satz 11 zu
folgern, bemerken wir, daß er für irreduzible Brüche mit dem Nenner

1 oder 2 evident ist. Ist dann - irgend ein irreduzibler Bruch, dessen
Nenner größer als 2, so nehmen wir an, für Brüche, deren Nenner
Meiner als n, sei der Satz bereits bewiesen. Ist bg. die nächste bei —
gelegene ganze Zahl, und setzen wir

80 enthält der K. n. n. G. für — offenbar ein Glied mehr als der für

n

— • Das Rechenschema für jede andere halbregelmäßige Eettenbruch-
entwicklung der Zahl — beginnt nun entweder mit:

(a) — = &o H , — = . . .

oder mit:

<b) f-*o±l=F^, -^ = -,

wobei r < s und r + s '=^ n ist. Für die Brüche — und — ist nach An-

' r 8

nähme der Satz 11 bereits bewiesen; im Fall (a) bekommt also der
betreffende halbregelmäßige Eettenbruch für — mindestens ein Glied

mehr wie der K. n. n. G. für — ; im Fall (b) mindestens ein Glied

mehr wie der K. n. n. G. für ~ • Anderseits hat nach dem Hilfssatz der

8

K. n. n. G. für — mindestens so viele Glieder wie der für — Daher hat

8 r

tu

jeder halbregelmäßige Kettenbruch, in den sich die Zahl — entwickeln
läßt, mindestens ein Glied mehr wie der K. n. n. G. für — . Da aber
bereits gezeigt ist,daßderK.n.n.G. für — auch nur ein Glied mehr ent-
hält wie der für — , so ist damit Satz 11 bewiesen.

172 FünfteB Kapitel.

Mau beachte übrigens, daß der E. n. n. 6. nicht der kürzeste zu
sein braucht in dem Sinn, daß jeder andere mehr Glieder enthält. Für

die Zahl t^ z. B. lautet der E. n n. G:

Ifi * 1^ I « I o T^ I ft »

18 ' |8 |2 • 18

er hat also vier Glieder. Aber es ist auch

18 "^ I 2 "^ I 2 I 4 »

und dieser halbregelmäßige Eettenbruch hat ebenfalls nur yier Glieder.
III. Endlich beweisen wir

Satz 12. Der Kettenbruch nach nächsten Ganzen für eine quadroH-
sehe Irrationaimhl ist stets periodisch. {Minnigerode 1, Hunvvte 1 .)

Beweis. Wegen der Irrationalität ist der Eettenbruch gewiß un-
endlich. Außerdem ist nach Satz 10 für v » 1, 2, 3, . . .

^v 2 2 '^ 2 ' 2 ^ 2 ' 2 ^

Nach Satz 6 wird daher, je nachdem a,.— + 1 oder a, ■= — 1 ist, 5^ oder
ly— 1 ein Tollständiger Quotient des regelmäßigen Eettenbruches
sein. Da aber unter diesen nur eine endliche Anzahl verschiedener ist,
so kann auch für die ^^ nur eine endliche Anzahl verschiedener Werte
in Betracht kommen. Ist also etwa i^^k^^^y so hat man

5« "^K + \i — + 16 1-

r'n + l nn+2

I ''n + * + 1 I ''« + * + 2

und da dies unendliche Eettenbrüche nach nächsten Ganzen sind, so
ist wegen deren Eindeutigkeit

also in der Tat Periodizität.

§ 40. Singulare EeUenbrache. 173

§ 40. Singulare Kettenbrflche. ^)

I. Mit den Eettenbrüclien nach nächsten Ganzen ist eine andere
Art Ton halbregelmäßigen Kettenbrüchen eng yerwandt. Wenn nämlich

ein halbregelmäßiger Eettenbmch ist, so brauchen die durch ^^nver-
flion^ entstehenden Kettenbrüche der Form

K + rr — +-" + ?J-^^ (^ap. I, Formel (20))

nicht auch halbregelmäßig zu sein; vielmehr sind sie es definitions-
gemäß dann und nur dann, wenn 6^ ^ 2, und 6^ + a^^ 1 für v > 1
ist. Von besonderem Interesse sind nun diejenigen halbregelmäßigen
Kettenbrüche, bei denen durch Inversion stets solche nach nächsten
Ganzen entstehen. Wir definieren sie in folgender Weise:

Definition. Ein endlicher oder unendlicher halbregelmäßiger Ketten-
bruch

h _L?y 4.?L!4.

heißt Singular, wenn für v^l die Ungleichungen bestehen:

Hieraus folgt ohne weiteres die Reziprozität, die zwischen den sin-
gulären Kettenbrüchen und denen nach nächsten Ganzen besteht und
die sich ausspricht in

SatB 18. Wenn von den zwei endlichen Jiaibregdmäßigen Kettenbrüchen

der erste nach nächsten Ganzen ist, so ist der zweite singulär, und umge-
kehrt, wenn der erste singulär, so ist der zweite nach nächsten Ganzen.

II. Unser Hauptziel ist nun nachzuweisen, daß jede reelle Zahl
sich in einen singulären Kettenbruch entwickeln läßt, und zwar im
allgemeinen nur auf eine Weise. Dazu benötigen wir zunächst

1) Harwitz, der diese Art von Eettenbrüchen näher studiert hat, bezeich-
net sie als solche „zweiter Art^\ (Hurwitz 1.)

174 Fünftes Kapitel.

Satz 14. Unter den singtdären Kettenbrücfien mit dem Anfangsglied
0 gibt es einen, der Meiner ist als jeder andere, nämlich den periodisdien :

18 18 13 2 '

und ebenso einen, der größer ist, als jeder andere, nämlich den periodischen:

-Ll-U_JL!_iJ_ 1/6-1

2 13 13 13 ''^ 2

Beweis. Daß der Eettenbruch

I 8 |8 |3

singolär ist, folgt aus der Definition, und wegen der Periodizität muß
er eine Wurzel der quadratischen Gleichung x = « y " sein, also gleich

— ^ - oder y • Da er aber zwischen h^^O und 6^ + ä^ = — 1

Q _^ l/ft

liegt, so kann er nur den Wert — — _-- haben. Also ist

2

-l|__iJ___lJ__ __8 -j/6
r3 13 18 '" '2

(1)

Nehmen wir nun an, es gäbe einen hiervon verschiedenen singulären
Eettenbruch mit dem Anfangsglied 0, für welchen

ausfällt, so muß gewiß S^ negativ, also a^ » — 1 sein. Wegen der Sin-
gularität ist dann \ ^ 3. Wäre nun \ ^ 4, so hätte man

also auch

^^^*^ + ^ + ^+">^'

im Widerspruch mit (2). Es ist daher \ » 3, so daß der Eettenbruch

(2) mit dem Teilbruch p ' beginnt. Da er aber von (1) verschieden

1 1

sein soll, so ist die Anzahl der zu Beginn stehenden Teilbrüche . '

endlich. Nennen wir sie k, wo also A ^ 1, so ist einerseits nach (2):
^s-j/ö"^. "~^'_Ü_ _Ü^^+iJ -•^>t^;t + i + ^;.-i«i + i

§ 40. Singulare Eettenbrüche. 175

anderseits nach (1):

S-1/6" ~i| M i| i| ^z^'-A^i

8 |8 !8 ir -BJ'--B;i_i'

wobei

w_ Q _ 1 1 _ Ü __ Ü _o _ 8~]/6 _ 3 + Vö

5 ** IQ IQ Ig • • • O jj ' o' '

3 |3 {3

Man bat daber durcb Yergleicb dieser Formebi:

^8 + 1/6" ^

Die JB;i berechnen sieb bier durcb die Rekursionsformel

J3 ^ 3 ß 1 — ß —ml ßn =» 1 . x»i ^ 3«

woraus sogleich Bj^>B^__^ folgt (durcb Schluß von X auf iL + 1). Daber
sind die Nenner in (3) sicher positiv, so daß man mit ihnen die Un-
gleichung multiplizieren darf. Dadurch erhält man

oder weil
ist, sogleich

Daher muß 0,^^+1^ — 1 sein, so daß weiter

folgt. Wegen der Singularität ist aber 6^+1 + «ji+i ^ 2, also notwendig
&2 + i""3* Dies besagt aber, daß der Kettenbruch (2) mit mehr als l

Teilbrücben 'T- beginnt, gegen unsere Annahme. Wegen dieses Wider-
spruches ist die Ungleichung (2) nicht möglich, und somit der erste
Teil von Satz 14 bewiesen.

Was den zweiten Teil anbelangt, so ist nach (1)

IJJJll _ 1 _ 2 _V'5 — 1

mM ■# ■ « M w u^ * ■

(4) 12 ;s |3 3_-,/5 i^y,-,

*>

176 Fünftes Kapitel.

Haben wir nun irgend einen singulären Kettenbmcli mit dem Anfangs-
glied 0, für welchen

^^ 1 2^1 I ^ — 2

ist, 80 muß zunächst a^^^ + 1 sein« Anderseits folgt dann aus (5)
{nach Satz 2, Kap. I):

^1^ \h ^ \h ^ =^

■also &i ^ 2; wegen der Singularität daher b^ = 2. Dann kommt aber

?«i4-?»Jj- ' ^V^ + i o_ ^-yi

und da links ein singulärer Eettenbruch mit dem Anfangsglied 0 steht,
so kann dies nach dem Bewiesenen nur der Eettenbruch (1) sein, so
<laß der Eettenbruch in (ö) mit dem in (4) identisch sein muß. Damit
ist Satz 14 ToUständig bewiesen.

in. Liegt nun irgend ein singulärer Eettenbruch vor:

430 sind auch

^v + l\ , ^v + i

1-K-TJ- + IT- + -- ("-0,1,2,...)

solche, und zwar mit dem Anfangsglied 0. Also ist nach Satz 14

<6) -^^^l,-^<^-y- iv-0,1,2,...)

oder, was dasselbe sagt:

<7) t-^^<^^i-^Y' + l (»'=0,1,2,...).

Bei gegebenem 1, ist durch diese Ungleichungen b^ als ganze Zahl ein-
deutig festgelegt, außer wenn zufällig ^^ — ^ "" gleich einer ganzen

Zahl g sein sollte, in welchem Fall b^==^ g oder 6^ « ^ + 1 sein könnte.
Aus diesen Untersuchungen geht nun hervor, daß das in § 36 beschrie-
bene Verfahren zur Herstellung halbregelmäßiger Eettenbrüche jeden-
falls nur dann einen singulären Eettenbruch liefern kann, wenn für &,
jedesmal diejenige (im allgemeinen eindeutig bestimmte) ganze Zahl
gewählt wird, die den Ungleichungen (7) genügt, wodurch dann a^^i
mitbestimmt ist. {Hurwitz 1.) Weil wegen (7) a fortiori | S,— 6^ | < 1
wird, so entsteht hierbei in der Tat ein halbregelmäßiger Eettenbruch
für die Zahl Iq. Ob dieser aber auch wirklich singulär ist, wissen

§ 40. Singnl&re Kettenbrüche. 177

■

wir bis jetzt noch nicht; um dies zu prüfen, nehmen wir zuerst an, daß

niemals 5^ — — ^ — einer ganzen Zlahl gleich wird. Dann ist also in (6)
Gleichheit ausgeschlossen, und es folgt

^,-<l-K<^^ (i'-0,l,2,...).
Daher ist für a^ = + 1 :

also auch

(8) |^>_!__V^^+i £üro.- + l;

dagegen f Qr a^ — — 1 :
und also

» «•>.:^-'^ *"■•—'■

Nun unterscheiden wir vier Fälle, je nach den Vorzeichen von a^
und Oy^]«

Erster Fall: a^= + 1, »^+1= + 1.
Nach (8) ist in diesem Fall

also

daher gewiß 6^ ^ 2, 6^ + »^ ^ 3-

Zweiter Fall: a^ « + 1^ «y+i = — 1 .

Nach (8) ist wieder ^ > ^^g"^
also

0^=6^— fc — "■ 6»' + Ä — >€»> o -> 1;

daher ebenfalls 6^ ^ 2, J^ + «» ^ 3-

Dritter Fall: a^=- — 1, »» + 1^ + 1-
Diesmal folgt aus (9) und (8):

fc ^t^^+Jl fc ^V6 + ^
«r ^ 2 ' '»* + ^ 2 '

Perron, Kettenbiflche. 12

178 Fünftes Kapitel.

also

5^+1 "" " l„+i 2 yi + i

daher diesmal 6^ ^ 3, 6^ + a^ ^ 2.

Vierter Fall: a^« — 1, a^+i— — 1.

Nach (9) ist wieder |, > ^- ,

**

also

daher wiederum 6^ ^ 3, 6^ + a^ ^ 2.

In allen vier Fällen ist sonach sicher fe^ ^ 2, 6^+ a,. ^ 2; daher
der Kettenbruch in der Tat singulär.

Wir wenden uns jetzt zu dem oben ausgeschlossenen Fall, daß es

einen Index v = n gibt, für den 5»— — J^- ganzzahlig wird. Es ist
dann 6« "= ö' + ^-ö — > ^^ ff ®i^ö ganze Zahl; folglich

Da aber

^«-1 • -B«-2«» - ^n-i • ^1.-2«« -- (- l)"»i «^ • • . fl« - ± 1

ist, so besagt diese Gleichung, daß g^ zu 5^ + ~-^-— ; also auch zu —,

2 ' 2

selbst äquivalent ist (§ 17). Wir sehen also, daß der ausgeschlossene

Fall überhaupt nur bei den Zahlen eintreten kann, die zu —-—— äqui-

valent sind; weiterhin wird sich ergeben, daß er bei diesen auch stets
eintritt. Zuvor aber formulieren wir das bisherige Ergebnis in

Satz 15. Jede reelle Zahl, die nicht zu ^ 7" äquivalent ist, ist einem,
aber auch nur einem singulären Kettenbruch gleich. {Hurwitz 1.)

Um jetzt nachzuweisen, daß bei den zu ^ 7~— äquivalenten Zahlen

I0 notwendig einmal gy — ^-— ^ — einer ganzen Zahl gleich werden muß,

nehmen wir an, das sei nicht der Fall. Nach dem Bewiesenen wäre dann
Iq einem singulären Eettenbruch gleich, der wegen der Irrationalität
natürlich unendlich ist; dieser sei

^=^»+P7 + r^ +

§ 40. Singulare Eettenbrüche. 179

Wenden wir hierauf die Transformation X^ an, so geht ein Ketten brach

(10) ^='^» + ii'+i +

hervor, der als Teilnenner außer Einsen die Zahlen

1 tty 1 *y + 1

by 2 ^ v=l,2,3,...

hai Nun ist aber nach den Bedingungen der Singularität für i/ ^ 1

^^ 2 2 " 2 "^ 2

80 daß der Kettenbruch (10) bereits regelmäßig ist. Anderseits ist

V5-1 11,11.1, «.Fo Tl

so daß nach Satz 23, Kap. II in dem regelmäßigen Kettenbruch für die
äquivalente Zahl ^ von einer bestimmten Stelle an auch nur Einsen
als Teihienner vorkommen dürfen. Folglich wird für alle hinreichend
großen v:

h — -J" ^^ _ iZl^+i ~ 1
^f 2 ' 2 "" ^^

und das erfordert, wie man leicht einsieht, im Verein mit den Bedin-
gungen der Singularität, daß für große v -Werte stets 6^= 3, a^^ — 1
ist. Daher wird für große v:

*^ 18 13 13 ' 2 '

SO daß 6y-- ^^- doch eine ganze Zahl ist, entgegen unserer An-
nahme.

Damit ist also gezeigt, daß bei den zu ^I^— äquivalenten Zahlen,
wenn man b^ stets den Ungleichungen (7) gemäß wählt, notwendig

ly— - 2 - einmal gleich einer ganzen Zahl g werden muß. Ist das
schon fQr i/ — 0 der FaU, so folgt

Nach Satz 14 gibt es aber für die Zahlen —I^ und — ^ — gerade

12*

180 Fünftes Kapitel.

je einen singalären Eettenbruch mit dem Anfangsglied 0, so daß man
für §0 genau zwei singulare Eettenbrtiche erhält, nämlich

y -r 2 ^ "^ [2 |3 |3 |3

=.. + 1^11^11^1.^

^^^ |3 |3 |8

Allgemeiner sei i/ »- n der kleinste Index, fflr welchen |^ — -—^ —
gleich einer ganzen Zahl g wird. Dann' ist

a, I a^ ,\ a^

io-h+A^ + '" + r^ +

h p«-i g+y}^^/

2

wo die b^ wieder den Forderungen (7) gemäB zu wählen sind; also nach
dem soeben Bewiesenen:

(11)

»0 "OTlfcT ' i h 'I/.~I9 I» IS

Ä J. ?li 4- 4. "^^ X "» I _ JJ _ 1! _ JJ

"0+16^ -f--"-t-(6^_^ +1^ + 1 |8 |8 |8

und, wenn die Zahl ^ Oberhaupt einem singalären Eettenbruch gleich
ist, so kann es o£Penbar nur einer von diesen beiden sein. Diese sind
aber tatsächlich alle zwei singulär. Denn da fflr v < n der Ausdruck

I, — — Z— keine ganze Zahl sein soll, so ergibt sich genau wie oben

(Seite 177f.):

K>2,b,+ a^^2 (v=l,2,...,n-l),

und außerdem (Tgl. (8) und (9)):

S,>^V' far«.= + i

|.>>^W füra. = -l.

Da aber |^ -« jf + -— ^ — ist, so folgt aus diesen beiden Ungleichungen

far a„ - + 1: g>l, also 9^2, g + a^^B,
fttr a^ =: — 1: g>2, also g>B,9 + a^>2.

Daher sind die beiden Eettenbrüche (11) in der Tat singulär, und es
ergibt sich somit

Sata 16. Jede 0u — y"— äquivalente ZaJil läßt sich auf 0wei, aber
auch nur Bwei nicht identische Arten als singtUärer Kettenbruch darstellen.
Beide Darstellungen sind periodisch mit der eingliedrigen Periode ^ -

§ 40. Singul&re Eettenbrüche. 181

lY. Für die singnlären Eettenbrüche und die nach luLchsten Oanzen
gilt ein gemeinsames Näherungsgesetz; nämlich

Sat8 17. Entwickelt man eine Zahl |q in einen Kettenbnich nach
nächsten Ganzen oder in einen singtdärm Kettenhruch, so ist jeder

Näherungsbruch ^- zugleich ein Näherungshruch des regdmäßigen Ketten-

bruches (eventuell mit dem letzten Teilnenner 1). Außerdem gut das
Näherungsgesete

«0 B

— 2^ * '

und zwa/r Gleichheit nur dann, wenn So '^ ^o + ]2 ~" is "" 13 ' ****^

wenn es sich dabei um den Näherungsbruch nuUter Ordnung y handelt.
{Hurwitz 1.)

Beweis. Bei beiden Eettenbrucharten sahen wir bereits (Seite
172 und 179), daß für i/ ^ 1 die Ungleichung

gilt Daraus folgt nach Satz 5 schon der erste Teil unserer Behauptung.
Zum Beweis des Näherungsgesetzes gehen wir aus von der schon oft
benutzten Formel

Tritt hier v + 1 dkw Stelle von v, so kommt:

1^"" n" ''

B.

^v"(«. + i + a,+i-^-i)

Wir brauchen also nur zu beweisen, daß

i,.x + «,.. \-; > ^_- = ^- (-0, 1,2,...)

ist. Nun ist aber, wenn es sich um den Kettenbruch nach nächsten
Ganzen handelt,

weil dieser letzte Kettenbruch dann singulär ist. Handelt es sich aber
um den singulär en Kettenbruch, so ist

182 Fünftes Kapitel.

\°v + 2 l^v + 3 ^

6,+i + «,+1 -^^ - 6,+i + p^ + • • • + ^ ^ 2 ,

weil dieser letzte Eettenbruch jetzt einer nach nächsten Gkinzen ist.
Dabei findet nar dann in beiden Formeln Gleichheit statt, wenn

i/ = 0, 6, = 2,

a^ 1,6,-3 für 1/^2,

also So**6o + ro"~r^""rÄ ^^^- ^ jedem Fall kommt also

8

B

f-i

5y+l + ötr + l "^ ~ ^ 2 —

3 — V^ __ 1 +|/5
2 ~ 2

und zwar Gleichheit nur in dem angegebenen Ausnahmefall W. z. b. w.
V. Endlich beweisen wir noch

Sat8 18. Die singtdäre KeUenhruchentiJüicIdung für eine quadratische
Irrationalzahl ist stets periodisch.

In der Tat sahen wir bereits, daB aus den Bedingungen der Singu-
larität sogleich

* 2 2 "^

folgt. Daraus ergibt sich aber die Periodizität genau wie bei Satz 12,
sofern nur die Eettenbruchentwicklung eindeutig ist, also wenn ^ nicht

zu^— — — äquivalent ist. Für die zu -- — äquivalenten Zahlen aber

wurde die Periodizität schon in Satz 16 festgestellt.

Die singulären und die Eettenbrüche nach nächsten Ganzen lassen
sich als die einfachsten und weitaus wichtigsten Spezialfälle einer all-
gemeineren Klasse von Eettenbrüchen ansehen, die Mc Kinney 1 stu-
diert hat. Wir müssen uns aber mit diesem Hinweis begnügen.

§ 41. Diagonalkettenbräche.

I. Sei §0 wieder eine reelle Zahl, aber weder eine ganze noch die
Hälfte einer ganzen Zahl. Wir entwickeln sie in einen regelmäBigen
Eettenbruch

(1) lo = [V^,?'3,---] = &o + |l7 + fl7 + i^;' + -";

§41. Diagonalkettenbrüohe. 183

der; wenn er endlich ist, einen letzten Teilnenner gröBer als 1 haben
BolJ^ und bezeichnen^ wie gewöhnlich^ die Näherungsbrüche mit

C

die YoUstandigen Quotienten mit l^^ 1^, Is; • • • Ist dann ^ ein irredu-

zibler Bruch mit positivem Nenner und so beschaffen^ daß

1

(3) ISo-^

<22)»'

C
80 ist nach Satz 11, Kap. 11 der Bruch -^ in der Reihe (2) enthalten, und

zwar hat nach Satz 14, Kap. U von je zwei aufeinanderfolgenden Brüchen
der Reihe (2) mindestens einer diese Eigenschaft. Vielfach haben sogar
alle Brüche (2) diese Eigenschaft. Ist das aber nicht der Fall, so sei

■p- einer, der sie nicht hat; dann ist

^i

-A-i

6o B,

-^B.;

A ä -I- -4

Wegen iL = -^-^ ^ \ p " ist das aber gleichbedeutend mit:

1_
t i

oder also mit:

Infolgedessen ist |a+i^2, und zwar ist Oleichheit nur denkbar für
A »■ 0; aber dann wäre Si » 2, also g^ = b^ + i* die Hälfte einer ganzen
Zahl, entgegen unserer Voraussetzung. Also muB Si4.i<2, folglich
&ji+i= 1 sein. Sind daher

- -V "^«i -^y. ■^..

yy^j B ' B ^ B * '"

P 9 r

die sämtlichen Brüche der Reihe (2), welche nicht die in (3) aus-
gedrückte Eigenschaft haben, so ist

Wir woUen diese Teilnenner als „ausgezeichnete^^ bezeichnen und
ebenso die Glieder , — ', ... als „ausgezeichnete Glieder".^)

1} Um Irrtümern vorzubengen, sei bemerkt, daß ein Teilnenner 1 durchaus
nicht immer ausgezeichnet sein muß. Eine Entscheidung darüber gewinnt man
auf folgende Weise: Wie wir sahen, wird b^ + i^>^l dann und nur daun ein aus-
gezeichneter Teilnenner sein, wenn

184 Fünftes Kapitel.

Von den Brüchen (2) können keine zwei aufeinanderfolgende der
Reihe (4) angehören, weil, wie schon erwähnt, mindeBtens einer Ton
zwei aufeinanderfolgenden die durch (3) bezeichnete Eigenschaft haben
muß. Folglich ist in der Reihe der Zahlen p,q,ry ... jede folgende
mindestens um 2 gröBer als die vorausgehende, so daB in dem Ketten-
bruch (1) keine zwei ausgezeichneten Glieder aufeinanderfolgen. Auch
sieht man sofort, daß bei endlichen Kettenbrüchen der letzte Teilnenner
sicher kein ausgezeichneter sein kann, weil er ja größer als 1 sein sollte.
Wir schreiben nun Formel (1), indem wir die ausgezeichneten Olieder
besonders hervorheben, folgendermaßen:

Bildet man nun den neuen Kettenbruch

ist. Diese Ungleichung wird sicher erfüllt, wenn X^^O ist; der Teilnenner b^
ist also, wenn er den Wert 1 hat, stets ausgezeichnet. Für X ]> 0 aher läßt sich
onsere Ungleichung folgendermaßen schreiben:

~ ^x

Nun ist &^ j = 1 , also J^^ j = 1 + ^ — ■ H ^ oder

rx + %

= , V + , . -^ - ' + rir* ( + ^ -i + . . . (Trangformation t.)

1^ l^i + S""* ri + 8 ,''-1 + 4

= [0, 1, t^ + j — 1, ^i + j) *i + 4>--]-

Falls ^i-f^l ist, wendet man noch eine Transformation t, an nnd erhält:

Die Bedingung dafür, daß d^^j — l (i>0) ein ausgezeichneter Teilnenner ist,
lautet also

für 6^^,>1: [0, 1, &;i^,-l, 6^^3, h^^,^^^]>[0, &^, &i_i,.--,M,

Ob sie erfüllt ist oder nicht, kann nach den Sätzen 7 und 8, Kap. 11 in jedem
gegebenen Fall sofort entschieden werden.

§ 41. Diagonalketienbräche. 18&

so sieht maD; daß (5) aus (6) hervorgeht durch eine Transformation t^.
Die Wirkung einer solchen wurde aber in § 37, II untersucht; sie besteht
darin, daß der Kettenbruch (6) genau die gleichen Näherungsbrüche^
hat wie (5), in der gleichen Reihenfolge; nur fehlt der Näherungs-
bruch ^•

Von den ausgezeichneten Gliedern des Kettenbruches (5) ist bei

dem Übergang zu (6) eines weggefallen, nämlich i — . Alle andern

^P+i

siud aber unverändert geblieben, weil ja die einzigen veränderten Glieder

•r- und r nicht ausgezeichnet sind (sonst hätte man zwei aufeinander-

^p % + a

folgende ausgezeichnete). Man kann daher jetzt auf (6) den gleichea

A
Prozeß anwenden, um auch den Näherungsbruch J' wegzuschaffen, so-

9

dann ^ , usw. Die Gesamttransformation, durch welche die sämtlichen

Näherungsbrüche (4) beseitigt werden, während alle andern erhaltea
bleiben, und zwar in ihrer natürlichen Reihenfolge, läßt sich dann fol-
gendermaßen beschreiben:

„Jeder Teilnenner, der einem ausgezeichneten Glied unmittelbar
nachfolgt oder vorangeht, wird um 1 erhöht; nur wenn er zugleich einem
ausgezeichneten nachfolgt und dem nächsten vorangeht, wird er um 2
erhöht. Sodann wird jeder auf ein ausgezeichnetes Glied folgende Teil-
zahler mit dem Minuszeichen versehen, und endlich werden alle ausge-
zeichneten Glieder weggestrichen.^

Der so entstehende Kettenbruch

ist offenbar halbregelmäßig, und wenn man auf ihn die Transformation
2j anwendet, so geht gerade wieder (5) hervor. Daher hat der Ketten-
bruch (7) sicher auch den Wert |q; seine Näherungsbrüche sind nach
seiner Entstehungsweise alle und nur die irreduziblen Brüche mit posi-
tivem Nenner, für welche die Näherungsformel (3) gilt. Wir nennen
(7) mit Minkowski 1 den Diagonalkettenbruch^) der Zahl S^. Man
sieht leicht, daß es keinen andern halbregelmäßigen Kettenbruch mit
den gleichen Näherungsbrüchen in der gleichen Reihenfolge geben kann.
Denn dieser müßte auch die gleichen Näherungszähler und -Nenner
haben, weil ein halbregelmäßiger Kettenbruch nur irreduzible Nähe-

1) Die Bezeichnung rührt von einer eigentümlichen geometrischen Erzen-
gangsweise dieses Eettenbruches her, auf die wir nicht eingehen k&nnen. {Min-
kowski 1.)

186 Fünftes Kapitel.

<^y-2 ^v-l ^'v

rungsbrüche mit positiven Nennern hat. Sind dann ^^7 ^ — , tt ^^^^
aufeinanderfolgende Näbemngsbrüchey so ist

C ^d C , + c C a

wodurch wegen (7y_i-Dy_j— C^_gDy__i— ±1 + 0 die c^, d^ eindeutig
bestimmt sind. Daraus folgt

Sat8 19. Ist die reelle Zahl ^ weder ganz noch die Hälfte einer
^ganzen ZcM, so gibt es unter ihren halbregelmäßigen Kettenbrüchen einen
und nur einen — den DiagonalkeUenbruch — , bei dem die Näherungs-
hrüche nach wachsenden Nennern geordnet sind und in ihrer CresanUheii
sich decken mit der Gesamtheit oMer derjenigen irreduzibeln Brüche

^ (D > 0), für welche die Näherungsformel gilt:

n. Kennt man den regelmäßigen Kettenbruch für eine Zahl ^, so
kann man durch die oben beschriebene Transformation sogleich den
Diagonalkettenbruch herstellen, da ja die Fußnote auf Seite 183 die
ausgezeichneten Glieder sofort zu erkennen gestattet. Man kann aber
•den Diagonalkettenbruch^ nachdem seine Existenz ja nachgewiesen ist,
auch direkt herstellen^ ohne von dem regelmäßigen auszugehen. Ist nämlich

(8) to-rf. + f^,J + j% +

<ler Diagonalkettenbruch für die Zahl L, so bezeichnen wir seine Nähe-
rungsbrüche mit ^ und setzen

(9) So-<i«+|V; 5;-rfv+F- (f-1,2,3,...).

61 *» + 1

Augenscheinlich muß dQ die nächste bei 1^ gelegene ganze Zahl sein,
wodurch dann auch c^ (=^ ±1) und ^^ bekannt sind. Nimmt man all-
gemein an, der Diagonalkettenbruch sei bereits bis zum Teilnenner d^^^
gefunden, wodurch auch c^ (^± 1) und 1^^' bekannt sind, so handelt es
sich darum, d^ zu finden. Ist aber g^ die größte in §/ enthaltene ganze
Zahl, so kann, da der Diagonalkettenbruch halbregelmäßig ist, nur
./?,,= ^„ oder rf^=gr^ -1-1 sein, so daß entweder

«ein muß. Um hierüber zu entscheiden, braucht man nur zu prüfen, ob
-dem ersten dieser beiden Brüche, der ja den kleineren Nenner hat, die

§ 41. Diagonalkettenbrüche. 187

für die Näherungsbrüche des Diagonalkettenbrucbes geforderte Eigen-
scbaft

zukommi Ist das der Fall; so ist d„ = g^ zu setzen; andernfalls kann
nicht d^ = g^ sein, also ist dann d^ = ?« + !• Somit ergibt sich

Sata 20. Um fwr eine Zahl ^ den DictgoncdkeUenbrtich
tu finden, seien y.' seine (noch unbekemnte») Näherungsbrüche, und sei weiter

I>,

So=<^o+!'; i;=d,+!'~- (v-1,2,3,...).

Das Anfangsglied d^ ist dann die nächste bei Sq gelegene ganjse ZaMy
ivodurch Cj (= + 1) und |/ mit bestimmt sind. Wenn allgemein der
Kettenbruch bereits bis zum Teilnenner d,_, gefunden ist, wodurch eo ipso
auch die Zahlen

c« (= ± 1), 1;, C„_„ D,_i, C7,_„ Z),_

8

bekannt sind, so sei g^ die größte in |/ enthaltene ganze Zahl. Man hat
dann d^ = g^ oder d^^ g^+ l zu wählen, je nachdem die Ungleichung

I </»(Soö«-l - ('',-1) + C,C6«2>n-, - Gn-t) I • (ßnDn-l + e,D,_,) < ^

erfüllt ist oder nicht. (Minkowski 1.)

In der Tat ist ja diese Ungleichung keine andere als (10).

Wenn in einem regelmäßigen Kettenbruch aUe TeUnenner gröBer
als 1 sind, so ist es bereits der Diagonalkettenbmeh, da ja dann keine
,,au8gezeichneten^^ Teilnenner vorhanden sind. Jedoch gibt es auch Dia-
gonalkettenbrüche, in denen Teilnenner 1 vorkommen. Entwickelt man

z. B. die Zahl - - in einen Diagonalkettenbruch, so findet man diesen:

(11) s-o + -V + :V + rV + i'.

Der erste Teilnenner d^ aber kann niemals 1 sein; denn sonst wären die
Näherungsbrüche nuUter und erster Ordnung gleich -j- und * j- \ ^^d
es müßte also

5o-dol<|; |So-K+OI<Y

sein, was offenbar nicht möglich ist.

188 Fünftes Kapitel.

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, denen die Ele-
mente eines halbregelmäßigen Kettenbruches genügen müssen, damit es
ein Diagonalkettenbruch ist, sind nicht bekannt. Sie sind jedenfalls we-
sentlich komplizierterer Natur als bei den singulären Kettenbrüchen oder
bei denen nach nächsten Oanzen. Wenn nämlich

ein singulärer Kettenbruch ist, so sind

, +-

K+d- + 'T^ + --- (»"-1,2,3,...)

ebenfalls solche, und entsprechend ist es bei den Kettenbrüchen nach
nächsten Ganzen. Dagegen haben die Diagonalkettenbrüche
nicht die analoge Eigenschaft; denn z.B. ist (11) ein Diagonal-
kettenbruch; dagegen

2+ M-h-'J-l-^

ist gewiß keiner, weil hier d^ « 1 wäre,
in. Wir beweisen nun noch

Sats 21. Der DtagonalkeUenbruch für eine quadratische Irrational-
zahl ist periodisch. (Minl'owslci 1.)

Zum Beweis der Periodizität genügt es diesmal nicht, wie in den
beiden letzten Paragraphen nachzuweisen, daß für die §, nur eine end-
liche Anzahl yerschiedener Werte möglich ist. Denn aus der Gleichheit

Sil — "n ^ \A ^ ; /7 ^

^n + 1 i^n + 8

^« + t+l , ^n + A-f-2

• • •

könnte diesmal noch keineswegs die Identität der beiden Kettenbrüche
geschlossen werden, da dies ja, wie wir sahen, keine Diagonalketten-
brüche zu sein brauchen, und wir auch nicht wissen, ob sie sonstwie
eindeutig bestimmbar sind.

Wir entwickeln jetzt die quadratische Irrationalzahl 1^ in einen
regelmäßigen Kettenbruch, der nach dem Lagrangeschen Satz
periodisch ist:

Da man den Periodenstrich an einer beliebigen späteren Stelle beginnen

lassen kann, so behalten wir uns vor, die Zahl h nach Bedarf sehr groß

A Ä

zu wählen. Die Näherungsbrüche ^ von (12) schreiben wir von ^ an-
gefangen in folgendem Schema hin:

§ 11. Diagonalkettenbiüche.

189

(13)

^Ä

'A

^h+k

-^A+_l

^A+*+J
■^A+A+l'

■'^A + t/b + l

-^h + sk-i

^0 B^

Um nun aus (12) den Diagonalkettenbrucb herzuleiten, sind nach
dem zu Beginn dieses Paragraphen auseinandergesetzten Verfahren alle

diejenigen Näherungsbrüche -^ zu beseitigen, für welche

^ ö^T ^^^' ^^^ werden jetzt zeigen, daß dabei von den Naherungs-

brüchen einer einzelnen Kolonne des Schemas (13) entweder alle zu
beseitigen sind, oder gar keiner (wenn h genügend groB gewählt ist).
Nehmen wir dies einstweilen als bewiesen an, so folgt daraus, daß
in der periodisch sich wiederholenden Teilnennerfolge

^kf ^A+i> • • • ^A + »-l

von (12) die ,^ausgezeichneten'' Elemente allemal an der gleichen Stelle
wiederkehren. Durch die auf S. 185 beschriebene Transformation in den
Diagonalkettenbrucb wird daher jede solche Teilnennerfolge in gleicher
Weise transformiert^ so daß der entstehende Eettenbruch wieder peri-
odisch ist

Es bleibt demnach in der Tat nur noch zu zeigen, daß von den
NäherungsbrQchen, welche eine Kolonne des Schemas (13) füllen, ent-
weder alle dem Diagonalkettenbrucb angehören oder gar keiner. Neh-
men wir etwa die erste Kolonne (für die andern ist der Beweis ganz
ebenso), so ist also nachzuweisen, daß die Ungleichung

(14)

lo

^h + lk
h + kk

<

2B

h + Xk

wenn sie für einen der Werte A =» 0, 1, 2, . . . gilt, dann für alle diese
Werte richtig ist. Da es uns aber freisteht, die Zahl h durch eine
passende größere zu ersetzen, so kommt es auf das gleiche hinaus,^
wenn wir nur folgendes beweisen:

„Die Ungleichung (14) ist entweder nur für eine endliche An-
zahl von X-Werten richtig, oder für alle hinreichend großen.'^ Dies
wollen wir also jetzt dartun.

Wenn wieder mit 1^ die vollständigen Quotienten des regelmäßi-
gen Kettenbruches bezeichnet werden, so ist wegen der Periodizität:

I

A + l -^Ik

i

h-^-lf

also

I.-

^ff + Xk^h + l"^ -^h + kk-l

^h-\'Xk^h + l + -®A + ii-l

80 daß (14) gleichbedeutend ist mit:

190 Fünftes Kapitel.

1

<

oder nach leichter Umformung

(16) 2_8.^,<W.,

Nun ist aber nach Formel (20), Kap. I oder nach § 11^ I:

if ^ I^h + Xk7 \ + Xk-l7 • • • ^2? ^iJi

und dieser regelmäßige Eettenbruch hat mit dem periodischen

(16) [^A + *7 K + k-U • ' ' K + $? h + i\

h 4- Xk

die ersten Xk Glieder iremein, so daß die Zahl ^i zwischen den

* ' ^h + Xk^l

Näherungsbrüchen (Xlc - 2)**' und {Xk — Vf^' Ordnung von (16) liegt
Infolgedessen ist

lim ß-^— ^ [h^k9 h^k^u • • • ^A+2; ^A+iJ-

Aber dieser Eettenbruch hat nach Satz 6, Kap. III den Wert ^

^A+^

wenn ly^^^j die zu Ij^^^ konjugierte Zahl ist. Die rechte Seite von (15)
hat also för lim A =« oo den Grenzwert — i^ä+i- Wenn nun die Unglei-
chung (15) für unendlich viele A-Werte besteht, so ist also auch

Aber hier ist Gleichheit ausgeschlossen, weil S^+i — i?a+i stets irrational
ist. Es muß also notwendig

sein, d. h. die linke Seite von (15) ist kleiner als der Grenzwert der
rechten Seite. Infolgedessen muß die Ungleichung (15), wenn sie für
unendlich viele A- Werte besteht^ gewiß für alle hinreichend großen X
bestehen. W. z. b. w.

II

ANALYTISCH-
FUNKTIONENTHEORETISCHER TEIL

Sechstes EapiteL

Transformation von Kettenbr&chen.

§ 42. Null als Tellzthler. — Äquivalente Kettenbrflche.

I. Sei

(1) *«+pr + --- + |6ir7 + F^ + |-VH.T + ""

ein endlicher oder anendlicher Eettenbruch^ dessen A^' Teilzähler Null
isty während im übrigen die Elemente ganz beliebige Zahlen sein dürfen.
Nach den Formeln (24), Kap. I ist dann

Hieraus erkennt man zweierlei:

a) Wenn der endliche Kettenbruch

(3) \ + nr + "' +

(2)

sinnlos ist, d.h. wemi Bj^^^^O, so sind auch die Näherungsbrüche
von (1) von der (^A — 1)**** Ordnung an sämtlich sinnlos. Insbesondere
ist also der Kettenbruch (1) selbst sinnlos, bzw. wenn er unendlich ist,
divergent.

b) Wenn der Kettenbruch (3) nicht sinnlos ist, so sind die nicht
sinnlosen Näherungsbrüche von (1) von der (A — 1)*~ Ordnung an alle
einander gleich. Insbesondere gilt also

Sats 1. Wenn der Kettenbruch

^1 |'';i-i \^x \^x^-i

konvergiert^ hzw, im Fall der Endlichkeit nicht sinnlos ist, so ist sein
Wert gleich dem des endlichen Kettenbruches

Perron, Kettenbrttche. 13

194 Sechstes Kapitel.

Man sieht sogleich, daß der Kettenbruch (1) immer dann sinnlos
bzw. divergent ist, wenn der im Nenner unter der NuU stehende
Eettenbruch

endlich ist imd den Wert Null hat, oder wenn er unendlich ist und un-
begrenzt viele Näherungsbrüche vom Wert Null besitzt. Dies folgt so-
fort aus den Formeln (2); da ja die dort auftretenden Zahlen A^_^ ^
gerade die Näherungszähler von (4) sind. Wenn dagegen der Ketten-
bruch (4) unendlich ist und den Wert NuU hat, so kann (1) sehr wohl
konvergieren. Beispielsweise ist

(5) (y2-i)-^ + ^ + ^ + n + ...^0;

aber gleichwoU konvergiert der Eettenbruch

/fiN 1 , 0 I ii, ii, 1, i;.

Denn da hier A -» 1 ist, so wird nach (2)

Aber Ä^__ii ist als Näherungszähler des Kettenbruches (5) gewiß irra-
tional, also +0, so daß sich aus (7) ergibt: ■— = 1, woraus dieBehaup-
tung folgt.

II. Die Elemente eines endlichen oder unendlichen Kettenbruches

(8) K + ^*-' + -^*-' 4- h -^ 4-

seien jetzt wieder ganz willkürliche Größen. Neben dem Kettenbruch
(8) betrachten wir dann noch den folgenden

wo die Multiplikatoren c^ irgend welche von Null verschiedene
Zahlen sind. Sind, wie gewöhnlich, A^y B^ die Näherungszähler und
-Nenner des ersten; (7^, D^ die des zweiten Kestenbruches, so ist

Dies ergibt sich augenblicklich aus der Euler-Mindingschen Darstellung
für die Näherungszähler und -Nenner (§ 3), da ja die Ausdrücke y '^^ —

(10)

§ 42. Null ah Teilzählei. — Äquivalente Eettenbiüche. 195

sich nicht ändern, wenn man Ton (8) zu (9) übergeht, oder ebeoso ein-
fach mit Hilfe der Rekursionsformeln durch vollständige Induktion.

Da alle c^ von Null verschieden, so ist nach (10) für B^'=^0 stet?
auch Dy» 0 und umgekehrt; dagegen ist für B^'^O stets

Wenn alle a^'+'O sind, so gilt auch umgekehrt der Satz, daß jeder
Kettenbruch, dessen Näherungsbruch v**' Ordnung (v « 0, 1, 2, . . .) den

Wert Cq jt- hat, notwendig von der Form (9) sein muß. Denn ist etwa

ein solcher Kettenbruch und bezeichnet man mit P,,, Q^ seinen Nähe-
rungszähler und -Nenner i/*®' Ordnung, so ist

(12) P_i-1, ^1-0, Po-=?o, <?o=l.-

(13) P,= ^,P,_i + p,P,_j, Q,= q,Q,.,^-p,Q,.^ (f^l).

P A

Da für 1/^0 aber tt =^ ^o w*^ s®^^ ^^^\ ^^ kann man für v ^ 0

setzen, woraus für v = 0 insbesondere g^^ 1, g'o^^o^o folgt. Setzt

g

man dann noch ^- ■■ c,., also Qy^^ c^c^,..c^f so erhält man:

P^ - Co^i . . . c^A^, Co Q, = CoCj . . . c^B^ {v ^ 0),

wozu noch die Formeln P_i=j1_i, Ö_i=«P_i kommen. Die Glei-
chungen (13) gehen daher über in

A-=V^.-i + e~cA-., B,=^^B,_,+/\B,_, (r^l).

Da aber auch

A= 6,^^_i + a,^^_2, P,= 6^P,_i + a,P^_„

und da wegen ^^_iP^_2-- -4^_jJ^,_i = ± ajöfg . ..a,._i + 0 die a^, 6^
durch diese Gleichungen eindeutig bestimmt sind, so erhält man für
v^l:

^-Kj ;r^ = «v W.z.b.w.

Cy ^V-\ ^V

13

196 Sechstee Kapitel.

Formel (11) liefert nun insbesondere

Sats 2. Wenn von den beiden endlichen oder unendlichen Ketten-
hrüchen

wo die Cy irgend wdche von Null verschiedene Zalden sind, der eine kon-
vergiert (hew. im Fäll der Endlichkeit nicht sinnlos ist), so gut das gleiche
auch vom andern, und zwar ist der Wert des zweiten das Cq- fache von
dem des ersten.

Am wichtigsten ist der Fall c^ = 1 ; der Eettenbruch (9) heißt
dann mit (8) äquivalent (Seidd 2). Aus dieser Definition folgt ohne
weiteres:

a) Ist ein Eettenbruch mit einem zweiten äquivalent , so ist auch
der zweite mit dem ersten äquivalent. Die Kettenbrüche heißen daher
miteinander äquivalent.

b) Sind zwei Eettenbrüche mit einem dritten äquivalent^ so sind
sie auch miteinander äquivalent.

Weiter erhält man aus Formel (11) und den daran angeschlossenen
Erörterungen für Cq = 1 den wichtigen

Sats 3. Zwei äquivalente Kettenbrüche hohen die gleiche Serie von
Näherungsbrüchen, wobei auch einem sinnlosen Näherungsbruch des einen
ein ebensolcher des andern entspricht. Und wngekekrt sind zwei Ketten-
brüche mit der gleichen Serie von NäherungsbrücJten, sofern die Teüeahler
von NuU verschieden sind, stets äquivalent. (Seidel 2.)

Hiemach kann jeder Eettenbruch, wenn es sich um die Entschei-
dung seiner Eonvergenz oder auch um die Berechnung seines Wertes
handelt, durch einen äquivalenten ersetzt werden. Zur Bezeichnung der
Äquivalenz bedienen wir uns des Zeichens ^; es kann nach dem Be-
wiesenen ohne weiteres durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden,
sobald von einem der zwei äquivalenten Eettenbrüche feststeht, daß er
konvergiert (bzw. nicht sinnlos ist). Beispielsweise besteht die Äqui-
valenz

(14) '^ + "1}+^] + ...^%^ + ^} + '^ + '^ + ... ^Stem2),

»1 I 6. ^ 1 6. ~ I 6. ' I &i I 6. ' I &.

wenn alle &,')- 0 sind; denn der zweite geht aus dem ersten hervor, in-
dem man c, =- l~- für v ^ 1 wählt.

Man bedient sich der Transformation in einen äquivalenten Eetten-
bruch hauptsächlich in vier Fällen:

A. Wenn die Elemente Bruchform haben, zur Beseitigung dieser
Brüche; so ist

§ 43. Kontraktion.

197

h +

a.

n

+

Irt
und aUgemeiner

-I
1*1

Pr

+

+

+

r»

ßz

+

B. Um die Teilnenner^ sofern keiner verschwindet^ alle gleich 1 zu
machen:

a.

a.

^v-l^r!

+

C. Um die Teilzähler^ sofern keiner yerschwindet; alle gleich 1 za
machen:

^ j L f^d j_ ?«»l+aI j = 6^4- —

^5.

+

+

I

O, a4 . . . Clj y

+

ty

a, a^ . . . a, y

+

Oj Og . . . Osv+l

^If+l

D. Um den Nähemngsnennem, sofeme keiner yerschwindet^ yor-
geschriebene Werte zu geben. Sollen z. B. alle gleich 1 sein^ so ist
nach (10)

also

^"^ ^,

(i/=l,2,3,...).

zu setzen.

§ 43. Kontraktion.

I. Wenn die Teilzähler eines Eettenbruches alle yon Null ver-
schieden sind, können zwei sukzessiye Näherungsbrüche niemals ein-
ander gleich und auch nicht beide sinnlos sein. Dies folgt sofort aus
der Formel (30j, Kap. I:

Wenn also zwei sukzessive Näherungsbrüche einander gleich sind, etwa

A Ä

„^*'- -= -^, SO muß von den Teilzählem «i, a«? • • • ^2 mindestens einer

198 Sechstes Kapitel.

yerschwinden, so daß nach § 42^ I alle folgenden Näherungsbrüchey so-
weit sie nicht sinnlos sind, ebenfalls den gleichen Wert haben.

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, einen Ketteubruch herzustellen,
dessen Näherungsbrüche vorgegebene Werte Kq, K^y K^, ... haben
{Dan.JB€moulU2), Dabei soll wegen des soeben Ausgeführten K^^^^^K^
vorausgesetzt werden. Alsdann löst, wenn ein Eettenbruch der ver-
langten Art gefunden ist, jeder mit ihm äquivalente ebenfalls unsere
Aufgabe, und umgekehrt sind auch alle Kettenbrüche, die die Aufgabe
lösen, miteinander äquivalent (nach Satz 3). Da der Näherungsbruch
v^^ Ordnung gleich £,, also nicht sinnlos sein soll, läßt es sich so ein-
richten, daß alle Näherungsnenner gleich 1 sind, also die Näherungs-
zähler der Reihe nach Kq, K^, K^, Dadurch sind aber die Elemente

eindeutig festgelegt; ist nämlich

(i/ = 2,3,4,...).

der gesuchte Kettenbruch, so ergibt sich durch Anwendung der Rekur-
flionsformeln auf die Näherungszähler K^ und die Näherungsnenner 1 :

1 — /Jy + «^

Hieraus folgt durch Auflösung, da nach Voraussetzung K^_i=^K^__^i8t:

ßo = ^0

«,- - _ j^ , ßy=-^ zrK~ (^=-2,3,4,...).

Hiermit sind die Elemente des gesuchten Kettenbruches eindeutig
berechnet, und offenbar hat der Kettenbruch mit diesen Elementen auch
wirklich die verlangten Näherungsbrüche. Man erhält daher

Satz 4. Ist £0, K^, K^, . . , irgend eine begrenzte oder unbegrenzte
Serie von Zahlen, und zwar allgemein K^_^^ K^, so gibt es einen Ket-
tenbrücke und zwar abgesehen von äquivalenten nur einen

dessen Naherungsbrüche der Eeihe nach Kq, K^y K^, , , . sir^. Seine Ele-
mente sind folgende:

V — 1 — V ^r — ^v — 2 /

«»=Ä'~_-A' ' ^» ^ A' -~K (i' = 2,3,4,...).

§ 43. Kontraktion. 199

IL Wir wollen dieses Theorem jeitzt auf einen speziellen Fall an-
wenden; sei nämlich

(1) ^+?^ + ^ +

ein unendlicher Kettenbruch mit von Null yerschiedenen Teilzahlern.
Sei ferner

«o ''l "»

(2) B ^ B ' B ' " '

«o "l **»

eine unbegrenzte Serie nicht sinnloser Näherungsbrüche von (1); also

(3) B., + 0 (v-0,1,2,...).

Dabei soll »o "^ ^i "^ **f "^ • • • ^^^7 ^°^ ^^^ ^®^ Zahlen (2) sollen keine
zwei aufeinanderfolgende den gleichen Wert haben. Da nach Formel
(33), Kap. I

Ä A 7?

so ist also auch

(ö) ^-,-»,_i-i.«,_i+i + 0 (^ = 1,2,3,...).

Nach Satz 4 wird nun der Kettenbruch

(6) ßo+ Ti' + ^ +

ft ' ift

gerade die Größen (2) zu Näherongsbrüchen haben, wenn wir

Po ß ' 1 J5 » > ri^'^;

»0

*>

Bn

-1
-1

^«r-2

setzen. Dafür Va&i sich aber unter Anwendung von (4) auch schreiben:

^0-/°, «i-(-l)"'«,«.--««.+t-i^^=^, ^1=1

200 Sechstes Kapitel.

Nun kann man noch den Eettenbruch (6) durcli einen äquivalenten

erBetzen^ wo die c, beliebige von Null yerschiedene Zahlen sind. Wählt
man speziell

"y — 1

was wegen (3) und (5) erlaubt ist, so ergibt sich schließlich
Satz 5. um am dem tmencUichen Kettenhruch

mit den Näherungshrüchen ^r ^we» neuen 0u gewinnen

B

V

*«+ii| + re +

dessen Näherv/ngütrüche der Heike tuuh

O "1 ^

B_ ' Bl ' B. '

(»o<Wi <»»<•••)

sindj hat man

**i — »o — 1» Wq + 1

ZU setzen (mit »_i « — 1). Dalei hat B^ ^ die Bedeutung wie in §5, II,
und es muß Bn^ + 0, Bny_nv«i-i,n„„i +1+0 vorausgesetzt tverden.

Man sagt, der neue Eettenbruch entsteht aus dem ursprünglichen
durch ^^Kontraktion'' (Seidel 2). Bereits in § 37 sind uns in den
Transformationen t^, X^ spezielle Kontraktionen begegnet. Wenn ein
Kettenbruch konvergiert, so konvergiert offenbar auch jeder aus ihm
durch Kontraktion entstehende, und zwar hat er den gleichen Wert.
Denn die Reihe der Näherungsbrüche des kontrahierten Kettenbruches
ist ja eine Teilreihe der Näherungsbrüche des ursprünglichen. Aus
diesem Grund konvergiert aber der kontrahierte sogar stets rascher^
und der praktische Nutzen der Kontraktion liegt gerade darin, daß

§ 48. Eontraktion. 201

langsam konyergierende Eettenbrüche in rasch konvergierende trans-
formiert werden können. Doch hüte man sich davor, umgekehrt aus
der Konvergenz des kontrahierten auch ohne weiteres auf die Konver-
genz des ursprünglichen Kettenbruches zu schließen.

Sehr häufig wird der Kettenbruch mit den Näherungsbrüchen

-p - (v « 0, 1, 2, . . .) gebraucht; man findet ihn, indem man w — 2v

in unsere ^aUgemeinen Formeln einsetzt; es kommt

(1\ h -I- ^1^« I ajös&4 I __ _^?4^jMl

®^ \\\ + <^t I {hh+(^z)h + ^«4 I (&4&5 + «ß)fto + &4«e

^«6 «7 Ms I .

Ebenso hat der Kettenbruch

(8) h K + Ol "* ^ ^ ' «8 «4 ^ &Ö

OßOe^s^ I «708^6^9

(&5^« + «fl) ^ + &5«7 I (^ ^8 + «s) ^9 + ^ O«

2v+ 1

III. Als weiteres Beispiel betrachten wir den Kettenbruch

die Näherungsbrüche ß* *- ^ V^ = 0, 1,2,.. .).

«1 . . «*-i

^0 + Vh + • • • +Ty~ + I a + TTT + • " + I& + i a'

>

aus welchem wir den kontrahierten Kettenbruch mit den Näherungs-
brüchen

herleiten wollen. Setzen wir also in Satz öw^— Ä— 1 + vÄ, was auch
für V « — 1 anwendbar ist, so kommt:

*o "■ »-' - j ^1 =- (- 1)*" ^«1 «2 • • • «t-iA -«"--* >

202

SechflteB Kapitel.

Nun ist aber wegen der speziellen Form unseres Eettenbruches
femer nach Formel (24), Kap. I:

also auch, indem man die Indizes aller Elemente um {v — l)k erhöht:
Oder, weil bei unserm speziellen Eettenbruch

\ffvf K h}" h-J

{nach Formel (27), Kap. I) ist, endlich auch
Es kommt also

\-l _ 9^_k-X +^ Bit- 2,1

n= (- l)*"'«l«2---«A-l/'r^*-l (^^2),

Qeht man nun noch zu einem äquivalenten Kettenbruch über mit-
tels der Multiplikatoren c^=^ ^ , so wird der kontrahierte Ketten-
bruch schließlich folgender:

*o-^

*-i

-, yi=-(-i) " «iÖ2---ö^*-i/l;

'*-!

90^k-l + «l-öifc-2,1 . ^ib-1

B

(—1)' ai«a--^A-iA

+

'*-i

^l^it-l+/'l^*-2 + «l-»*..2,l

+

(— 1)* ^«ia2---^A-i^2 i ,

vJk-1

(— 1) öiöj- •■«A-i/'a

^2^*-l+ /'2^*-2+ «l-^A-2,1 |5'8-^A-1+ ^'8-^i-2+ «l-^*-2,l

+

Diese Transformation ist besonders nützlich, um gewisse regel-
mäßige Kettenbrüche in rascher konvergierende zu verwandeln. Man
«erhält dafür, indem man a^«« 1, /"y« 1 setzt, die Formel:

<9)

[9of ^if ' • ' ^k-if 9if ^i> • • • ^k-if 9if ^1? • • • ^*-i7 9zf • • •]

+

(- 1)

*-l

9-2^k-i + ^k-i + ^k-%1

+

I

§ 44. Extension. 203

Für allgerades Tc ist der Kettenbruch rechts ebenfalls regelmäßig ^ und
die Formel; die im Prinzip schon Euler 4 kannte, ist nichts anderes als
die Oleichung (7) von Seite 134^ die wir dort nur für Ä; »■ 3 zu einem
speziellen Zweck bewiesen haben. Für gerades h steht auf der rechten
Seite von (9) ein reduziert-regelmäßiger Kettenbruch.

Sind speziell alle g^ einander gleich, so lehrt unsere Formel, einen
/;-gliedrig reinperiodischen regelmäßigen Kettenbruch in einen ein-
gliedrig-periodischen zu transformieren, der selbst regelmäßig oder re-
duziert-regelmäßig ist, je nachdem Je ungerade oder gerade (ÖUinger 1).
Da man die OUederzahl der Periode stets gerade annehmen kann^ indem
man nötigenfalls zwei Perioden zu einer (imprimitiven) yereinigt, ergibt
sich, daß allemal eine Transformation in einen reduziert-regelmäßigen
Kettenbruch möglich ist.

§44 Extension.

Wenn ein Kettenbruch durch Kontraktion in einen andern trans-
formiert ist, so wollen wir umgekehrt sagen, daß der erstere aus dem
kontrahierten durch „Extension'^ hervorgeht. Die Extension besteht
also darin, daß man aus einem gegebenen Kettenbruch einen anderen
herleitet, der außer den Näherungsbrüchen des gegebenen in ihrer natür-
lichen Reihenfolge noch gewisse weitere Näherungsbrüche in endlicher
oder unendlicher Anzahl enthält. Auch die Extension haben wir schon
einmal angewandt: Die Transformationen t|, X^ des § 37 sind Exten-
sionen.

Sei nun wieder

ein beliebiger Kettenbruch mit von Null verschiedenen Teilzählern und
mit den Näherungsbrüchen ^ • Wir wollen nun einen andern herleiten,

V

dessen Näherungsbrüche der Reihe nach die folgenden sein sollen:

Äq A^ -^k-i TT- ^k -^t+i

^0 ^1 ^k-\ '°k ^*+i

wo K beliebig vorgegeben, doch natürlich von den beiden Nachbarn

-jy " und -jT- verschieden. Aus diesem Grund können wir A in der Form

annehmen

A — p -4.1. ,

-0/ — pöi_i

204 Sechstes Kapitel.

Der gesuchte Eettenbruch hat dann (von Äquivalenz abgesehen) offen-
bar die Gestalt

wobei tt, ß Msw. aas den folgenden Gleichungen zu bestimmen sind:

\B,= ß'(B,-QB,_,)+a'B,_,

lB,^,-^"B,+ «"(B,-95,_,).
Da aber alle a^. von Null verschieden sind, so ist auch

A-tS^.,-A,_,B,_, + 0;

folglich sind durch die Gleichungen

die Größen bj^, a^ eindeutig bestimmt. Durch Vergleichung mit (2)
ergibt sich daher sofort:

ebenso folgt aus (4):

und noch etwas einfacher aus (3):

^'^1, ~/J> + «=0.

Damit sind die Unbekannten a, /J, «', /?', a", /J" gefunden, und der
gesuchte Kettenbruch ist folgender:

^±1 I
a, I ai._ ,1 a* I n I o ' fli.j_ c 1 «i

2>i ' ' \K-x\h-^

V1 + -T-

man erhält somit

Satz 6. Will man in den Kettenbruch

*o+i^+ii;+-- K+o),

dessen Näherungsbrüche ^ sind, zwischen ^ — wnJ ^ noch den Nahe--
rungsbruch -^ ^ — eiftöchdlten, so ist die Gliederfolge

§ 45. Äquivalenz von Kettenbrücben und Reihen. 205

ZU ersetzen durch

^±1 4- ^±1

^ I I 1

6v— e

während sonst alles unverändert bleibt.

«*+!

Q

Der Satz gilt mit leicht ersichtlicher Modifikation auch für Ä;=>0.
SelbstverstäDcUich kann die Transformation gleichzeitig mehrmals, sogar
unendlich oft angewandt werden. Beispielsweise wird der extendierte
Kettenbruch mit den Näherungsbrüchen

(5)

A}— 9o A -^1 ■— Pi 4) A -^«~ 9i A A 4i-- 99 ^i

B, > B,' B,-Q,B,^ B,^ B,-g,B,' B,> B,-q,B,'

folgender sein:

o,

««

Po

6.+^-..

Die Extension wird uns späterhin noch gute Dienste leisten. Wenn
es nämlich gelingt, einen Kettenbruch du/rch Extension in einen andern
au transformieren, von dem man weiß, daß er konvergiert, so wird der
ursprüngliche erst recht konvergieren, und zwar gegen den gleichen Wert;
denn er entsteht ja aus dem extendierten durch Eontraktion.

§ 45. ÄquiTalenz Ton Kettenbrfichen und Reihen.

I. Nach Seidel 2 nennt man eine Reihe Cq + Cj + Cg + • • • und
einen Kettenbruch K+ r^ + ]l + ' " äquivalent, wenn die Bezieh-
ungen

(1) <^+Ci+c,+ -+c,=.?.o + rSJ + Tb' +•■•+ r» = 5^ (v=0,l,2,...)

statthaben. Dabei können Reihe und Kettenbruch beide unendlich sein,
oder auch beide endlich und müssen in diesem Fall gleiche Gliederzahl

haben.

Nach dieser Definition gibt es zu einem K«ttenbruch jedenfidls
nur dann eine äquivalente Reihe, wenn er keine sinnlosen Näherungs-
brüche hat. In diesem Fall gibt es aber auch wirklich eine und zwar
nur eine äquivalente Reihe; ihre Glieder ergeben sich nämlich ein-
deutig aus (1) in der Form:

206

Sechstes Kapitel.

Ca =

A

0- B,

= ^0;

A.

r

'r-l

>-l

= (-1)

~B^, B~

(v= 1,2,3,...).

Sind dabei, was wir wieder voraussetzen wollen, alle Teilzähler a^ von
Null verschieden, so werden auch alle Reihenglieder c^ für v ^ 1 von
Null verschieden. Es ergibt sich, wenn wir auch hier Äquivalenz durch
^ bezeichnen:

(2)

a.

ttj ög «8 a, rtj 03 «4

^1 ^i -^2 ^8 -^a

B^B^

+ -

Die Glieder der Reihe sind dabei, vom ersten abgesehen, alle von Null
verschieden. Umgekehrt ist auch jede Reihe, deren Glieder, vom ersten
abgesehen, von Null verschieden sind, unendlich vielen Kettenbrüchen
äquivalent, die aber alle miteinander äquivalent sind. Wir brauchen
nämlich, um dies einzusehen, nur einen Eettenbruch zu bilden, dessen
Näherungsbrüche der Reihe nach die folgenden sind:

Da aber für v ^ 1 stets c^^ 0, also K^+ K^_^ ist, und da

Ko^CQy Ki—Kq=Ci,

K

K.

>-i

'.^lL. = 1 +

»• — 1

(v=2,3,4,...)

ist, so leistet dies nach Satz 4 der Kettenbruch

c.

^o + rr-

±1

1 +

1+^

1+^

sowie jeder damit äquivalente, aber sonst keiner. Wir erhalten also
Satz 7. Die Reihe

Co + Ci + Cj + h C, +

(c, + 0/Kri/^l)

und der Kettenhruch

^0+,;--

Cy

1+^

'1—1

1 +

sind äquivalent. {Euler 1, 3, 5, Stern 2.)

§ 46. Äquivalenz von KettenbiQchen and Reihen.

2Ü7

Zur Yermeidung der Brüche kann man den Kettenbruch durch
einen äquivalenten ersetzen und erhält

Cq+C^ + C^-] + C^ +

(3)

-Co + ^-

^1^8

^r — 2^v

Cl+Ci I Cf + <?S

^-1 + ^

Die Brüche lassen sich aber auch durch Änderung der Bezeichnung yer-
meiden. Setzt man nämlich c,= y^'yJ . . . y^ für v ^ 1, so kommt

Co + yi + yiy> + — i- yiy» ■ • • n+ •

7,

"^11 Ii + r.

r»

1 + -/S

1 + y,

(n+0)-

II. Besonders häufig wird unsere Transformation auf Potenzreihen
angewandt; fQr solche ergibt sich direkt aus Satz 7:

(5)

Co+ CiX + c^x^ -\ h c^x" +

c.x

= Co+|i^-

— X

«'S

1-1

1+— a;

1 +

- X

>-i

Wenn eine Reihe konvergiert, so wird der äquivalente Ketten-
bruch gegen den gleichen Wert konvergieren, während aus der Diver-
genz der Reihe auch die Divergenz des Kettenbruches folgt. Dies er-
gibt sich sofort aus der Definitionsgleichung (1) für lim i/ =» cx>.
Im Konvergenzfall kann dann das Aquivalenzzeichen ohne weiteres
durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden. Bei der so aus (5) ent-
stehenden Formel ist, wie man direkt einsieht, auch der Wert o: «- 0
zulässig, obwohl dieser bisher auszuschließen war, weil ja kein Reihen-
glied verschwinden durfte. Wir geben hierfür einige Beispiele.

A. Für Co= 1, c,= 1 .2..-TV- ^^^g*

r — 1

(6)(i+xr-i+[^

X

-2

- X

r — 8

X

1 +

X

1 +

o

3

X l-\- ^ X

4

Ist dabei r eine ganze Zahl ^ 0, so bricht die Binomialreihe mit dem
(r + 1)*^ Glied ab; also hat auch der äquivalente Kettenbruch nur
r + 1 Glieder; d. h. er ist gerade soweit fortzusetzen, als die Teilzähler
von Null verschieden sind. In allen andern Fällen ist der Kettenbruch
unendlich, und die Formel ((J) hat den gleichen Gültigkeitsbereich wie

208

Sechstes Kapitel.

die Binomialreihe; sie gilt also für |:t;| <!, während für |:t;| > 1 der
Kettenbruch divergiert. Speziell für r == — 1 kommt

0) rF-x = i-|T + jT--i + |Tl-i + |iy + - (fü-^I^Ki).

B. Für w > — 1 und — 1< a: < 1 ist

X X

3

+ 3

iV-l

Setzt man also c^ = 0, c^ = - — r , so kommt

X

w + l
1

X

+

m + 1
m + 2

w + 2

+

m + 2

— - X
m + 8

m + 2
m+3

+

oder; wenn man zur Vermeidung der Brüche einen äquivalenten Ketten-
bruch nimmt:

(8)

X

Speziell für m

5_!4. _Jrn+iyjc I

m + 1 "^ ,m + 2 — (m+l)a;"'"

(w> — 1; — l<a;^l).
> 0 kommt

(m+2)*a;

m+8 — (m + 2) a;

+

(9) log {1+x)^ ^, + ,^^ + ^^ + ^^^ + . . . (-K.:^!)

2 — ic

8

und hieraus insbesondere für o; =- 1 :

(10)

iog2-iV + ^ + rr + ^ +

16

+

Für w — — ^, rc — y* folgt nach Division durch y aus (8):

dt

yt(i + t)

2 arctgy

y

1 +,3

2 2 ^

5 _ 3 ,
2 " 2 ^

+

ly*

9y«

25y»

oder also auch

(11) arctgy-''J + -3^V + :;^-i + ^l^^i + ... (-l^y^l).

Speziell für y -= 1 :

(12)

4 l'l2'|2'|2'*'

! 2

§ 46. Äquivalent von Eettenbrüchen und Reihen.

209

Dieser Eettenbruch war lange Yor Euler bekannt. Er findet sich bei
WaUis 1, 2 h, der Lord Brotmcker als Entdecker nennt.

C. Setzt man c« -^ -r * so kommt die Formel

(18)

«-•+il'-

1

2*

1

3*

1

4*

1+j«

1+3«

i+^X

-1 + ^-

Ix

2x

3x

4jB

2 + aj 13 + « ,4 + a: \b-\-x

welche wie die Exponentialreihe für alle x gilt (reelle und komplexe).
Durch einfache Umformung (Anwendung Yon Satz 1 und 2, Kap. I)
findet man hieraus:

x^

(14) ^-^, + ^-1 + ^-

Ix

2x

8a; I

2 + « 8 +« \^ + x

wobei für die Nullstellen des Nenners^ also für x » 2nni der Ketten-
brueh unwesentlich divergiert (Satz 3^ Kap. I). Speziell für 2; =» — 1
kommty wenn man noch den reziproken Wert nimmt und dann beider-
seits 1 addiert:

(15)

Nach § 42, Formel (14) ist dann such

s

8|

(15a) e~2 + f^ + f^ + -^ + f^ + ^ + "- (Euler 10, Cesaro l).

|6

Einen weiteren bemerkenswerten Eettenbruch fOr die Zahl e erhält
man aus (14) für o; »• 1 ; es kommt zanächst

(16)

e — 1

o __ 11 _ Ü __ _L «. li _

'3 4 5 16

Wendet man aber hierauf die Extensionsformel (6) yon § 44 an^ mit
a^ — — V, 6, -= V + 2, 9y = 1, so ergibt sich

(17) -jL_»i + i:.ij + i. + i_.ii.ij.ii + ii + ...

sofern dieser Eettenbruch überhaupt konvergiert^ was wir in § 50 be-
weisen werden und hier vorweg nehmen wollen. Indem man 1 subtra-
hiert; sodann den reziproken Wert nimmt und wieder 1 addiert^ kommt
schließlich

(18) e-

Perron, KettenbrUohe.

2 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11+11 + 11 + 11 + ^ + ...,

14

210 Sechstes Kapitel.

III. Die Äquivalenz (4) kann selbst, wenn die Reihe divergiert,
von Nutzen sein. Nach ihr ist nämlich, wenn man den Index der y um
1 verringert,

n + nri + yo^i^s + • • • + nyi • • • n

_ yo /i I r« ' 7r ^, — 1 9 ^ ^

=* , ^ — , - , — 7T^ , — • • • — 7- - , — \y = 1, ^, O, . . .1.

ii U + Zi ii + yi i+Vr ^ ^ ? > /

Hieraus folgt nach Division durch y^ und Übergang zum reziproken
Wert:

ri I Vi I y» I y»

i + yi |i + y, ii + y. U + y

= 1-

1 + yi + yi y» H h yi y» • • • y,. '

woraus man folgendes entnimmt:

Satz 8. Der unendliche Kettenbrudi

yi I 7% \ n

(n+0)

ii + yi ii + y. Ii + y»

jereigr^ folgendes Verhalten:

1. Wenn rfte unendliche Beihe

1 + n + yiy2 + yiy2y8+-*-

konvergiert und ihr Wert K ist =^0, so Jconvergiert der Kettenbnuih gegen

den Wert 1 — tt-

A

2. TFenn.dtc jßeiAe gegen den Wert Null konvergiert, so divergiert
der Kettenbruch, und «war unwesentlich,

3. Wenn die Beihe derart divergiert, daß die absolut genommene
Summe ihrer v ersten Glieder für unbegrenzt wachsende v den Grenz-
wert oo hat, so konvergiert der Kettenbruch gegen den Wert 1.

4. TFenn die Reihe derart divergiert, daß der in 3. angegebene Um-
stand nicht eintritt, so divergiert der Kettenbruch wesentlich.

Beispielsweise liegt für yy== cc + vß (ß + 0) der Fall 3. vor, und
man erhält also

a + ß ! a + 2/J | a + 8/J

/1Q^ I 1 + « + '^ !l + « + 2/? |l + a+3^

[ (/J + 0,-J + -l,-2,-3,...).

Ebenso liegt aber auch für y8v_i="^T~ y y^v^ ~^~ f wobei

a + 0, — 1, — 2, . . ., /3 + — 1, — 2, — 3, . . . ist, der Fall 3. vor, wie
der Leser leicht erkennen wird (vgl. übrigens Seite 214 oben); also kommt

§ 46. ÄquiTalenz tob Eettenbrüchen und Produkten.

211

ß+i 1

ß+i

a+l
ß + 2

P+2
a + 2

ec

'+ß-+i

1 + ''^'

1 + "-+'
^|J + 2

^« + 2

1,

oder nach Multiplikation mit a, nebst Übergang zu einem äquivalenten
Eettenbruch:

(20)

(P + 1)'

(« + 1)*

tf + s)'

a + ß+l \a + ß+2 \a + ß + S 1« + ^ + *

(a + 0,-l,-2,...;/S + -l,-2,-3,...).

— • • • =B a

§46. IquiTalenz von Kettenbrflehen und Produkten.

I. In dem endlichen oder unendlichen Produkt

(1 + yo)(i + yi)(i +/«)•••

seien die Faktoren =^ 0; nur der letzte Faktor (wenn das Produkt end-
lich ist) soll auch Null sein dürfen. Ein Eettenbruch heißt mit dem
Produkt yyäquiyalent'^, wenn sein Näherungsbruch v^ Ordnung gleich

ist für V » 0; 1, 2, . . . um einen solchen äquivalenten Kettenbruch her-
zustellen, setzen wir K^+ K^_^, also y^+O für v^ 1 voraus; nach
Satz 4 sind dann die Elemente des gesuchten Eettenbruches die fol-
genden:

^o^^o^ 1 +^0^

a,^K,^K,^{l + y,)y,, 6,-1,

^v-l— ^y

" ^v-l — ^r-2

-{l+Vr-l)

K-K-^K— = !+(!+ n-i)

(»'^2),

r-1 -"•»'-2 /v-l

60 daß sich ergibt:

SatB 9. Das endliche oder unendliche Produkt

dessen Faktoren, aüenfdUs vom letzten (im Faü der Endlichkeit) abgesehen^
4= 0 undf vom ersten abgesehen, 4* 1 sind^ ist äquivalent mit dem Ketten-
bruch

^, = (l + n-i)--

iv-l

14

212

Sechstes Kapitel.

für V ^ 2y 3, 4y . . . ist. Im FaU der Endlichkeit haben Kettenhruch und
Produkt gleich viele Glieder. (Stern 2, Glaisher 1.)

Wenn Äquivalenz auch hier wieder durch = bezeichnet wird, er-
gibt sich speziell für y^j— 0 die Formel:

(^) = 1 4. yd _ _f«_J ^» J _ _ ^*_i _

Aus der Definition der Äquivalenz folgt ohne weiteres: Wenn ein
unendliches Produkt konvergiert, so konvergiert der Kettenbruch gegen
den gleichen Wert; wenn das Produkt gegen Null divergiert ^), so kon-
vergiert der Eettenbruch gegen Null, während in jedem andern Fall
der Divergenz auch der Eettenbruch divergiert.

n. Wir geben hierzu wieder einige Beispiele.
Ä. um auf die bekannte Formel

^:?-(l-.)(H-.)(l-i)(. + f)(l-|)(H-f)...

die Äquivalenz (1) anzuwenden, fügen wir dem Produkt einen ersten
Faktor 1 hinzu und haben dann zu setzen:

also

Dies ergibt:

X X

'»*- V ~1; ^f + l (1 + v)r-fl

(2)

11 X \ / _i_ ^\ 2

%innx ^ . x\ l^x\ ^^ + ^^Y| ^"""T| V_ "äVj
nx" |1 "^1 x' "^ 1 — Ä "^ X '^\ 1 — x

+

2

X
X

T

2

x\ 3

' +

(•+f)i

1 — rc
~4

+

x

'^-fi^ + i .

2(2+«)]

1(1 -x)\ _j_ 1J1+5)J , 2(2-a;)|

+

1 — X ' I X

3(8 — rr)| 8(3 +a;)
1 — o; "^ I " a; ' "'" i" 1— a:

+

1) Ein Produkt mit lauter von Null verschiedenen Faktoren wird bekannt-
lich nur dann als konvergent bezeichnet, wenn der Grenzwert

lim (1 + y,)(l + y,)(l + y,) . . . (1 + y^)

v = oo

existiert und von Null verschieden ist. Ist er aber Null, so sagt man, das
Produkt divergiere gegen Null.

§ 46. Äquivalenz von Eettenbrüchen und Produkten. 213

Diese Formel gilt für alle Werte von o;; im aUgemeinen ist der
Eettenbruch unendlich; nur^ wenn x eine ganze Zahl ist (auch fQr x » 0);
ist er endlich und zwar soweit fortzusetzen, als die Teilzähler von Null
yerschieden bleiben.^) Speziell für x ^ ^ kommt, wenn man zur Ver-
meidung Yon Brüchen gleich einen äquivalenten nimmt :

2 _i 1|_l1-2| 2.S| 8-41 4.ö|

woraus sich leicht ergibt (durch Anwendung der Sätze 1, 2, Eap. I):

(3) l+j-i + j-^ + j_^ + j^ + _-J + _ (Euler 6).

Für ^ = — I folgt aus (2)

A 1 « JJ _ ^ * ?J __ ^'21 _ ^ I __ 8-4| ^ 6.7| _ 6 . 6

ic^ '^\2 fi~ rä~ r~i rä m i 3 "

und hieraus leicht:

^^ 2 "" 1 3 I i " I 8 I 'i~ I 8 I 1 j~8"

{Siem 2).
B. Wir wollen die Formel (1) anwenden auf das Produkt

(5) (i+T)(i+,-ii)(i+^i)(i+,;.)(i+^.)(i+i,i»)">

wo Uy ßf z beliebige reelle oder komplexe Zahlen sind; nur muß natur*

«*"^ „ + 0,-1,-2,-3,...

/8 + — 1, — 2, — 3, . . .

sein. Ist in (ö) ein Faktor gleich Null; so setzen wir das Produkt nur
bis zu diesem Faktor inklusive fort; der äquivalente (endliche) Eetten-
bruch hat dann auch den Wert Null. Andernfalls betrachten wir das
unendliche Produkt. Um dann zunächst die Konvergenz zu prüfen^ geht
man am besten aus von der absoluten Konvergenz der Reihe

1.1,1,1.1 , 1 ,

«« ^ (jS + l)« "^ ia+iy "^ (^ + 2)« "^ (a + 2)« "^ (/? + 3)« "^ " * *>

aus welcher sich nach einem bekannten Satz von Weierstraß die Kon-
vergenz des folgenden Produkts ergibt:

to('+t)«'""('+j;>"'^"('+.;.)« '"('+?;■«)« '*'■■■•

1) Ob die Formel (2) für ganzzahlige x auch dann richtig ist, wenn wir
rechts den unendlichen Ketienbruch, der jetzt einen verschwindenden Teil-
zähler hat, stehen lassen, d. h. ob dieser unendliche Eettenbruch dann kon-
vergiert (vgl. Satz 1), mag dahingestellt bleiben. Die Beantwortung dieser Frage
hat wenig Interesse.

214 Sechfltes Kapitel.

Wenn man nun in der Reihe

den reellen Teil vom imaginären trennt (falls a, ß komplex sind), so er-
kennt man aus den elementarsten Sätzen der Reihenlehre leicht^ die
Reihe divergiert derart, daß ihr reeller Teil mit wachsender Gliederzahl
über alle Grenzen wächst, während der ims^inäre einen endlichen
Grenzwert hat. Setzt man also die Summe ihrer v ersten Glieder gleich

Pp+ *?w so ist

lim i>y — oo , lim q^ = endlich ;

rsoo ysoo

setzt man femer ;8f « g + iij + 0, so wird das Produkt

(7) e "'s ^^\ "-^'e ^^\ "^r,.,

wenn man die v ersten Faktoren nimmt, den Wert haben:

das unendliche Produkt (7) wird also für g > 0 gegen Null, für f < 0
gegen c» divergieren, während es für 5 =* 0, weil dann iy + 0 ist, in
endlichen Grenzen schwankt, ohne einem bestimmten Grenzwert zu-
zustreben. Mit Rücksicht auf die Konvergenz von (6) ergibt sich
daraus für das Verhalten des Produktes (5) folgendes: Für g > 0 diver-
giert es absolut gegen c», für g < 0 gegen Null, während es für 5 = 0
oszilliert.

Wir wenden nun die Formel (1) an und finden das Produkt (5)
nach Hinzuftigung eines ersten Faktors 1 äquivalent mit dem folgenden
Eettenbruch:

z
a

i + if

(■+!)*;. i (•^fhYM '

'+('+t),;. ,'+('+,;j)Si

^1 , 2i ^«_(«+f) I _ {ß+l)!ß+J_+_l)\ (cr+l)> + ir+l)|

"■"'a \a-\-ß + z + l I a + ß+z + i | a + ß + Z^-3

a + ß + z~+i " '

WO das alternierende Bildungsgesetz der Glieder leicht ersichtlich ist.
Daher ist für v ^ 1 das Produkt der v ersten Faktoren von (5) gleich

1 + "

wobei U^ der Näherungsbruch (y — 1)^' Ordnung des Kettenbruches

§ 47. Die Transfonnation Ton Bauer und Muir. 215

ct(a + z) I {ß+l){ß + z+l)\ (a+l)ia + z+l)\
gv I k + jJ + ^-fl I a + ß+z-j-2 I a"+^ + ;f + S

I a+^+^+4 I a+ß+z+b

ist. Wenn nun das Produkt (5) einen Faktor Null hat und wenn etwa
der w*® Faktor der erste ist, welcher verschwindet, so muß ü„ =* — xr
sein. Der in diesem Fall endliche und zwar n-gliedrige Kettenbruch (8)
hat also dann den Wert — 0. Wenn aber kein Faktor verschwindet,
gilt folgendes: Da für ^ > 0 das Produkt (5) absolut gegen 00 diver-
giert, so muß U^ gegen NuU konvergieren; da für ^ < 0 das Produkt
gegen Null divergiert, so muß U^ gegen — jer konvergieren. Für S ■= 0,
174*0 oszilliert das Produkt, also auch U^. Endlich für den seither
ausgeschlossenen Wert 0^0 ist der Eettenbruch (8) nach § 45,
Formel (20) gleich 0. Zusammenfassend ergibt sich also

Sats 10. Der Kettenbruck

_ cc{a + z) I ___ (P + l)(P + g + l)| _ (c, + l)(«4-z + l)|
\a + ß + Z+l I a + ^ + ^4-2 I a + ß + z + ^

(^+2)0? + 5 + 2)1 (a + 2)(a + r + 2)'

f^ + ? + Z + ^ I a + l^ + ^ + ö '

hei welchem a, /3, z beliebige Zahlen sind, jedoch

a + 0, -1, -2,..., /J + -1, -2, -3,...,

eeifft folgendes Verhaltest:

1. Ist ein Teilzähler gleich Null, so hat der endliche bis zum letzten
von NuU verschiedenen Tenlzähler fortgesetzte Keltenbruch den Wert — z,

2. Sind aUe Teilzähler + 0, so hol der unendliche Keüenbruch den
Wert 0 oder — z, je nachdem der reeUe Teil von z positiv oder negativ
ist. Wenn der reelle Teil von z gleich 0, so ist der Kettenbruch wesentlich
divergent; nur für z = 0 konvergiert er und hat den Wert 0.

Man ersieht aus diesem Beispiel, wie selbst divergente Produkte
mit Vorteil benutzt werden können.

§47. Die Transformation von Bauer und Muir.

I. Wenn die Teilzähler des (n + l)-gliedrigen Kettenbruches

w ».+;>;■+*+ -+1::'

alle von Null verschieden sind, und wenn wieder A^^B^ seine Näherungs-
zähler bzw. -Nenner sind, so wollen wir einen (n + 2)-gliedrigen Ketten-
bruch bilden, dessen Näherungszähler bzw. -Nenner der Reihe nach die
folgenden sind:

216 Sechstes Kapitel.

bzw. ^o + ^o^-^i"" 1^ S^ + t^Bq,. ..,5„ + r„5,_,, öB^
Dieser Kettenbruch sei

(2) d+AJ + 3J + ... + ^y.J.

Hierbei wollen wir die Möglichkeit c„^i =» 0 zulassen; c^, c,, . . .,c^
aber sollen von Null yerschieden sein. Demgemäß müssen wir

(v = l,2,...,n)
Yoraussetzen^ was wegen

A^B^^i — Ä^_^B^ = (— 1)*~ a^a^ . . . a^,

und weil alle a^^O sinA, sich reduziert auf:

(3) Or-^-l(^+^) + 0 (v = l,2,...,n).
Die c,; (2y berechnen sich dann eindeutig aus den folgenden Gleichungen:

(4) do« -4o+ ro^^i = i^o + ^o;

(5) {

^0^1 + Ci=^^i + n A = *0^ + »1 + ^ifto

(v-2,3,. ..,«),

Durch (4) ist Üq bekannt. Setzt man den Wert in (5) ein, so kommt
durch Auflösung nach c^, d^:

Ci = «1 - ro(6i + rj, dl = 6i + n.

Die Auflösung von (6) ergibt nach leichter Rechnung, die dem Leser
überlassen sei:

(v = 2,3, ...,n).

§ 47. Die Transformation von Bauer und Muir. 217

Endlich kommt durch Auflösung von (7):

^n^l-

— a r 0 r r .0

Die in diesen Formeln auftretenden Nenner sind wegen (3) von
Null verschieden^ und der Eettenbruch (2) mit den so berechneten
Elementen hat offenbar alle verlangten Eigenschaften. Zur Verein-
fachung der Formeln empfiehlt es sich, die Bezeichnung etwas zu
ändern. Indem wir zunächst r, beibehalten^ führen wir fQr b^, a^ neue
Größen /J^, «,, ein mittels der Gleichungen

^-/**— ^ (v-=0,l,...,n),

«V "= «V + '•i.-l^y (V - 1, 2, . . ., W),

oder, nach ß^, a^ aufgelöst:

/3^-^+r, (t/«0,l,...,w),

a,= a^-^_i(6,+ 0 (t/=l,2,...,w).

Die Bedingungsungleichung (3) lautet also jetzt einfach

«v+0 (v-=l,2,...,w),

und demgemäß können wir für r^ noch neue Größen q^^^ einführen
vermittels der Gleichung

^^P.+l«v+l (i/-0,l,2,...,n-l).

Endlich führen wir für die noch fehlenden Zahlen r,, 6 drei andere:
^n+u ßn^u 9n+i ^^^7 üämlich

zwischen denen dann die Relation ßn^iQn+i^ ^ ^ besteht. Mit Hilfe
dieser Zahlen a^, ß^, q^ drücken sich nun die a^, 6^, c,., d^ folgender-
maßen aus:

<^r ^ «v(l + Qyßr) (^ = 1> 2, . . ., w),

^=/5r-Pv+i«r+i (v = 0,l,...,n),

^o="/*o^ ^i=«i; ^i"-/*i;

, . (v = 2,3,...,n + l),

und es ergibt sich

Sats 11. Hat der (n + lygliedrige Keitenbruch

I Pl Pa "2 I Pn Pn + 1 "n + 1

218 Sechstes Kapitel.

lauter von Null verschiedene Teüzähler^ und sind A^, B^ seine Nähe-
rungszähler bzw, -Nenner^ so hat der (n + 2ygliedrige Kettenbru^ch

P\ Pa Pl "2 I r« + 1 Pn "n + 1 ^n +1

der Reihe nach die Nähenungszahler
find die Näherungsnenner

Wenn also einer der beiden Eettenbrüche sinnlos ist, so ist es
auch der andere; andernfalls haben beide den gleichen Wert. Subtra-
hiert man /3q von beiden KettenbrQchen, so erkennt man insbesondere:
Das Produkt der beiden {n + Vj-gliedrigen Kettenbrüche

(8)

«, (1 + a,p^ «.^1(1 + ^.J») I

<fere» erster iow^er von Null verschiedene Teilzähler hat, und wobei
Qn+ißn+i" — 1 ^^^t ^ '^ Wert «i. Dies gilt, wenn einer der Eetten-
brüche sinnlos ist, noch immer in dem Sinn, daß dann der andere den
Wert Null hat.

Wählt man z. 6.

«,= *— 1, ßr= 1 + n. P.-t_i (»'-l>2,...n)

wo natürlich, damit p, einen Sinn hat, A; =4° 1 sein maß, so kommt die
Formel von G. Bauer 1 :

Diese hat aber, wenn der zweite Faktor nicht sinnlos ist, auch für Ä; » 1
noch Gültigkeit, weil dann der erste Faktor verschwindet. In der Tat,
setzt man

iifc i^"'"^«t ,^ + ^11-1

5/1 6n - 1

1 + 72 1 + Xi

5i = T'i ~l g~ ? fco ~ 1 + g >

§ 47. Die Transformation von Bauer und Muir.

219

80 ei^bt sich sukzessive:
anderseits mittels Satz 1^ Kap. I:

Als weiteres Beispiel wählen wir

ar=-*r-l(*-«); ^.=-*-*r; Qv^^lzfc (^ = 1, 2, . . .1* + 1),

wobei natürlich k +* <^f iiöd wegen Q^^i ß^^i «— 1 : tf^^^ — o; zu
setzen ist; es ergibt sich so die Formel von Muir 5:

(10)

— *o (*! — «)

*o(*i-«)| . ^iC*«-«)

ib

+

+ ••• +

*«-i(*.-«)

')

-l(*,-l-«)| . *«(««-«)

-I L " ' ^ -■!. -1 ^ J-

(d, + 0; d, + a),

welche aber^ wenn der erste Faktor nicht sinnlos ist, auch noch für
Tc ^ a gilt, indem dann der zweite Faktor verschwindet. In der Tat^
setzt man diesmal

«« ny «n — 1 ^'n ' "w — 1 1^

k

80 ergibt sich sukzessive:

also auch wieder vermittels Satz 1, Kap. I:

(11) 0-«-*, + , ^v 1 ^ I + . . . + --'•-' v^- - ''

*.(<»,-«)

+

Setzt man in (10) — a, — d, an Stelle von a, d^, so kommt:

(10a)

«n-i(*,-")

)

fc + *j — d,

A- +

:-_vj)=-'^o(^-+«),

und durch Elimination des Kettenbruches

220 Sechstes Kapitel.

^0(*l-«)| , , ^n-l(*n-«)
"T • • • +

\ k ' 'I k

aus den Formeln (10) und (10a) folgt noch:

(12)

X

(*.+ 0;iy,+ «).

Hier verschwindet für k ^ a der erste, für k^^— a der zweite Faktor.
Die Formel (12*, die sich übrigens auch direkt aus (8) gewinnen läßt,
indem man

l^t f^t j, ^ "y 2

setzt, stammt ebenfalls yon Muir 5; Spezialfälle von JBau^ 1. Beide
Autoren gelangten dazu, indem sie Zähler und Nenner der Eetten-
brüche als Kontinuanten (§ 4) darstellten und auf diese eiuige bekannte
Determinantenumformungen anwandten.

IL In gewissen Fällen kann man zur Grenze n ~ oo übergehen.
In dieser Richtung liegt

Satz 12. a) Wenn die beiden unendlichen Kettenbriiche

positive Elemente haben (a^, jS^, q^ reell) und tcenn beide konvergieren^ so
konvergieren sie gegen den gleichen Wert.

b) Wenn wenigstens der erste Kettenbruch positive Elemente hat und
konvergiert y und wenn für genügend große v stets p^ «^ ^ 0 ist^ so kon-
vergiert auch der zweite Kettenbruch und hat den gleichen Wert wie der
erste.

Beweis zu a). Sind wieder ~- die Näherungsbrüche des ersten
Kettenbruches, so sind die des zweiten nach Satz 11:

§ 47. Die Transformation von Bauer und Muir. 221

Nach Voraussetzung existieren also die beiden Grenzwerte

bm ^ =- «Ol lim B~T~r~~cc B ^o>

und es ist nur zu zeigen, daß sie einander gleich sind. Wenn nun unend-
lich oft py^i a^^i ^ 0 ist; so liegt, weil die Elemente, also auch die Ä^, B^

A A

positiv sind, der Bruch (13) unendlich oft zwischen ^ und ^—^ ,

kommt also beliebig nahe an 1^. Daher kann sein Grenzwert ijq nicht
von Iq verschieden sein.

Jetzt bleibt noch der Fall, daß für alle hinreichend großen v stets

9v+i^v+i ^^ ^^^' ^^^ ^^^ m^^ ^^^f noxh. den Rekursionsformeln für
die Näherungszahler:

oder nach leichter Umformung, weil Q^a^ < 0, also +0 ist:

«y (l + Qyßp) 1

"y 1* ^V

Die entsprechende Gleichung besteht auch für die B^y und daher ergibt
sich durch Division:

V V

Da aber diesmal p^ a^ < 0, also wegen der positiven Elemente des

oc^ ri j^ Q^ ß\

ersten Eettenbruches —- -~ > 0 ist, da femer die Elemente, also

auch die Näherungszähler und -Nenner des zweiten Eettenbruches po-
sitiv sind, so besagt diese Gleichung, daß J'" zwischen zwei aufein-

anderfolgenden Näherungsbrüchen des zweiten Eettenbruches liegt.
Daher sind die Grenzwerte Sq, % wieder gleich.

Beweis zu b). Da der erste Eettenbruch positive Elemente hat,
so sind auch die Näherungsnenner B^ positiv; ebenso ist nach Voraus-
setzung py+iÄy+i^O für genügend große Werte von v. Daher liegt

Ä A A

der Bruch (13) zwischen -^^ und J"^ . Wenn also ^ einen Grenzwert

^p ^v-X ^y

hat, so muß der Bruch (13) den gleichen Grenzwert haben. W. z. b. w.

222

Sechstes Kapitel.

Als Beispiel wählen wir wieder

(14)

cc.

Ä» — a

4 ; ßy^^v-^ ^5

k — «

*r-

2 f ^v

Pi

k + a
2

&« — a'

WO natürlich k'^ + a^ sein muß. Es folgt dann

(15)

k*-u'

k — a
"~2

+ *o +

sofern diese EettenbrQche die Bedingungen von Satz 12 erfüllen.') Die
Formel gilt aber, wenn noch d^ > 0 ist, auch für k = a, insofern, als
dann der links stehende Kettenbruch, falls er positive Elemente hat und
konvergiert, notwend^ den Wert Sf, hat. In der Tat, bezeichnen wir
seine Näherungszähler und -Nenner mit A^, B^, so ist offenbar

a — *i + *o + r^^

*i (*i - ")

*8 + *l

+

, *.-l(*.-X-«)| , »n(K-«)

^^«^- 1 + *»(*«- ") -^n- 1

gelegen. Da aber dieser letzte Ketten-

also zwischen .ß — und .., —
bruch nach Formel (11) den Wert 8q hat, so ergibt sich, daß Öq zwischen
-^ — und p— liegt, wie groß auch n sei. Der Grenzwert von -„-
kann daher nicht von dn v^erschieden sein. Somit erhält man die Formel

(16;

für *,>0, *^-a>0, a-(J^^,+ (y^>0,

vorausgesetzt, daß der Eettenbruch überhaupt konvergiert. Speziell für
8^*^ a + b + vCy a == 26 kommt:

1) Dazu ist keineswegs erforderlich, daß die Zahlen Ä;, a, S^ reell sind. In
Satz 12 ist .Tielmehr nur die Reellit&t von a^, ß^^ p^ gefordert, was sich hier
reduziert auf

Ä, a*, S^ —

a

reell.

Es darf also cc auch rein imaginär sein, sofern dann alle 8^ den imaginären

a

Teil — haben.

§ 47. Die Transfonnation Ton Bauer und Mair.

223

(17)

(a+b+c)(a — b\c) ' (a-f 6 + 2c)(a — 6 + 2c)

26 — c

2b — c

,6_o • — a-6 + c

für a±6 + c>0, 2fe>c^0.

(a+6+3c)Ja--& + 3c) ,
1 , w Ix - r

1 JJ 2 . 4 J 8_^6J 4M5 I 6^ _

1^11 ^11 ^11 ^11^ ^

Denn^ daß dieser Eettenbruch wirklich konvergiert, ergibt sich aus
einem im nächsten Kapitel zu beweisenden Kriterium (Satz 10, Seite 239).

Beispiel. Sei a =» 6 = c — 1; dann folgt

(18)

Wir kehren jetzt zu der allgemeinen Formel (15) zurück. Wird
dort speziell d^ « a + 6 + vc, a -= 26, fc = 2A + 2c gesetzt, wobei

(19) c^O, A>~-f, a + c^O, (a + c)«>6«>-oo

sein soll, so kommt:

Ol. . . . (^ + ^ + c)(a-b + c)\ , (a + 6 + 2c)(a-fe + 2c)[

(20)

(aJ._6+^3c)(a-5 + 3c)J
■•■' 2h'+c "^

-ro-r»-r,- ^^^gc + a "^| " "2ä + 3c

(a + & + 2c)(a— 6+2c)| , (a + & + Sc)(a — 6 + 3c)| :
-t- , inrnn + i WiTT^o ^ r

2Ä + 8C

2Ä + 8C

Hier sind nämlich in der Tat die Voraussetzungen von Satz 12 er-
füllt.^) Denn erstens hat der links stehende Kettenbruch lauter posi-
tive Elemente und konvergiert, .wie sich wieder aus Satz 10, Seite 239
ergibt; zweitens ist für c > 0:

p^a,-*,--^"-=a + 6 + i/c-(Ä + c + 6) = a-Ä + (v-l)c>0

f&r genügend große i/; also die Bedingung von Satz 12 b) erfüllt. Wenn
aber c =» 0, so ist entweder g^a^ = a — Ä > 0, also wieder Satz 12b)
anwendbar; oder aber es ist a — A ^ 0, also mit Rücksicht auf (19)
für c — 0:

A»^a»>&», Ä + a>0,

1) Außer fnr Ä + 6 + c = 0. Die Formel (20) bleibt aber auch in diesem
Fall richtig, sofern man den rechtsstehenden Eettenbruch auf sein Anfangsglied
beschränkt. Dann deckt sie sich nämlich mit (17), weil ja wegen (19) Ä + c> 0
sein muß, so daß die Gleichung h-^b -\- c^^'O mit h -{-c=^ b\, d. h. mit
A =a 1 5 1 — c gleichbedeutend ist.

224 Sechstes Kapitel.

80 daß jetzt der auf der rechten Seite von (20) stehende Eettenbrach
ebenfalls lauter positire Elemente hat; da er auch nach dem gleichen
Kriterium sich als konvergent erweist^ so tritt jetzt Satz 12 a) in Kraft.
Setzt man noch zur Abkürzung

(21)

'^ "^ 2 "^ I 2Ä + C "^ I 2Ä + C "^

flo nimmt Formel (20) die Oestalt einer Funktionalgleichung an:

(22) 9t,c(<^,h)^a+^+^^P^^-^-^-^^''^ (bei d. Voraussetzungen (19)).

in. Wir machen von Formel (22) drei Anwendungen.
A, Für c - 0, 6 « 0 kommt

[VoA^y *) - «][9'o,o(»; *) + «]- h\
also ^Po,o(^? *) "* V^^ + ^^ ^^®^

(23) h + ,ll + ^l + ^l + -..^V^Th^ (Ä>0,a^>0).

2^ ' 12^ ' \2h

(24) {

Dies ergibt sich übrigens leicht auch daraus^ daß der Kettenbruch pe-
riodisch ist.

B. Für a = — 1, c = 2 kommt

9>m(-1,A)9>.,2(-1,A + 2) = (A + 6 + 2)(ä-6 + 2)

(A>-l,l>6«>-oo).

Diese Formel findet sich für & = 0 und ganzzahlige h bereits bei
Wallis 1. Sie hat dann Euler 13 zu interessanten^ aber erfolglosen Be-
weisversuchen angeregt und hat auch die Arbeit von Bauer 1^ der sie
richtig bewies, veranlaßt. Wir wollen sie zur Berechnung des Ketten-
bruches (pf, 2 (— 1; %) benutzen. Aus (24) folgt zunächst, indem man
für h der 6eihe nach die Werte Ä, A + 2, A + 4, . . . Ä + 4i; — 2 setzt,
die entstehenden Gleichungen mit 1; — 1, 1, — 1, . . . potenziert und
dann miteinander multipliziert:

9'6,2(— ^' ^) TT (Ä + 6 + 4i — 2) (Ä — 5 + 4X — 2)

(25)

-n

9ö,i(-hh + iv) 11 (h+b + iX)(h-b + il)

Ä = i

U (52;".) 7J (»2+,)-

''(^-+il:)''(-t:!^') ''(-7-^l+')^(-7-+')
''(^-+i} ^(-1- + ' +•) ■ '^(-7- + 1) ''(-7-+ • +') '

§ 47. Die Transfonnatioii yon Bauer und Mnii.

225

wo r die bekannte Gammafünktion bezeichnet. Hier wollen wir zur
Grenze a/ » oo übergehen. Nun ist aber definitionsgemäfi

und auch

1-6^

>2Ä + 8v>l.
Daher

2Ä + 8a/ + 2 + .-^^V;*A-^ +

\2h + Sv + 2

und folglich

< Ä + 4i/ + 1 + 1 - 6%

4v

r»»9>6,j(— li ^ + 4^)"*

Multipliziert man daher (25) mit 4tv und läßt dann v über alle Grenzen
wachsen^ so kommt

rf-+-+')rfi^+i)

wobei

Vaoo

h + b

B„£&'t>±:^.,i„,>-t>L'_i::..

rssoo

(v — l)!ir

h+h 1

— 1 ^"J
h + b \ '^- '^

Ebenso wird 0(—h)^l, und man erhält somit, wenn man f&r
q>t%i'- Ifh) den Kettenbruch einsetzt:

(26)

A+ 1 + i--^ 4- ^—^^ + °'-^'l +

-4

r(''-+'+,)r('-^5+.)
rf-f+i)r('7'+ij

\.I>i">-oo/

1) Bekanntlich ist ja lim >- ^T ^r "=■ 1* ^ai^ vergleiche etwa: Nielsen,

Handbnch der Theorie der Gammafanktion, Leipzig 1906, Seite 3. Dort
ist diese Eigenschaft sogar in die Definition der Gammafünktion aufgenommen.

Perron, Kottonbrflolie. 15

226

Sechstes Kapitel.

Speziell für h ^ 0 kommt unter Benutzung bekannter Eigen-
schaften der Gammafunktion^):

i«-&^

(27) l + --/.i +

8»_&«i . 6«— &

2

+

bye

2

+ ...-6cotgY^ (l>6«>~oo).

Oder wenn man 6")/— 1 an Stelle von b setzt,

bft

(27a) 1 + ^ — -^ - + ] — ^ ^r-2~' + ""^^~b^

bn
T

2

Weiter folgt aus (26) für 6 « 0:

II. 9

e — «

fr/r
4

(6»>-l).

(28)

A + 1 +

+ -- ' + -26 J , ..._4

(Ä>-1).

^(4+1)'

Hieraus noch speziell für A — 4n und A — 4n — 2:

(28 a)

" -r i -r i8n+a ^ j«n + 2 ^ |8n + 2 ^ i8n + 2

+

= (r ■ ■ ■ ^-''i- ) rZr) - (« - 0, 1, 2, . . .)

\1 . 3 • • (2n+ 1)/ Vn + l/« ^ ^^; J

±n-l+ - U- ^_J4.-2*-J + -^^ + ...

^ i8n — 2 ^ 18» — 2 ^ I8n — 2 ^ I8n — 2 ^

-(4t?^'')'*»*»

(n«l,2,3,...).

Diese Formeln hat fQr kleine n bereits Euler 13. Die aUgemeinere
Formel (26) steht bei Stidtjes 3, 5. Daselbst findet sich noch die weitere
Formel

(29)

1j.__26_ I l'-b'l 2'-&'| 8'-6'|
■'■|2Ä+1 — 6'''|3Ä + lf|2Ä+l "''I2A + 1 "•

die sich für

rf7.»+i)r(»±^+.)
''C7' + .)r(W+i)'

A>-4-, l>6*>-oo, 6 + Ä+l

9C J9

1) Nämlich r(l + x) Fil — x) = oj F (x) r(l — x) — -;

6 1 Ä 8in«a;

Seite 14\ angewandt für ^ = -j- und a? =« -r ^.

(Nielsen, 1. c.

§47. Die Transformation Ton Bauer und Muir.

227

auf analoge Art beweisen läßt. In der Tat folgt aus (22) fQr a

-0,

Y + 9'»,i(0.Ä+l)

wofür man, wenn

1 +

ib

» + Y-«' + 9'».i(0>A)

i>(h)

gesetzt wird, so daß f{h) gerade der in (29) stehende Kettenbrach ist,
einfacher schreiben kann:

Die weitere Entwicklung ist dann unter Benutzung der leicht erweis-
lichen Beziehung

lim^(A + i;)— 1

vssee

ganz analog wie vorhin im Anschluß an Formel (24); sie mag dem
Leser überlassen bleiben.

Speziell för b = ^f Ä = Ä:— -^ «J^teteht aus (29), wenn man zur

Vermeidung der Brüche den Eettenbruch durch einen äquivalenten
ersetzt:

Hieraus schließlich für Ä = 2n imd ä; « 2n — 1:

(30) ^ + rJ^l + Yu '14.

fi+

|8n

1^ I 8 . 6 I Olli , LlIl 4.
1 "^ I 8n "^ \Sn "^ I 8n "^ | 8n "^

(30a)^

_ / 2 . 4- •2n Y 1
"~ ViTs^- . (2 n — 1)/ n ä

(n = l,2,3,...),

2

1-3

8.6 1 , 6-7 1

^+ ISn — 6 "^ |8n — 4"'"|8n— '4"^I8n — 4 "*"

7-9 I

8n

+

/IS- •(2n — 1)\» 2n*«
\ 2-4-.2n~/ 2n — i

(n- 1,2,3,.-.).

Diese beiden Formeln stehen für kleine n bereits bei Euler 2.

C. Aus der allgemeinen Formel (22) folgt, indem man für h der
Reihe nach die Werte Ä, Ä + c, Ä + 2c, . . . ä + (v — l)c einsetzt, die
endliche Kettenbruchentwicklung

15'

228

Sechstes Kapitel.

(31)

(Ä-fft + (*r— 1)C)(Ä — 6 + (v — 1)C)| , (Ä + 6 + VC)(Ä — 6-t-*rC)
_p j

2a + c

a+2i-9>^^/«iÄ+trc)

für c^O, Ä>--|-, a + c^O, (a + c)^ > 6«> - c».

Ist nun etwa ä =- ± 6 — vc, so lehrt diese Formel den Wert des un
endlichen Eettenbruches fpi,X^f ±^h-'vc) in Gestalt eines end
liehen Kettenbraches zu berechnen. Andernfalls wollen wir noch

voraussetzen. Dann hat auch der Kettenbruch

<P6,e(*;«)-« + -ö" +

c (Ä+6 + c)(Ä-6 + c)| , (Ä + ft + 2c){Ä — 6 + 2c|

I

2a + c

+

2a + c

+

lauter positive Elemente. Bezeichnet man seine Näherungszahler und
-Nenner fQr den Augenblick mit A^ und B^, so besagt die Formel (31)
soviel wie:

2

[«+2- + n,c(«»'*+^«)]^.-i + ('^+6 + i'<?)(Ä-& + f'C)JB,_j

A

v-l

'v-i

Somit liegt 9?^ (a, h) zwischen ^ — und ^ — , also zwischen je zwei

aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen von (Pi,^Xh ^)- ^^ ™^ ^^^
notwendig 9?^ ^(a, ä) =- 9?^ ^(ä, a) sein; oder wenn man die Ketten-
brflche einsetzt:

1. , c , (a+b+c){a-b+e)\ (a + b + 2c)(a-b + 2c)\
'*'^2'^| 2Ä + C "^f " 2Ä + c" "'■

(32)

(a+&+8c)(a~d + 8c) ,

""^2"^| 2a+c "^1 2a-(-c "^

(Ä+H:8c)(Ä--&+8^

wenn ^ ^ 0, und beide Kettenbrüche positive Elemente haben (b reell
oder rein imaginär.

§ 47. Die Transformation von Bauer und Muir. 229

Beispielsweise ist nach § 45, Formel (8) für x ^ 1:

1 (m + l)«| (m + 2:*| (i» + 8)»| 1 ^ 1

frdt
J i + t

0

sofern m > — 1 ist. Hierauf darf, wenn sogar m > — ist, die For-
mel (32) angewandt werden mit a — m, & >-> 0, c »- 1, A -» 0. Man ge-
winnt dadurch die neue Formel:

(33)

u

für 2m + 1 > 0,

die sich auch zur numerischen Berechnung des Integrals eignet, nament-
lich für größere Werte 7on m. Zur Beurteilung der erzielten Genauig-
keit dient dabei die aus Satz 11 des nächsten Kapitels zu erschließende
Tatsache, daß der Wert eines konvergenten Eettenbruches mit lauter
positiven Elementen immer zwischen je zwei aufeinanderfolgenden
Näherungsbrüchen liegt;.

Siebentes KapiteL

Kriterien für Konvergenz nnd Divergenz.

§ 48. Bedingte und unbedingte Konrei^nz.

L Wenn eine unendliche Reihe konvei^ert^ so bleibt sie konvergent^
wenn beliebig viele Anfierngsglieder weggelassen werden; ebenso ist es
bei Produkten, im allgemeinen aber nicht bei Kettenbrüchen (Siem 1).
Dieser Umstand gibt Veranlassung zu folgender

Definition. Ein konvergenter Kdtenbruch mit lauter von Nuü ver-
sdUedenen TeHsShiem

(1)

heißt unbedingt konvergent^ wenn er nadi Weglassumg beliebig vieler
Anfimgsdemente konvergent bleibt, wenn also die Kettenbrüche

h+

■i+i

'i+t,

\h^x '^\h.''i'^

(A-0,1,2,...)

sämäich konvergieren. Ändemfallsheißt die Konvergens bedingt {Frings-
heim 1.)

Um zu untersuchen, ob und unter welchen Umständen die Kon-
vergenz eines Kettenbruches eine nur bedingte sein kann, gehen wir
aus von der Formel (32), Kap. I:

(2) (- iy-'a,a^ . . . fli^,_M = A^.i-1^2-1 - ^i-i^,+i-,.

Ersetzt man hier v, l durch v + 1, 2 — 1 und berücksichtigt, daß
B^i_i^A^_i3^ ist, so kommt

Wenn nun der Kettenbruch ^1) konvergiert und etwa den Wert 5© i^at,
so folgt aus [2) und (3) sogleich

(4) (- iy-'a,a, ...a, lim l'-';'- - B,_,^- A,_, ,

(5)

^-l\

x-3

I —1,4.

a^a^

»-!,*

f sao ► -^ i. — l

§ 48. Bedingte und unbedingte Konvergenz.

231

Es existieren also jedenfalls die links stehenden Grenzwerte. Wenn nun
^i-iSo~-^i-i + Ö, 80 kann man Gleichung (5) durch (4) dividieren
and erhält:

lim ^'-Ai

— a

SO daS also auch der Ketten bruch

(6)

h +

u + i

+

'i + j

+

'iL + l I "i + 1

konvergiert. Wenn dagegen 5j_j|j — ^^_j= 0, so muß notwendig
^i-iU— ^i-i + 0 sein, weil ja

(7) ^,_,5,_,- ^i_,JB,_i=- (- iy-»aia, . . . «,_, + 0

ist. Man kann daher diesmal (4) durch (5) dividieren und erhilt

lim 5^ ^''- = 0.
Infolgedessen hat jetzt der Quotient ^*^ '- keinen endlichen Grenzwert,

V — 1, il

d. h. der Kettenbruch (6) divergiert. Daraus ersieht man, daß (6) dann

und nur dann divergiert, wenn Bj^_^i^— Aj^_^^ 0 ist. Alsdann ist

aber Bj.j + 0, weil sonst zugleich Bi_^ und Äj^_^ verschwinden würde,

A

was wegen (7) nicht möglich ist. Es ist daher auch ^

z-i

B

x-\

; d. h.

ter

der Wert des Kettenbruches (1) ist seinem Näherungsbruch (A — 1)
Ordnung gleich. Somit ergibt sich

SstB 1. Ein konvergenter KeUenbruch mü lauter von Nuü verschie-
denen Teilzälüem ist unbedingt konvergent, wenn sein Wert keinem seiner
Näherungsbrüche gleich ist; andernfalls ist er nur bedingt konvergent.
{Pringsheim 1.)

Übrigens besteht auch für endliche Kettenbrüche ein gans^ analoger
Satz, dessen Formulierung wir übergehen können.

Beispiel. Es ist

i-ll_-U-li ^0

-^12 |2 |2 ^'

da hier, wie man durch vollständige Induktion sogleich ersieht, A^
JB. — V + 1 ist. Ferner ist oflFenbar

i-i+,V+'

0

also nach Satz 1, Kap. I auch:

1 =

1 -L i I ^ * I _ M _ 1
^ "•■ 1 1 "•" i l' 12

|2

232 Siebentes Kapitel.

Dieser Eettenbmch ist also konvergent; aber da er seinem Näherungs-
brach nnllter Ordnung gleich ist^ kann er nur bedingt konvergieren.
In der Tat ist auch

^|1 |2 |2 |2

divergent, da hier, wie man wieder durch vollständige Induktion er*
kennt, J.^ — v + 1, JB^ — 1 ist.

Aus unseren Untersuchungen geht hervor, daß, wenn der Eetten-
bmch (1) konvergiert, dann der Eettenbruch (6) höchstens in der
Weise divergieren kann, daß die reziproken Werte seiner Näherungs-
brüche gegen NuU konvergieren. Er ist also nach der in § 8, II fest-
gesetzten Benennung „unwesentlich divergent'^. Es empfiehlt sich fQr
das folgende, die konvergenten und unwesentlich divergenten Eetten-
brüche zu einem Begriff zusammenzufassen; wir woUen sie als „kon-
vergent im weiteren Sinne'^ bezeichnen. Doch soll, wenn nur von
Eonvergenz ohne näheren Zusatz die Rede ist, stets wirkliche Eon-
vergenz (im engeren Sinne) gemeint sein. Wir können dann sagen, daß
ein konvergenter Eettenbruch nach Weglassen beliebig vieler Anfangs-
demente noch mindestens im weiteren Sinne konvergent bleibt.

II. Während bei den unendlichen Reihen und Produkten die Eon-
vergenz durch die ersten Glieder nicht beeinflußt wird, sondern nur von
dem infinitären Verhalten der Glieder abhängt, ist dies bei den Eetten-
brüchen nicht der Fall. Durch das Anfangsglied b^ allerdings kann die
Eonvergenz, wie man augenblicklich sieht, nicht beeinflußt werden,
wohl aber durch irgendein anderes Glied. So sahen wir z. B. schon, daß
von den beiden Eettenbrüchen

l_iJ__ll_ll-li_ l4_ll__li_iJ_U_

^ 12 12 12 12 '"'"^11 12 12 12

der erste konvergiert, der zweite divergiert, obwohl sie sich nur in dem

Glied ^- unterscheiden. Dagegen beweisen wir jetzt

Satz 2. Bei unendlichen Kettenbrüchen mü lauter von Null verschie-
denen TeiUählem hängt die yyKonvergene im weiteren Sinnef^ nur von dem
infinitären Verhalten der Elemente ab.

In der Tat brauchen wir dazu offenbar nur zu zeigen, daß, wenn
von den beiden Eettenbrüchen

(«) ''>+K + ^ + \l' +

der eine mindestens im weiteren Sinne konvergiert, vom anderen das
gleiche gilt. Denn daraus folgt dann, daß die Eonvergenz im weiteren

§ 49. Divergenzkriterien yon Broman und Stern. 233

Sinne nicht beeinflußt wird, wenn man yome einen Teilbrach wegläßt
oder hinzufügt, so daß dann auch das Weglassen oder Hinzufügen be-
liebig vieler Teilbrüche ohne Einfluß ist.

Nun sind die Näherungsbrüche i/**' bzw. (y — 1)*^ Ordnung von

(8) und (9) bzw. -^' , ^^^=^ • Da aber nach Kap. I, Formel* (27)

(10)

»-1^1

ist, so ersieht man leicht wegen a^ «H 0, daß, wenn mindestens einer der
beiden Grenzwerte lim -^-, lim -/ existiert, dann gewiß auch von den

A 7?

Grenzwerten lim J'' ' , lim -r^^- mindestens einer existiert, xmd um-

gekehrt. W. z. b. w.

Weiter ersehen wir aus (10), daß nicht gleichzeitig

lixn?^«0, lim^^'i-0

»• = 00 ""r »ssflo r— 1, 1

sein kann; vielmehr folgt aus der zweiten dieser Gleichungen stet»
lim -w-^^0 9 ^^ ^^ ^^^ ^^^ nicht bestehen kann. Dies ergibt

Ssts 8. Wenn einer der beiden Kettenbrücke

mindestens im weiteren Sinne Jconvergiert (was dann nach ScUjs 2 sogar
von beiden gitt)^ so ist wenigstens einer von ihnen auch im engeren Sinne
konvergent

§ 49. Divergenzkriterien von Broman nnd Stern.

I. Hat ein Kettenbruch unendlich viele sinnlose Näherungsbrüche^
so ist er divergent. Hieraus folgt insbesondere

Sati 4. Der Kettenbruch

^o-r |o +j&, ^10^^16, ^|o ^|&. ^;o ^
ist stets divergent. (Broman 1.)

1^34 Siebentes Kapitel.

In der Tat ist hier 62,4.1 -^ 0 für alle v ^ 0; also

•^2^+1 ==' ^%r+l^%v+ ^r+l^iv-l" ^iv^l^2v-l'=' ^v+l^2v-l"'<h^9Sl^ ^1

•daher die Näherungsbrüche ungerader Ordnung alle sinnlos.

Hat ein Kettenbruch gar keine sinnlosen Näherungsbrüche, so ge-
stattet die Äquivalenz (2) des § 45, die Eonvergenzfrage auf die analoge
Frage für eine unendliche Reihe zurückzuführen. Dasselbe erweist sich
aber durch eine geringe Modifikation auch möglich, wenn nur eine end-
liche Anzahl sinnloser Näherungsbrüche vorhanden ist, sodaß deren
Ordnung kleiner als eine endliche Zahl n ist. In der Tat ist dann für

A- « ^« + C^^^' _ -^^^ + f-^^ - '*^^i^ + . . . + /^^ _ ^i.7^\

— i + t— 1; -'B~B *" ^"" ^^ ^B ~B ^ ' '

-°n ^n-^n + l -^n + l-^n + i

V — 1 **1 **2 p

+i-^y-''B

,-1^.

Notwendig und hinreichend für die Konvergenz des Kettenbruches ist
daher die Bedingung, daß der Ausdruck

(-ir -

v-l«l«2--«i'

für genügend große v existiert und das allgemeine Glied einer kon-
vergenten Reihe ist. Sind speziell alle Teilzähler gleich 1, so muß also
insbesondere
<1) lim !B,_j5J - 00

VssOO

sein. Nun lehrt aber die für a^=^ 1 spezialisierte Euler-Mindingsche
Formel (§ 3)

\ ^^ "i^i + l f^ ^i^i+l ^k + l^k + i

daß jBy nur solche Glieder enthält, welche in dem Produkt

*,6,...6,(l+l)(l + i-)...(l + ^) = (l + 6,)(l + 6,)---(l + ^)

vorkommen, und folglich ist

(2) I-B,I^(1 + 1M)(1 +«•,)•••(! + IM),

wie übrigens auch leicht mittels der Rekursionsformel für B^ bewiesen
werden kann. Wenn daher das unendliche Produkt 11(1 + l&^l) kon-

§ 49. Divergenzkriterien von Broman nnd Stern. 235

vergiert, so bleiben die | B^ \ unter einer von v unabhängigen Schranke,
und die Bedingung (1) ist nicht erfüllt; also divergiert der Kettenbruch.
Er ist aber nicht einmal im weiteren Sinne konvergent; denn der rezi-
proke Kettenbruch

ist ja aus dem gleichen Grunde divergent. Da die Konvergenz des Pro-
duktes 77(1 + 1 5,1) bekanntlich die der Reihe £b^' nach sich zieht,
und umgekehrt, ergibt sich

Satz 6. Wenn die Beäie 2^\b^\ konvergiert, so ist der Kettenbruch

^'^ W^ \\^ W^

divergent und nicht einmal im weiteren Sinne konvergent {Stern l, Stolz 1.)

IL Wir setzen jetzt ^\h^\ immer noch als konvergent voraus;
dann bleibt, wie wir sahen, \B^\ unter einer von v unabhängigen
Schranke. Das gleiche gilt aber auch von Ä^\y da man analog zu (2)
leicht erkennt:

iA'^(i + |6oi)(i + |6j)---(i + i&;).

DemgemäB werden auch die beiden Reihen

(3) Ä^-i. ^iX_,
absolut konvergieren. Nun ist aber

woraus sogleich folgt:

.4,^ - ^0 + hA + hA + 1- hvAv^if

und analog für die B^. Wegen der absoluten Konvergenz der Reihen (3)
werden also die vier Grenzwerte

(4) lim^^=Ao, lim^^^i=Ai, lim.Bj^«Bo, limJ^^^i=B,

fsroo ysao ysoo fsao

existieren. Aus der Relation A^^^^B^^— A^^B^^^i^^^ l folgt dann weiter

(5) A.Bo-AoBi-1,
und man erhält somit

SatB 6. Unter den Voraussetzungen von Satz 5 existieren, wenn mit
A^, B^ die NäfierungszäMer und -Nenner v***" Ordnung bezeichnet werden^
die vier Grenzwerte

lim^^«Ao, limjlj^^i« Ai, limB2^=Bo, lim^^^^i^Bi,
und es is^ A^Bq— AqBi = 1. {von Kodi 1, 2.)

236 Siebentes Kapitel.

Wegen (5) können Bq, B^ nicht beide yersch winden; daher existiert
mindestens einer der beiden Grenzwerte

(6) hm --g-, hm^ ^ g-,

sie sind aber wegen (5) (oder auch nach Satz 5) voneinander verschieden.
Ist Bq » 0, so ist nach (5) Aq 4- 0^ also existiert immer noch der Grenz-

wert lim ?*^ ; analog, wenn B. = 0 ist. Wir haben aber in den Formeln

(7) und (8) des § 43 die kontrahierten Kettenbrüche angegeben^ deren

A A

Näherungsbrüche die p^-, bzw. ^— ^^ sind; es ist dort nur a^= 1 zu

setzen. So ergibt sich

Sat8 7. Wenn die Beihe ^\W 'konvergiert (6^+0), so sind die
beiden Keitenbrüche

^o"^l^&, + r '\M,b,+b,+b, \b,b,b,+b,+b, \b,b,b,+b,+b, ••>

^1^6 I h^bj

b,b, + l b.

b, \b,b,b, + b, + b, \b,b,b, + b, + b, \b,b,b, + b, + b,

+

mindestens im weiteren Sinne konvergent; wenigstens einer von ihnen hon-
vergiert sogar im engeren Sinne; aber niemals hohen beide den gleichen Wert.

Beispiel: Der Eettenbruch

•^ T^ 1 1» «^ i;»« « 17.« T^ 154 ~

ist für |fe| < 1 divergent, auch nicht im weiteren Sinne konvergent.
Die kontrahierten Eettenbrüche sind hier, wenn man noch zu äqui-
valenten übergeht und die ersten Glieder etwas modifiziert, die folgenden:

&« 1

|l + &«
6«

1

1 + 01+611
1 1 + 6«+ öl»

l + ö«+6i»
6« 1

|l + 6«-|-6ß

1 + 6*

+ 6»

1 + 6«+ 517

Diese sind also für 0<|&|<1 mindestens im weiteren Sinne kon-
vergent, weil ja darauf die Modifikation der Anfangselemente nach
Satz 2 keinen Einfluß hat.

§ 60. Konvergenz bei positiven Elementen. 237

§ 50. Konyergenz bei positiTen Elementen.
I. Sati 8. Wenn die Teünenner des Kdimbruches

ääe positiv sind, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung
für die Konvergeng des Kettenbruches darin, daß die Beihe Zi^ divergiert,
{Seidel 1, Stern 8.)

Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung haben wir bereits in
Satz 5 erkannt; es ist also nur zu zeigen, daß sie hinreicht. Nun sind
offenbar alle Näherungsnenner B^ positiv, so daß

B^ — ft^By-i +B^^% > -By-2
wird. Die dem Kettenbruch äquivalente Reihe

io^.i 1 .4._J 1 .,.

•^0 -^O-^l -^l-^J -^J-^S ^t^4

hat also alternierende Vorzeichen und die absoluten Werte ihrer Glieder
nehmen monoton ab. Nach einem bekannten Satz der Reihenlehre ist
also nur zu zeigen, daß die Glieder den Grenzwert Null haben, daß also

(1) limS^.iB^^oo

»saOO

ist. Nun lehrt aber die Euler-Mindingsche Formel (§ 3), für gerade
und ungerade Indizes getrennt angewandt, leicht, daß B^^ die Glieder

6i&2 + &164 + h 6i&2y enthält, und B^^^i die Glieder 61 -[- 63 + • • •

+ ^sv+u ^^^ ^^^ übrigens ebenso leicht auch durch den Schluß von
V auf V + 1 aus der Rekursionsformel für die B^ ersieht; es ist daher

(2) s,,>K{h + K+h + --- + K)

(3) Bu^i>h + h+h+-- + K+i-

Wenn also die Reihe £b^ divergiert, so wird von den monoton wach

senden Zahlenfolgen fjv^^v+i niindestens eine ins Unendliche wachsen,
so daß die Bedingung (1) in der Tat erfüllt ist. W. z. b. w.

Sind die Teilzähler nicht alle 1, sondern beliebige positive Zahlen,
so kann man durch die Transformation § 42, U, G zu einem äquivalen-
ten Kettenbruch übergehen mit den Teilzählem 1, und aus dem vorigen
Kriterium ergibt sich dann

SatB 9. Hat der Kettenbruch

Siebentes Kapitel.

Icbuter positive EUmentey so besMit die nottoendige und hinreichende Be-
dingung für seine Konvergene darin, daß wenigstens eine der beiden Beihen

^^ »1»4 • • • «ly ^7^ ^iH ' • ' ^iP + l

divergiert {Seidel 1, Stern 3.)

Wir machen hierzu folgenden

Znsatz. Die Sätee 8 und 9 bleiben auch dann richtig, wenn für die
Teilnenner die Null zugelassen wird, sofern nur nicht alle b^^^i gleich
Null sind. {Broman 1.) (Vgl. Satz 4.)

Beim Beweis können wir uns offenbar wieder auf den Fall be-
schränken^ daß die Teilzähler gleich 1 sind. Ist dann etwa b^^^^ die
erste nicht verschwindende unter den Zahlen b^, b^, b^, ,.., so kann man
aus der Euler-Mindingschen Formel als Ersatz fOr die Ungleichungen
(2); (3) die folgenden entnehmen:

^iy + 1 ^ hn + 1 + hn + 9 H + *2r + l

woran sich die gleichen Folgerungen knüpfen wie oben.

U. Die Anwendung von Satz 9 ist vielfftch etwas unbequem. Man
kann aber daraus bequemere Bedingungen herleiten^ welche für die
Konvergenz wenigstens hinreichen. Sind nämlich u,, v^ reelle Zahlen
^ 0, so ist

^v + %

f ür V > n ,

V^r^y^

2

Wenn also die Reihe 2J Vu^v^ divergiert, so wird mindestens eine der
beiden Reihen Su^, £v^ ebenfalls divergieren müssen. Wendet man dies
auf die beiden in Satz 9 vorkommenden Reihen in der Weise an, daß
man zuerst

«l«v'*2v-l, «2*4 •••«21- I 1 ^2w^2r+l
U^. _ _ _ h ^ = öj„ . 1, also M « =- :

sodann auch

tt,« bm^, v^^ - '- - 6o«_i, also W-,v„— —

' «2O4 ••^2r «l«S--«2v-l Hv

setzt, so ergibt sich, daß sowohl die Divergenz der Reihe >^ y -^ >

als auch der Reihe ^y—^^-^ ^^^ ^^® Konvergenz des Ketten-
bruches ausreicht. Daher kommt

§ 50. Konvergenz bei positiven Elementen. 239*

Ssts 10, Der Kettenbruch mit laiäer positiven Elementen

wobei aber auch J^ = 0 zulässig ist, ist sicher Jconvergenty wenn die Reihe
^1/ _LJ1+! divergiert {Fringsheim 2.)

Die Bedingung, daß nicht alle b mit ungeradem Index verschwinden,,
konnte bei der Formulierung des Satzes weggelassen werden, weil ihr
Erfülltsein durch die Divergenz der Reihe eo ipso garantiert wird.

Beispiel 1. Bei dem Kettenbruch (17) Seite 209 ist b^^l und
unendlich oft auch a^» 1; nach Satz 10 ist der Kettenbruch also kon-
vergent, womit die früher gelassene Lücke ausgefüllt ist.

Beispiel 2. Bei dem Kettenbruch

1" I 2»! 8»! 4'', , ,^^

i&- + r& +u +16 +••• *>^

ist 2 y^a~^ '^^iT^T^' ^^^ ^ ^ 2 divergiert die Reihe, also

konvergiert der Kettenbruch. Für n > 2 konvergiert die Reihe, also-
versagt Satz 10. Nach Satz 9 sind dann die beiden Reihen zu unter-
suchen:

^ \ -2 . 4 . . 2v / ' ^ \8 . 6 ... (2 V + 1)/

Von diesen hat die zweite offenbar größere Glieder als die erste; ihr
allgemeines 61ied ist aber

n n

SO daß für n > 2 beide Reihen konvergieren. Der Kettenbruch ist dann,
also divergent.

III. Wir wollen noch eine andere Klasse von hinreichenden Kon-
vergenzbedingungen herleiten; dabei stützen wir uns auf den folgenden

Satz IL Bei einem Kettenbruch mit huter positiven Elementen näJiern
sich die Näherungsbrüche gerader Ordnung monoton wachsend einem
Grenzwert Je, die ungerader Ordnung monoton abnehmend einem Grenz^
wert Ky und es ist 0 <ik^K.

In der Tat ist ja

B B ^ ^ ^ B ,B

r+l -"v-l •^r-\'"r+l

240 Siebentes Kapitel.

woraus, da die Elemente positiv sind, sofort die Ungleichungen folgen:

^; <^ _ . <^ ^_ <^ ^

Da aber eine monoton wachsende (abnehmende) Folge Ton Zahlen, die
unter (über) einer Schranke bleiben, einen Grenzwert hat, so folgt hier-
aus sogleich die Behauptung. Ebenso ergibt sich der

ZuBatB. Wenn für die Teünenner a%Lch die NuU zugelassen untd,
wobei jedoch nickt aUe h^^^^ verschwinden dürfen ^ so bleibt die Aussage
von Satjs U bestehen; nur ist dann möglicherweise eine endliche ÄneaM
sinnloser Näherungsbrikihe vorhanden.

Offenbar wird der Eettenbruch konvergent oder wesentlich diver-
gent sein, je nachdem k^ K oder k<.K ist. Betrachten wir nun die
folgende Reihe:

<4) y ^?^-^'-^-?^- (A-1,2,3,...).

-"'(fe-.9

Kach Satz 11 sind alle Zähler und Nenner positiv; die Nenner bleiben
größer als K — k, und die Reihe der Zähler konvergiert. Wenn daher
die Reihe (4) selbst divergiert, so kann K—k nicht positiv sein, d. h. der
Kettenbruch konvergiert. Die Reihe (4) geht aber, wenn man auf die
Zähler und Nenner die Formel (33), Kap. I anwendet und berücksichtigt,
daß -Bji.i,,- ^a-2..+i ist, über in

A»^ O „ J « -By

<6) y.7^^*^

^i ■®2i-2,v+l ^v + l^K-l

»=1

Wenn also diese Reihe divergiert, so muß der Kettenbruch konver-
gieren. Da B^ > 6yBy.i ist, so ergibt sich a fortiori, wenn man noch
JL + 1 an Stelle von X schreibt:

SatB 12. Ein Kettenbruch 6o + ~^^ + r^' + ' * * ^*^ lauter positiven
Elementen ist sidier konvergent, wenn die Reihe

00

Aal ^j^* b

y JL^il±l _ J' (Bezeichnung von § 5, II)

für irgendeinen Wert von A(= 0, 1, 2, . . .) divergiert.
Wendet man Satz 11 an auf den Kettenbruch

^»+2! , ®r+3

^+2 l^+S

§ 50. Konvergenz bei positiven Elementen. 241

SO ergibt sich unter anderm:

dies besagt, daß das Kriterium von Satz 12 um so schärfer ist^ je größer
man A wählt. Der Kettenbruch wird nach Satz 12 insbesondere kon-

vergieren, wenn

um sup —^

ys» ■°2i,v+l S + 1

^,2.,+i ^!L.>0,

und auch hier erhält man für wachsende X eine Skala immer schärferer
Kriterien ( 'Perron 1 ). Für A = 0 kommt die Divergenz der Reihe

^ -" — """^ ; dieses Kriterium ist weniger scharf wie das von Satz 10.

Für X =- 1 kommt die Reihe

Diese divergiert beispielsweise für

so daß der Kettenbruch mit diesen Elementen konvergiert, während
das Kriterium von Satz 10 versagt.
Für 1/ ^ 2 ist auch

Vi + a^-iß — Vi + fe "
SO daß sich, da die Divergenz von (5) hinreicht, a fortiori ergibt:

Sati 18. Ein Kettenbruch *o + ffc + [ft + * ' ' ^^ lauter positiven
Elementen ist sicher konvergent, wenn die Beihe

OB

^•J ^.1 <»..&.

y w^"^^ 7T^\—T ^v (Bezeichnung van § 5, II)

fiir irgendeinen Wert von X(= 0, 1, 2, . . .) divergiert.
Beispielsweise kommt für A = 0 die Reihe

Forron, Kottonbrflohe. 16

242 Siebentes Kapitel.

§ 51. KonTergenz bei reellen Elementen.

I. Hat ein Eettenbrach lauter reelle Elemente, so kann man durch
Multiplikatoren c^^±l einen äquivalenten hersteUen, dessen Elemente
ihrem absoluten Werte nach die gleichen sind, aber aUe Teilnenner ^0.
Wenn dann die Teilzahler alle positiv, so laßt sich die Konvergenz
nach dem vorigen Paragraphen entscheiden. Wir wollen also jetzt an-
nehmen, daß die Teilzähler alle oder zum Teil negativ sind. Ist nur
eine endliche Anzahl negativer vorhanden, so entsteht nach Weglassung
einiger Glieder ein Kettenbruch mit positiven Elementen. Ist dieser
divergent, so kann er, wie sich aus Satz 11 ergibt, auch nicht im
weitem Sinne konvergieren; also ist der ursprüngliche ebenfalls diver-
gent. Ist der zweite aber konvergent, so muß der erste noch mindestens
im weitem Sinne konvergieren (Satz 2).

Oft kann ein Kettenbruch der hier betrachteten Art durch Ex-
tension in einen mit lauter positiven Elementen übergefdhrt werden.
(FdOe 1, Broman 1.) Dann ist die Konvergenz des extendierten Ketten-
bruches fOr die Konvergenz des ursprünglichen jedenfalls hinreichend;
es gibt aber Fälle, wie wir sehen werden, in denen sie auch notwendig
ist. Wir beweisen auf diesem Weg zunächst

SatB 14. Wenn die Elemente des Kettenbruches

reell sind und den Ungleichungen genügen:

&.^l«,l>o

^^«,1>U 1.-1,2,3,...,

so ersetee man für jedes negaüve oj+i = — oi+i (t ^ 1) die OUederfaige

^-^fjJ durch ^ + 11 + ,, "*^V

Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens entsteht ein Ketten-
hruch mit lauter positiven TeiUählem und mit lauter Teünennem ^ 0.
Seine KonvergenjSy die nach dem vorigen Paragraphen entschieden werden
kann, ist dann hinreichend für die Konvergenz des ursprünglichen Ketten-
bruehes, und, falls unendlich oft a^>0 ist, auch notwendig. *)

Beweis. Der ursprüngliche Kettenbruch werde der Kürze halber
mit K bezeichnet, der abgeänderte mit K\ Daß dann K' lauter positive

1) In etwas anderer Weise hat TieUe 1 die notwendigen und hinreichenden
Bedingungen formuliert.

(Ä^2).

§ 51. Konyerg^ns bei reellen Elementen. 243

Teilzähler bat, ist evident; als Teilnenner aber treten außer 1 die fol-
genden Zablen anf :

6j, wenn a^^ > 0, a^^j > 0

ftj — 1, wenn a^ > 0, a^^^i < 0

6;fc— Oj', wenn a^— — a/< 0, a^^^, > 0

6;^— a/— 1, wenn a^— — a/ < 0, a^^j < 0

Die Teilnenner Ton K' sind daber nacb den Voranssetznngen unseres
Satzes Yom zweiten an alle ^ 0. Der erste Teilnenner ist

\y wenn o^ > 0
&! — 1, wenn Oj < 0,

also in jedem FaU sogar > 0 mit Ausschluß der Gleichheit.

Nun seien wieder Ä^y B^ die Näherungszahler und -nenner yon K.
Aus K geht dann f^ nach Satz 6, Kap. VI durch Extension hervor,
wobei die neu hinzugekommenen Näherungsbrüche die Form haben

Daher ist die Konvergenz von K' jedenfalls hinreichend für die von K.
Sie ist aber, wenn unendlich oft a, > 0 ist, auch notwendig. Dies ist
evident, wenn von einem gewissen v-Werte an dauernd a, > 0 isl^
weil dann die Näherungsbrüche von K' von einer gewissen Ordnung an
auch Näherungsbrache yon K sind. Andernfalls aber kann man auf un-
endlich viele Arten einen Index k wählen derart, daß a^>0, aj^+i<0,
also nach unseren Voraussetzungen auch hj^>^ ist. Wenn dann JC kon-
vergiert, also der Grenzwert

I — lim ^

existiert, so sei b eine beliebig kleine positive Zahl. Man kann dann Je
so wählen, daß

6 - e < ^"- < I + «; 6 - £ < ^— < I + £
und daß zugleich o>k> ^$ ^k^i<i^7\> ^ i^^* Dann kommt

also auch, da ja B^^^ und J3)^_.s als Näherungsnenner von K' nicht
negativ sein können,

S — f < j— ^ ^— < 6 + fi .

16*

244 Siebentes Kapitel.

Da nun die zwischen | — £ und i + s liegenden Brüche j.~~ und

P — „ zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche von K' sind (siehe

Satz 6^ Kap. VI) und da K' lauter positive Elemente hat (allerdings
einige verschwindende Teilnenner) , so liegt nach Satz 11 und seinem
Zusatz jeder folgende Näherungsbruch von K' erst recht zwischen.
6 — £ und I + £. Also konvergiert K' gegen den Wert J. W. z. b. w.

Ein etwas bequemeres Kriterium ist folgendes:

SatB 15. Wenn die Elemente des Kedenbruches

redi sind und den Ungleichungen genügen:

so ist jede der folgenden zwei Bedingungen für die Konvergeng hinreichend:

1) Von einer gewissen Stelle an sind alle a^ negativ, {Stern 1.)

2) Von den drei Reihen

(B.) 2VK~-\<

ist wenigstens eine divergent}) {Tietze 1, 2.)

Beweis. Man bilde wieder den eztendierten Kettenbruch K'. Die
Anwendung von Satz 10 auf diesen lehrt dann^ daß zu seiner Konvergenz
jedenfalls die Divergenz von einer der folgenden sechs Reihen ausreicht:

(I.) 2 1/^ ^; ("•) 2 A"^^^!"»";

«»>0,Oy^.i<0 a,<0,av+i<0

(iiL) V yihz}<h±} . (IV.) V ]/(^-£l-^M±>:ii) .

TO^l/^'-'i (VI.) 2 1/'^^'-?— ^

1) Hierin ist auch der die Konvergenz aussagende Teil von Satz 1, Kap. V
wieder enthalten, weil dann entweder der Fall 1) vorliegt oder die Reihe CA.)
unendlich viele Glieder hat und divergiert.

§ 51. Konvergenz bei reellen Elementen. 245

Hier ist aber nach unseren Voraussetzungen das allgemeine Glied yon
(L) ^ Y^y,\ ebenso ist das allgemeine Glied von (V.) und (VI.) ^ "j/fc^

^ j/o^. Durch Zusammenfassung erweist sich also gewiß die Divergenz
der Reihe (A.) als ausreicheud. Femer ist das allgemeine Glied der

Reihen (DI.) und (IV.) ^ V^Sy— | «^ j ; noch großer ist das allgemeine
Glied von (V.) und (VI.); daher genügt auch die Divergenz von (B.).
Endlich durch Zusammenfassung von (I.) und (11.) folgt, daß auch die
Divergenz von (G.) hinreicht. Damit ist zunächst Punkt 2) bewiesen.

Um auch Punkt 1) zu erledigen, beachte man, daß in diesem Fall
durch die Extension von einer gewissen SteUe an zwischen je zwei auf-
einanderfolgende Näherungsbrüche von K ein neuer eingeschaltet wird.
Die Näherungsbrüche von K sind daher für K' von einer gewissen
SteUe an alle von gerader oder alle von ungerader Ordnung. Sie haben
also nach Satz 11 und seinem Zusatz (da ja der erste Teilnenner von
K\ wie wir Seite 243 sahen, sicher + 0 ist) einen endlichen Grenzwert.
W. z. b. w.

n. Ein weiterer Fall, wo die Konvergenz eines eztendierten Eet-
tenbruches für die Konvei^enz des ursprünglichen nicht nur hinreichend,
sondern auch notwendig ist, liegt offenbar dann vor, wenn durch die
Extension nur solche Näherungsbrüche neu hinzukommen die auch für
den ursprünglichen Eättenbruch Näherungsbrüche von wachsender Ord-
nung sind. Wählt man z. B. in der Eztensionsformel von Satz 6, E[ap. VI

für p den Wert — i ^^, so ist der zwischen ^^^~ und -^ einire-

schaltete Näherungsbruch gleich

Nimmt man diese Einschaltung speziell für alte negativen a^^^^ vor, so
findet man, daß der neue Eettenbruch lauter positive Elemente (even-
tuell auch Teilnenner 0) hat, falls keine zwei aufeinanderfolgenden Teil-
zähler negativ sind, und h^^^^ + ^^.i ^ 0 ist. Es ei^ibt sich daher

Sati 16. Wewn die Elemente des Kettenhrwihes

den Ungleichungen b^ > 0, a^ ^ 0, und außerdem

246 Siebentes Kapitel.

genügen, so ersetsse man für jedes negative öj^i— -a'^^^ die QUederfcige

a \ a

a \ h h

*i I * + i I t+i

Die K(mf>ergenz des so veränderten Ketienbruches, wdche nach dem vorigen
Pa/ragraphen entschieden werden kann, ist dann notwendig wnd hinrei-
ßend für die Konvergene des gegebenen.

Beispiel:

(8ir + l)»(8,r + 2)»|

(8,+ 2)"

Der extendierte Eettonbruch ist hier

Nach Satz 9 und seinem Zusatz wird dieser und also auch der ge-
gebene dann und nur dann konTergieren, wenn wenigstens eine der
beiden Reihen

^/l- 8 .6. (Sir — 8)\" "^ / 2-4 6--(6y) ^"

/1-8.6. .(Siy — 8)\*' "^ / 2-4 6-'(6y) V
\2 . 4. 6 • • • (6 v~— 2)) ' ^ \8 • 6 • 7 . • . (6 V -h 1)/

divergiert. Diese sind aber (vgl Seite 239) für « > 2 beide konvergent
Für n ^ 2 dagegen ist das allgemeine Glied der zweiten Reihe gleich

M n

\l'8'8'5'6fr^l 6 fr + 1 6v +1 6v +2/ '^ \2 6fr + 2/ '

80 daß die Reihe divergiert. Daher ist der Eettenbruch umgekehrt für
n > 2 divergent, für n < 2 konvergent.

ni. Definition. Ein unendlicher Kettenbrwh

^^ ' '^^|2^2 1^3^ ^\h. \h.^.

hei dem \ > 0, o^^ > 0, a^^+i > 0, heißt aUemierend.

Die Konvergenz eines alternierenden Eettenbruches kann mit Hilfe
von Satz 16 entschieden werden, wenn h%J>%y+i ^ (^iv-^i ^^ ^^ wollen
aber jetzt ein noch weiter gehendes Kriterium herleiten. Zu dem Zweck

§ 61. Konvergenz bei reellen Elementen. 247

A
seien ^ die Näherongsbrüclie von (1). Wir bilden dann durch Eon-

traktion den Eettenbruch, dessen Nähemngsbrüche ^ — ^^— sind; nach

§ 43, Formel (8) ist dies der folgende:

^ar + i

(2)

VI. ' <»i <*f iT

a»'«4^^ I

seine Teilnenner sind ^ 0, wenn

(3) {hr^Av+ ^i^hv-^i'khv^if^ir+i (v-1,2,3,...)

ist. Wir wollen (3) als erfüllt voraussetzen. Weil der Eettenbruch (2)
durch Eontraktion aus (1) entsteht, so ist die Eonvergenz von (2) jeden«
falls notwendig fOr die Eonyergenz von (1); wir zeigen jetzt, daß sie
zufolge der Voraussetzung (3) auch hinreicht. In der Tat, wenn (2)

Ä

s»-i

konvergiert, so besagt dies, daß der Grenzwert lim ^ existiert.

"8 V -^2 r + 1

r - aur
Null ersetzt wird. Es ist also

Nun beachte man, daß ^ - aus ^ hervorgeht, indem »• y+i durch

"T rTiTT — I ^ M> ir*~?"r

^2. 6i ' \{b,b,+a,)b,^\a,'

. ^»~8^2»-2^2»-5^2»-l ' [ , *2t'-l*2v*2t'-8^»v + l

(^2^-8^2^-2+ »2t-2)^2»'-1— ^2»'-8«2y-l j (^2^-1 Ny + »iO*«»'+ l

Da dieser Eettenbruch lauter positive Elemente hat, nur eventuell einige

2t

verschwindende Teilnenner, so liegt sein Wert y.— zwischen den zwei

J?<

2r

vorausgehenden Näherungsbrüchen, also zwischen «-^^^^ und „ — ^

-^»v j___ _i--_t___ n i . -^2^-1

'2»-! ■"2»-8

Folglich hat ^— den gleichen Grenzwert wie ^ ^^ — ; d. h. der Eetten-

^2v -^2»-l

bruch (1) konvei^iert. W. z. b. w.

Wendet man daher auf den Eettenbruch (2) den Satz 9 und seinen
Zusatz, sowie den Satz 4 an, so erhält man

SatB 17. Die Elemente des dUemierenden Kettenbrudies

mögen den Ungleichungen genügen:

248 Siebentes Kapitel

Wenn dabei für aüe ungeraden v GleicMieü staühat, so divergiert der
Kettenbruch. Wenn aber für mindestens ein ungerades v wirklich Unr
gleichheit staUha/t, so setee man gwr Äbkür0ung

die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergene des Ket-
tenbruches besteht dann darin, daß von den beiden Beihen

mindestens eine divergiert, {Perron 5.)

Die Anwendung dieses Kriteriums ist ziemlich unbequem. Ein ein-
&ßheres, aber weniger allgemeines Kriterium ergibt sich durch An-
wendung Ton Satz 10 auf den Kettenbruch (2):

Satz 18. Unter Beibehaltung der Voraussetzungen und Bezeichnungen
von Satz 17 ist der Kettenbruch sicher konvergent, wenn die Beihe

2V'

divergiert. {Perron 6.)

Zu einem noch einfacheren Ej'iterium gelangt man, wenn die wei-
tere Bedingung &Sf,Z^2v+i ^ ^s^+i ^i^U^ ist. Dann ist nämlioh

dv'^ hv-i(hvhv+i - ö^i^+i) + <hvh^+i

Daher wird das allgemeine Glied der Reihe von Satz 18 mindestens
gleich dem Ausdruck

und auch größer wie der Ausdruck

^iv + l^iv + i^iy-l^iv + S

Man erhalt daher a fortiori

Sati 19. Der aUemierende Kettenbruch

^2v^8 V +1~ °2v-H
*2v + l

' (

konvergiert sicher, wenn b^^b^^+i ^ ö^j^^i ist für v = 1, 2, 3, .. ., und
wenn von den beiden Beihen

§ 61. Konvergenz bei reellen Elementen. 249

wenigstens eine divergiert, (Perron 6.)

Um auch ein einfaches Diyergenzkriterium zu erhalten^ denken wir
uns die drei Zahlenfolgen Oj^, aiy+i, fcjy+i monoton wachsend. Dann
werden auch die c^ monoton wachsen, so daß das allgemeine Glied der
beiden in Satz 17 auftretenden Reihen höchstens gleich d^^ bzw. d^^^i
ist. Folglich zieht die Konvergenz der Reihe 2Jd^ a fortiori die Kon-
vergenz jener beiden Reihen und daher die Divergenz des Kettenbruches
nach sich. Man erhält somit

SatB 20. Wenn die Elemente des aUemierenden Kettenbrwihes

den Ungleichungen genügen:
und wenn die Beihe

2

» = 1

^ [(fiiv-ihv+ <hv)h^ + i " hv-i^i^^i]

Jceine negativen Glieder hat und konvergiertj so divergiert der Kettenbruch.
(Perron 6.)

Sind speziell alle a,, und a^^^^ gleich 1, so haben wegen
die zwei Reihen

lauter nicht negative Glieder, und die Konvergenz der vorigen Reihe
ist daher gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser beiden. Die Kon-
vergenz der zweiten besagt aber insbesondere, daß die Z^gy^.! einen
endlichen Grenzwert haben, und dann ist die Konvergenz der ersten
gleichbedeutend mit der Konvergenz von 2Jh^^, Also ergibt sich

SatB 21. Wenn die Teilnenner des aUemierenden Kettenbruches

6,^Ii + iJ_iJ + U

so beschaffen sind, daß erstens die b^^^^ monoton wachsen, aber einen
endlichen Grenzwert hohen, und daß zweitens die Beihe 276,, konvergiert,
so divergiert der Kettenbrueh. (Gmeiner 1, Perron 5.)

250 Siebentes Kapitel.

§ 52. Irrationalität gewisser Eettenbrfielie.

I. Wenn die Elemente eines konverg^iten Eettenbmches ganze
rationale Zahlen sind, so kann man unter Umstanden a priori erkennen,
daß sein Wert irrational ist. Beispiele dafür haben wir bereits in den
regelmäßigen und halbregelmäßigen Eettenbrüchen keimen gelernt.
Weiter gehende Resultate dieser Art ergeben sich auf Grund Ton

Sati 22. Wenn die Elemente des unendliahen Kettenbrudies

reell sind und die Bedingungen erfiiUen:

und wenn der Kettenbruch konvergiert^ so genügt sein Wert ^ der Un->
gleickung

6^«^. 60 ^ ^0 ~ 1^ /^^^ ^1 < ö-

Dahei tritt die Gleichheit Iq ^ ^0 "^ ^ dann und nur dann ein, wenn für
V — 1, 2, 3, . . . durchweg a^ < 0, 6^ « | a^ | + 1 ist, und wenn eugüich
die Reihe ^ | «1^, . . . a^ | divergiert. {Tietze 2.)

V

Zum Beweis leiten wir wie beim Beweis yon Satz 14 aus dem ge-
gebenen Eettenbruch durch Extension einen andern her, dessen Teil-
zähler > 0 und dessen Teilnenner ^ 0 sind. Der exteudierte Eetten-
bruch braucht zwar nicht zu konvergieren; doch ist unter den Häu-
fungswerten seiner Näherungsbrüche jedenfalls die Zahl ^^ Torhanden.
Da nun der eztendierte Eettenbruch folgendermaßen beginnt:

&o+r^, faU8ai>0

bzw. 60-1+ lY + rrr, faÜBOi a^ <0,

so sind seine Näherangsbrüche alle größer als h^ bzw. \ — 1. Daher
muß auch fQr den Häuf ungs wert |q die Ungleichung gelten:

(») U>K falls Ol >0,

(b) |„>fto-l, faU8a,<0.

Wäre nun etwa ^ ■> 5g, also

*«+K+rN+----*'"

r

§ 52. IiraÜoiialität gewisser Kettenbrüche. 251

SO hätte man wegen der Identität h+r^ + r^— 6o^*<5hSatzl,Kap.I
anch

Anderseits mnß aber dieser Eettenbruch^ wenn er konvergiert, nach
dem Bewiesenen ^ 6, sein ftr o, > 0, und ^ ftj — 1 för a, < 0. Er ist
also nach den Voraussetzungen unseres Satzes gewiß ^ j o^ { und kann
daher nicht Null sein. Wegen dieses Widerspruches ist ^ — &o i^icht
möglieb, und in der Ungleichung (a) ist das Gleichheitszeichen auszu-
schließen.

Untersuchen wir nun, ob in (b) Gleichheit möglich ist. In diesem
Falle muß

(1) *o-i-^+s+f^; + ---^-^+^+--

sein. Da aber offenbar auch 6© "" 1 — ^o "~ i ' ? ^^ ^^^S^ ^^^^ Satz 1,
Eap. I:

Nach dem Bewiesenen wäre dieser Eettenbruch größer als h^^ also a
fortiori größer als o^', wenn o, > 0 wäre. Es ist also notwendig

o^ - - a/ < 0,
und man hat

daher nach dem Bewiesenen o,' ^ b^ — 1. Da aber nach Voraussetzung
auch «i' ^ &! — 1 ist, so ist gewiß a^'^^b^ ~ 1, und die Yorige Gleichung
geht über in:

(2) 6^_i_j,_^ + ^ + ....

Diese unterscheidet sich aber Ton (1) nur dadurch, daß alle Indizes um
1 erhöht sind. Man kann also an sie die gleichen Folgerungen an-
knüpfen und findet a, « — Oj' < 0, a,' =6,-1, und so fortfahrend er-
gibt sich allgemein: ö^+i = — fl^^+i < 0, a/ — 6^ — 1. Infolgedessen kann
die Gleichheit So °" ^o ~ ^ jedenfalls nur dann eintreten, wenn der Ket-
tenbruch die Form hat

*o-ir+-<"rHFv~iT+<~' ' "'>^-

Ob sie dann wirklich eintritt, darüber belehrt uns Satz 8, Eap. VI, dem-
zufolge die notwendige und hinreichende Bedingung dafür in der Diver-
genz der Reihe 2<h<^ . . . a^' besteht. Damit ist Satz 22 vollständig
bewiesen. ^

252 Siebentes Kapitel.

n. Auf Grund von Satz 22 beweisen wir jetzt

SatB 28. Wenn die Elemente des unendlichen KeUenbrtAches

gange rationale ZaMen sind, die von einem gewissen Index v an den Un-
gleichungen genügen:

so konvergiert der Kettenbruchy und sein Wert ^ ist irrational, außer
wenn von einem gewissen v an durchweg

ist. In diesem ÄusnaJimsfail ist der Kettenbruch entweder unwesenüich
divergent, oder er hcU einen rationalen Wert. {Tietze 2.)

Da die Elemente ganze Zahlen sind, so müssen auch die Näherungs-
zähler Ä^ und -Nenner B^ ganze Zahlen sein. Ist nun zunächst die Be*
dingung {a) schon von t/ « 1 an erfüllt, so folgt die Konvergenz des
gegebenen Kettenbruches aus Satz 15; denn entweder sind alle a, von
einer gewissen Stelle an negativ, oder die dortige Reihe (A.) hat un-
endlich viele Glieder und ist, da diese Glieder als Wurzeln aus ganzen
Zahlen nicht kleiner als 1 sind, divergent.

Aus gleichem Grunde konvergieren auch die Kettenbrüche

(3) • t=^+S^ + rr-^ +

für 1/ *» 0, 1, 2, . . ., und es ist nach Satz \, Kap. I:

Liegt nun der Ausnahmsfall (/3) vor, so ist für genügend große v nach
Satz 22: g^« 6^— 1, also rational, daher nach (4) auch 5o rational.
Liegt aber der Ausnahmsfall {ß) nicht vor, so ist nach Satz 22:

g, > 6„ falls a^^i > 0

bzw. 1^ > &,— 1, falls a^^i < 0;

daher wegen der Voraussetzung (a) in jedem Fall 1^ > | a^ | , Aus (4)
folgt dann

(5) l,(B,-,lo- A-.) ■= - av(B,-,5o- A-i).

§ 52. Irrationalität gewisser Kettenbrache. 253

Wäre hier B^^^^— Ä^_i^O, so müßte auch B^_^^ — Ä^_^ = 0 sein
was aber wegen

(6) ^^-i-B.-, - A^iS^-i ^ (- l)""*«!«» • • • «.-1 + 0

nicht möglich ist. Da nun g^ > { a^ ^ so folgt dann aus (5):

mit Ansschluß der Gleichheit. Demnach sind die unendlich vielen Zah-
len I^^Iq— -4yl alle voneinander verschieden und liegen unterhalb
einer endlichen Schranke. Das ist aber wegen der Ganzzahligkeit von
A^, B^ nur für irrationales ^ möglich (vgl. die Fußnote Seite 155).

Lassen wir nun die Beschränkung fallen, daß die Bedingung (a)
schon von v » 1 an erfüllt ist, so wird, wenn nicht der Ausnahmsfall {ß)
vorliegt, nach dem Bewiesenen mindestens für genügend große v der
Eettenbruch (3) konvergieren und irrational sein. Dann ist aber, da
wegen (6) die ganzen Zahlen jBy_j, -By_2 nicht beide gleich Null sein
können, gewiß B^^^l^ + By_,a^ + 0, also der endliche Kettenbruch (4)
nicht sinnlos. Nach Satz 1, Kap. I konvergiert daher auch der gegebene
Kettenbruch, und sein Wert ist gleich dem von (4). Für genügend
große V ist daher B^^^ + 0, so daß aus (4) weiter folgt:

^- i-, - -B^.JB^.,K+B,_,^ - - "•••ational,

daher auch 1^ irrational.

Liegt dagegen der Ausnahmsfall (ß) vor, so ist der Kettenbruch
(3) für genügend große v ebenfalls konvergent, aber gleich b^— 1, also
rational. Der gegebene ist daher nach Satz 2 mindestens noch im wei-
teren Sinne konvergent, und wenn er sogar im engeren Sinne konver-
giert, so ist sein Wert wieder durch die Gleichung (4) gegeben, also
ebenfalls rational. Damit ist Satz 23 vollständig bewiesen.

Die Irrationalität der unendlichen regelmäßigen und halbregel-
mäßigen Kettenbrüche ist in Satz 23 als Spezialfall enthalten; denn
der Ausnahmsfall {ß) ist durch die Forderung c) in der Definition auf
Seite 154 ausgeschlossen. Weitere Spezialfälle sind der sogenannte
Legend resche Irrationalitätssatz, der entsteht, wenn &y^!Gty| + l
vorausgesetzt wird {Legendre 1, Pringsheim 1), sowie der für b^>a^>0
entstehende Speziaisatz, der vom Verfasser gelegentlich als Stolzscher
Irrationalitätssatz bezeichnet wurde, der aber vor Stolz 1 bereits von
Stern 2 bewiesen wurde.

Beispiele. Die drei Kettenbrüche

264 Siebentee Kapitel.

m I . m* I . tn*\ . m*

^^^ \n ^ jSn ^ |5n^ |7n^ '

m\ m'l 111*1 m*
n j8« "^ |6n |7n

\^/ I*» n^ IK«. 17« ' ' '>

WO m^ n ganze 2iahl6n (m + 0, n > 0), sind irrational Der Ketten-
bruch (A) hat aber nach Formel (15) Seite 209 den Wert e; also ist e
eine irrationale 2iahl. Die Kettenbrüche (B), (G) sind^ wie wir in § 64
beweisen werden, bzw. gleich

8 m

I * — 1 . m

1^ — > ^g^a:

n

+ 1

Daraus folgt dann, daß die Funktionen e' und tang x für rationale x
stets irrational sind; rationale Werte können sie also nur dann anneh-
men, wenn x selbst irrational ist. Da insbesondere tang;r'»0»ratio-
naly so ergibt sich, daß x eine irrationale Zahl ist; auf diese Weise hat
bereits Lambert 1 b die Irrationalität von x erkannt Auch, daß x nicht
die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl sein kann, läßt sich leicht

t/tu.

zeigen. Denn wäre st — - — , wo m, n ganze Zahlen, so hätte man

n

m I m

0 — y ♦» tang ^ — = --1 — - -!

' ^ n \n Sn

n In Sn 1 6n 7n

während doch in Wirklichkeit dieser Kettenbruch wieder einen irra-
tionalen Wert hat.

§ 53. Die KonTergenzkriterien Ton Pringsheim.

L Von jetzt ab soUen für die Elemente a,, b^ ganz beliebige, auch
komplexe Zahlen zugelassen sein. Das Pringsheimsche Hauptkrite-
rium ist dann folgendes:

Satz 24. Wenn die Elemente des Kettenbruches

den Ungleichungen genügen:

i6,^|a,i + l (i/-l,2,3,...),

so ist der Kettenbruch konvergent. Sein Wert ist absdut ^ 1, und »war
tritt OleicKheit dann und nur dann ein, wenn die folgenden drei Bedin^
gungen gleichzeitig erfüllt sind:

§ 68. Die Konvergenzkriterien von Pringsheim. 255

1) !6,;-|a,| + l (für V - 1, 2, 3, . . .)

2) j-^- — — ^^ wwrf negaHv für v — 1, 2, 3, . . .

w

3) die Beihe ^ \c^a^. . .a^\ divergiert.

In diesem besonderen Fall hat der Kettenbruch den Wert , , .
{Pringsheim 1.)*)

Es sei ausdrücklich bemerkt^ daß das Verschwinden einiger Teil-
z&hler nicht ausgeschlossen ist. Der Eettenbruch ist auch in diesem
Fall konvergent und daher nach Satz 1^ Eap. VI gleich einem gewissen
endlichen Eettenbruch.

Zum Beweis des Satzes gehen wir aus Ton der Rekursionsformel
f£Lr die Naherungsneaner B^:

(1) B,-6,B,_, + a,B,_, (v- 1,2,3,...).
Aus ihr ergibt sich zufolge unserer Voraussetzungen:

|5J^IM|5,-x|-|«JI-B,-,I^IMI-B.-i|-(IM-l)l^,-,l-

Daher

l-BJ-|5,-il^(IM-l)(l^.-i|-i-B,-,l),

und folglich

(2) |B,|-|Ä,-il^(IM-l)(i^-i|-l).-(|6il-l)^l«,«,-i-«»«il-

Die I J?y I nehmen somit monoton zu, sind also wegen JS'q — 1 alle
Ton Null yerschieden. Demnach sind keine sinnlosen Näherungsbrüche
Torhanden, und der Näherungsbruch v^^ Ordnung ist gleich

+ {*-t)^(x-x)+-+(t-fe)

80 daß Eonyergenz und Wert unseres Eettenbruches gleichbedeutend
sind mit Eonyergenz und Wert der Reihe

1) Der wesentliche Inhalt dieses Satzes findet sich für den Fall reeUer po-
iitiyer b^ und negativer a, bereits bei Stern 1 (vgl. Satx 16).

256

Siebentes Kapitel.

Für deren allgemeines Glied gilt aber nach (2) die Abschätzungsformel;

^r\-\^.-l

B ^B

V-1

Die Reihe (3) konvergiert also, und ihr absoluter Wert ist höchstens
gleich

2 (r^iTi ~ pBTi) ^ I ^öi ~ ^ •

Das gleiche gilt daher von dem Kettenbruch. Auch ergibt sich für die
Fehlerabschätzung die Formel

4 A I °°

— — r — < ^

^;-i -^x

Jlsf + l

'x-\

00

-2

a^ ^2 * * * ^ji

^2(pLi lAi)

also schließlich

(4)

— lim ^ < „

1

— lim

i=roo -'^i 1

Ist nun etwa cij^'^O für ein bestimmtes k, so ist der Eettenbruch

nach Satz 1, Eap. VI gleich
Wert höchstens gleich

^k-l

'* — 1

Also nach obigem sein absoluter

t-i

<l.

't-i

Sind dagegen alle a^ 4= 0; so erkennt man, daß der absolute Wert des
Eettenbruches höchstens gleich 1 ist und jedenfalls nur dann die 1 er-
reichen kann, wenn in allen unseren Ungleichungen das Gleichheitszeichen
gilt; also insbesondere nur dann, wenn stets | ft^ | = | a^ | + 1 ist, und
wenn die Gleichung

B,^\B,_,\ a,B,,^ (i;=-l,2,3...)

soviel besagt wie

dazu ist aber erforderlich, daß die Zahlen
und nicht negativ sind. Es muß also auch

B^ a^B^_^

und — i%r^ — reell

6 B ,

b B ,

§ 63. Die Eonvergenzkriterien von Pringsheim.

257

b B .

>0, -

«»+iB,_i

'»+1

>0 (v-1,2,3,...)

sein, und daher durch Mnltiplikatioq:

>+i

^*»+i

<0

(v-1,2,3,...).

Ist diese Bedingnng erfüllt^ so hat der aquiralente Eettenbruch

+

ftA

+

+

Mi

6,6,

+

ft ' I A ■ I A ' I A

wo allgemein /), den absoluten Wert Ton \ bedeutet, lanter negative
Teilzahler (yom ersten abgesehen), und die Teilnenner sind wegen der
Yoraussetzung 1^,1 *° |a,| + 1 alle um 1 größer wie die absolut ge-
nommenen Teilzähler. Sein Wert kann daher mit Hilfe yon Satz 8,
Kap. VI sogleich ang^eben werden. Er ist dann und nur dann absolut
gleich 1, wenn die Reihe 2710^0, ... a,| divergiert, und zwar hat er

dann den Wert ^

«1

'A-1 +

Damit ist der Satz 24 vollständig bewiesen.

n. Nach Satz 1, Kap. I genfigt es für die Konvergenz auch, wenn
der Kettenbmch

konvergiert und von Null verschieden ist. Dies wird nach Satz 24
sicher dann der Fall sein, wenn

M^I«J + 1 (v-2,S,4,...)

ist und dabei mindestens einmal Ungleichheit statthat.^) Weitere Kri-
terien ergeben sich, wenn man bedenkt, daß bei Eonyergenzfragen ein
Eettenbruch durch jeden äquivalenten ersetzt werden darf. Wenn daher
in dem Eettenbruch

die Cy so bestimmt werden können, daß

(6)

(i;-2,3,4,...)

1) Der Satz 24 gestattet zwar, diese Bedingungen noch dahin einzuschrän-
ken, daß auch überall Gleichheit zul&ssig ist, wenn man von einem nmständlioh
zu formulierenden Ausnahmsfall absieht, in welchem dann unwesentliche Diver-
genz eintritt {Pringsheim 4). Doch wollen wir diesen im folgenden nicht überall
mitschleppen.

Perron, Kettenbrflohe.

17

258

Siebentes KapiteL

wird, und zwar mindestens einmal Ungleichheit, so ist der Eettenbmch
ebenfalls konvergent.

(^y+i + 0) gehen diese Ungleichungen

Speziell fär c^ —
über in

("-2,3,4,...);
also folgt

Sats25. DerKettmtmuhmüloMtervimNuUverst^^

M^i + l«,+i

ist konvergent, wenn die Ungleichungen erfiäU sind:

M^l + l«,+il (^-2,3,4,...),

und etcar nicht sämÜich mit dem Ghichheitszeicken. {Pringsheim 4.)

Dieser Satz wäre im Gegensatz zum yorigen nicht mehr richtig,
wenn Null als Teilzähler zugelassen wird. Zum Beispiel ist der Ketten-
bruch

auch wenn 1 6^ | > 1 + | a^^i | ßlr v ^ 3, stets divergent, da von der
zweiten Ordnung an alle Näherungsbrüche sinnlos sind.

Pv

Für Cy — -r- , wo 2>y reell und positiv, gehen die Ungleichungen (6)

über in

Pv>.Pr-lPr

a.

b , b

+ 1, also

b , b

r — 1 ^v

, (^^2).

Daraus folgt

Satz 26. Der Kettenbruch mit beliebigen (komplexen) Elementen

ist konvergent, wenn es eine Beihe posüioer Zahlen p^, p^, Pt, . • . gibt
derart, daß die Ungleichungen

a.

^-1^

<Il. —

— Pp^lPv

(i/-2,3,4,...)

§ 58. Die EoBYergenzkriterien von Piingsheim.

259

erfüllt sindf und 0war nickt sämdieh mit dem Gleichheitszeichen. {Prings-
heim 4.) ")

Durch Spezialisiemng der p, erhalt man hieraas zahlreiche Eon-
yergenzkriterien^ deren bemerkenswerteste wir zosammenfEUisen in

Sats 27. Zur Konvergenz des Kettenbruches

«1 I I <*! I I «II I
1^ "^1^^. "^1^ "^

ist jede der vier folgenden Bedingungen für sich hinreichend:

1)

^ 4

{y ^ 2).

{PringAeim 4t.)

2)

» — 1 y

^4^ (^^2).

{Pringsheim 4.)

3) 2K|^|fei6,|;

*ir-i

^iv~i^i¥-l

+

^r-l^ii.

^T (^^2),

icöbei mindestens einmal Ungleichheit stattfinden muß, und außerdem die
^f ^AJ a^,..,+ 0 sein müssen, {Pringsheim 1, 4.)

4)^

9^i

b .b

^ 1; a^ + O für unendlich vide X. {von Koch 2,

Pringsheim 4.) *)

1) Für den Fall reeller positiver br und negativer Oy findet sich dieses sehr
allgemeine Kiiterinm bereits bei Mtwisten 1 nnd bei Falk 1.

8) In einer zurzeit (Juli 1912) noch nicht gedruckten Arbeit von Sz&sz
wird das in 4) enthaltene Ejiterium in bemerkenswerter Weise ausgedehnt

(8$dsz 1). Wenn n&mlich die Reihe

konvergiert, so erschließt man

^ 1 6,-1 6.

unschwer aus den Euler-Mindingschen Formeln, daß die Grenzwerte

lim

existieren (siehe übrigens den Beweis in § 64, 1). Die Konvergenz des Eetten-
bruches ist daher einfach damit gleichbedeutend, daß der zweite Qrenzwert
nicht verschwindet. Szäsz findet dafür durch Anwendimg unendlicher Eetten-
bruchdeterminanten (§ 4), deren sich übrigens auch von Koch bedient, u. a. die
hinreichende Bedingung

2

K^iK

-i«(j^)s'

(«1+0),

wo mit fft der reelle Teil des betreffenden Ausdrucks bezeichnet ist.

17*

260 Siebentes Kapitel.

Beweis. Die Bedingung 2) ergibt sich aus Satz 26 f&r p^— — £^;

die Bedingung 1) fQr p^ » 2; doch ist 1) auch in 2) enthalten and nur
wegen der größeren formalen Einfachheit erwähnt. Die Bedingung 3)

h h

erhält man für p^^ — 2; p^^^i « -l"- — ' • Endlich die Bedingung 4)

wählt.

1 ^-y I a,
entsteht, wenn man ^ — ^, k — x

Schließlich sei noch für den Fall, daß alle Teilzähler gleich 1 sind,
ein einfaches Spezialkriterium mitgeteilt:

Satz 28. Wenn die Teilnenner des Kettenbruches

den Ungleichungen genügen

l,--\ + \-^ ^1 (v-1,2,3,...),

90 ist er konvergent. {Pringsheim 1.)

Dies folgt in der Tat aus Satz 26, wenn man p^^^i^^Pi^^' l^s,
setzt und bedenkt, daß durch unsere Bedingungen bereits die Unglei-
chung I &2 1 > 1 mit Ausschluß der Gleichheit involviert wird.

ÜL Wir werden in den folgenden Kapiteln häufig auch Kriterien
fdr gleichmäßige Konvergenz gebrauchen. Um solche zu erhalten,
geben wir zuerst die

Definition. Wenn die Elemente eines Kettenbruches Funktionen wm
irgend welchen (endlich oder unendlich vielen) Variabein sind, so heißt
der Kettenbruch in einem gewissen Bereich^) dieser Variabdn gleich-
mäßig konvergent, wenn seine Näherungsbrilche ^ in dem ganeen

Bereich gleichmäßig einem Grenewert zustreben, d. h, wenn jedem posi-
tiven B eine Zahl n zugeordnet werden kann derart, daß für v'^n im
gansfen Bereich B^-^0 ist, und die Ungleichung gilt:

— - — lim -^

^y 2 = 00 ^X

<£•

Diese Definition läuft augenscheinlich darauf hinaus, daß die un-
endliche Reihe

Ä^ /Ä^^, A^\ /Ä^^. A.

in dem betrachteten Bereich gleichmäßig konvergiert

1) Unter einem „Bereich" darf überall, wo nichts weiter bemerkt ist, eine
Puiktmenge im allgemeinsten Sinn des Wortes verstanden werden; sie braucht
beispielsweise weder abgeschlossen, noch überall dicht zu sein.

§ 63. Die EoiiYergeiizkriierien von Pringsheim. 261

Das wichtigste Kriterium f&r gleichmäßige Konyergenz ist nun
SatB 29. Wenn die demente des Kettenbraches

Funktionen von irgend wdchen Variabdn sind, so ist er gleickmäßig hon-
vergent in jedem Bereich, in wdchem die folgenden beiden Bedingungen
erfüUt sind:

1) IM^I«.I + 1 (1/- 1,2,3,...)

OD

2) Die Beihe ^ (\b^\- 1)(| 6, | - 1) . . . (| 6, | - 1) is< gleich^

mäßig divergent.^)

In der Tat ist der Eettenbruch wegen der Bedingung 1) nach
Satz 24 sicher konyergent, und außerdem gilt die Formel (2), aus wel-
cher weiter folgt:

5,1^1+^ (IM -l)(IM-l).--(|6il-l).

Wegen der Bedingung 2) gibt es daher zu jedem positiven b eine Zahl n
derart, daß für v ^ n im ganzen Bereich \B^\> — wird. Aus der
Fehlerabschätzungsformel (4) folgt dann aber

"^^ - lim A

<s für 1/ ^ n,

-ßy 2=00 -^A

und zwar wieder im ganzen Bereich, womit die Gleichmäßigkeit der
Konyergenz bewiesen ist

Offenbar bleibt die gleichmäßige Konvergenz eines Kettenbruches
bestehen, wenn man ihn durch einen äquivalenten ersetzt und noch den
ersten Teilzahler mit einer Konstanten oder allgemeiner mit einer im
ganzen Bereich unterhalb einer Schranke bleibenden Funktion multi-
pliziert. Wendet man daher den vorigen Satz an auf den Kettenbruch

1) Wenn f^, f^, ^,, . . . Funktionen von irgend welchen Vaiiabehi sind, so

OD

heißt die Reihe ^ | /V I ii^ einem gewissen Bereich gleichmäßig divergent,
wenn zn jeder (beliebig großen) positiven Zahl G ein Index n gefunden werden

n

kann derart, daß im ganzen Bereich ^ ! /V I !> ^ ist. Wie leicht zu sehen,

r = l

ist die Reihe insbesondere dann gleichmäßig diyergent, wenn im ganzen Bereich
die Ungleichungen I /V | ^ Cy ^ 0 gelten, wobei die c. Konstanten sind, für welche
die Reihe £e^ divergiert.

262

Siebentes Kapitel.

wobei

Pr

V

(v^X)

und p^> 1 sein soU^ so erhält man den allgemeineren
Sati 80. Wenn die Elemente des KeUenbrudies

a,\ . o, I . a,

LI J. ^!«J _L ^^ J.

FunkHanen wm irgendweidien Variabdn sind, so ist der KeUenbnuh in
dem durch die Ungleichfmgen

.h

^c,

P.-iK

Pr- iPv

("^2)

charakterisierten Bereich gleichmäßig konvergent. Dabei darf C irgendeine
(beUebig große) Zahl sein, und die p, bedeuten irgendwelche Zahlen > 1,

00

für wdche die Beihe ^ (jp^ — 1) (p^ — 1) • • • (p^ — 1) divergiert.
Insbesondere folgt ftlr p^ ^ 2, daß in dem Bereich

£C,

a.

h ,b

^i

(.^2)

gleichmäßige Eonvergenz statthat

Ein bemerkenswerter Spezialfall unseres allgemeinen Kriteriums ist

Sati 8L Sind r^, r^, r^, ,,. reeUe Zahlen, die den Ungleichungen
0 < r,< 1 genügen, und sind ^^^ ^^, ^,, . . . Zahlen vom absoluten Be-
trage ^1, so ist der Kettenbruch

1 "^1 1 "^1 1 "^1 1 "^

im Bereich | o; | ^ 1 gleichmäßig konvergent, (van Vleck 2.)
Beim Beweis müssen wir zwei Fälle unterscheiden:

00

1. Fall. Die Reihe ^ yht T«: — ' * * T^ — divergiert. In diesem
Fall setzen wir p^ ■» ^zz — für v ^ 1 . Dann ist

r,(l - r,_i) -

Pt-iPt

(v^S);

also für I o; I ^ 1 a fortiori

r,(l—r,,,)»,x\£

(V^2),

§ 68. Die EonTergenzkriterien von Pringsheim. 268

Außerdem ist die Reihe

2'(*'^-i)(i'.-i)-(i''-i)-i'r^i^-r^

nach y oraussetzung divergent. Wahlen wir noch 0 — 1 , so sind also
alle Bedingungen von Satz 30 erfBlli Wir wenden uns jetzt zum

2. FalL Die Reihe ^ - — ^- — - — ? — ^ — konrergiert. Dann

fuhren wir die Hilfsgrößen

ein und setzen

(«) P.-i^lir (»'^1).

Offenbar ist

und mit Rücksicht hierauf findet man durch eine leichte Rechnung:
Daher ergibt sich einerseits

also wieder im Bereich 1 o; 1 ^ 1 :

^(1 - »-»-i) (»'^2),

Anderseits ist nach (^)

^'i;;^ K- »..x) - «0«. 2 (^-i^) -«.«*. (i^-4).

264 Siebentes Rftpitel.

Da aber offenbar lim u^ — 0, so ist hiernach die Reihe

nasoo

OB

»=1

divergent Wählen wir noch C» 1, so sind also wieder alle Bedingun-
gen Ton Satz 30 erf&Ut.

§ 54. Die Konyergeiizkriterieii yon yan Yleck-Jensen.

LEinyom Pringsh ei m sehen Hauptkriterium yöUig verschiedenes,
nicht minder wichtiges und allgemeines Eonvergenzkriterium verdankt
man van Yleck; der Beweis wurde von Jensen bedeutend vereinfacht
Als Grundlage dient

Sati 32. Die Teünenner des Kettenbruches

säge man in die Farm \ « \bj[ e *. Qibi es alsdamn eine positive ZoM s
derart, daß für v ^ 1,2,S, . . , durchweg

ist, und sind die ZaMen b^, h^, 65, . . . nicht aüe gleich NtM^ so nähern
sich die Näherung^miche gerader Ordnung einem Orenewert; ebenso die
ungerader Ordnung, (van Vleck 1, Jensen 1.)

Zum Beweis seien wieder Ä^, B^ die Näherungszähler und -Nenner
v*^' Ordnung; es ist dann
(1) B,-fe,B,., + 5,., (1.^1);

also^ wenn man mit der zu jB^.i konjugiert-komplexen Zahl B^_i
multipliziert:

(2) 5,5,-1 -M5,_i*+5,_;5,_, (»'^1)-

Setzt man daher

(3) 6,-|M(co8^, + i8mfrJ-/J,+ »y, (v^l),

(4) B,B,_,~«,+ it„ B,B,_,^ a,- it, (r^O),

SO folgt aus (2) durch Absonderung des reellen Teiles:

(5) «,-^J-B,-il*+^-i (v-^l).

§ 64. Die Konvergenskriterien von yan Vleck-Jensen.

266

und hi^rauSy da offenbar ^o"" ^ ^^^'

(6) <^,-/Jil5«i*+AIAI*+--- + /JJ-B,-i

Nun sei bg^+i ^^ ^^^ ^^^ Zahlen 6^, b,, b^, . . .^ welche nicht
verschwindet^ also^ da die b^ nach Voraussetzung nicht rein imaginär
sind, auch ß^^^i ^^ ®^^ nicht yerschwindende der Zahlen ßx, ßzjßiy"'
Dann ergibt sich leicht aus der Rekursionsformel (1):

(7)

J5o*==^i""* "^An"- 1; ^1

2fi+l

^«« + 1^

während die B mit kleinerem ungeradem Index verschwinden. Daraus
folgt dann, daß ft^+i |B,J* + 0 ist, dagegen /J,|5,.J*-0 för
1/ < 2n + 1. Daher ist insbesondere auch nach (6):

(8) <^„+i-/J,.+il-B,J*-ft.+i + 0;

dagegen 0,-0 für v < 2n -h 1. Nach unseren Voraussetzungen ist
nun |'9'»| ^ Y — f ; also, wenn tang (y ~ *) "" * gesetzt wird:

(9) /J»=IMco8fr,^0

(10) \Y^ - |6, sin#,l - /Jjtang^J ^ */J,.
Hieraus weiter

(11) \K\ - \ßr + »nl ^ Ä+ Inl ^ (1 + *)/J,.

Da iSy^O ist, folgt zunächst aus (8): ^s,+i>0; sodann ergibt sich
aus (6), daß die 6^ mit v monoton wachsen. Es ist also

(12)

^^^-l^<yJn + l>0

(i;>2n + l).

Nach (4) ist dann fOr v>2n gewiß auch JBy_i + 0; d. h. die Näherungs-
brüche sind von der (2n)^ Ordnung an nicht sinnlos. Man hat dann
für V ^ 2n + 1 (siehe Formel (34), Kap. I):

^+l

> + l

^„+1^^_1

(l + *)^, + i {l + k)ß^^,\B\^

-"^v + l^y-l

^r+l^t

B B .

(1 + ä:)K + i-0

<^r + l+*S + l| 'l^^y+^Sl ~"

Infolgedessen sind die Differenzen

und

iL

266

Siebentes SLapitel.

die allgemeinen Glieder yon absolut konvergenten Reihen; also existieren
die beiden Grenzwerte

(13)

lim^-^^, lim^-

W. z. b. w. Zugleich ergibt sich für die Fehlerabschatzung die Formel:

(14)

A , A

^ hm^

für v^2n + l.

. I«o ^

Wir wollen jetzt noch eine untere Grenze zur Abschätzung der 6^
berechnen. Man hat für i/ — 2 ^ 2n:

V-8

K^^-l + ^v-9

>-a

^1 +

1 +

*» l^r-l

<»,_1-»«,_1

s-1 s-1 '^lll+l

'2«i + l

Setzt man also zur Abkürzung \j^ ^— 6r, so kommt:

'Sn+l

B

r-2

^ 1 + G(0,- 6,_,) ^e°^'^-''-^ ^6"^'^-''-*^ .

S,\^

Wenn man hier für v der Reihe nach die Werte v, v — 2, v — 4, . . .
bis herab zu 2n + 2 bzw. 2n + 3 einsetzt und die entstehenden Un-
gleichungen miteinander multipliziert, so folgt:

l^i«!«^"" für gerade v,

<

l-^a«+ik "^ ^' ungerade v,
also, da JB,,— 1, ^g^+i = 6j«+i ist, in jedem Fall

|5J<(l + |6„^.x;)e'"''.

Diese Formel gilt ihrer Herleitung nach für v ^ 2n + 2; sie ist aber,
wie man direkt sieht, auch für v »2n + 1 richtig. Anderseits ist nun
für V ^ 2n + 1

§ 64. Die Konyergenzkriterien von yan Vleck-JenBen.

267

also

— Öa,

und hieraus

-$Ga^

M

-tOtr,

P,l-o»-il ^P,^i+>).- (i + |ö„+,|)« ^i + * (1+*)' (i + p,,^,!)«'

Hier ist aber die liitke Seite nach (5) gleich 6,— o^^i, also jeden&lls
^ e"' — «"*"*. Wenn daher noch die Abkürzung

6i.+ir

(v^2n + l),

(1 +*)»(! + |6„^i|)t-^
eingeführt wird, so kommt

oder auch

Hieraus folgt nun sofort

"" (v^2».+ l),

oder endlich^ wenn man zu den Logarithmen übergeht und ffir G, g die
bezüglichen Werte einsetzt:

(15)

^.>

für v^2» + l.

IL Nunmehr ergibt sich leicht das yan Ylecksche Hauptkriterium:

Sati 88. Unter den Voraussdaungen von Sauf 32 ist der Kettenbruch
konvergent oder diver gerU, je nachdem die Beihe Z\'bJ\ divergiert oder hm-
vergiert, {van VUck 1, Jensen 1.)

Daß nämlich die Konvergenz der Reihe stets die Dirergenz des
Eettenbruches nach sich zieht, folgt schon aus Satz 5. Um einzusehen,
daß auch umgekehrt die Divergenz der Reihe die Konvergenz des
Kettenbruches zur Folge hat, ist nur zu zeigen, daß die beiden Grenz-
werte (13) in diesem Fall einander gleich sind. Dazu genügt aber

augenscheinlich der Nachweis, daß der Ausdruck
wachsendem v beliebig klein wird. Nun ist in der Tat

A

v-l

B.

>— 1

mit

A.

A
B

r-l

-

1

1

»— 1

B.B,_,

" Sß,.,

^+»\

äi

268 Siebentes Kapitel.

and da die Divergenz der Reihe 2\W nach (15) bewirkt, daß 6^ mit v
über alle Grenzen wächst, so ist hiermit der Beweis erbracht.

Das in Satz 8 enthaltene Seidel-Sternsche Kriterium für Ketten-
brüche mit posititen Elementen ist in Satz 33 als Spezialfall enthalten
und damit zum zweitenmal bewiesen.

Eine leichte Erweiterung yon Satz 33 ist

Sat8 34. Wenn in dem Kettenbruch

11 + 11 + 1! + ...

die Zahlen \j &,, ^6' -- * ^^^ ^^ verschtoindeny so setze man &,— WW '-
Wenn dann eine reelle Zähl a und eine positive Zahl ri existieren derart^ daß

M (t. = l,2,3,...)

ist, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung für die Kon-
vergenz des Kettenbruches darin, daß die Reihe 2JW\ divergiert, (van
Vleck 1, Jensen 1.)

In der Tat ist der Kettenbruch äquivalent mit

e"^^ I . 1 , . II. 1

\o^e I ^8 ^ I ^8 ^ I ^4 ^

f

wobei d beliebig. Wählt man aber d ^ a + — ^ , so erfüllt der

Kettenbruch (16), abgesehen vom ersten Teilzähler, der jedoch auf die
Konvergenz keinen Einfluß hat, die Voraussetzungen der Sätze 32, 33,

indem £ = ^ zu setzen ist.

Es ist gut, sich in der komplexen Zahlenebene die Lage der b^ zu
veranschaulichen, die durch die Bedingungen des Satz 34 gefordert wird:
Die b mit ungeradem Index liegen in einem beliebigen Winkelraum,
der seinen Scheitel im Nullpunkt hat und kleiner als 180^ ist; die b
mit geradem Index liegen dann in dem Winkelraum, der zum ersten
in bezug auf die reelle Achse symmetrisch ist.

III. Wir wollen jetzt auch wieder einige Kriterien für gleich-
mäßige Konvergenz aufstellen. Zunächst

Satz 35. Die Teänenner des Keüenbruches

|6. ^ |fc. ^ \K ^
seien Fu/nktüynen von irgendwelchen Variahein in einem gewissen Bereich,

§ 54. Die Konvergenzkriterien von van Yleck-Jensen. 269

und es werde \^\b^e " gesetzt Wenn dann eine positive ZcM e
existiert derart, daß im ganzen Bereich

ist; wenn femer die Eeihe 2J[b^\ gleichmäßig divergiert; wenn endlich
von den Funktionen \y b^, b^, . . . wenigstens eine nicht identisch ver-
schwindet, und dabei die erste nicht identisch verschwindende im ganzen
Bereich größer als eine angdhare positive Zahl c bleibt: dann ist der
Kettenbruch in diesem Bereich gleichmäßig konvergent.

In der Tat ist er nach Satz 33 sicher konyergent. Die Gleich-
mäßigkeit ergibt sich dann leicht aus der Fehlerabschätzungsformel (14).
Nach dieser ist nämlich iJlr v^2n + l

("^ lfel-Ji'".-B7i^(l+*)i (ft-tang(|-^)).

Anderseits ist aber im ganzen Bereich: ^b^^j^.^, > c; also nach (15) auch

JZsSn + l

Wegen der gleichmäßigen Divergenz der Reihe S\bj^\ kann man daher
zn jeder beliebig großen positiven Zahl M einen Index m so bestimmen,
daß für alle v> m im ganzen Bereich die Ungleichung 6^> M gilt.
Dann folgt aber aus (17) sofort die Gleichmäßigkeit der Konvergenz.
Auch Satz 35 gestattet die gleiche Erweiterung wie Satz 33. Man
erhält

Satz 36. Die Teilnenner des Kettenbruches

.Li + 11 + i

seien Funktionen von irgendwelchen Variabein in einem gewissen Bereich,

ts

und es werde 6^= ji^jc •' gesetzt. Wenn dann eine positive Zahl rj und
für jede Steilie des Bereiches eine reelle Zahl a existiert derart^ daß

>
— a — jt + ti^^^^^ — a

(i;-l,2,3,...)

ist; wenn femer die Beihe 2^\b^\ gleichmäßig divergiert; wenn endlich
von den Funktionen \, b^j b^y * . - wenigstens eine nicht identisch ver-
schwindety und dabei die &^ste nicht identisd^ verschwindende im ganzen
Bereich größer als eine angebbare positive Zahl c bleibt: dann ist der
KßUenbruch in diesem Bereich gleichmäßig konvergent.

270

Siebentes Kapitel.

In der Tat erfQUt der äquivalente Kettenbrach (16). wenn man
zunächst den ersten Teilzähler in 1 abändert, die Voraussetzungen von
Satz 35. Da aber der wahre erste Teilzähler im ganzen Bereich unter
einer Schranke bleibt (er hat nämlich den absoluten Betr^ 1)^ so kann
er die Oleichmäßigkeit der Konvergenz nicht stören.

Als Anwendung beweisen wir

SatB 87. Die Teünenner des Kettenbruches

seien redU nickt negative Zahlen, und insbesondere sotten die h mit un-
geradem Index nickt alle verschwinden; femer sei die Reihe £b^ divergent.
Wenn dann x « re^^ gesetzt wird, so ist der Kettenbruch in jedem Be-
reich der Gestalt

0 <r ^R, —x + s ^(p ^se — Sf

UH) 6>0, gleichmäßig konvergent. (Stiettjes 4 a.)
In der Tat ist der Kettenbruch äquivalent mit

,<p

(18)

Vfe *

+

Vr

-^r'l

+

I

v?

^ -'I

+

Da nun r in dem bezeichneten Bereich eine Schranke R nicht übersteigt,
80 ist die Reihe ^ —L gleichmäßig dirergent. Der Eettenbmch (18)

erfüllt daher, wenn man zunächst vom ersten Teilzähler absieht, die Be-
dingungen von Satz 35, ist also gleichmäßig konvergent. Da aber der
erste Teilzähler absolut eine Schranke YR nicht übersteigt, so vermag
er die gleichmäßige Konvergenz nicht aufzuheben.

Eine wesentliche Ergänzung zu Satz 37 ist folgender

Zusatz. Unter den Voraussetzungen von Satz 37 sei ftg^^i die erste
nicht verschmindende unter den ZaMen b^, b^^ ^s, - - - Es ist dann

0/Srn«0,
h+ h+ • • • + ftg, /Mrn> 0,

l's(i? + S + R + -)

wobei X auf einem beliebigen Weg des bezeichneten Bereiches der NuH
zustrebt

In der Tat unterscheidet sich der äquivalente Kettenbruch (18)
von seinem Näherungsbruch ^— nach Formel (14) höchstens um

§ 65. Periodische Eettenbrüche. 271

ly^l (1 + 4)— i— ; also, weil <y,„^., - Ä«+i ^ ^'Vl^ (°*^^ ^®^

Formeln (8) nnd (11) angewandt auf den Eettenbruch (18)) ist^ höch-
stens nm |a;| \. *" - Man hat daher

Bofem der rechtsstehende Grenzwert existiert. Aber es ist, wie man
sogleich erkennt:

^2» ( Ofürw-O,

^2n l6,+ 64+-+6s„fürn>0

ganz unabhängig von x (4- 0). Damit ist der Znsatz bewiesen.

Man beachte übrigens, daß der Kettenbruch von Satz 37 durchaus
nicht immer konvergiert för x^O, Sein NSherungsbruch v^ Ordnung

ist dann nämlich, wie man ohne weiteres sieht, gleich r-^ ^- Er

wird daher dann und nur dann konvergieren, wenn aUe b^ von Null ver-
schieden sind; dann konvergiert er also gleichmäßig im Bereich

§ 55. Periodische Kettenbrttehe.

I. Ein Kettenbruch mit beliebigen Elementen

heißt periodisch, wenn von einem gewissen v-Wert an die Gleichungen
6,^4=6^, Äy+n.4«=a^+i bestehen; k ist die Gliederzahl der Periode.
Speziell heißt der Kettenbruch reinperiodisch, wenn diese Gleichungen
schon von i; » 0 an bestehen; andernfalls heißt er gemischtperi-
odisch. Diese Definition deckt sich mit der in § 38 für halbregel-
mäßige Kettenbrüche gegebenen.
Sei nun

K^ ^Ih^r^lbo^lb,-^' ^\b,^^^\b.^\b.

ein reinperiodischer Kettenbruch mit /^gliedriger Periode, bei dem wir
außerdem die Teilzahler + 0 voraussetzen wollen. Zur Untersuchung
seiner Konvergenz gehen wir aus von den Formeln (24), Kap. I. Diese
lauten speziell für k ^k:

272 Siebentes KapiieL

Wegen der Periodizität ist aber offenbar ^_j^= -^r-.i5 -^»-i »"" -ö^-i-
Setzt man dann noch v — 1 in die Form

i^~l-(r-l)i + X,
wo X eine der Zahlen 0, 1, . . .yk — l bedeutet, so kommt

(2) j (A — 0,1,...,*— 1).

Wenn ^^^.i « 0 sein sollte, so ergibt sich aus der zweiten dieser
Gleichungen, angewandt för Jl « A; — 1, daß auch B^^^^ « 0 ist (durch
Schluß Yon r auf r + !)• Dann gibt es also unendlich viele sinnlose
NSherungsbrüche, und der Eettenbruch divergiert Eine erste not-
wendige Bedingung fQr die Konvergenz ist daher

(3) -»»-, + 0;

wir setzen diese hinfort als erfüllt voraus. Wenn dann der Eettenbruch
wirklich konvergiert, so muß sein Wert 1^ nach Satz 1, Kap. I der
Gleichung genügen:

oder, wenn man mit dem Nenner heraufmultipliziert,

(5) B,_,U*+ («»-B*-.- ^*-i)So- M»-»- 0.

Wegen (3) ist dies eine nicht identische quadratische Gleichung, deren
Wurzeln wir, ob der Eettenbruch konvergiert oder nicht, mit x^ und x^
bezeichnen woUen. Setzt man dann

(6) ft - a:,Bt_ , + a,B,_, (i - 1, 2),
so ist offenbar aadi

(7) p,«, - «j-^i, 1 + a^ 4i_, (» - 1, 2).

Ferner ergibt sich durch eine leichte Rechnung:

(8) Qi+Qi- A-i + «*-»*_»»

(9) QiQt - a^(Ät_iBt_t - 4i_jBi_i) - (- l/OiO, . . . at+ 0,

also gewiß pj + 0, pj + 0*

§ 56. Periodische Kettenbrache. 273

II. Wir wollen jetzt die Näherungszähler und -Nenner in indepeu-
denter Form ausdrücken. Aus den Gleichungen (2) folgt, indem man.
die zweite mit x^ multipliziert und von der ersten subtrahiert:

.-Q. ^rk + X—^l^rk + X

^ (-^*-l~"^l^*-l)-^(r-l)t + ;i+ (^*A-8~"^lö^*-^*-3l)-^(r-l)i + i-

Nun ist aber nach (6) und (8)

ebenso nach (7) und (8)

Setzt man diese Ausdrücke in (10) ein, so kommt:

woraus sogleich folgt:

(11) ä,,^,-x,B,,^,^q;{ä,-x,B,) (A-.0,1,...,ä-1);

und ganz entsprechend

(12) A^.^.-x.B^.^.^'Q^iÄ.-x^B,) (A-0,l,...,Ä-l).

Wenn x^^ x^, so kann man diese beiden Gleichungen nach Ä^^^^^
^rk-{-x auflösen, womit die gesuchte indepeudente Darstellung gefunden
ist.^) Für x^ » x^ dagegen sind die Gleichungen (11), (12) miteinander
identisch; man erhält dann aber leicht eine weitere Gleichung. Setzt
man nämlich in (1 1) r — 1 an Stelle von r, so kommt, weil jetzt auch
Qi = 9i ist:

Führt man diesen Wert von A^^^^^^^j^ in die rechte Seite der zweiten
Gleichung (2) ein, so geht sie über in

Hieraus ergibt sich, wenn man für r der Reihe nach die Werte 1, 2, ... r
einsetzt, leicht die gesuchte Gleichung:

(IIa) if.*+i - Pi'B, + rp,--- \A,-x,B,)B,_, (für x, -x,).

1) Sie findet sich in voller Allgemeinheit zuerst bei Stöle 1 ; etwas weniger
allgemein bei Crünther 1. Für eingliedrige Periodizität mit dem Teilzähler 1
wnrde sie bereits von Dan, Bemotdli 1 bewiesen, später von Clausen 1 wieder-
gefunden. Für zweigliedrige Periodizität mit den Teilzählern 1 bewies sie Kahl 1.

Perron. Kettenbrflohe. 18

274 Siebentes Kapitel.

Dazu f&gen wir die aus (12) für x^ = x^ hervorgehende:

(12a) Ak^x-^i ^rk^x = QiiAx - ^i^i) (^r ^1 - ^j)-

Nunmehr führen wir zuerst den Fall ^i 4" ^a; ^^^ Qi 4" Q% ^u Ende.
Wenn dann der Eettenbrueh konvergiert^ so mufi sein Wert ^ entweder
x^ oder x^ sein; wir setzen etwa ^^^ x^. Dann folgt aus (11) und (12),
indem man durch f^^^j^ dividiert und dann zur Grenze r— oo übergeht:

(13) 0-.Uin/-'-(^,-a:,B,) (A-0,1,...*-1),

(14) x^- x^^]im ^^^ {Aj,- x^Bj) (;i-0,l,...Ä;-l),

Wegen (14) muß also insbesondere

(15) Aj,-x^Bj^^O (A-0,1,...Ä— 1)

sein. Von diesen notwendigen Bedingungen kann aber die für X^Jc—1
unterdrückt werden, weil sie von selbst erfüllt ist; in der Tat hat man
ja mit Rücksicht auf (6) und (8):

-^*-i - ^ ^*-i - ^-1 - {Q% - »*^*-3i) - 9i + 0-

Ebenso ist aber auch Aj^_^ — rc, Bj^_^ ™ ft + 0, so daß aus (13) und
(14) speziell für A =» äj — 1 folgt:

um ^^ 0, lim ^^— + 0;

also durch Division: lim (— ) •= 0. Daher muß | Pi | > 1 Pj | sein, oder
wenn man statt der p^ die x^ einführt (nach (6)):

(16) \x^Bj,^^ + aj,B,_^\>\x^B^^^ + at,Bj^^^\,

Dadurch ist diejenige der Wurzeln x^y x^ charakterisiert, welche gleich
dem Eettenbrueh ist. Wir woUen nun zeigen, daß die für die Kon-
vergenz notwendigen Bedingungen (15), (16) auch hinreichen, (im Ver-
ein mit der stets vorausgesetzten Bedingung f^.^ + O). In der Tat,
sind sie erfüllt, so folgt aus (11) und (12):

(.7, ^^-'^^-O

(18) Um (^l:-' - X, "=^*') - ^, - X, B, + 0.

r=oo

§ 56. Periodische Eettenbrüche. 275

Hieraus ergibt sich durch Subtraktion, daß der Ghrenzwert lim ^ ^

existiert und von Null yerschieden ist. Man kann also die Gleichung
(17) durch ihn dividieren und erhalt dadurch:

Diese Gleichung ist aber, weil X jeden der Werte 0, 1 , ... i — 1 be-
deuten darf, gleichbedeutend mit: lim ^ ^ ^u womit die Konvergenz

bewiesen ist.

Wir wenden uns jetzt dem Fall x^^ x^^ also Pi» (»s zu. Dann
treten die Gleichungen (Ha), (12a) an SteUe von (11), (12). Wenn
daher fOr einen bestimmten Wert von X der Ausdruck Ä^-^ x^Bj^ + O
ist, so folgt aus (Ha) und (12a), nachdem man durch rQ{~^ dividiert
hat:

lira(:^-x,^''^i)^0.

Daher, indem man die zweite durch die erste Gleichung dividiert:
(19) Um ^*-^- - x^ (fOr Ä;,^x^B^ + 0).

rsop -^rk + X

Ist dagegen Aj^^-x^Bj^^ 0 für einen gewissen Wert von A, so ist ge-
wiß Bj^^ 4" 0, weil sonst B^^ und Aj^^ beide verschwinden müßten, was
sich mit

nicht vertragt. Daher folgt diesmal aus (Ha) und (12a), wenn man
durch Q^'^ dividiert,

lim ?^ - 5;i + 0

r=:op

Ir.C^'-^^^)-^'-^-»'-»-

Also wieder durch Diyision:

(20) lim ^-^- - x^ (für A^ -XiB^'-O).

18 •

276 Siebentes Kapitel.

Die Gleichnngen (19) und (20) zusammengeDommen besagen aber soviel
wie: lim -^ ^ ^ly so ^^ ^^^ Eettenbruch jetzt konvergiert. Zusam-
menfassend erhält man somit

Satz 88. Der k-gliedrig reinperiodische Kettenbruch mü lauter von
NuU verschiedenen TeiUsoMem

*o+|67+--+|57:-+i^+iT,+---+|6,_,+]^+iT:+-'''

dessen NäherungszäMer und -Nenner v*^ Ordnung A^ und B^ seien, kon-
vergiert dann und nur dann, wenn erstens B^_i H" 0 ist, und wenn aweitens
die Wureein x^, x^ der quadratischen Gleichung

entweder einander gleich sind oder den Bedingungen genügen:

I -B*-l^l + «*^*-2 1 > I Sk-l^2 + %^*-» I

Ä;^—x^B^ + 0 (il-0,1,...,* — 2).

Der Wert des Kettenbruches ist alsdann x^. {Stolz 1, Pringsheim 3,
Ferron 2.)

Erstes Beispiel. Sind x^, x^ die Wurzeln der Gleichung
/c« — Jjp — a — 0, woa+0, so hat der eingliedrig periodische Ketten-

bruch ^ + ^^ + ^i + • • • ^ön Wert x^, wenn x^ = rc, oder | aTj | > | a:, |
ist. Dagegen divergiert er, wenn x^=^ x^, aber | ^i | = | a?» | ist.

Zweites Beispiel. Die a^, b^ seien reell; die Wurzeln x^, x^ aber
nicht reell. Dann sind x^, x^ konjugiert-komplex; also ist x^^ x^'^ aber

Daher divergiert der Kettenbruch, was auch a priori evident ist, da
doch ein Kettenbruch mit lauter reellen Elementen unmöglich der nicht
reellen Zahl o:^ gleich sein kann.

lU. Interessant ist das Verhalten des Kettenbruches, wenn zwar

also 1 (>i I > I (>2 I ist, aber für mindestens einen Wert von A:
Dann folgt nämlich aus (12) für diese Werte von X:

^k + X^ ^%-^rk^X'

§ 65. Periodische Eettenbrüche. 277

Da -4^4+2, -Br*+i Jiictt beide Null sein können (weil kein Teilzahler

▼erschwindet), so folgt hieraus: jS^"^ = rc^; also gewiß auch

lim -jj ^ ^1 .

Für diejenigen Werte von X dagegen, für welche A^—x^B^^^ ist,
also insbesondere fEir ^ » % — 1 folgt genau wie oben

lim "5 5= Xx .

Daher erhält man

Sats 89. Wenn die Bedingungen von Säte 38 nwr insoweit erfiUU
sind, daß 0war B^_^ + 0, und

istj während für gewisse Werte von k der Ausdruck A^— x^B^ verschunn"
det, so oseiUiert der Keüenbruch in der Weise, daß

-^r*+i [ ^1 fi^ A ■" ^2 ^2 + 0; iwsfeesofkferc für A — äj — 1
liJn -^ = \

ist.

Die Möglichkeit dieses Divergenzph^omens hat Thiele 1 als erster
erkannt.

Beispiel.

Hier ist Ä; = 3, £,=» 2 — a; daher eine erste Konvergenzbedingung
a 4- 2. Die quadratische Gleichung lautet

(2-a)x^—3x + l +« = 0,

und ihre Wurzeln sind:

' 2 — a

Weiter ist dann

B^x-^B^=^ 1 -«, B^x'^—B^^a.

Für a =— -r- ^"^^ ^' "=* ^"» ^'•Isö Konvergenz. Ist der reelle Teil von a
gleich Y , aber a selbst nicht reell, so wird

x+x", \B^x'-B,\^\B^x"-B,\,

278 Siebentes Kapitel.

also Divergenz. Ist der reelle Teil von a kleiner als y; ^ ^^
1 1 — a I > I a I, also muß x^ »= x'j x^ « x" gesetzt werden. Dann ist

+ 0 für « 4- — 1
- 0 für a = — 1 .

Daher Konvergenz , nur für a « — 1 Thielesche Oszillation. Ist end-
lich der reelle Teil von a größer als ^-, so wird |a| > ] 1 — a|, also

muß jetzt x^ = x"y x^ = x gesetzt werden. Dann ist aber Ä^ — x^B^^
1 — 1 >— 0, also Thiele sehe 0:$zillation. Zusammenfassend ergibt sich,
wenn mit 91 (a) der reelle Teil von a bezeichnet wird:

1) ** ™ Y • Konvergenz

2) 8(l(a)-Y, « + Y- Divergenz

3) SR(a) < Y , a + — 1 : Konvergenz

4) a — — 1 : Divergenz (Thielesche Oszillation)

5) 9i(a) > Y : Divergenz (Thielesche Oszillation außer für a « 2).

In jedem Fall der Konvergenz hat der Kettenbruch den Wert 1.

lY. Wenden wir uns jetzt den gemischtperiodischen Kettenbrüchen
zu, so ist deren Konvergenzentscheidung leicht auf den vorigen Fall
zurückzuführen. Sei nämlich

(21)

ein gemischtperiodischer Kettenbruch mit lauter von Null verschiedenen
Teilzählern. Wenn er konvergiert^ so müssen die beiden reinperiodi-
schen Kettenbrüche

r'A + i t'Ä+t-i \^h

(23) 6,,, + ;±t» I + . . . + «*±i- 1 + "^ + ;^ +

§ 56. Periodische Ketteubrüche. 279

nach Satz 2 noch mindestens im weiteren Sinne konvergieren. Nach
Satz 3 muß dann wenigstens einer von ihnen sogar im engeren Sinne
konvergieren. Wenn also die Eettenbrüche (22), (23) beide divergieren,
so divergiert sicher auch (21). Wenn dagegen einer konvergiert, bei-
spielsweise der Eettenbruch (22), so kann sein Wert |j^ nach Satz 38
berechnet werden. Nach den Sätzen 1 und 3, Kap. I, wird dann der
Eettenbruch (21) nnwesentlich divergieren oder konvergieren, je nach-
dem der endliche Eettenbruch

On^-i] aj^

sinnlos ist oder nicht; und sein Wert ist im Eonvergenzfall eben gleich
diesem endlichen Eettenbruch.

Hiemach läßt sich auch bei gemischtperiodischen Eettenbrüchen
die Eonvergenzfrage in jedem Fall entscheiden, und der Wert des
Eettenbruches, wenn er konvergiert, berechnen.

V. Wir geben zum Schluß noch eine kleine Anwendung der For-
meln (11), (12). Nehmen wir nämlich den Eettenbruch

(24) 2co8* - j-^^l - jj^ - 1 2-^-j - . . .,

SO ist Ä; » 1, also Qt^ x^y und die quadratische Gleichung lautet:

x^'-'2 cosd^'X+ 1 = 0:
also wird

P| ^^ sc* *■" ^ , Oo ^^ SOa ^^ V

Daher nach (11) und (12) für A; - 1, i - 0:

A^-(f^B^ -e-"-^(2cos^-e'*)-c-'('-+*)^
^^- e-'^'^-B^« ^'•^(2cos ^ - e-*^) - €'('•+ ^)^.

Also durch Subtraktion:

'•"■ e*^-«-'^^ ^ sin»

Anderseits haben wir aber am Schluß von § 3 fQr B^ einen Aus-
druck gefunden, der in Anwendung auf den Eettenbruch (24) folgender-
maßen lautet:

-B^- (2 cos &y - (•'7 ^) (2 cos ^)'^-*-f (*" 7 *) (2 cos &Y''' - + •••,

wo die Reihe soweit fortzusetzen ist, bis sie von selbst abbricht. Durch
Gleichsetzung dieser beiden fQr B^ gefundenen Werte entsteht die be-
kannte Formel

280 SiebenteB Kapitel.

die sich also auch ans der Eettenbruchlehre gewinnen läßt. Setzt man
noch r — 2 an Stelle von r und subtrahiert die enstehende Gleichung
von der vorausgehenden, so entsteht die weitere bekannte Formel

2 cos r -ö- - (2 cos d'Y" y (2 cos ^Y'^+Y^^^) (^ ^* ^y'^

-ir7')(2<^^«^/-*+--

§ 56. Limitftrperiodisehe Kettenbrfiche.

I. Das bei Satz 38 augegebene erste Beispiel lehrt, daß der Ketten-
bruch

ft + «J + J^l + _^ +
^^ 'b ^ \h ^ \b ^

insbesondere dann konvergieren wird, wenn die Wurzeln der quadra-
tischen Gleichung Q^ — bQ — a^O ungleichen absoluten Betrag haben.
Wir wollen jetzt beweisen, daß er noch konvergent bleibt, wenn man
seine Elemente in einem hinreichend kleinen Spielraum abändert, und
wollen dabei auch die gleichmäßige Konvei^enz ins Auge fassen.

Bedeutet d" eine positive Zahl kleiner als 1, so ist 1 > ^4:^0:1 >^;
also gibt es eine positive Zahl @, welche den Ungleichungen
1 > ®> > genügt, und zwar ist dann eo ipso ö* > d; also a for-

tiori ® > ^. Dies vorausgeschickt beweisen wir

Sats 40. Seien a, b Funktionen von irgend welchen Variabdn in
einem gewissen Bereich, und sei überall a 4* 0. Sind dann q^, q^ die
Wurzeln der quadratischen Gleichung

Q^—bQ—a = 0

(also pi + Oj Pj + 0), so soU es eine Zahl ^ < 1 und eine ZcM C geben
derart, daß im ganzen Bereich

ist. Femer sei & eine den Ungleichungen

2»

1

>©*>!

+ »*

§ 66. Limitärperiodiache Kettenbrüche.

281

genügende ZaM, so daß eo ipso aiuih 0>d- ist. Wenn dann die Elemente
des Kettenbruches

h M ft.

h

+

• • ■

Fwnktianen sind, die im ganeen Bereich den Ungläehumgen

-1

ix

^{B- «■)(! - B)

gemgeny so ist der Kettenbruck im Bereich gleichmäßig konvergent.
Beweis. Es ist

(1) Pl+P8=^6

(2)

Qi9i

— a

Nunmehr definieren wir gewisse Funktionen d^, £, durch die Rekursions-
formeln

(3) d„-0,

(4)
(5)

Pi(>,(l + d,_i)(l + «,) a.

and zeigen, daß dann im ganzen Bereich
(6) |d,!<©(l-®)

(v^O)

ist. In der Tat ist das ja nach Definition fUr v — 0 richtig. Nimmt
man aber an, es gelte schon für kleinere Werte Ton v, so folgt zu-
nächst aus (4) und (2):

(l+*,.,)(l + 5,)--«^; also a,-"

a

1 + ^r-i

Daher nach unsem Voraussetzungen:

(7)

a

i'*!^ 1-;*

+ 1*,-

v-l

^ 1 — e (1 — e) ^

Weiter ist nach (5) und (1):

^„ — Pi -- pj - p2 *» ^r — h — Q^ «y

Sr-

Qi

Qi

also nach unsem Voraussetzungen und nach (7):

282 Siobentes Kapitel.

9,^

8J^

b —b

V

+

,ej<(©_*)(l-ö) + ^(l-©) = ö(l_e),

womit die Allgemeingiltigkeit von (6) und zugleich von (7) bewiesen ist.
Die Rekursionsformel für die Nähenmgsnenner

nimmt nun nach (4) und (5) die Oestalt an:

B, - p,(l + d,)B,_, - 9,(1 + 0(5,-. - Pid + ^.i)Br-2) (v^ !)•
Daraus folgt sogleich:

■B,-Pi(l +^)5,-i-P,'(l + «,)(! + «,) •••(! + OC-Bo-^id + «o)-B-i)

-P»'(H-ei)(l + «»)---(l+0,
oder anders geschriaben:

•i (1 + *o)(i + *i) • • •"(! + »ö «r '(1 + *o)(i + *i) • ■ • (1 + *,_,)

" \*l/ 1 + *1 1 + *, * ■ ■ 1 + *, ■

Setzt man hier f&r v der Reihe nach die Werte l,2,...,v, so folgt
darch Addition sogleich

(8)

-»► _ = 1 I ^ ^ + *» . /f!V l+!i i±'« .

»1 (^ + *i) •••(* + *0 »1 ^ + *i Wi/ 1 +'*! 1 + *, "^ ■ ■ ■

/p,y i_+»i i_+«, 1+*,

+ *» 1 + *,

Diese Darstellung^) der B^ benutzen wir vor allem dazu, nachzu-
weisen, daß die Näherungsbrüche von einer gewissen Ordnung an nicht
sinnlos sind, dafi also B^ + 0 ist. Zu dem Zweck sei zur Abkürzung

I

(9) 1-+-^ =l+V.

gesetzt, so daß Gleichung (8), wenn man noch auf beiden Seiten die

Oröße ^, {-) subtrahiert, übergeht in

i = 0

B

x^i

1) In ganz analoger Weise lassen sich natürlich auch die N&herungsz&hler
Ä^ darstellen; doch benötigen wir die betreffende Formel nicht.

$ 66. Limitftrperiodische Kettenbrfiche.

283

Da aber nach Yoraossetzang - ^ f^^ mid da anderseits offenbar

(1 + %)(! + %) • • • (1 + 1?!) — 1 1 - i 2^1 +2'uVk +2viVtni +•••

! I

^^\Vi

ViVi

ViVkV,\ + -—0- + \Vid(> + \Vi\y<l + \Vi\)-i

ist, so ergibt sich aus obiger Oleichung die Abschätzongsformel:

(10)

-©

»'+1

•l'(l+^l)---(l+^)

1 —

9i

^^^ici + i^^tDa + i^D-'-a + hj)-!}.

Jlsl

Nnn ist aber weiter nach (9):

i+i»», -1+

-li-l +

«> — ^,

1 + *.

^1+^

»»l + l*,l 1 +

1- *

Daher mit Bflcksicht auf (6) und (7):

1 +

1 — e

and folglich:
(11)

1 4.1« I ^ i + (i-e) ^ ' ®__J_

(i+i'?,i)(i + ii?.!)---(i + i'?i;)<^-

Demnach ergibt sich aus (10); da wir bereits auf Seite 280 bemerkt
haben, daß 6l^>i^ ist:

•ro+^i)-(i+^)

1—

<^*'(^.-)<^**(^«-.)

2Uv -S^^^e'-^^r:^'

X^Q

1=^0

nud hieraus endlich auch:

p;(i+'i)--(i+^)

>

9x

284

Siebentes Kapitel.

2^

Da nun aber nach Yoraussetzung S^ > , ^, ist, so stellt der Ansdruck

(1 — ö-*)!©*— ^)

eine positive Zahl dar. Bezeichnen wir diese zur Abkürzung mit ö,
so geht die letzte Ungleichung über in:

Pi'G + ^)--(i + <^.)

>(f-

&

r+i

1 + ^

Hiemach muß es gewiß einen Index n geben derart, daß für v^n
im ganzen Bereich die Ungleichung

^:(i+^i)---(i+^.)

>T

gilt. Also ist gewiß B^ + 0 für v^n; und indem man zum reziproken
Wert übergeht, kommt (wegen dQ= 0):

(12)

p;(l + J„)(l + ^x)---0+^) i .^

Ä i ^ « '

.» + 1

<fiy {■>■ + ^i)(t + »»)i-:(_i + ^^+i)

>+i

(v^n)

<4

Außerdem ist aber

." + 1

also nach (11)

^d'^Xi + .'Jt:)(i+i%l)-(i+l'?,+il);

Bildet man das Produkt der drei Ungleichnngen (12), (13), so erhält
man für v^n:

(»i??yi(i+*o)(i+^)(i+*i)(i+*2v--(i+*,)(i+*.+o

•S**f+i

§ 56. Limitärperiodische Eettenbrüche. 285

wofÖr man aber nach (4) und, weil im ganzen Bereich \Qi\^C sein
sollte^ auch schreiben kann:

Dies gilt im ganzen Bereich für v ^ n. Daraus ergibt sich, da 0* > -ö*
ist, die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Reihe

00 . ^ j 00

B,^^\B,^, BJ B,^ ^ B^B,^,

also die gleichmäßige Konvergenz des Kettenbruches. Wz. b.w.

II. Wir untersuchen jetzt speziell solche Kettenbrüche, deren Teil-
zähler und -Nenner gewissen Grenzwerten

lim a^ = a , lim b^

V

f'soo ysoo

zustreben. Solche Kettenbrüche heißen „limitärperiodisch**. Für
sie gelten die folgenden Konvergenztheoreme:

SatB 41. Der limitärperiodische Kdtenbruch &o + rt" + ri~ + ' "^

bei dem

a^ + 0, lim a^ = a, lim b^^b

t' = 00 r s eo

i^, konvergiert mindestens im weitem Sinne, wenn die Wurzdn (>i, q^ der
quadratischen Gleichung Q^ — bg—'a^O ungleiche absolute Beträge haben.

Der Käteribruch ^^ + riü^ + ^ ^^ + ' ' ' ^konvergiert dann, wenn v ge-
nügend groß ist, auch im engem Sinne, und es ist

hm {b^+-^ - + ^ -t----) = (>i,

v = oo \ '^ I ^v + 1 *^r + i /

wenn p^ die absolut größere der Wurzeln q^, pj bedeutet.

Satz 42. Seien a^, a^, a^, . . ., und b^, b^, b^, . . ., zwei Serien von
Funktionen von irgend welchen Variabein in einem gewissen Bereich,
welche daselbst gleichmäßig gegen zwei Grenzfunktionen lima, — a,

lim 6^—6 konvergieren. Femer existiere eine positive ZoM ^ < 1 und

VBOO

zwei positive Zahlen c, G derart, daß im ganzen Bereich

c<\qA<C, ^* <#

istj wobei p^, q^ die Wurzeln der quadratischen Gleichung (>' — 6() — a = 0
bedeuten.

Dies vorausgesetzt gibt es eine Zald n derart, daß für v ^ » der

286

Siebentes Kapitel.

Ketteiibmch 6, + ,-^^ + r -- + • • • tw ganzen Bereich gleichmäßig
konvergiert.

Um zunächst Satz 42 zu beweisen, sei G^ die Gesamtheit der-
jenigen Stellen des Bereiches, an denen \a\ < — c*(l — d)* ist; die

Gesamtheit der übrigen Stellen sei G^. Dann genügt es zu zeigen, daß
die Aussage des Satz 42 in G^ und in G^ je für sich richtig ist. Nun
folgt aus unsern Voraussetzungen:

also speziell in G^:

a
~b

a
6»

1 c«(l-4^)»^ 1 ,- .

<

1 c«(l — »)»
8 1

.-^

8

Da die Grenzwerte lim a^» a, lim &,» 2» gleichmäßig erreicht wer-
den sollen, so gibt es demnach einen Index n derart, daß für v'^n
überall in G^ die Ungleichungen gelten:

a

f+i

>+i

<|c(l-*),

^+;i

K+x-i^v+i

<i a^2),

Der Eettenbruch

*

(14)

K+rV'' +

*v + 2

\K^x

+

'r+t

erfOUt demnach für v^n in G^ die Bedingangen des Satz 30 (mit
j,,-2).

In G^ dagegen ist nach Voraussetzung

a\^lc\l-»y, e^\Q,\^G,

I r, !

9i I

woraus man in Verbindung damit, daß die a^, h^ gleichmäßig gegen
ihre Grenzfanktionen a, b konvergieren, leicht ersieht, daß der Eetten-
bruch (14) für große v in G^ die Bedingungen von Satz 40 erfdUt So-
mit ist er sowohl in G^ als in G^ gleichmäßig konvergent W. z. b. w.
Aus Satz 42 folgt nun unter Zuziehung des Satz 2 ohne weiteres
auch Satz 41, abgesehen von der darin enthaltenen Behauptung

VBOO V ^y + 1 , ^t + i /

§ 66. Limitärperiodische Eettenbrüche. 287

Um auch diese zu beweisen, betrachten wir den Eettenbruch

^»^*^ ■•■ ^ + ikw +

dessen Elemente wir in folgender Weise als Funktionen von x im Inter-
vall 0^a:^l definieren: Jede von Null verschiedene Zahl x des
Intervalles läßt sich auf eine Weise in die Form setzen:

wo X eine positive ganze Zahl, und 0 < 0* ^ 1 sein soll; dann sei
f,{x) - ^a,^, + (1 - ^)a,^,^.i; g,{x) = #6,^., + (1 - ^)6,+,+,;

außerdem: f^(0)^a\ g^(0)^h. Da lim a;i»a, lim6;i"»6, so sind

hiemach die f^, g^ im ganzen Intervall 0 ^ a? ^ 1 stetige Funktionen
von x. Wenn femer € > 0 eine beliebig kleine, und n eine so große
Zahl bedeutet, daß f ür i; ^ n

ist, so wird fclr alle von Null verschiedenen x des Intervalles, sobald
v^n ist, auch

i/;(«)-«i=i*(«,+i-«)+(i-*)K+i+,-o)i<*«+(i-»)«=-f,

und erst recht | /',(0) — o | = | o — o | < « sein. Daher ist im ^nzen
Interrall O^x^i gleichmäßig

lim /;(«) = «;

v = oo

und ebenso auch gleichmäßig

lim g^ (a?) = 6 .

>=:00

Nach Satz 42 gibt es demnach eine Zahl n derart, daß der Eettenbruch

^ 0 ^ ^ ^ 1 gleichmäßig konvergiert. Seine Näherungsbrüche sind
also von einer gewissen Ordnung an für kein x sinnlos und sind, da die
Elemente stetige Funktionen von x sind, ebenfalls stetig. Wegen der
gleichmäßigen Konvergenz ist dann nach einem bekannten Satz auch
ihre Qrenzfnnktion stetig für 0^a;^l. Da diese also insbesondere
auch an der Stelle x ^0 (nach rechts) stetig ist, so folgt:

288 Siebentea Kapitel.

oder mit Rücksicht anf die Definition der Funktionen f, g:

v=oo\ ^"n + r + l \^n + t + i / i*' I*'

Der rechts stehende Eettenhruch ist aber gleich q^ (siehe Satz 38^ erstes
Beispiel), und damit ist der Beweis von Satz 41 beendet.

ni. Eine Anwendung ist

Satz 43. Seien a^, a^y a,, . . . Konstanten mit dem Grenzwert a, und
X eine komplexe Variable. Wenn dann a = 0, so gibt es sfu jedem Be-
reich \x\:^R eine Zahl n derart, daß für v ^ n der Kettenbruch

m

,-1 +;-r" + , ■i-- + ---

gleichmäßig konvergiert Wenn aber a + 0, so führe man in der kom-
plexen Zahlenebene vom Funkt — j - ous einen geradlinigen Schnitt in

der dem NiUlpunJct entgegengesetzten Richtung ins Unendliche. Dann gibt
es für jeden Bereich ' a? ^Rj der außerdem diesem Schnitt nicht bdiebig
nahe kommt, eine Zahl n deraH, daß für v^n der obige Kettenbruch

wieder gleichmäßig konvergiert, {van Vleck 4, Frings-

heim 6.)

Indem wir zum Beweis den Satz 42 anwenden,
handelt es sich um die quadratische Gleichung:

Q^ — Q — ax ^ 0.

Fig.i. Ist a == 0, so sind ihre Wurzeln p^ -» 1, Q%^^y also

für |ic| ^ JR die Bedingungen yon Satz 42 erfÜUt.
Für a + 0 ist in Fig. 1 ein Bereich der gedachten Art gezeichnet.
Da die beiden Wurzeln

stetige Funktionen von x sind und bloB auf dem genannten Schnitt
gleichen absoluten Betrag haben (indem nämlich der Radikand bloB
auf diesem Schnitt negativ reell ist), und da in dem fraglichen Bereich
überall

§ 67. Das EekursionsBystem a;^= b^x^ +i+S + i^i' + 8- 289

all?

Qi\ S 2 = 2^~ '

ist, 80 gibt es zwei positive Zahlen c, C und eine Zahl ^ zwischen 0
nnd 1^ för welche wieder die Bedingungen des Satz 42 erfüllt sind.

§ 57. Die Olelchnng g - ft, + j^ + j^ + . . . als Folge des
Beknrsionssystems : x^ ■■ KXy +i+ay+iXy^9.

L Die Näherungszähler und -Nenner v^' Ordnung des Eettenbruchs
Iq + -^ H — seien wieder A^, B^, Wenn dann gewisse Zahlen Xq, x^^yX^,...
dem Rekursionssystem

(1)

Xi — b^x^ + o^x^
x^ — b^x^ + a^x^

genügen^ so ist^ wie wir schon in § 5, 1 sahen,

Wenn daher für einen gewissen Wert von n speziell a„+i=== 0 ist, so
folgt für v = n + 1 :

also auch

so da£ oTq, rr^ gewiß nicht beide verschwinden können, wenn a^yU^, -",%
und x^^i Yon Null verschieden sind. Daraus folgt sogleich

SatB 44. Aus dem System von n + l Gleichungen

a:, = M,^i+a,^.ia;,^., (i/«0, l,...,n-l)

folgt, faUs rCi + 0 is^.

Js^ after jri = 0 und a?,+i+ 0, so «5^ d/esar Kettenhruch sinnlos; wenn
dann außerdem noch a^, a^, . . . , a, von Null verschieden sind, so kann
auch Xq nidit verschwinden.

Perron, Kettonbrfloho. 19

290 Siebentes Kapitel.

Wenn das System (1) unendlich yiele Gleichungen enthält^ dabei
aber niemals a„+i =- 0 ist; so legt Satz 44 die Frage nahe, ob aus (l)
etwa

geschlossen werden kann. In der älteren Literatur wird dieser Schluß
von (1) auf (3) geradezu als selbstverständlich angesehen, und die Glei-
chung (3) als genügend bewiesen erachtet, wenn gewisse Zahlen x^, x^f-
in independenter Form gefunden sind, die das System (1) befriedigen.
Daß aber ein solcher Schluß durchaus nicht ohne weiteres erlaubt ist,
sieht man leicht ein. Denn sei (3) ein beliebiger Eettenbruch mit lauter
von Null verschiedenen Teilzählem, und seien x^, x^ zwei ganz willkür-
liche Zahlen, nur x^^^ 0. Dann lassen sich sukzessive die Zahlen x^jX^j.^,
derart berechnen, daß das Rekursionssystem (1) befriedigt wird. Ware
nun (3) eine Folge von (1), so würde sich ergeben, daß der Eettenbruch

sc

jeder willkürlich vorgegebenen Zahl -^ gleich sein müßte, was doch

absurd ist.

Falls außer den a, auch die x^ für r ^ 1 von Null verschieden sind,
kann man leicht eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an-
geben, daß (3) aus (1) folgt. Es gilt nämlich

SatB 45. Die ZaJilen a,, Z»r, Xy mögen dem Bekursionssystem

Xy = 6va;„+i + a„+ia?v+, (i/ = 0, 1, 2, ...)

genügen^ und außerdem sei a» + 0, jr^ + 0 für v ^ 1 . Dies vorausgeseUty
ist die Gleichung

X, -"»+16, +,6.

dann und nur dann richtig, wenn die unendli(^ Beihe
' ' 1 1

a^x^x^ a^a^x^x^ a^ a, a, x^ x^ a^a^a^ a^ x^ x^

in der Weise divergiert^ daß die absolut genommene Summe ihrer v ersten
Glieder mit v beliebig groß wird.

Beweis. Aus den Gleichungen (2) folgt, wenn man die erste mit
JBv_i, die zweite mit Ay^i multipliziert und sie dann voneinander sub-
trahiert:

XQBy-t— X^Ay^l^ ay{Äy-iBy^l — Äy^lB,-9)Xp + i

= ( — 1) UtUi , ,. ayXy^i]

(4)

also auch

(5)

v-1

Xq ä^_^ (— 1) aiaj-'-ayOCy^i

«1 i„-i -«l^v-l

§ *^- Das BekunionseyBiem rc^-s h^x^ + 1+ «y + i^j^ + g. 291

Es handelt sich demnach um die notwendigen nnd hinreichenden Be-
dingungen dafür, daß

(6) . lim \ ^^'=.0

»ssOO

r — 1

ist. Nun läßt sich aber die zweite der Gleichungen (2) folgendermaßen
schreiben

(••| A» • • • Äy«l/y 1 -t Cl| oft < • ■ **y __ ■fX^ {♦• Ua « • • CbyX^X^ ■ J

setzt man hier fQr v die Werte 2, 3, . . . , v, so folgt durch Addition der
entstehenden Gleichungen:

(7)

(-i)'-»B

r-i

a^a^ . . , 0,yXy^l

Die Beziehung (6) wird daher dann und nur dann statthaben, wenn der
auf der rechten Seite von (7) stehende Ausdruck mit wachsendem v
seinem absoluten Werte nach beliebig groß wird, womit Satz 45 be-
wiesen ist.

II. Die Anwendung des Satz 45 setzt eine so genaue Kenntnis
des infinitaren Verhaltens der a», x^ voraus, wie man sie in den meisten
Fallen nicht haben wird; auch wäre die Bedingung, daß für r ^ 1 alle
x^ von Null verschieden sein müssen, bei Anwendungen vielfach lästig.
Es ist daher wichtig, einige bequemer zu handhabende Bedingungen
kennen zu lernen, die für den Schluß von (1) auf (3) wenigstens hin-
reichend sind. Eine Reibe solcher Kriterien fassen wir zusammen in

SatB 46. In dem unendlichen Bekursionssystem

a:,-^x^+i+a^+i:r,+j (i/-0, 1,2,...)

seien alle a^ und wenigstens ein x^ von Null verschieden. Dann gilt ge-
wiß die Formel

hew.

iCo + 0, 6^> -|- y J* - + r^- -\ — unwesentlich divergent^ falls x^^Qy

sofern wenigstens eine der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist:

A. ÄUe a^j b^y x^ sind positiv, und der Kettenbruch Jconvergiert.

B. Für genügend große v ist

|^.l^(H-^«v;)>,+ii + i«v+i^.+r' {Perron 9).

19*

292 Siebeates Kapitel.

C. Man kennt gewisse ZaMen y^j y^, . . ., welche ebenfaüs dem Be-
Jcursionssystem y^^\y^^i + (^y+iV^+i genügen, und für die zugleich

lim ^^0 ist.

D. Es ist lim a^^ a^ lim h^^hy und außerdem besteht , wenn die

Wurgeln der Gleichung q^= öq + a ungleiche absolute Beträge haben,
und Q^ die absolut kleinere int, die Beziehung

limsupK '^

ttseo

. »"i

= endlich für P2= 0.

Wir bemerken zunächst, es ist hier im Gegensatz zu Satz 45 gar-
nicht ausgeschlossen, daß einzelne x^ verschwinden (auBer im Fall A,
wo ausdrücklich das Gegenteil verlangt ist). Jedoch können für keinen
Index n die beiden Zahlen x^jX^^^ zugleich verschwinden. Dann würde
nämlich aus der Gleichung

fÜri/-=n~l,n--2, ...,0 der Reihe nach folgen: x^_^ « 0, x^_^^0,
. . . , iC(> =* 0; ebenso für v = n, n + 1, . . . , weil alle a^ + Ö sind: x^^^^Q,
a:^^.8«0, . . .. Es wären al&o alle ^^=0, gegen die Voraussetzung.
Damit ist insbesondere bereits gezeigt, daß für x^^O stets ^0 4* 0 ist.
Wir beweisen jetzt die vier Kriterien gesondert.

Beweis zu A. Wenn alle a^, 6^, x^ positiv sind, so gilt das gleiche
von den A^, B^, und die aus (2) hervorgehende Gleichung

^_ -^v— l^v"l" ^r-^v-S^v + l
^1 "" ^r-^l^v + ^^r-i^v + l

lehrt dann, daß — zwischen -j!^- und -J-^ liegt Der Grenzwert

A X

lim -^ kann also, wenn er existiert, nicht von — verschieden sein.

Beweis zu B. Wir nehmen zunächst an, die geforderten Unglei-
chungen

(sl) \x ^fl + 'ö iVa; _^J + 'a _^,a:.. ,1

seien schon von i; — 1 an erfüllt. Da wir bereits bemerkten, daß x^^^
und x^^^ nicht zugleich verschwinden können, folgt hieraus gewiß:
a:J > 0 für v ^ 1 . Es ist nun

^f-

M.+ l + ^ + Ä+2!^,M. + ll + >» + Ä + 2

§ 67. Das Rekuisionssystem Xy^'^yX^^i+ay^iX^^f, 293

Vergleicht man dies mit (a), so kommt, weil ia;y^.i| > 0 ißt:

i6,!^l + iaj fiirv^l.
Hieraus ergibt sich genau wie auf Seite 255:

also auch, wenn man für v die Werte 1, 2, . . ., v setzt und die ent-
stehenden Ungleichungen addiert:

(b) I -ßj ^ 1 + kil + i «i«2i' + • • • + 1 Oittg . . . aj.

Anderseits ist nach (a)

I^J>(i + l«rl)l^v+il;

also auch, wenn man i/ »=1, 2, . . ., i/ setzt und bei jeder folgenden
Gleichung das Resultat in die vorausgehende eintragt:

(e) la;,|>(l + iai!)(l + |a,j)...(l + |a,|)|a;,^.,|.

Aus (c) und (b) folgt weiter:

CI« (»a • • • Oy aCy I I

«l^y-1

<

«1«2- -O,

(l + |a,|)(H-|«,;)...(l + |«,|)|B,_,

'v-l

Von den zwei Ausdrücken der rechten Seite nähert sich aber wegen (b)
wenigstens einer mit wachsendem v der Null; also wird

lim

rssOO

0,

was aber nach (5) gleichbedeutend ist mit

''" - lim "^'-^

X

1

= 00 ""v — l

W. z. b. w.

Gehen wir jetzt zu dem Fall über, daß die Ungleichungen (a) erst
Ton V ^n + 1 an erfüllt sind, so ist nach dem Bewiesenen jedenfalls

(d)

X.

a.

a.

X

= ^« + m h m 1-

n + l

'«+1

'n + S

Anderseits lehrt Formel (11), Eap. I:

X.

Oa + -.- +

. »— 1| . »

I TT I

'« — 1

X

n + 1

+ «»^»-1

'n — 1

X.

X.

\x.

n+l

n — 1

X.

+ «.*,-»

'rt + l

294

Siebentes Kapitel.

also wegen (2), angewandt für 1/ » n:

(«)

a.

&ü+iT^ + --- + n^ +

'«-1

««

^la

*»

*ll+l

= -'l

o;«

X,

fÜTÄi+O

sinnlos för rr^ » 0

Nach den Sätzen 1 und 3^ Kap. I folgt aber aus (d) und (e), weil alle
a, -4" 0 sein sollten:

'•+r^-^+--

X

— fürXi+O

unwesentlich divergent für o;, =» 0 .

W. z. b. w.

Beweis zu G. Nach (4) ist

und analog erhält man dann

Wegen a^ + 0 und lim — = 0 folgt hieraus :

r Boo

yo^y^i-yi^t^i

Multipliziert man diese Gleichung mit y^ bzw. y^^ und subtrahiert dann
beiderseits Xq bzw. x^^ so kommt:

^^(^oy.-^.yo)-v.^_ bzw. H, (^oy^zfiyo)^.--! ^ ,

Durch Diyision folgt hieraus^ da x^, x^ nicht beide verschwinden können:

't— 1

X.

^^ B - X ^

falls a^i+O;

lim^^^

— = 0, faUs Xi= 0. W. z. b. w.

Beweis zu D. Nach Satz 41 ist der Eettenbruch

t = ft. + r^^ + r:-^ +

>+l

'v + i

f Qr genügend große v konvergent^ und außerdem ist nach dem gleichen Satz

lim|, = (»i,

V =£00

§ 67. Das BeknnionssTstem aj^ — 5^0?^ ^. ^ + a^ ^ i«^ ^ , . 296

wenn q^ die absolut größere Wurzel der Gleichung q^ ^bg + a be-
deutet. Wegen der Voraussetzung

1

limsupy jiCyl { kfll ^*^

= endlich für p^ = 0

rsee

gibt es eine positive Zahl d derart^ daß für hinreichend große v

^r\<

wird. Da außerdem lima^ == a ^^ — Q^Q^f ^^^ip^'Qi ist, so folgt:

a
lim -fc^ =" — Pj ; also f Qr genügend große v gewiß

S.

2

Die beiden letzten Ungleichungen mögen etwa für i/ > n gelten; dann
folgt aus der letzten noch:

^n + l^n-^-t'-^v

6« + 1 6» + J • • • 6r

Aus den Gleichungen

<(ip,i+Yr".

»r + 1

deren letztere aus der Definition ron |, mit Hilfe Ton Satz 1 , Eap. I
herrorgeht, folgt nun

also, wenn man für v die Werte «, n + 1, . . . 1/ — 1 setzt und bei jeder
folgenden Gleichung das Resultat in die vorausgehende einträgt:

»« + l»« + 8 • • • »y

Schätzt man die Terme der rechten Seite mittels der gewonnenen Un«
gleichungen ab, so kommt:

a^«-5.^«+il<(|p,l + {) (öp.n:*7 + ^+"^0-

Hier wird nun mit wachsendem 1/, weil | ^^ | wegen lim g^ » p^ endlich
bleibt, die rechte Seite beliebig klein. Da aber die linke gar nicht von v

i

296

Siebentes Kapitel.

abhängt, so muß sie verschwinden; daraus folgt, weil x^y ^n^-i nicht

X.

beide Null sein können: §.= — ^^: oder also nach der Definition von t :

X,

X.

-6.+

^!LLL! + J^^MJj +

^« + 1 l'^n + l l^'n + l

Hieraus schließt man aber genau wie oben beim Beweis zu B:

^ I ^i I ^

ix,

X,

für a?i + 0

unwesentlich divergent fttr x^^ 0.

Damit ist Satz 46 vollständig bewiesen.

III. Wir geben hierzu einige Beispiele.

Erstes Beispiel. Wir setzen für positive x und reelle a:

(8)

(p(tt, /S) - pTsr / ^—^~—du für iJ > 0,

isp(«,0)=l.
Dann erhält man für /3 > 0 durch partielle Integration:

00

00

.— u

+

!"{? + 1) j " \{i + xuf ' (1 + xuy

also

(9) (p(a, ß) = 9 (a, ß + l) + ax^ia + 1, /3 + 1).

Diese Formel gilt aber auch noch für /3 » 0; denn in der Tat ist

00

9(a, 1) + ax^{a + 1, 1) «J i

.— «

+

axe

— »

(1 + a;i*r (1 + ««)

-)

äu

- r """ j = 1 - <p{tt, 0).

.(l+a:u)''J„^o
Weiter hat man für /3 > — 1 nach Definition:

.— «

{l+xu)

a+lj

ufdu

X

r(/J + i)J (1 + ««)'

§ 67. Das RekorsionssjBtem ä;^— 5,3:^ ^ j + a^ ^ ^a;^ ^ , .

297

also

(10) ip(a, ß + l)^tp(a + l,ß + l) + (ß + l)rr<p(« + 1, /3 + 2).

Aus (9) und (10) ergibt sich das Rekarsionssysiem:

(p(a, ß) - q>{a, ß + l) + axfp{a + 1, /J + 1)

q>{a, /J + 1) - ip(a + 1, /5 + 1) + OS + \)xq>{a + 1, /3 + 2)

( 11) tp{a + 1, /3 + l) - 9)(a + 1, /3 + 2) + (« + \)xq){a + 2, /S + 2)
ip(a + 1, iS + 2) = <p(a + 2, iS + 2) + (/3 + 2)x^>{a + 2, /} + 3)

Da alle 9? nach ihrer Definition positiy sind, so folgt hieraus nach
Satz 46, Bedingung A:

9)(a + n,l5 + n+l)

j^ (g + n)x| (P + n + l)a; I , (a + n + l)a;

(/? + n + 2)a;| (tf + n + 2)a?,

WO n eine ganze positive Zahl bedeutet, für die a + ^ > 0 ist. Dann
hat nämlich der Eettenbruch lauter positive Elemente und ist konver-
gent (nach Satz 10). Aus (11) folgt aber auch

q>(a,ß)_ -i .ccxj (ß+r)x\ {a + n-l)x\

1) "" ^ "^ I 1 ■•■ ' " "^ ■• ^

9)(a,/J +

+

(ß+n)x

.<p(a + n,/? + n+l)

falls kein Teilzähler verschwindet; also in Verbindung mit der vorigen
Gleichung, nach Satz 1, Kap. I:

(12) |9>(«»P + i) - • |i • I 1 'I 1 'I 1

Ot ß'^0, x>0, a reell, a + 0, — 1, — 2, . . .

(Nidsen 1). Übrigens bleibt diese Formel auch für a = 0, — 1, — 2, • • •
noch richtig, sofern man dann den Eettenbruch bei dem verschwinden-
den Teilzähler abbricht; dann kann nämlich auf das System (11) der
Satz 44 angewandt werden.

Speziell für /3 = 0 folgt aus (12), wenn man den reziproken Wert
nimmt:

ix

f -V \\ . ax\ . laj,

I

(« + 1)«J 2«] ^«-j- 2)«J

+

298

Siebentes £[apitel.

OB

Nun ist nach Definition: q)(a, 1) ■= /«"**(! + xu^^du] also, wenn man

die Substitution 1 + xu ^ xv macht:

00 ,

-»+ —

* . — a — a

e

X V dv

je «

/-"■**»* ' --»--«
^ C

<:7t7,

Setzt man dies in die letzte Gleichung ein und setzt noch x = — , so
kommt nach Division durch 0 die von Legendre 2 angegebene Formel:

(13)

— V — a

or— 1 » i ~-v

r e I e V

dv

-r j i' + jy + i — t rrri-r — ^, rrr^ +

z ' \i • \z • \ 1
(jgr > 0, a — reell).

j?

e

Speziell für a » 1, wenn man in dem Integral die Substitution e^^ ^ t
macht:

— «

0

{Soldner 1, Nielsen 1).
Femer für a — y; ^ — ^; ^ ^ 5*; i^ftch Multiplikation mit £ :

(15)

60

dt

1

1 ^\ 1

+

_2

2{'

+

_«

w

+

(€>0)

{Laplace 1, Jacohi % Seidel 1). Diesen Formeln kommt neben der theo-
retischen eine praktische Bedeutung zu, da sie zur numerischen Berech-
nung der Integrale ; deren letzteres bekanntlich in der Wahrscheinlich-
keitsrechnung eine Rolle spielt, sehr geeignet sind. Denn da die Eetten-
brüche (14), (15) lauter positive Elemente haben, so liegt ihr Wert
zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen (siehe Satz 11,
oder oben den Beweis zu Satz 46, A ).

Schließlich sei die durch Kontraktion (Formel 7, § 43) aus (13)
hervorgehende Formel erwähnt:

(16)

00

0 eje V a!/-|^_j_^ |^ + a^2 \z + a + 4.

8(a + 2)

, , _ (je?>0,a — reell),

welche für je? = 1 von Tannery 1, für beliebige z von Laguerre 7 bewiesen
wurde.

§ 67. Das BekuTsionssjetem «,= ^^«^ + 1+0^+1^;^^.,. 299

Zweites Beispiel. Wir setzen f&r beliebige y und x\

(17) ^i(y; X) = Y{^ ■*" r(y + 1) iT "^ r{y + 2) TT "^ Tx^+^U "1 '

wobei ppr «=» 0 zu setzen ist für p — 0, — 1, — 2, • • •. Vy(^\ x) ist eine

ganze transzendente Funktion von x. Man verifiziert dann leicht die
Formel

''iCy; ^) =- y ''iCy + 1; a?) + a:!P',(y + 2; o?),

die sogleich das Rekursionssystem liefert:

f 3^i(y + 1/; ^) - (y + v) 3^i(y + v + 1; a;) + x'V^iy + v + 2; a;)

(i; » 0, 1, 2, . . .).

(18)

Wenn wir also zeigen können, daß bei konstantem rr(+ 0) für ge-
nügend groBe V die Ungleichung

gilt, so ergibt Satz 46, Bedingung B, die Formel:

mit der Einschränkang, daß, wenn x eine von Nnll rerschiedene Nall-
stelle des Nenners ist, dsi^n der Zähler nicht verschwindet und der
Eettenbruch unwesentlich divergiert Nun folgt aber aus (17) fUr

*'>|yh

«'-1

Daher ist

(21) lim !P'i (y + v\ x) r(y + ») - 1 ;

ysee

also auch, indem man v durch 1/ + 1 bzw. 1/ + 2 ersetzt und die ent-
stehenden Gleichungen durch (21) dividiert,

lim ^^^+-1 +-*;^ - 0, lim ^i^+-l+-*V'^- - 0-

Hieraus geht hervor, daß Ungleichung (19) für genügend große v sicher
richtig ist, womit auch Formel (20) bewiesen ist {Bessd l, ScMömilch l,
Graf 1, van Vleck 3, Perron 3). Übrigens sieht man ohne weiteres, daß
(20) auch fiir o? » 0 gilt, sofern dann y keine negative ganze Zahl ist.

300 Siebentes Kapitel.

Es sei noch bemerkt^ daß Viiy'^ x) im wesenÜichen die Besselscbe
Funktion J^_^ ist. Zwischen beiden besteht der Zusammenhang:

r-i

'^.-(^)-(2-)'^^(y'-T)-

lim ^ - 0.

Drittes Beispiel. Die GleichuDg Q^'^bQ + a habe die Wurzeln

Pi, Q^ und es sei I Pi I > I q^\. Setzt man dann a;^ = p'', y^™ p^", so ist

«r-K+i+ö^r+j; »r-^yr+i + öty^+j (v- 0,1,2,...),
und außerdem

Nach Satz 46, Bedingung G, folgt also:

in Übereinstimmung mit dem ersten Beispiel zu Satz 38.

Beispiele für das Kriterium D des Satz 46 werden wir in Kap. XI
kennen lernen.

Achtes Kapitel.

Kettenbrfiche der Form 1 + pp + pi

§ 58. Korrespondenz Ton Potenzreihe nnd Kettenbrach.

I. Wir untersuchen in diesem Kapitel endliche und unendliche
Kettenbrüche der speziellen Form

(1) 14A^ + T^ + T^ +

wobei die a, von Null verschiedene Konstanten sein sollen, während
X eine komplexe Variable bedeutet; wir nennen die a, die Koeffizienten
des Kettenbruches. Sind Ä^(x)y B^{x) die Näherungszähler und -Nenner
v^ Ordnung von (1); wobei wir die Argumente x auch manchmal
unterdrücken^ so ist nach den Euler-Mindingschen Formeln (§ 3):

0, y— 1 0, v-J 0,1«- 8

1, »-1 1.»-» 1, »-J

Hieraus ersieht man, daß A^^, B^^, Ä^^_i, -Bj^^i Polynome vom höch-
stens v**" Grad mit dem konstanten Glied 1 sind, und zwar ist, wenn

^^ 1 5i ,(x) = 1 + /J,,,a; + ^,,,a;» + . . . + ^,,,a:'

/gs ( ^ir-i W = 1 + n,!« + Y,,iX* + • • • + y,,,x'

gesetzt wird, speziell

(4) «,,- a,a,... a,(\ + «•- + ?if . + . . . + «• «• -Jl?« ._- A

(ß) ßy,^'^<^i<^A"'<^2>7

302 Achtes Kapitel.

(6) yy,r^^l^S"'<^tr-l,

Daher sind A^^^j^ und B^^ genau vom v^^ Grad^ während bei A^^ und
-^sv-i ^^^ Gfrad sich unter umstanden erniedrigen kann. Auf alle Fälle
besteht aber

Sats 1. Ein endlidier Kettenbruch der Form 1 + p r — | — • + ^^ ,

wo a^+ 0, steüt eine rcUionale Fu/nktion von x dar und ist nur in den
Polen dieser Funktion sinnlos.

Zum Beweis müssen wir nur noch zeigen, daß diejenigen Werte
Ton x^ für die der Eettenbruch sinnlos wird, d. h. die Nullstellen von
B^{x)y nicht auch Nullstellen von A^{x) sind, sondern also wirklich
Pole der Funktion. Dies folgt aber sogleich aus der Belation

denn nach dieser Formel könnte als gemeinsame Nullstelle von A^ und B^
nur der Wert a; «=» 0 in Betracht kommen, welcher aber gar keine Null-
stelle Yon B^ ist, da dieses Polynom das konstante Glied 1 hat.

Wenden wir auf den Eettenbruch (1) die Formel (33), Eap. I an,
so kommt

:^Jl+/rl _ ^^-1 ^ /_ l^^-l «i«2 ••<*;t^^-^y~i,;t

WO nun außer -B^^^^-i '^^ ^k-\ ^^^^ ^v~\ x^^ Polynom von x mit
dem konstanten Glied 1 ist. Wenn man daher beide Seiten dieser Formel
nach Potenzen von x entwickelt, so erkennt man, daß die Entwicklung

Ax^\
von j. — mit der Entwicklung jedes folgenden Näherungsbruches bis

zur Potenz m^^^ einschließlich übereinstimmt, während die Eoef&zienten
von ^ verschieden ausfallen. Setzt man daher

so ist für v^\ auch

^v+;i-i(^)

1 + CiX + c^x^A h C;i_ia;^"'*+ Cj^x^'\ ,

wobei aber Cj^^ dj^y und es ergibt sich, wenn man l + l statt X schreibt,

Satz 2. Zu jedem KeUenhruch der Form 1 + ~^ + '^~ + • • • >

wo a^ + 0, gibt es eine Fotenzreäie 1 + c^x + c^x^ -\ , die, wenn der

§ 68. KorreBpondenz von Potenzreihe und Eettenbnich. 303

KeUenbruck unendlich ist, dadurch eindeutig bestimmt ist, daß sie für
jedes X mit der Taylorschen Reihe für den Näherungsbruch V' Ordnung

-WT~\ ^** ^^'^^^ Potenz x^ einschließlich übereinstimmt; die Koeffizienten von

s^"^^ weichen dann notwendig voneinander ab. Wenn dagegen der Ketten-
brach endlich ist und etwa n Teilbrüche hat, so besitzt die Taylor sehe Reihe

die obige Eigenschaft für jedes A < w.^)

Wir nennen die so bestimmte Potenzreihe^ die im Fall der End-
lichkeit einfach die Taylorsche Reihe für die durch den Eettenbrach
dargestellte rationale Funktion ist^ die mit dem Kettenbruch kor-
respondierende Reihe (auch für c^^ \, Tgl. Fußnote 1)). Ob sie für
gewisse x konvergiert, ist vorläufig ganz gleichgültig. Wir beweisen nun

SatE 8. Zwei ertliche oder unendliche Kettenbrüdie

K^l + ^ + ^p + ..., K'~l + f^ + f^ +

haben nur dann die gleiche korrespondierende Reihe, wenn sie identisch sind})

Sind sie nämlich nicht identisch, so sei X der kleinste Index, für
den a;^^ a/ ist. Dann hat man, wenn die Näherungsbrüche v^ Ordnung

von K und K' mit -w- bzw. -^r bezeichnet werden,

V r

Bx 'ix-i~^ ^ ^x^x-i '

Hieraus findet man, da nach der Bedeutung von A offenbar ^ - - ^ Tt'~~

ist, durch Subtraktion, daß die Taylorschen Reihen für -vr- und -^r im
Koeffizienten von oi^ voneinander abweichen. Die mit K und K' kor-
^..^ Ke.. ..... .W .. . . ^.... „U % ... ^

überein, weichen also ebenfalls im Koeffizienten von x^ voneinander ab.

1) Offenbar könnte statt des Anfangsgliedes 1 von Kettenbruch und Reihe
auch irgendeine andere Eonstante c^ stehen; doch ist es für viele Untersuchungen
bequem, f^erade c^ =» 1 zu setzen.

2) K, K' sind hier lediglich abkürzende Symbole für die betreffenden
Ketfeenbrüche, keineswegs ihre Werte; die Eettenbrüche sind gar nicht als kon-
vergent vorausgesetzt.

304

Achtes Kapitel.

Damit ist Satz 3 bereits bewiesen, falls beide Eettenbrüche unendlicli
sind. Falls aber einer endlich ist, bleibt noch der Fall

1 + T'f^ +

^'_i+ «1^1

+pf-' +

+

+

»i-i«

«1-1«

•i-i

+

a,x

+

ZU erledigen. Dann ist aber die mit K korrespondierende Reihe gleich

-^"^^i während die mit K' korrespondierende wieder im Koeffizienten

von x^ davon abweicht; womit der Beweis von Satz 3 beendet ist. Als
Spezialfall heben wir hervor

SatB 4. Die beiden endlichen Kettenbrüche

a'x

l + fff + '-' + ff ; l + f^f' + --- + ff^ (a,+ 0,a;+0)

stellen nur dann die gleiche rationale Funktion von x dar, wenn sie iden-
tisch sind; aiso n ^ m; a^^ a/, a, «=- a,', . . ., a^«» a/.

II. Nach Satz 3 gibt es fQr jede Potenzreihe höchstens einen
Eettenbruch, fQr den sie die korrespondierende Reihe ist. Diesen werden
wir daher auch den mit der Reihe korrespondierenden Ketten-
bruch nennen. Wir nennen weiter eine Potenzreihe seminormal,
wenn wirklich ein korrespondierender Kettenbruch, und zwar ein
unendlicher existiert. Es gilt dann

Satz 5. Die Potenzreihe 1 + c^x + c^x* -\ ist dann und nur dann

seminormaly wenn die Determinanten

9i

qc,--

^2^' • •

^2^8

'v + 1

V».»

(v = l,2,3,...)

^8^4

>+l

. ^v^y + 1 • • • «2r-2

(i;==2,3,4,...)

alle von Null verschieden sind, und zwar haben dann die Koeffizienten
des korrespondierenden Kettenbruches die folgenden Werte:

ai = 9?i-, «2^=-

<h

r + l

^r + l^'r

(V =1,2,3,...),

wobei 9o ™ 1> ^1^1 ^^ setzen ist. {Heüermann 1, 2, Muir 3, 4, Frobe-
nius 1, Stieltjes ia.)*)

1) Vor Einbürgenmg der DetemuDanten haben KawUer 1, 2, Viscovatoffl
und Söhubert 1 zur Berechnung der Koeffizienten a^ brauchbare rekorsorische
Formeln angegeben.

§ 68. Eoixespondenz von Potenzreihe and Kettenbmch.

305

Beweis. Wenn die Reihe 1 + e^x + Cj«*H die korrespondierende

des unendlichen Eettenhruches (1) sein soll, so ist

— 1 + CiZ + CfX'-\ \- 0^3^+ dx + iX^'*'^-] .

Setzt man hier für A die Werte 2v und 2v — 1 ein, so kommt nach (2)
und (3) fär 1/ - 1, 2, 3, . . .:

(8)

(9)

i + n^i^+'-' + r^v«"

l+*r,l^+--- + ^.r-l

X

~-^ = l + CiicH t-Cg^_ia?'''-Hc"a:^''+---.

Wenn man nun in (8) mit dem Nenner heraufmultipliziert und die
Koeffizienten von a;*"*"^, a:" +*,..., a?'" beiderseits gleichsetzt, erhält man:

und hieraus durch Elimination von /J^ i, /J^ ,, . . ., /Jy,y_i:

(10) /»„»«iC-C-l^^+i (»'-1,2,3,...),

WO q)^y lif^ die in Satz 5 angegebenen Determinanten sind. Ebenso folgt
aus (9), wenn man mit dem Nenner herauf multipliziert und dann die
Koeffizienten von a;% 5?"+ ^ . ., a:*""^ beiderseits gleichsetzt.

und hieraus durch Elimination von J» i, J^^j, . . ., ^^ y_i:

(11) n,.V',- (- ir" V. {v - 1, 2, 3, . . .)

mit V'i =- 1. Setzt man in (10), (11) für /J^^,, y^^, die Werte aus (5), (6)
ein, so kommt

(12)

«2Ö4- • • ««y?Pr= (- ^YK^I (^ == 1> 2, 3, . . .),

f-l

(13) »ia8---««r-i^r=(— 1) 9r (v- 1,2,3,...).

Per r Olli Kettenbrflohe. 20

1

30G AchteB Kapitel.

Nun i5>t ^1 •= 1 + 0. Wenn aber für einen gewissen Wert von v fest-
steht, daß ^^^4" 0 ist, so folgt aus (13): 9^+0 und daher aus (12) auch:
^,+1 + 0. Folglich mQssen alle ^y, (p^ von Null verschieden sein. Femer
ergibt sich aus (12) und (13) sogleich:

(14) a,-9i; a,,- ^^-^^^, a,,^i = - ^^;-— ^ (v^l)

mit g?Q — 1.

Daß auch umgekehrt, wenn alle q>^, ttf^ von Null verschieden sind,
die Reihe wirklich immer die korrespondierende eines unendlichen
Eettenbruches ist, ergibt sich nun folgendermaßen: Jedenfalls kann nach
dem Bewiesenen nur derjenige Eettenbruch in Frage kommen, dessen
Koeffizienten gerade die Werte (14) haben, und es handelt sich daher
um den Nachweis, daß die korrespondierende Reihe dieses Eetten-
bruches gerade die gegebene Reihe ist. Wäre es aber eine andere mit
Koeffizienten c/, so würde man, von dieser Reihe ausgehend, ebenfalls
zu den Gleichungen (14) gelangen, wobei nur alle Cj^ durch c{ ersetzt
sind. Das ist aber nicht möglich, falls wir zeigen können, daß die Glei-
chungen (14) bei gegebenen a^^ die c^ eindeutig bestimmen. Nun folgt
in der Tat aus ^i^^^i^o^ zxmächst: c^^ a^\ nimmt man dann an,
^i; ^; • • • ^2y-i seien bereits eindeutig gefunden, so ergibt sich aus

eindeutig c,^; denn hier kommt c^^ bloß in der Determinante V'v+i vor
und zwar linear mit dem von Null verschiedenen Eoeffizienten ^y. So-
dann erhält man aus

t/',+l<p,"" ^^^+^

auch eindeutig den Wert von f2r+i- Denn c^^^i kommt hier nur in der
Determinante (p^^i vor und zwar linear mit dem von Null verschiedenen
Eoeffizienten g?^. Die Gleichungen (14) lassen also in der Tat nur eine
Auflösung nach den c^ zu, womit der Beweis von Satz 5 beendet ist.

III. Wir bezeichnen die Eorrespondenz von Reihe und Eettenbruch
durch das Zeichen '^^i also

l + C,X + CtX'+ ^ 1 + 3^ + ^ -f . . ..

Wenn die Reihe in der Umgebung des Nullpunktes konvergiert, also
daselbst eine analytische Funktion f{x) darstellt, so schreiben wir auch

(i%x\ a»x

m ~ 1 + p^ ! + p;_' + . . . ,

§ 69. Die Eettenbrüche von Gauß und Heine. 307

womit natürlich nicht gesagt ist, daß der Kettenbmch nun ebenfalls
gegen die Funktion f{x) konvergiert. Man bemerke übrigens, daß, wenn
der Eettenbruch unendlich ist, f{x) niemals eine rationale Funktion sein
kann. Dann wäre nämlich die Reihe rekurrent und folglich würden die
Determinanten q>^y ^^ für genügend große v verschwinden.

Für die Anwendungen ist noch der folgende Satz wichtig:

Satz 6. Die Korrespondenz

1 + Ci« + c,x» + c,x» + 1+^ + f»fl + fifJ + . . .

irte^^ für beliebige q + 0 stets die beiden folgenden nach sich:

l + QC,x + (fc,x*+ pe,«»+ . . . ~ 1 + ^;*! + ^p + 3.^^ + . . .

In der Tat ergibt sich die erste sogleich, wenn man die Gleichung

Bxlx) = 1 + ^1^ + ^^'+ • • • + ^2^:^+ rf;i+i^ + '+ • • •

mit Q multipliziert und dann die Zahl 1 — Q hinzuaddiert. Die zweite
ergibt sich, wenn man in derselben Gleichung x durch qx ersetzt.

§ 59. Die Kettenbrüche Yon Oanß nnd Heine.

I. Der Satz 5 liefert zwar zu jeder seminormalen Potenzreihe ex-
plizit die Koeffizienten des korrespondierenden Eettenbruches; doch ist
die Anwendung der betreffenden Formeln in der Praxis meist recht un-
bequem. Dagegen führt ein dem Euklidischen Algorithmus nach-
gebildetes Divisionsveifahren oft viel einfacher zum Ziel. Es sei

(1) 5ßoW ~ 1 + ^*-' + r'f J + rf-^ + • ■ •,

(2) ^^(;,)^l+'!i.- + ".-H.p-ü + ...

wobei ^o{x)f ^i(x) lediglich abkürzende Symbole für die korrespon-
dierenden Potenzreihen sind, die analytische Funktionen darstellen
können, aber nicht müssen. Bezeichnet man mit A^, B^ bzw. A^^^^
J?y 1 die Näherungszähler und -Nenner v**' Ordnung des Kettenbruches (1)
bzw. (2), so ist für A = 1, 2, 3, . . . formal:

(3) ^. = ^ + a^+^C,

(4) ^^ = _^^-M+x^C',

-^/l - l, 1

20*

308 Aehtes Kapitel.

wo auch Cl, £i' Potenzreihen sind. Anderseits lehren die Formeln (27),
Kap. I bei Anwendung auf den Kettenbruch (1):

Setzt man das in (3) ein, so kommt:

und daher nach Multiplikation mit (4):

(6) i^-m.^a.x + x'^'D.",

WO auch di" eine Potenzreihe ist, die aber, wie wir zeigen werden, iden-
tisch Tersch windet. Die Gleichung (6) sagt nämlich aus, daß in der
formal gebildeten Potenzreihe

die Koeffizienten von afi, x\ x\ ,,, x^ verschwinden. Da aber X ein ganz
beliebiger Index ist, und die Reihe (7) von X gar nicht abhangt, so ist
sie identisch Null. Also ist auch formal

Setzt man allgemeiner

w ^iW ~ 1 + ] — 1 — + r "1 ~ "^ 1 — i — "^ — '

so erhält man entsprechend das System von formalen Identitäten:
(9) ^,(x)^l + -;^^^, ?.(.=) -l + ^7§, %(a;)-l + ^.

• • •

}

a^x

welches, wenn der Kettenbruch (1) endlich ist und das letzte Glied

hat, mit der Gleichung $„(:r) ^ 1 endet. Wir zeigen nun, daß auch
umgekehrt, wenn zwischen einer Serie von Potenzreihen ?ßo(^), ^i(ä)>
$,(x), . . . die formalen Identitäten (9) bestehen, daraus die Korrespon-
denz (1) gefolgert werden kann. In der Tat folgt aus (9) formal

(10) ^•-l+pr- + -- + — i-+|^ = ^B,^, + a,.B — •

Schließt das System (9) mit der Gleichung ^^(x) — 1, so folgt aus
(10) für X = n: ?Po => ~2^ womit für diesen Fall unsere Behauptung be-

§ 69. Die Kettenbrüche von Ganß und Heine. 309

wiesen ist. Ist das System (9) aber unbegrenzt, so folgt ffir alle iL
aus (10):

(-ly

52-i(*,5,.i + aa«-B,-,)'

Hier steht aber im Nenner der rechten Seite eine Potenzreihe mit dem
konstanten Glied 1; also besi^ diese Gleichung; daß die Taylorsche

Reihe für ^^^^ bis zur (A - 1)*«» Potenz einschließlich mit ^^{x)

übereinstimmt. Das heißt aber, weil X beliebig ist, es besteht die Kor-
respondenz (1); ebeoso allgemeiner auch (8), und wir erhalten den

SatB 7. Aus der Korrespondene

(a) ^,(«)^l + ?ifJ + p-l+p--i + ...

folgt die Existenz von gewissen Potenereihen ^lix), für welche das System
von formalen Identitäten besteht:

a^x ax / \ ii_^s*^ Cß/'N ii^^

(b) ^o(^)-l + ^, ^ri^) ' 1 + ;i^y *«(*)- 1 + ©'•••'
dieses System ist, wenn der Kettenbruch unendlich ist, ebenfalls unbegrenzt;

tL SC I

es schließt dagegen, wenn der Kettenbruch mit dem Glied ~r-^ abbricht,
mit der Identität $,(^) — 1; dabei ist stets

«;i + i^| , «2 + 8* , «2 + 8*

(C) ^,(,;)^l+^^i!_! + ^i+^±±J^ +

Umgekehrt folgt auch aus dem System (b) stets die Korrespondenz (a)
und allgemeiner (c).

Insbesondere erkennen wir hieraus:

Sats 8. Aus irgend zwei der drei Formdn

a^x

?o(*) - 1 + i:^

0

fcigt stets die dritte. Dabei ist es gleichgültig, ob die Ktüenbrüche tmend-
2mÄ sind, oder vidmehr endlich und mit dem gleichen Glied schließend.

310 Achtes Kapitel.

Sehr nützlich für die Anwendungen ist auch
Sats 9. Wenn in der Korrespondenz

1 + c,a: + c^x^+ c,a?+ 1 + pf! + pf ' + pf ^ + • • •,

der Kettenbruch mag endlich oder unendlich sein, die c^, a, Funktionen
eines Parameters t sind^ und wenn die Grenzwerte

lim c„ = c'y lim a, = a/ + 0

existieren, so ist auch

t , /i'9i'Si II <>i'^l I ^tX\ , aJx\ .

l + c^x + c^x^+c^x^+""^l + p-^ + j-^ + j^ + • ".

Zum Beweis sei 1 + d^x + dfX*-\ die mit 1 + r*^ + pp' + • •

korrespondierende Reihe. Nach Satz 8 besteht dann die formale Identität

a,x

welche^ indem man mit dem Nenner heraufmultipliziert^ gleichbedeutend
ist mit dem System von Gleichungen

c^d^+c^d^+c^^O,

Da nun lim q = lim o^ = a^' *4* ^7 bo folgt hieraus sukzessive^ daß auch
die Grenzwerte

lim d^ »» d^\ lim d^ =» d^f lim ^3 =» ({3 ^ . . .

existieren, und daß zugleich die formale Identität besteht:

1 + c,'x + c,'x'+ . . • = 1 + T-+-d^,r+-i'^M^-

Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens ergibt sich, wenn man

wieder allgemein mit ^xi^) ^i® ™^* ^ + r~H" "^ r~T ^ ' " korre-

spondierende Reihe bezeichnet, sukzessive für A » 1; 2^ 3^ . . ., daß die
Koeffizienten von^;^(a;) mit t gewissen endlichen Grenzwerten zustreben.
Ist dann $/(^) diejenige Reihe, die aus ^x(x) entsteht, wenn man bei
den Koeffizienten den Grenzübergang ausführt, so bestehen auch die
formalen Identitäten

1

§ 69. Die Eettenbrüche Ton Gauß und Heine. 311

Nach Satz 7 folgt aber hieraus

II. Als erstes Beispiel leiten wir jetzt einen von Gauß gefundenen
Eettenbruch her. Die hypergeometrische Reihe

(H)

-•■ i.2.8.y\y + l)(y + 2) * "t" ' ' >

wobei natürlich y + 0, — 1, — 2, . . . sein muß*), befriedigt, wie man
darch eine ganz einfache Rechnung bestätigt, die Identitäten

(12)F(a,ß,r,x)~Fia,ß + l,Y+l;x)-^^^fF{«+l,ß-^l,r+2;x),

il^)F(a,ß,r,x)~Fia + l,ß,y+V,x)-^-^^-'^^xFia+l,ß+l,Y+2;x),

deren zweite übrigens aus der ersten durch Vertauschung Ton a mit ß
hervorgeht. Setzt man nun

^(« + ^b^*'- ?±-!^l— , - % , (x) (v - 0, 1, 2, . . .),

Fja-^-v, ß + v + 1, y + 2v+l; X) ^ .. Uj^a^9 ^

F(a + v + l, ß + v + 1, Y+2V + 2; x) '^«•'+lW \V "^yh^j'h

SO folgt ans (12), wenn man a, /?, y durch a + v, ß + v, y + 2v ersetzt:

45,,W-1+^---^, wobei a,,^i-~^-^^^p^y^y_^2i;+i)'

ebenso aus (13), wenn man a, /J, y durch a + t/, /J + t/-|- 1, y + 2vi-l
ersetzt:

« rx^ = 1 4- -""-'-'-±1^ wobei a - - ^'^ + ^+l)(y-« + ^+l) .

^2. + lW-l + ^^^^^(^), wobei a,,^a- (y + 2i;+l)(y + 2,r+.J)

Es besteht also mit diesen Werten von a^, ^y{x) das System von
formalen Identitäten wie in Satz 7, und daraus folgt die von Gauß 2
gefundene Korrespondenz: 5ßo(^) =»

(14)

F(tt, <?, r; ^) 1 4. ?i_^l 4. ?«^J 4- "s^i 4.

F(«,/? + i,y + i;a:)'"^"^| r"^| 1 "^11 "^*"

"*""" (y4-2y— l)(y + '2v)' »J.' + l" (y-l_2,.)(y + 2fr+l)

1) Ist eine der Zahlen a, ß eine negative ganze Zahl — n oder 0, so daß
die Reihe sich auf ein Polynom n^° Grades reduziert, so können für y auch die
Werte — n, — (n + 1), — (n + 2), . . . noch zugelassen werden.

312

Achtes Kapitel.

Diese ist^ falls einmal a^^i^O wird, so zu verstehen, daß der

Kettenbrnch dann mit dem Glied p^ abbricht, in welchem Fall daher

^q(x) eine rationale Funktion ist, und das Zeichen r^ in (14) auch ohne
weiteres durch = ersetzt werden kann.

Speziell {Qr /3 =» 0 kommt, wenn man noch y durch y — l ersetzt,

1

(16)

r>j

öl-

cc v(y — a+v— 1)

r

^ + rr + nr + rr + • • •'

do^^^ -« —

f^iv^ (y-|-2v— 2)(y+2ir— 1)' "'«»' + 1

(tt4-y)(y+y_l)
(y+2„_l)(y+2fr)

Hier sind nach der Herleitung die Werte y — 1 = 0, — 1, — 2, . . ., also
y — 1, 0, — 1, — 2, . . . auszuschließen. Doch bemerkt man nachträg-
lich, dafi die Formel noch f&r y » 1 in Kraft bleibt, indem man die
Fußnote von Seite 311 berücksichtigt oder einfach durch Anwendung
von Satz 9 für ^ «= y, lim y = 1.

Setzt man in (14) — an Stelle Ton x, was nach Satz 6 erlaubt ist,

und geht sodann auf Grund von Satz 9 zur Grenze a =^ oo über, so
kommt

(16)

*0J, y; x)

*(/»+i.r + i;«)

r>j

1-

r-ß

X

ß+i

+

(y + i)(r + 2)

Y-ß+t

(y + 2)(y + »)

X

1
ß + i

I

+

(y + »)(y + *)

X

wobei
(17)

9(3yx)~l + ^^ + ^-^ttJl^ + ßJß + })(ß+^^,

ist. Speziell für /J — 0, wenn wieder y — 1 statt y geschrieben wird.

(18)

*(1, y; X)

n^

1-

1

— X

y

Ix

y(y + i)

I 1

2x

+

(y + a)(y + »)
I 1

+

(y + i)«

fX

(y + i)(y + «)

(y + 8)(y + 4)

1

ix

+

(y + 4)(y + 6)

Auch hier erweist sich naditräglich der Wert }> — 1 als zalSasig, wo-
durch speziell entsteht, wenn man x durch — x ersetzt (Satz 6 fOr
P--1):

X

(19) &

X

n-i

X

+

2-8

X

X

2-3 i , 2-6

- — r + nr

X

2-6

+

2-7

I 1 M 1

§ 69. Die Kettenbrüche von Ganß und Heine.

313

X

Setzt man in (14) -j an Stelle von x und läßt ß unbegrenzt
wachsen (Satz 6 und 9); so kommt

(20)

^(g. y; x)

^(«1 y + 1»«)

f>->

1 +

r(r + i)

T X

(y + !)(/ + 2)

a-f- 1

+

(y + 2)(r + 3)

T X

r-«4-2 _

(y + »)(y + *)

+

wobei 4> wieder die obige Bedeutung bat. Setzt man bier a ^ y
so erbält man durch Vergleicb. mit (16) die Funktionalgleicbung:

*(ß, y; 1») *(y — P. y;— g) n

-A

Tritt auch in (20) — an Stelle von or^ so kommt weiter für lim a» cx> :

X

(21)

wobei
(22)

v(r; x)

«F(y +

1;«) ^^1 1

X

+

(y + i)(y + 2)

X

- +

(r + 2)(y + 8)

+

5'(y;^)-l + 7f + 7?7Vi)lf +

X

r{7+^)i7 + ^) 31

T7 +

Setzt man endlich in (14) — yx an Stelle Ton x und laßt y un-
begrenzt wachsen^ so kommt

(23)

wobei

(24)

, üja, ß; X)
a(a,ß+l;x)

f>->

, , ccx\ . (ß+l)x\ , (« + !)«

_^ (ß+i)x\ _|_ (« + 2)«, _j_

ß(a, ß.x)^l-aß^ + aia + 1)/J(/J + l)|i

X*

- a(a + l)(a + 2)^(/J + l)(/J + 2)^ +

1) Diese Identität zwischen vier ganzen transzendenten Funktionen läßt sich
direkt nicht leicht verifizieren. Sie folgt allerdings aus der Formel

^(/?, y; x) = e'0(y — (J, y; — ar),

die sich in § 81 mit Hilfe einer Differentialgleichung gelegentlich ergeben wird.
Hier aber ist das Bemerkenswerte der Beweis, insofern wir Kettenbrüche be-
nutzt haben, von denen wir gar nicht zu wissen brauchen, ob sie konvergieren,
geschweige denn, ob sie die betreffenden Funktionen darstellen.

314

Achtes Kapitel.

Insbesondere für /3 » 0 erhält man

(Efder 11, TremUey 1, Soldner 1). Hieraus folgt noch leicht

(26)

l+^ß(a,l;x)~l + i^ + ^ + p-? +

(a + l)a;| 2a;'

^ (« + 2)^1 I 8^. ,

Ebenso wie die Korrespondenz (14) sind auch alle daraus ab-
geleiteten so zu verstehen, daß, wenn nach dem Bildungsgesetz einmal
ein Koeffizient verschwindet, der Kettenbruch mit dem vorausgehenden
Glied abbricht; in diesem Fall kann dann das Zeichen <^ sogleich durch
= ersetzt werden.

UI. Etwas allgemeiner wie der GauBsche Kettenbruch (14) ist
der von Heine. Sei

(27)

f a N 1 . (l -«"")(!-«"'*)

+

(l_e")(i -««>')

(l _e'"')(i -6" ("•'•')) (i -e"/*)(l -e''<'^+'>) ^^
(l_e«)(l_e»'')(l_e«y)(l_e"(i' + i))

a;* +

wobei, damit die rechte Seite einen Sinn hat.

(28)

« + ±

2tt3rt

r+1

y + — 1/±

2nni

u

(n,v=0,l,2,...)

sein muß; im übrigen sind cc, ß, y, u beliebig. Man verifiziert nun als
Analoga zu den Formeln (12), (13) leicht die Identitäten:

vi«, ßf y, «; «) = 9>i«, ß + hr + h»;^)

-[!l,C)('le^^)^'^y('^ + 1, ^ + 1, y + 2; «; x),
(p{a, ß, y; u; x) " <p(a + 1, ß, y + 1; u; a:)

-Ll"r)a:,C^i^^"''^y(« + 1, /J + 1, y + 2; «; X).

Hieraus ergibt sich durch ganz den gleichen Prozeß wie vorhin die
Korrespondenz

§ 69. Die £ettenbrfiche von GhtoB und Heine.

315

(29)

q>(cf, /?, y; u; x)

a, X

n<t

a^x

ClmX

^11 ^11 ^11 ^

9(a, /J + 1, y + 1; «; a-)
"»» " (i— «"*>'+*»— i))(i _«"()'+*»))'

(l_e»(y+»0)(i_e«(y+«»+»)

«»»

+1

(Heine 2, 3).

Diese ist, falls einmal a^+i='0 wird, wieder so zu Terstehen, daß der

Eettenbmch dann mit dem Glied y^ abbricht, in welchem Fall das

Zeichen <-^ dnrch = ersetzt werden kann. Die He ine sehe Formel ent-
hält die Ganßsche als Grenzfall, der für lim u » 0 entsteht, unter Be-
nutzung von Satz 9.

Endlich soll noch ein letzter Eettenbruch dieser Art hergeleitet
werden. Setzt man

wobei bemerkt sei, daß die Koeffizienten nur scheinbar gebrochene,
in Wahrheit aber ganze Funktionen Ton q sind, so daß kein Wert
von q auszunehmen ist, so bestätigt man leicht die Formeln:

C„(a;) - £i,,^,{x) - 3*'+»a:D,,+.(a^)-
Also besteht, wenn man noch

0,(ar)

/>*" + !

setzt, wieder das in Satz 7 angegebene System von formalen Identitäten,
und folglich erhalten wir die von Eisenstein 1 herrührende Korrespon-
denz: ^o(x) «—

(32)

- fXJ

gx , g{l — q^x\

. 1 ^

1 ! 1 "^ i i

5''.r

+ -

Ist q eine Einheitswurzel, so bricht der Kettenbruch ab und ist daher
gleich der links stehenden Funktion von x, die in diesem Falle rational
sein muß.

316 Achtes Kapitel.

Heine 2 hat gefunden ^ daß auch die Eisenstein sehe Formel
wenigstens fiir j^l <1 ans der He in eschen dorch Grenzprozeß herror-
geht (wieder mit Anwendung Ton Satz 9). In der Tat wird^ falls der
reelle Teil von u negativ ist,

lim lim g?\— a, 1, y + 1; w; — rcc /

assoo ysoo

-= 1 + ja? + q^x^ + q^a^ + j^ar* -\ ,

u

wobei i'^e^ y also 1^1 < 1 ist. Ersetzt man nun in (29) a^ ßy x durch

— Uy 0, — xe und läßt a, y reell unbegrenzt wachsen, so entsteht

wieder genau die Formel (32), womit diese fdr {9| < 1 ein zweites Mal
bewiesen ist.

§ 60. Quadratwurzeln.

I. um die korrespondierende Reihe eines ^gliedrig reinperiodischen
Kettenbruches

zu berechnen, beachten wir, daß bei gleicher Bezeichnung wie im vorigen
Paragraphen jetzt ^j,{x) =« ^q{x) ist, also formal (vgl. § 59, Formel (10)):

«> . V _ yo(g)^t-i(^) + at^Aj^_^{x)

oder anders geschrieben
^*.i W*o(^)' - (^*.i(^) - a,xB,^^{x))%{x) - a,xA,^^{x) - 0.

Die korrespondierende Reihe genügt daher einer quadratischen Gleichung.
Diese ist im Bereich der rationalen Funktionen irreduzibel; denn andern-
falls würde sich aus ihr ^q(x) als rationale Funktion ei^eben, was aber,
da ^0(0:) die korrespondierende Reihe eines unendlichen Eettenbmches
ist, nicht sein kann, wie auf Seite 307 oben bemerkt wurde. Die Auf-
lösung ergibt:
^ , . Äj,^^{x)^a^xBj^^^{x)+y{Aj^^{x)-a^xBj^_,^{x)y^^

?o(^) TB-,::^)

wo also der Radikand nicht das Quadrat einer rationalen Funktion sein
kann. Da A^_^{x), Bj^_^{x), $o(^) ^^ konstante Glied 1 haben müssen.

§ 60. Quadratwurzeln. 317

80 ist das Vorzeichen der Quadratwurzel so zu nehmen, daß ihr kon-
stantes Glied gleich + 1 ist.

Untersuchen wir allgemeiner den gemischtperiodischen Kettenbruch

i+Pi-+---+p-+nr-+*--+ri—+ri~+*"+r i "•"'"'

so ist zunächst S^j^(x) die korrespondierende Reihe des reinperiodischen
Kettenbruches

1 + 1-^ + • • • + r^ + r^ + • • • + T-^^' + • • •.

genügt also einer irreduzibeln quadratischen Gleichung. Sodann ergibt
sich ^^, (x) aus der Formel (vgl § 59, Formel (10))

*oW

^A«i(«)*a(^)+«ä«J5^-2(^)'

woraus man ftbr ^q(x) ebenfalls eine irreduzible quadratische Gleichung
findet.^) In jedem Fall genügt also die korrespondierende Reihe eines
periodischen Kettenbruches einer im Bereich der rationalen Funktionen
irreduzibeln quadratischen Gleichung. Dieser Satz läßt sich aber keines-
wegs umkehren, wie man in Analogie zu dem Lagrangeschen Satz 2,
Kap. III yielleicht erwarten konnte; die einfachsten Beispiele werden
das bald zeigen; TgL die Schlußworte dieses Paragraphen.

U. Sei D{x) ein Polynom mit dem konstanten Glied 1, aber nicht
das Quadrat eines Polynoms. Femer sei ^q(x) ^YD(x) die mit dem
konstanten Glied + 1 beginnende Taylorsche Reihe für die Quadrat-

Wurzel; sie sei seminormal, und 1 -f pj— ^ + , ^ + • • • der korrespon-
dierende Kettenbruch. Um seine Koeffizienten zu berechnen, suchen wir
zuerst die Reihen ^x{x) zu ermitteln. Es ist, wenn man wieder die
Argumente x unterdrückt, für A ^ 1 :

also darcli AuflSsvmg uach ^^:

^i-»>^-^2-J

9ß, =- — a,x -
oder, indem man Zahler und Nenner mit Bj_i}/ii -\- Ai_i multipliziert,

1) Wir überlasBen es dem Leser, diese wirklich aufzustellen.

318 Achtes Kapitel.

Nun ist aber

(2) - a;ia:(^;i^i5;i_,-^^.,5^_i) = (-l/-^aia, . . . aj,x\
Schreibt man femer

SO beginnt die Taylorsche Reihe für den ersten Faktor der rechten
Seite genau mit der Potenz x^y weil ja ^— "- der Näherungsbrach

(A — 1)*®' Ordnung des mit l/D korrespondierenden Kettenbruches ist;
die des zweiten Faktors aber mit x^. Also können wir setzen:

(3) Bl_,D-Äl_, = {-\)'-'a,a,...a,x'Q„

wo Qj^^ ein Polynom ist, dessen konstantes Glied nicht yerschwindet
Endlich ist identisch

Da die Taylorschen Reihen für die beiden Terme der rechten Seite
genau mit den Potenzen x^ bzw. a^'^ beginnen, so kommt noch

(4) - a^x{Bj,_^B^_^D - Aj,^^Aj,_^) = (- if'^a^a^ . . . a^^x^Pj,,

wo auch F^ ein Polynom mit einem von Null verschiedenen konstanten
Glied ist. Hiemach nimmt Formel (1) die einfachere Gestalt an:

diese Gleichung, die damit zunächst für A ^ 1 bewiesen ist^ gilt auch
noch für A = 0, wenn wir

(6) P,{x) = 0,Q,{x)^l

setzen. Ist n der Grad des Polynoms I){x), so ist der Grad des Poly-
noms auf der linken Seite von (4), wie die Formeln (2), (3) des § 58
lehren, höchstens gleich 2 -— 1 + w; also wird

(7) -Pji(^) höchstens vom Grad w — 1 .

Der Grad des Polynoms auf der linken Seite von (3) ist für A =» 2 v + 1
genau gleich 2v + n; für A = 2i/ dagegen genau 2v, falls n == 1 oder
n = 2, aber höchstens 2i/ — 2 + w, falls n > 2. Es wird demnach

(8) ftv+i(^) genau vom Grad w — 1,

1 konstant für w = 1 und w = 2

(9) Ö2v W j höchstens vom Grad n - 2 fürn > 2 .

§ 60. Quadratwurzeln. 319

Nun ist aber

(10) ^''(*)-^ + ^^^ (^ = 0,1,2,...),

also nach (5)

Wenn man hier mit dem Nenner heraufmnltipliziert^ läßt sich die ent-
sprechende Gleichung^ weil D(x) nicht das Quadrat einer rationalen
Funktion ist, spalten in die zwei folgenden:

(12) D(x) + P,(x)P,^^(x) = Q,ix)P,^,{x) + a,^,xQ,{x)Q,^,{x)

(A = 0,l,2,...-),

(13) P^{x) + P,^,(x) - Q,(x) (A - 0, 1, 2, . . .).

Indem man (13) mit Pi+i{x) multipliziert und dann Ton (12) subtra-
hiert^ entsteht noch:

(14) I)(x)^P,^,{xy^a,^,xQ,{x)Q,^,{x) (A-0,1,2,...).
Aus (5) und (13) folgt für a? = 0:

i + p,(0) = (2,(0)=«p,(0)+p,^,(0).

Also ist Pi+i(0) = 1 für i ^ 0; d. h. P^(x) hat für ;i ^ 1 das konstante
Glied 1. Wegen (13) hat dann Q;^{x) für X ^ 1 das konstante Glied 2.
Nunmehr reichen die Gleichungen (13), (14) yollkommen aus, um die
Koeffizienten ^i^ ^s; ^s? ■*- sukzessive zu berechnen. Denn da nach (6)
P^(a;) -0, Qq{x) - 1 ist, so ergibt sich aus (13) für 1^0: P^ix) = 1.
Sodann wird aus (14) für A = 0, weil Qi{x) das konstante Glied 2
haben muß, a^ und Qi(x) bestimmt. Nachdem man nun Pi(a;) und Qi{x)
kennt, findet man aus (13) für A = 1 auch P^(x)'^ sodann aus (14) für
A = 1 eindeutig a^ und Q^ix), weil ja das konstante Glied Ton Q^{x^
gleich 2 sein muß. So fährt man fort; gelangt man im Verlauf dieses
Prozesses zu einem Widerspruch, indem einmal D{x) —Pi+i(xy den
Faktor x^ enthält, also Gleichung (14) nicht erfüllt werden kann, so
zeigt dieser umstand an, daß kein korrespondierender Kettenbruch
existiert, daß die Reihe also nicht seminormal ist. Gelangt man aber
nicht zu einem solchen Widerspruch, so ist die Reihe YD{x) seminor-
mal, und das beschriebene Verfahren liefert den korrespondierenden
Kettenbruch. Denn in der Tat ziehen die Gleichungen (13) und (14)
ja (11); also auch (10) nach sich, so daß nach Satz 7 wirklich

wird.

1

320 Achtes Kapitel

An Stelle der Gleichung (14) kann fQr A ^ 1 auch eine andere be-
nutzt werden. Setzt man nämlich für P;^^^(x) den Wert aus (13) in
(14) ein, so kommt; wenn man noch durch Qx{x) dividiert:

Der links stehende Quotient ist aber^ wenn A^ 1, nach (14) gleich
ctx^Qi~i{^)y ^^^ kommt schließlich nach Division durch x:

(14a) a,Q,_,(x) + ^-^i^^^^^i^^a,^,Q,^,(x) (A-1,2,3,...).

Das ist die gewünschte Gleichung; sie zeigt; daß die sukzessive berech-
neten Qi+i(x) wirklich ganze Funktionen sind, was in (14) noch ver-
deckt ist. Trotzdem erweist sich übrigens die Gleichung (14) vielfach
bequemer wie (14a).

III. Wir behandeln nun zwei Beispiele.

Beispiel 1. D » 1 -f 4ax. Hier ist n » 1; nach dem^ was wir
über den Grad der Polynome Pi{x)y Qiix) feststellten (siehe oben (7),
(8); (9)) ^uid was wir über die konstanten Glieder wissen, muß hier

Po(^) - 0, ^.(x) =- 1 ; F,{x)-\,Q,{x)~2 (A^l)

sein. In der Tat sind dadurch die Gleichungen (13) identisch erfüllt,
und aus (14) folgt:

1 -f 4ax — 1 =* a^x • 1 • 2 ,

l-t-4aa; — l = aA+ia;.2.2 (flril^l),

somit ai = 2a; aji+i = a für A ^ 1. Daher

^ax\ . ax\ . ax\ . ax

(15) yi + Aax^\ + ^+"^-^ + fP + ;:-^ +

Der Kettenbruch ist also periodisch, und nach der zu Beginn dieses
Paragraphen erörterten Methode bestätigt man in der Tat sofort, daß
für diesen Kettenbruch die korrespondierende Reihe gleich }/ 1 -f 4a:r ist

Beispiel 2. B = l'\-2ax + hx\ Wir dürfen a+0, 6+0, a*—&+0
voraussetzen. Denn für a* — 6 =• 0 wäre D ein Quadrat; für 6 =» 0 hätten

wir den vorigen Fall; endlich für a = 0 kommt YD = 1 -f y flj*-| ,

also verschwindet der Koeffizient von x, so daß nach Satz 5 die Reihe
gewiß nicht seminormal sein kann, weil ^^ = Cj « 0 isi

Es ist hier n »» 2, so daß die P^ nach (7) höchstens vom ersten
Grad werden; wir setzen demgemäß

A.-i(a;) - 1 + »•.^, P,,(«)-l+«,« (v-1,2,3,..-),

§ 60. QiwdiatwTirzeln. 321

wobei wegen Pi(x) — 1 gewiß r^— 0 sein muß. Dann folgt aus (13):

Qir-M~2 + (r, + s,)x, «„(»)- 2 + (s, + r,^.0« (v-1,2,3,...);

da aber nach (9) Qt^ix) konstant ist, so kommt Sr='—f',+f ^'^^
ist noch die Gleichung (14) zu befriedigen; diese liefert fiQr il — 0,
2v-l, 2v:

(a) 1 + 2oa; + 6»» — (1 + r^a;)« - Ol« • 1 • [2 + (r, — r,)»],

(b) l + 2ax + bx'-(l-r,^,xy''a,,x[2 + {r,-r,^^)x]-2 (v^l),

(c) l + 2ax + bx'-il-\-r,^,xy^a,,^,x-2-[2+ir,^,-r,^,)x] (v^l).

Aus (a) folgt, weil rj «= 0 ist: a = o^, 6 =- — o,rj ; also

(d) a,^a, r^--^'
Sodann erhält man aas (b) :

(e) a + r,+i= 20^,; h - r«^i = 2a,,(r,- r,^.i) (v^l)

und aus (c):

(f) a-r,+i=- 20^,^1 ; & - ^Vi« 2a,^+i(r,+i- r,+,) (v^l).

Aus den Gleichungen (e) erhält man durch Elimination von 0,^:

* - ^^l - (ö + n+i) (n - r,^.0>
oder anders geschrieben:

(g) ^+l(ö-0=-«^-*•

Wenn in dieser Rekursionsformel zur Berechnung Ton r^^^ einmal die
linke Seite rerschwindet^ also r^=^ a ist, so wird die rechte Seite gleich
a' — 6 4- 0; dieser Widerspruch zeigt an, daß kein korrespondierender
Eettenbrach existiert. Wenn dagegen stets r^+a wird, so folgt aus (g):

- '•JL I ^^
(h) r,.!-*":'-^, oder -'j±' =^=*

|/_ft ^^ r, 1/-6

Diese Rekursionsgleichung ist leicht aufzulösen; da nämlich a'— 6 + 0, so
ist + ±V— 1 y ftlso kann man -" = tanga setzen, wo a eine

geeignete (komplexe) Zahl ist. Dann folgt aus (d): -j^- "» tanga, und
aus (h) ergibt sich durch den Schluß von v auf v 4- 1 :

*'y+l

(i) -=^-tangi/a.

Perron, Kettenbrache. 21

322

Achtes Kapitel.

Hieraus ersieht man^ daß der oben erwähnte Fall; in dem kein korre-
spondierender Eettenbrach vorhanden ist^ dann Torliegt, wenn a die

Form ^ ^ hat; wo n und v ganze Zahlen sind. In jedem andern

Fall existiert der korrespondierende Eettenbrach, und ans der ersten
der Gleichungen (e) erhält man, wenn man für r,^^ den gefimdenen
Wert einsetzt:

/i \ «I V— ^ j. <* /-i I j. X \ ^ C0B(» — 1)«

ebenso aus der ersten der Gleichungen (f):

/i\ fl V— ^ L « /i i. X \ aco8(» + i)a

für 1^ ^ 1; während o^ aus (d) bekannt ist. Die zweite Gleichung (e)
und die zweite Gleichung (f) sind dann Ton selbst erfüllt.

Wählt man der Einfachheit halber a » 2 cos a, also h^ — 4 sin'a,
so erhalt man hiermit die Formel:

(16)

y 1 + 4a; cos a — 4a?* sin'a ^ 1 + j +

cos 2 a

coBa
, cos 2a'

+

coBSa
C0B2a

X

l

C0B2a I cos 4a

x\

cos 8 a I cos 8 a

+ 1 — i r

1

cos 8 a

+

cosa

X

, coB4a I
+ 1 i r

Sie gilt für aUe reellen und komplexen a, außer für a «= -~^ f ^o

m, n ganze Zahlen sind. Der Wert b =^0, also a = 0 oder ac war zwar
seither auch ausgeschlossen; für diesen geht aber Formel (16) in (15)
über (mit a =« ± 1), bleibt also richtig. Wie man leicht erkennt, wird
der Kettenbruch dann und nur dann periodisch^ wenn a von der Form

- — TT ist, wo n, tn iranze Zahlen sind.

2m + 1 ' 7 o

§ 61. Der assoziierte Eettenbracli.

I. Mit dem bis jetzt in diesem Kapitel untersuohtea
typus sind nahe verwandt die Kettenbrüche der Form

k,x I

k\x*

(1) ^ + I"i + Zj « + ; 1 + i, i

+

1 + k^

+

Yon denen wir der Einfachheit halber nur d^
wollen. Die Zahlen l\, jf, heißen die Koef
mit K^(x)j L^(x) die Näherungszabler unr*
(1)^ so erkennt man sogleich (am einfEu;}

g 61. Der MROzüerte Eettonbruch. 323

auf V + 1), daß K^{x), L,(x) Polynome r«" Gradas (höchBtena) von x
sind mit dem konetajiten Glied 1. Es gilt ferner

Sats 10. Jedem anendlieken Kettmbruch der Form

-ist eindeutig eine Potenereike 1 + c,a: + c, J!* + • ■ • dadta-ch tugeordnd,
daß für alle X die Taylorsche Beihe für den Ndheruagahmeh X'^ Ordnung
his jmtn Glied Cf;ix'^ einschließlich mit ih" übereinstimmt. Zwei solche
Kettenbrüche sind nwr dann der nämlichen Potenereihe in dieser Weise
zugeordnet, wenn sie identisch sind.

Beweis. Es ist fttr A^O:

(-1)'^

(2) "ij + iW -^i(*) *• ' ii + i(«)-i'iW

I -(-l)'ifc,it,...Ä^^,a;>J+» + a,a;" + ' + c,a:"+»+---

Daher stimmt die Taylorsche Reihe fllr ^^^^ bis zor Potenz 3^'- ein-
echließlieh mit der fllr ^^'*^^fl nnd folglich auch mit der fOr jeden spä-
teren NiLherongsbruch flberein, womit zunächst der erste Teil von Satz 10
bewiesen ist. Wenn nnn der Kettenbruch

^0) der kleinste Index, (Ür den
i/^., ist. Sind K,'(x), L^'(x) die
dnung des Eettenbruches (3), so
lung

sich durch Subtraktion von (2)
Taylorschen Reihen fÖr -j^*,!
"•■^ voneinander abweichen. Wenn
'.^^ sein, und da jetzt offenbar

322

Achtes Kapitel.

HieraoB ersieht man^ daß der oben erwähnte Fall, in dem kein korre-
spondierender Eettenbrach vorhanden ist, dann yorliegt, wenn a die

Form — ^^^ "i" hat, wo n nnd v ganze Zahlen sind. In jedem andern

Fall existiert der korrespondierende Eettenbrach, und aus der ersten
der Gleichungen (e) erhält man, wenn man für r,^^ den gefundenen
Wert einsetzt:

ebenso aus der ersten der Gleichungen (f):

för f/^ 1, während a^ aus (d) bekannt ist. Die zweite Gleichung (e)
und die zweite Gleichung (f) sind dann von selbst erfUllt.

Wählt man der Einfachheit halber a » 2 cos a, also b=^ — 4 sin^ <k,
so erhält man hiermit die Formel:

(16)

yi + Ax cos a — 4a;* sm^a '^ 1 + ] ■ +

X

C08 2a

008 a
:-X

+

C08 2a

C08 8a

+

C08 2a

X

+

CO8 2tt
- - —X
cos 8 a

+

1

cos 4 a
cosSa

+

1

cos 8 a
cos 4 a

+

cosa

X

+

Sie gilt für alle reellen und komplexen a, außer für a = ^-^^-L- ^ wo

m, n ganze Zahlen sind. Der Wert 6 = 0, also a = 0 oder % war zwar
seither auch ausgeschlossen; für diesen geht aber Formel (16) in (15)
über (mit a =* ± 1), bleibt also richtig. Wie man leicht erkennt, wird
der Kettenbruch dann und nur dann periodisch, wenn a von der Form

- — jjY ist, wo n, m ganze Zahlen sind.

§ 61. Der assoziierte Eettenbrach.

I. Mit dem bis jetzt in diesem Kapitel untersuchten Kettenbruch-
typus sind nahe verwandt die Kettenbrüche der Form

(1)

^ "^ ' 1 + i, « "^ 1 1 + i, « f ; 1 + ^"x "^ 1 1 + j, « "^

(Av+ 0),

Yon denen wir der Einfachheit halber nur die unendlichen betrachten
wollen. Die Zahlen J^^, l^ heißen die Koeffizienten. Bezeichnet man
mit K^{x)j L^{x) die Näherungszähler und -Nenner v*" Ordnung von
(1), so erkennt man sogleich (am einfachsten durch den Schluß von v

§ 61. Der assoziierte Eettenbruch. 323

auf V + 1), daß K^(x), L^(x) Voljnome v*^ Grades (höchBtens) von x
sind mit dem konstanten Glied 1. Es gilt femer

Sats 10. Jedem unendlichen Kettenbruch der Form

ist eindeutig eine Potenxreihe 1 + Cy^z + c^x^+ • • • dadurch eugeordnet,
daß für aUe X die Tayhrsche Reihe für den Näherungsbruch X*"" Ordnung
bis Bum Glied c^^x^^ einschließlich mit ihr übereinstimmt. Zwei solche
Kettenbrücke sind nwr dann der nämlichen Potenzreihe in dieser Weise
jsugeordnety wenn sie identisch sind.

Beweis. Es ist für A ^ 0:

(2) I -^^+i(^) ^i(^) ^ ^x^ii^)hi^)

Daher stimmt die Taylor sehe Reihe för y^, : bis zur Potenz s^^ ein-

schließlich mit der für j^"^ . l und folglich auch mit der für jeden spä-

teren Näherungsbruch überein^ womit zunächst der erste Teil von Satz 10
bewiesen ist. Wenn nun der Eettenbruch

/Q\ 1 I "i ^ I j Kj^ I I ^8 ^ I I ^4 ^ I I

nicht mit (1) identisch ist, so sei Ji(^ 0) der kleinste Index , für den

nicht gleichzeitig *2+i'== */+i7 ^ji+i=* ^/+i ^^^' ^^^ -^/(^)> -^/C^) ^®
Näherungszähler und -Nenner v*" Ordnung des Eettenbruches (3), so
hat man neben (2) die analoge Gleichung

(4)

Da offenbar -/M^ = y^rri, so ergibt sich durch Subtraktion von (2)
und (4), falls k^_^_^ + Ä/^j ist, daß die Taylorschen Reihen für ■r^'*'^ , l

TC (t\

und t\^^ ; im Koeffizienten von x*^+^ voneinander abweichen. Wenn

aber Ä^+i =» i/^j ist, so muß i^+i + J/+i sein, und da jetzt offenbar

21*

324

Achtes Kapitel.

LUi («) - (1 + Ci a;)ii(») + *^+i!P»i:-i_i(a;) ,

')

SO unterscheiden sich die Polynome i^+iC^) ^"^^ -^Z+iC^) s^^^^oii ina
Koeffizienten von rc. Darch Subtraktion von (2) und (4) kommt daher
diesmal:

-^a+i(«) ■^/4.i(^)

so daß also die Taylor sehen Reihen für

and

^x + ii^)Lz^ii^)

O2 + O),

im Koeffi-

zienten Ton x^^+' voneinander abweichen. Da aber die zu den Eetten-

brüohen (1) und (3) gehörigen Potenzreihen mit j "''^. bzw. y]'^^.

-^ji + iW -^x+iW

bis zur Potenz rp'^+' einschließlich übereinstimmen^ so folgt in beiden

Fällen^ daß diese Potenzreihen nicht identisch sind, womit auch der

zweite Teil von Satz 10 bewiesen ist.

Wir nennen Potenzreihe und Eettenbruch, die sich nach Satz 10

eindeutig entsprechen^ ^^miteinander assoziiert/^

n. Während nach dem Bewiesenen zu jedem Eettenbruch der
Form (1) eine assoziierte Potenzreihe existiert, findet nicht das Um-
gekehrte statt. Vielmehr gilt der

Sats 11. Die Potenzreihe 1 + c^x + c^x^ + - - ' hat dann und nur
dann einen assoziierten Keäenbruch

1 j ^1 ^ I I ^i ^ I

^ "^ \l + l^x'^ \l + hx

+

K^ X

+

Km X

1 + ^g X \l'\-l^X

+

wenn die Determinanten

Vr

• . . C7.

*••(/,

r + 1

^v^v + 1 • • • ^2»-l

(v^l)

alle von Null verschieden sind; und zwar ist dann, wenn

Xi ~ ^if Xp "■

• • • ^y_l Cy + l

. . • &.

'r + «

^f^y + l ' • • ^2y-2^»

für V^2

1) Falls 1 « 0 ist, sollte in diesen Formeln das letzte Glied nur den Faktor x,
nicht x* haben« Gleichwohl sind die Textformeln auch in diesem Fall richtig,
da ja Zf_i(x)»0 zu setzen ist (Formel (8), Eap. I).

§ 61. Der assoziierte Eettenbmch.

325

gesetzt wird:

K'^Vif h'^ —

9^1

t =

. K-^~--^ßrv^2 (cpo-1).

9>

Beweis. Es ist fOr A ^ 0

(5)

(6)

= 1 + c^x H 1- (^i^^+ ^;i,i^^'*"^H

(x)

« 1 + qo; + . . . + c^^a^' + c^x+^x^'^' +

Daher durch Subtraktion mit Rücksicht auf (2):

(7) ^;i,i"~ ^12+1*= ("" 1) *i"i • • • *4i+i •

Setzt man nun für X ]^ 1

(8)

■'^iC*) = 1 + 5i,i « + ^i.i«* + • • • + ^i.ia:^,

(9)

SO folgt aus (5), indem man mit L^ix) multipliziert, und dann die
Koeffizienten von a:^+^, a:^ +*,... a?*^+^ beiderseits vergleicht:

0 - ^i,2C;i + ^2.2-l^i + l H + ^2,1 ^2-1 + ^%x

^ ^ '^ 9X,X<^X^I + 9x,X^l<^X-^i+ h 9x,i<^2X + ^2,1-

Eliminiert man aus diesen Gleichungen die Größen 9xiy 9i%f'
und setzt dann für d^ ^ den Wert aus (7) ein, so findet man

(10) 9^2 + 1 +(-l/"^^*l*J-- •*2fl 9^2-0,

'}

9x,i

eine Gleichung, die offenbar auch für k^O noch gilt^ wenn man ffQ^l
setzt. Daraus folgt sogleich wegen k^ 4* 0^ 9^0 H* ^, dt^ &llo 72 H* 0
sein müssen, und außerdem ergibt sich

T , 9>2 + i9>2-l

'''1 "" Vl9 ^2 + 1 ■■

(11)

Nun erhält man aus der Rekursionsformel

9-;

für A :^ 1 .

L,{x) - (1 + hx)L,_,ix) + k,x'L,,,(x),
wenn man beiderseits die Koeffizienten Ton x gleichsetzt:

(12) 91.1" h, 9i,i = 9i-i,i + lx fürA^2.

326 Achtet Kapitel.

Indem man aber die X ersten der Gleichungen (9) nach g^i^ ^ auflöst,
findet man:

wo Xji die in Satz 11 angegebene Bedeutung bat; also wegen (12):

Damit ist zunächst bewiesen^ daß, wenn die Reibe einen assoziierten
Eettenbruch bat, dann alle g)^ Yon Null verscbieden sind, und dafi
die Koeffizienten die in Satz 11 angegebenen Werte haben, um zu
zeigen, daß auch umgekehrt, wenn alle (p^'^O sind, die Reibe immer
einen assoziierten Eettenbruch hat, bemerke man, daß jedenfalls nur
derjenige Kettenbruch in Frage kommen kann, dessen Koeffizienten
die in (11) und (13) angegebenen Werte haben. Genau wie bei der
analogen Frage Seite 306 hat man daher nur zu beweisen, daß diese
Gleichungen bei gegebenen h^,l^ die c, eindeutig bestimmen. Nun
ist in der Tat nach (11): o^ » 9)} » k^ eindeutig. Nimmt man aber an,
<^i9 c^} ' - ') c^i^i seien bereits eindeutig gefunden, so ergibt sich aus
(13) eindeutig Cg;^; denn c^^ tritt dort linear auf und hat den von Null

verschiedenen Koeffizienten -^-^- Sodannerhältmanc^ji^i eindeutig

aus (11); denn dort tritt c^i^i linear auf und hat ebenfalls den von

Null verschiedenen Koeffizienten —-- Damit ist Satz 11 bewiesen.

Aus Satz 11 folgt insbesondere, daß die mit einem unendlichen
Kettenbruch assoziierte Potenzreihe keine rationale Funktion von x sein
kann, weil dann die Determinanten q>^ für genügend große v verschwin-
den müßten. Wir beweisen weiter

Satz 12. Besteht die formale Identität

+ «i(x, + y, X, + y;z,+ . • 0(^1 + y, r, + y/ r, + . • •)

+ «,(X, + y,X, + yj'X, + ...)(r, + y,r, + y,'r, + ---)

+

tmd sind dabei äUe s^ von Null verschieden, so hat die unendliche
Heike 1 + Cja; + e^ «' + • • • den assoeiierten Kettenhruch

A*.

1 I *0* *0

^2 S

1 — /o« |i + (ro — yi)^ li + C/i — y»)^

{SÜdtjes 2.)

§ 61. Der assoziierte Eettenbmch.

327

Setzt man namlioli alle Xf, Tf gleich Null aafier

Y T T

Bo besagt die Torausgesetzte formale Identität, daß die bilineare Form

(14) so^or^+hüiyi + '-- + s,ü,r,

durch die Substitutionen

Z7,- X,

v^

übergeht in
(15)

^^ ^^ ^<+* + l^<-'^'

Da die beiden Substitutionen unimodular sind, müssen die Bilinear-
formen (14) und (15) gleiche Diskriminante haben; also folgt

(16)

daher:
(17)

^0 ^1 • " • ^r

• • • &,

» + 1

Cg Cj , » m C.

y+s =

^r + l^i-+J • • • ^Ir-hl

9v + ll

«A — cp. , «. = -^ für 1/^1

9i^ «y =

*Pr

Setzt man dagegen alle X^, Y) gleich Null außer

80 besagt die formale Identität, daß die Bilinearform
(18) e,U,V,+ s,U,V,+ --' + 6,ü,r,

durch die Substitutionen

328

Achtes Kapitel.

ü-o
U^

n -
n -

X,

y, + y« ^1 + • • • + yo"-*> 1^-1 + y««" y,^,

F._, -

»-1

IF.

übergeht in

(19)

0,1,...!/ — 1,V

Von den beiden Substitutionen hat die erste die Determinante 1, die
zweite aber die Determinante y^. Daher ist die Diskriminante von (19)
gleich der mit y^ multiplizierten Diskriminante von (18), also:

(20)

. . . C^ Cy + 2

^r + l^y + S

^tv ^Sr + S

= n^o^i . . • «V = r^Vr+i (nach (16)).

Setzt man die Werte aus (17) und (20) in Satz 11 ein, so geht nun
genau Satz 12 hervor.

III. Man kann der Identität des Satz 12 noch eine etwas bequemere
Gestalt geben. Setzt man nämlich

^ (x) = Ci + <^ ~ + C, ||- + c^ 1^ + . . •

y+i

y + l

r+»

wobei es wieder auf Konvergenz gar nicht ankommt, sondern nur auf

die formalen Gesetze, so geht besagte Identität für X^==— , F^— -?p

• . » «

über in

W + y) - fo?o(*)?o(y) + «1^1 W?i(y) + h'^M^di) + • • • •

Diese formale Identität ist der von Satz 12 offenbar völlig gleichwertig.
Nun ist aber wiederum formal

§ 61. Der assoziierte Kettenbruch. 329

00 00 flO 00

xj^{xt)e-*dt = xc^je-'dt + "^ß^e'^dt + ^ CxH^e-'dt+^ . •

0 0 0 0

^C^X + C^S^+C^X^'\ ,

und man erhält somit

Sats 13. Genügt eine Potenzreihe $ (x) dem formalen Gesetz

?(^+y)«^o¥o(^)^o(y) + ^i?iW¥i(y) + *s?Ps(^)^2(y) + ---,

wobei allgemein «^ + 0, und

y »'+1 a:^"*"'

VrW •= 71 + y,, (ir+1)! ■*■ y^ (V + 2) ! ^

ist, so wird der Kettenbruch

, 1 - ro a;

«0^1 «

^1 1 I ^f >

0

ii + C/o — ri)^ |i + (yi — y«)^

assoziiert mit der formal gebüdäen Potenzreihe 1 + x f ^{xt)e'*dt.
(Rogers 1). o

Beispiel. Nach dem Additionstheorem der Funktion cnx (cosin
amplitude) ist

/ , V cn o; cn ^ — dn o; dn y sn o; sn v . .

cn(x + y) = f— Ti — 1 — "i = cna:cny — dnajdnysnirsny

\ • ^/ 1 — k* sn' X sn* y i/ ^ ;f

+i*cna;cnysn*a?sn*y — Ä;'dna:dnysn'2;sn'y + Ä*cnajcnysn*irsn*y

Dies ist eine Identität von der in Satz 13 verlangten Art, und zwar
wird hier

woraus folgt:

6„- ä;*'[(2v)!]*, 6,,^, Ä»'[(2v + 1)1]', y,- 0.

Nach Satz 13 ist daher die formale Potenzreihe

00

(21) \^xjva.{x{)e-*ät

0

assoziiert mit dem Kettenbrach

(22) l + _+ _ - + ^^_ + ^+ ^^+ j— + •••.

330 Achtes Kapitel.

Mit Hilfe der bekannten Formel^)

1

(23) cn«-j^2ri-77nco8

_l_^v+i WB 2J8:

wird der Ausdruck (21) auch gleich

1

2« ^1 g 05

lY. Hat der mit der Reihe

(25) i+c^x + (^x^+'"
assoziierte Eettenbruch die Form

(26) i + h^ + h^ + f^ll^h.p + ...^

sind also alle l^ » 0^ so stimmt der Näherungsbruch i/^' Ordnung von
(26) bis zur Potenz s^* mit der Reihe (25) überein. Läßt man beider-
seits 1 weg und multipliziert mit x, so ergibt sich; daß der Nähenings-
bruch V**' Ordnung von

(27) "^p + 'fp + f'fi +

bis zur Potenz 3?*"+* mit c^x^ + c^a:^ + c^cc^ + • - - übereinstimmt. Da
aber in den Näberungsbrüchen von (27) offenbar keine ungeraden Ex-
ponenten vorkommen, so folgt: ^ « 0, ^4"" 0, usw. Setzt man nun z
an Stelle von a;*, so stimmt der Näherungsbruch v^ Ordnung von

Pj— + p^ H bis zur Potenz x^ mit c^x + c^x^+ c^xi^-\ über-
ein. Man erhalt somit, wenn man beiderseits noch 1 addiert,

1) Siehe z. B. Jacobi: Fandamenta nova theoriae functionum
ellipticarum, §39 = Gesammelte Werke, I,päg. 157. Oder:H.Dur^ge: Theorie
der elliptischen Funktionen, 1. Aufl. S. 226, 4. Aufl. S. 253.

2) Auch dies ist hier nur formal zu verstehen und hat lediglich die Be-
deutung, daß in (23), nachdem man die einzelnen Beihenglieder nach Potenzen

von X entwickelt hat, jede Potenz x^ ersetzt werden soll durch vlx^"^^; denn

00

80 entsteht ja a;/'$(a;Qe~^J^ formal aus $(x). Übrigens erkennt man sehr

0
leicht, dafi fQr reelle x die Reihe (28), wenn man xt statt x setzt und mit e~'

multipliziert, gliedweise integriert werden darf, so dafi die Ausdrücke (21) und
(24) wirklich einen Sinn haben und einander gleich sind. Dies wird später von
Bedeutung sein, siehe § 68, UL Allein vorläufig kommt es darauf nicht an, son-
dern nur auf das Formale.

§ 62. ZoBammenhang zwischen dem konesp. und assoz. Kettenbruch. 331

Wendet man dies z. B. auf den Kettenbrach (22) an, dessen asso-
ziierte Reihe (21) oder (24) war^ so ergibt sich die Formel:

^■^li"^!! ■*■ I 1 "^11 "^1 1 "^11 "*"

(28)

fKf

00

1 + x fen{tY^e-'dt^l + l^

1

tf^l+«*'^S + p-±^i!')^.

§ 62. Zusammenliang zwischen dem korrespondierenden nnd
assoziierten Eettenbrnch. — Einige Transformationen des kor-
respondierenden Eettenbmches.

L Durch Vergleich der Sätze 5 und 11 erkennt man, daß jede Po-
tenzreihe, die seminormal ist, auch einen assoziierten Eettenbruch hat,
aber nicht umgekehrt. Man kann nun leicht die Koeffizienten des asso-
ziierten aus denen des korrespondierenden Kettenbruches herleiten, ohne
auf die Potenzreihe zurückzugehen. Zu dem Zweck seien die beiden
unendlichen Kettenbrüche

w ^ + TT" + n~ + rr + • • • '

/o\ 1 j K^ I j *«^ I I K^ I 1

mit ein und derselben Potenzreihe ^(x) korrespondierend bzw. assoziiert.
Aus dem Kettenbruch (1) geht durch Kontraktion (Formel 7, § 43) der
folgende hervor:

/gx j , QiX I ajfls^' I «4Ö6«' I «607«'

»• * • .

\+a^x ll-t-Coj + aJa; \l + {a^ + a^)x \l + (aj + a^)x »

und zwar ist der Näherungsbruch A^' Ordnung von (3) zugleich Nähe-
rungsbruch (2il)^' Ordnung von (1); seine Taylorsche Reihe stimmt
also mit ^(x) bis zur Potenz x^^ überein. Das besagt aber, daß der
Kettenbruch (3) mit ^{x) assoziiert, also mit (2) identisch ist. Zwischen
den Koeffizienten des korrespondierenden und des assoziierten Ketten-
bruches besteht daher der folgende Zusammenhang {Heilermann 3):

(4) 1*1 = ^1' h'-^i^

1*1+1 = — <h^^v + U K + l = «2v + l + öt2,. + 2 (V ^ !)•

Damit die mit dem Kettenbruch (2) assoziierte Potenzreihe auch
einen korrespondierenden Kettenbruch hat, ist denmach notwendig und
hinreichend, daß die Gleichxmgen (4) eine Auflösung nach a, zulassen.
Nun ist aber, wie man leicht sieht, ihre allgemeine Auflösung die
folgende:

n

332 Achtes Kapitel.

und der korrespondierende Eettenbruch wird dann und nur dann exi-
stieren, wenn unter den Kettenbrüclien (5) kein sinnloser ist.

n. Wir geben hierzu einige Anwendungen.

A. Wenn der zu ^(x) korrespondierende Kettenbruch bekannt ist^

soll der zu -^j-r korrespondierende gefunden werden«

Ist wieder »-r-x der Näherungsbruch v^ Ordnung von (1), so hat
der Eettenbruch

die Näherungsbrüche -^ -^, - .* , -^, • • •. Aus ihm entsteht durch
Eontraktion (§ 43^ Formel (8)) der Eettenbruch

/a\ 1 «1^ I g,g»flg* I «4^5^* I __

s s n
mit den Näherungsbrüchen -/ , -.-, -^, • • -. Da aber in der Reihe

A) -^ -^4

^o(^) "-^ / N <^e Potenzen von x bis zur 2A**° einschließlich heraus-
fallen^ so fallen sie in

_ 1 _ B,^(x) B,^(x) /^ .V _ Ä,^(x)\

ebenfalls heraus, und folglich ist der Eettenbruch (6) der mit «^c

assoziierte, woraus mit Hilfe der Formeln (4) oder (5) sogleich der kor-
respondierende gefunden wird. Es ergibt sich so (Rogers 1):

Sats 14. Af4S der Korrespondenz

?ß (o:) - 1 + ^ 1 + ^^ + ^l-^- + . . ^ in infin.

erhält man die Koeffizienten für den mit -^ ,-r- korrespondierenden Ketten-
brtich ^ , , 1

durch das Gleichungssystem:

6i« — a^; e^— a^ + Oj

^y^a»+i •= «»TÖfjv+i ; ^a,.+i + «2r+a - «s^+i + «t^+t (v ^ 1).

§ 62. Einige Transformationen des koirespondierenden Ketienbruches. 333

Erstes Beispiel. Wendet man diesen Satz auf die Gaußsche
Formel (15) des § 59 an, so erhalt man die Formel von Stern 1:

(7)

e.x

e.x

e^x\

«1-

F («, 1, y ; 0?) - 1 + f^ + f^ + f^ + . . . in infin.

(y + «fr— 2)(7 + 2v — 1)' ^«•'+1'" (y4..2v — l)(y + Sv)

a

y> -1

Denn diese Werte für 6, erfüllen die Gleichungen des Satz 14, wie man
sofort verifiziert. Ebenso erhält man ans der Formel (18) des § 59:

(8)

X

yx

*(1, y; fl!) ~ 1+ i^ -

(r + 1)«

r(r4-i)

\x

+

(r+i)(r + 2)

(r + 8)(r + «)

8«

+

(/ + «)(/ + 4)

(r + 2)«

(y + *)(y + 6)
i

+

Endlich aus Formel (32) des § 59:

<9)

In ähnlicher Weise lassen sich noch andere Formeln des § 59 umformen.

Zweites Beispiel. Wann ist ^(— x) — «p^ ?

Es muß ßy »- — a, sein^ so daß die Gleichungen von Satz 14 über-
gehen in:

^%^-'\j 0,^+1 + ögy+a =- 0.

Daher:

SatB 15. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die
mit einem unendlichen Kettenbruch korrespondierende Beihe der formalen
Funktionalgleichung %{x)^{—' x)^l genügt, besteht darin, daß der
Ketteribruch die Form hat:

a,x

X

1_L ^i-"' — JL-
^^11 II

a^x

a.x

a.x

a^x

a,x

CLjX

1 "^1 1 I 1 "^1 1 I 1 "^ '"

+

Der mit e' korrespondierende Eettenbruch Seite 312 bestätigt diese
RegeL Übrigens sieht man leicht^ daß auch die endlichen Eetten-
brüche der Form

334 Aohtes Kapitel.

a.x\ 2

* X

a^x Og«! I I **«»-i*i ^sv-i*

I 1 I 1

der obigen Funktionalgleichung genügen^ indem hier A^^(—x)'^ ^i^ip^)
ist. Wir werden diese Tatsache indessen nicht gebrauchen und über-
lassen den Beweis, der am besten durch den Schluß von v auf v + 1
zu führen ist, dem Leser.

Die Formeln von Satz 14 gestatten eine bemerkenswerte Auflösung.
Setzt man nämlich

(10) 1-,,; l + ?;-+^ + ... + 4^^-V^-n (.-1,2,3,...),
80 ist identisch

also

(11) «ay + iyr-l + «Jv + 2n+l — («S» + l + <^iv + %)y^'

Die Auflösung der Gleichungen von Satz 14 ergibt sich dann in der Form

(12) 6i a^, ^,= öts,— ^, ß,^+i -=03,^+1-^ (v^l)-

Denn in der Tat ist dies für e^ und e^ richtig, und im übrigen folgt
aus (12)

^,+1 + c,,^., ^ Ö2.+i+«».+2 (nach (11)),

«V

wie es nach Satz 14 sein soll. Man ersieht hieraus, daß die Reihe örr^

dann und nur dann einen korrespondierenden Kettenbruch hat (semi-
normal ist), wenn alle y^ von NuU verschieden sind.

Die Formeln (12) werden noch bequemer, wenn die Kettenbrüche
durch äquivalente mit lauter Teilzahlem x ersetzt werden:

(13)

?(.)~l+pfi + pfl + ...^l + ^ + j|l + ..

'9

Hier ist genau wie in § 42, II, C :

«S«4" ^^fy

tf, ' '"" «««4 •««.. ' ""^^ «i^a-^ti^ + i

§ 62. Einige Tranfiformationen des korrespondierenden EetienbrucheB. 33&
Daher wird y^ — 1 + 6» + 64 + • • • + ftjy, nnd die Formeln (12) liefemr

(14)

Diese Form der Lösung stammt von Stieltjes 5.

f. Aus dem mit ^{x) korrespondierenden Eettenbruch soll der mit
^^(x) + Cx korrespondierende gefunden werden^ wo C eine Eonstante.
Man setze

$(«)-! + pfJ + pfl + ..., ^(«) + Cx~l + ffi + |'«f + ...

und bezeichne mit -^ die Nähemngsbrüche des ersten^ mit -^ die de»

zweiten Kettenbmches. Durch Kontraktion (§ 43 , Formel (8)) erhält
man hieraus die Eettenbrüche

9i9t^^ I 9t9A^*

mit den Näherungsbrüchen | , | , ^ , ... bzw. | , | , | , .... Be-
trachtet man daher die beiden Eettenbrüche

ftK\ 1 a^a^x I OgO^Ä* , «6^6^ 1 _

^^•'^ \l + (a, + a,)x \i + {a,+ a,)x , 1 +((i.+ a,)a; '"^

(IQ\ 1 M»? 1 9i94^* I ^5^«^' [_

SO sieht man leicht^ daß der erste mit

(17) j_l_^) — 1 — a,aj

I der zweite entsprechend mit

X

(18) i + m±9^-1^8^

assoziiert ist. Die Reihen (17), (18) müssen demnach das konstante^
Glied 1 habeU; woraus zunächst folgt: ^i — a^ + C; dann sind aber beide
Reihen identisch; daher auch die assoziierten Eettenbrüche (15) und (16).
Man erhält somit

336 Achtes Kapitel.

Sats 16. Aus der Korrespondeng

?ß(a;) ^1 + f^ + P^- + -'in infin.

findet man die Koeffisrienten des mit $(x) + Cx korrespondierenden
Kdtenbruches

durch das Gleichungssystem

^2r-l^J»--^2r-l^W ftv + 5^2^ + 1— «2,.+ öi,,+ l (v ^ 1).

Erstes Beispiel. Die mit dem periodischen Eettenbrucli

korrespondierende Reihe läßt sich nach den Erörterungen zu Beginn
des § 60 leicht berechnen. Man findet sie gleich

")/l + 4a? cos a — 4a^ sin* a + 2ix sin a.

Hieraus kann mit Hilfe von Satz 16 der mit yT+ 4a: cos« — 4a;* sin*«
korrespondierende Eettenbruch hergeleitet werden. Man gelangt so Ton
neuem zu der Formel (16) des § 60.

Zweites Beispiel. Soll ^(x) — a^x keine ungeraden Potenzen
von X enthalten, so muß ^(x) — a^x = ^(— x) + (h^ ^^j ^^o

?ß(a:) — 2aia: = ?ß(— x).

Man erhält daher, indem man 0^ — 20^ wählt: 5^^— — fl^. Also nach
Satz 16:

^v+ «2^ + 1=^0.

Somit ergibt sich

SatB 17. Die notwendige und hinreicliende Bedingung dafür ^ daß
die mit einem unendlichen Kettenbruch korrespondierende Potensreihe keine
ungeraden Potenzen außer der ersten enthalt^ besteht darin, daß der Ketten-
bruch die Form hat

^■^11 ^\'i I 1 "^1 r I 1 "^1 1 I 1 "^

Zum Beispiel liefert die Formel (16) des § 59 für y = 2/J + 1:

X i X

X

4^+6

^(ß,2ß + l;x) . __ 4P + 2. ^ß+J_ ___ 4£4

X

4/J+lO

X

4/J+lO

^11 II ^

§ 62. Einige Transformationen des korrespondierenden Eettenbruches. 337
woraus sich ergibt, daß die Funktion Ton x

4i(/J+l,2p + 2;a:) "^ 4/J + 2

oder, was dasselbe ist,

^(ß+l,2ß + 2;x)

eine gerade Funktion ist. Direkt ist das wohl nicht so leicht zu veri-

fizieren; allerdings folgt es auch daraus, daß 9(ßy2ß]x)e * eine gerade
Funktion Ton x ist, wie sich aus der Fußnote Seite 313 für y ^2ß
ergibt.

Auch die Formeln des Satz 16 gestatten eine ähnliche Auflosung
wie die von Satz 14. Setzt man

(19) 1-do, l+(7(^ + -^'-+...+ ^''*' '"'^"')-J, (r^l),
SO ist identisch

also

Die Gleichungen Ton Satz 16 lassen sich dann auflösen in der Form

(21) <7t.-l-«Jr-lÄ^. ?2r=«Jr-i=^ (v - 1, 2, 3, . . .).

Denn dies stimmt in der Tat ftlr g^, und im übrigen folgt aus (21):

9tr + 9.r^l-''"''-'V^^'''^'-^^+^*r^^ («ach (20)),

wie es nach Satz 16 sein soll. Die Reihe ^(x) + Cx ist also dann und
nur dann seminormal, wenn die Zahlen d, alle von NuU verschieden sind.
Auch hier werden die Formeln (21) noch bequemer, wenn man die
äquivalenten Kettenbrüche

(22)

?(x)~l + ?fl + pfl + ...^l + l|J + i|i + ...,

¥(x) + o..~i + ff + pfi + ...-i + i|i + i|i +

einfahrt. Es ist dann d, = 1 + 0(1^ + J, H + b,^_i), and aus (21)

folgt:

Perron, Kettenbrtlche. 22

338 Achtes Kapitel.

*i=-rTb:' Ä«v=&..[i + C(6i + 6, + -. . + &,,.,)]'

(23)

ha .^ ^*'"^'

(v^l).

Auch diese Formeln hat wieder StieUjes 5 gefunden.

C, Aus dem mit $(a:) korrespondierenden Kettenbruch soll der mit
$( j^^j korrespondierende gefunden werden, wo (7 eine Konstante.

Man setze

dann sind nach den Erörterungen zu Beginn dieses Paragraphen die
mit %{x) und ^i^J^n ) assoziierten Kettenbrüche bzw. die folgenden:

/04\ ij ?i5_J Q««»^' I «4g6g' I

Nim ist formal

^{x) - ^^j - a,x«^+i+ «,a;«^+«+ a,rc«^+»+ . • .,

und folglich auch

(26)

^»,

-«»lr+-cW +«»(r+c^j +«»(r+c^) +

A (x)
Da der Kettenbruch (24) die Nähemngsbrüche ^^-t-t hat, so erhalt man

den Kettenbruch mit den Näherungsbrüchen -— ^- dadurch, daft

\i + Cx)

^iX

man in (24) x durch , ^ ersetzt. Der so entstehende Kettenbruch.
ist aber äquivalent mit

^ J '^ \l-\-Cx + a^x \i + Cx+{a^ + aJx \i+Cx+{a^ + a^)x

§ 62. Einige Transformationen des korrespondierenden Kettenbraches. 339
Also ist auch für den Eettenbruch (27) der Näherungsbrnch A^'OrdnuDg

gleich ~^^\ ' ^^^^ Taylor sehe Reihe stimmt daher nach (26)

bis zur Potenz x^^ einschließlich mit ^f , ^ j überein. Das besagt

aber, der Eettenbruch (27) ist der mit $ \ri~cj ^^^^^^^^^ ^^^ daher
mit (25) identisch. Somit ergibt sich
Satz 18. Attö der Korrespondenz

$(rc) -1 + j^-^l + pf:i + j^ + . . . m infin,

erhält man die Koeffizienten des mit 5ß [Yzrrf) J^orrespondierenden Ketten-
bruches

*(M^)~>+^f+^f+^?+■■■

durch dctö Gleichungssystem

Die Auflösung dieser Formeln ist wieder einfach; es ergibt sich
nämlich (ßtidtjes 4 b):

(28)

»i-»«!» Hr+i c — 7T\" (*^1)-

Denn hieraas folgt in der Tat: i, ~> C + o,; femer

'1»+1 "r '»»+1

CB^

.(i)

— O + öj,^! -t- 0,,^j,

CB,J±

wie es nach Satz 18 sein soll.

22

340 Achtes Kapitel.

§ 63. EoüTergenz und DiTei^nz.

I. Man ist versucht zu glanbeii; daß die Konvergenz von Ketten-
brach und korrespondierender Reihe sich gegenseitig bedingen. Daß
dem gleichwohl nicht so ist, lehrt

SatB 19, Bezüglich der Konvergenz und Divergenz eines Ketten-

(TL Sk\ fl^ 'P I

bruches der Form 1 + |-*r-^ "^" i i "1" ' * ^^ seiner korrespondierenden

Beike können für einzelne Werte von x vier Fälle wirklich eintreten,
nämlich:

1. Kettenbruch und Reihe konvergieren beide;

2. Kettenbruch und Reihe divergieren beide;

3. Der Kettenbruch konvergiert, die Reihe divergiert;

4. Der Kettenbruch divergiert, die Reihe konvergiert.

Zum Beweis betrachten wir den dreigliedrig reinperiodischen Ket-
tenbrach

1 I ga;[ x\ Sx\ 2x\ x\ 9z\
'^ \ 1 "*" |1 I 1 "^ I i""^ |1 I 1 "^"^

bei dem alle vier Fälle zugleich realisiert sind. Seine korrespondierende
Reihe genügt nämlich der quadratischen Gleichung

und hieraus findet man

?o(^)" ^ 2(1 -R -l + 2rr~2ir» .

Sie konvergiert also, wenn wir nur reelle Werte von x ins Auge fassen^

für — Y7= ^ ^ ^ s/— ? ^^<^ divergiert, wenn x außerhalb dieses Inter-

y24 y24

valles liegt. Bei dem Kettenbruch dagegen ist die Konvergenz für a; »» 0

evident; für x + 0 aber zeigt Satz 38, Kap. VII, daß er gegen den Wert

konvergiert, wenn a; + — 1, und dabei entweder die Quadratwurzel ver-
schwindet, oder die folgenden drei Bedingungen zugleich erfüllt sind:

(a) I 1 +l/r- 24p I > I 1 - Vl^"24p I

,,>. 1+ 6«— |/l— 24a;« -

W 2(r+"i) + ^

§ 63. Konvergenz und Divergenz. 341

In allen andern Fällen divergiert der Kettenbruch. Die Bedingungen
(b) und (c) lassen sich einfacher schreiben:

(b) |/l-24x» + 4a?-l

(c) yi - 24x^ + - 1 - 4a?».

Es ergibt sich also, daß der Eettenbruch für alle negativen x

konvergiert außer für a; = — 1. Für x > y.^ divergiert er, weil die

y24

Bedingung (a) nicht erfüllt ist. Für 0 ^x ^ jp= endlich findet Kon-

y24

vergenz statt, abgesehen von dem Wert ^ ^^ y * Bei diesem ist nämlich

für das durch (a) geforderte Vorzeichen der Quadratwurzel die Bedin-
gung (b) nicht erfüllt. Es ergibt sich demnach folgendes Bild:

a: < — 1 : Eettenbruch konvergiert, Reihe divergiert,

X 1: Kettenbruch divergiert, Reihe divergiert,

— 1 < a? < — j-= : Kettenbruch konvergiert, Reihe divergiert^

— j-= ^ ^ < "a" • Kettenbruch konvergiert, Reihe konvergiert,

^24

3
8

a; - 4- • Kettenbruch divergiert, Reihe konvergiert.

Y < ^ ^ T^ • Kettenbruch konvergiert, Reihe konvergiert,
y 24

X > j-~ : Kettenbruch divergiert, Reihe divergiert.

724

Hier treten also in der Tat alle vier Fälle ein. Wenn Kettenbruch
und Reihe beide konvergieren, so zeigen übrigens die angegebenen Aus-
drücke, daß sie gegen den selben Wert konvergieren. Ob sich das
stets so verhält, oder ob auch das Gegenteil eintreten kann, ist eine
offene Frage.

Interessant ist, daß selbst, wenn die Reihe den Konvergenzradius
Null hat, der Kettenbruch gleichwohl konvergieren kann. Zum Beispiel
ist der Kettenbruch

1 , «I , laj| la;| 2a;| 2a;| 3a;| 8a;| 4rF| 4a;,

äquivalent mit

1 + ^1 + ^ + -^1 + J^ + _5 I . _^ I . ^ . ^ . ^ . . . .

8

342 Achtes Kapitel.

also nach Satz 37, Kap. YU gleiclimäßig konvergent in jedem endlichen
Bereich; der der negativ reellen Achse nicht beliebig nahe kommt. Die
korrespondierende Reihe dagegen ist, wie man aus § 59 ^ Formel (26)
für a — 1 entnimmt, die folgende :

1 +x£l{l,l]x)^l + x- l!a;*+2!a:*-3! x^ + 4\a^ ,

hat also den Eonvergenzradins Null. Mit dieser Erscheinung werden
wir uns im nächsten Kapitel eingehend zu beschäftigen haben.

IL Von größter Wichtigkeit ist nun

Satz 20. Konvergiert der unendliche Kettenbruch

l + pP + pf + j^ + --- (a,+ 0)

bzw.

i + Q¥d+rM^ + i^fU+--' (*'+^)

gleichmäßig in einem abgeschlossenen zusammenhängenden Bereich Tj der
den Nuilpunkt im Innern enthalt, so stelU er eine im Innern von T regu-
läre analytische, aber niemals rationale Funktion dar, die außerdem im
Innern eines jeden in T gelegenen Kreises K mit dem Nullpunkt als
Mittelpunkt auch gleich der korrespondierenden bzw. assoziierten Reihe ist.
{Fringsheim 6.)

Das folgt leicht aus einem bekannten Satz von Weierstraß.*)
Wir beweisen etwa den Fall des korrespondierenden Kettenbruches; für
den assoziierten ist die Methode ganz entsprechend. Wenn wieder A^,
B^ die Näherungszähler und -Nenner v*®' Ordnung sind, so gibt es wegen
der gleichmäßigen Konvergenz einen Index n derart, daß für t/ ^ n im
Bereich T überall JB^+O ist, und der Wert des Kettenbruches wird
dann in T dargestellt durch die gleichmäßig konvergente Reihe

A
B

deren einzelne Glieder in T reguläre rationale Funktionen sind.

Nach Weierstraß ist daher der Kettenbruch selbst im Innern
von T regulär. Nun sei wieder l + c^x + c^x^+ ' • - die korrespon-
dierende Reihe; dann sind im Innern eines jeden ganz in T gelegenen

Kreises K, dessen Mittelpunkt der Nullpunkt ist, die Funktionen

für v>n regulär, also die Taylorschen Reihen

B

1) Zur Funktionenlehre. Monatsber. der kgl. Akademie der Wissen-
Schäften zu Berlin 1880.

§ 64. Beispiele. — Die Eettenbrücbe von Ganß und Heine. 343

konvergent. Daher ist im Kreis K:

^5= 1 + c^x + • • • + c,a;«+ y,,,x»+i+ y«,,a:»+*+ • • •

n

"^n+J "^n + 1

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz folgt aber hieraas nach dem
Weierstraßschen Doppelreihensatz:

^n
K

also ist in der Tat der Eettenbruch gleich der korrespondierenden Reihe.
Nun bleibt noch zu zeigen^ daß der Eettenbruch keine rationale
Funktion sein kann. Aber in diesem Fall müßte ja nach dem Bewie-
senen auch die korrespondierende Reihe eine rationale Funktion dar-
stellen, was jedoch, wie Seite 307 oben bemerkt wurde, nicht möglich ist.
Weiter beweisen wir noch

Sats 21. Wenn die "beiden unendlichen Kettenbrücke

i + p^ + pf^ + ---, i+pi^ + pf + ••• (o,+0,a;+0)

in der Umgebuug des Nullpunktes gleichmäßig konvergieren, so sind die
durch sie dargestdlten analytischen Funktionen nur dann identisch, wenn
die Kettenbrüche identisch sind.

Nach Satz 20 müssen nämlich die korrespondierenden Reihen die
gleichen sein, nach Satz 3 also auch die Eettenbrüche.

§ 64. Beispiele. — Die Kettenbrüche Ton Oauß und Heine.

I. Wir beweisen zunächst ein paar allgemeine Sätze.

SatB 22. Wenn die Koeffizienten des unendliclien Kettenbruches

a,x\ . a^x \ . a^x

den UngleicJiungen \a^\-^g genügen, so stellt er im Kreis \^\<-r- ^«^

844 Achtes Kapitel.

reguläre analytische^ aber nidit rationale FunJctian dar, welche dasdbd
auch gleich der korrespondierenden Eeihe ist, (van Vleck 2, Pringsheim S.^

In der Tat, nach Satz 30, Kap. VU (mit p, — 2) ist der Eettea-

bmch fOr | ^| ^ ^- gleichmäßig konvergent , woraus nach Satz 20 die

Behauptung folgt. Beispiele hierfBr liefern die periodischen Ketten-
brüche.

SatB 28. Wenn lim 8up\a^\^gj so ist der Keäenbrudi

VSS4

1 + pr- + pr + pr + • " • (*-+ ">

im Bereich . ^ ' < -^- ^'we bis auf etwaige Pole reguläre analytische, aber

nickt rationale Funktion, wobei in den Polen unwesenäiAe Divergems
stattfindä. In der VmgÄung des Nullpunktes ist der KettenbruA amdi
gleich der korrespondierenden Beute, {van Vleck 2, Pringsheim 5.)

Beweis. Sei g' eine Zahl, die (beliebig wenig) großer ist als g',
es genfigt dann zu zeigen , daß der Eettenbruch fär | x i < j-r die be-
sagten Eigenschaften hat. Da nun lim sup ,a^^g, so gibt es eine

VBOB

Zahl n derart^ daß ^a^^g' fftr v > n ist Nach Satz 22 ist daher der

Kettenbruch

"«+1*' , ««+«*' . ««+s*

(1) i+^;_ + _^j^+ -^ +

für X < V ^ regulär und gleich seiner korrespondierenden Reilie $.(x).

Bezeichnet man also wieder mit Ä^(x), B^(x) die Naherungszähler und
-Nenner ^ Ordnung des gegebenen Kettenbruches^ so sind in dem
Ausdruck

Zahler und Nenner im Bereich ; x | < t 7 reguläre analytische Funk-
tionen. Dabei kann die Nennerfunktion nicht identisch Terschwinden,
weil sie f&r jt = 0 den Wert 1 hat Folglich ist der Nenner allenfSalls

an einzelnen Stellen des Bereiches x | < --, gleich Null, und an diesen

Stellen ist der Zahler tou (2) sicher von Null yerschieden, weil sonst

-ä^_i^«_2— -4t-«^ii-i=" ± ^^ . . . a.^i^"^ verschwinden müßte^
während doch x » 0 keine NuHstelle des Nenners ist. Der Ausdruck (2)

ist daher f&r , x ! < ^ ^ eine bis auf etwaige Pole reguläre Funktion

F{x), wobei die Pole sich mit den Nullstellen des Nenners decken.

§ 64. Beispiele. — Die Eetienbrüche von Gauß and Heine. 345

Anderseits ist aber der Ausdruck (2) auch gleich dem endlichen Eet-
tenbmch

i+n^ + rr+---+rT- +

I 1 ' ' I 1 • 1^,(0:)'

also in der Umgebung des Nullpunktes auch gleich $o(^)* Unter An-
wendung der Sätze 1 und 3, Kap. I folgt hieraus, daß auch der unend-
liche Eettenbruch

für \X\ <.Y ' ^^ Funktion F(x) darstellt, wobei in den Polen unwesent-
liche Divergenz statthat. Für kleine \x\ ist F(x) » $0(^)9 ^^^ natür-
lich kann ^q{x) wieder nicht rational sein. Damit ist Satz 23 bewiesen.
Ein Spezialfall ist

SatB 24. Wenn Um a^ =0, so ist der Ketienbrucfi

v=<

i+rr + rr + fT' + "- («^+o)

eine meromorphe, aber nicht rationale Funktion ^), wobei nur in den etwaigen
Polen unwesentliche Divergenz stattfindet. In der Umgebung des NvMpunktes
ist diese Funktion auch gleich der korrespondierenden Beihe.

In der Tat braucht man nur in Satz 23 für g eine beliebig kleine
Zahl zu wählen, um Satz 24 zu erhalten. — Insbesondere wird der Ket-
tenbruch dann bis auf Pole regulär sein, wenn die Reihe 2?|a,| kon-
vergiert. Es verdient bemerkt zu werden, daß in diesem Fall sogar die
Näherungszähler und -Nenner je für sich gegen zwei ganze Funk-
tionen konvergieren: lim -4y(x)=- A(ic), limB^{x)=^B{x) (von Koch 2,

Maület 2). Um das etwa für die Ä^ zu beweisen, beachte man, daß Ä^
nur solche Glieder enthält, die auch in dem Produkt

(l + a^x) (1 + a^x) . . . (1 + a^x)

auftreten (nach der Euler-Mindingschen Formel, §3). Für |a;|^iJ^
wo ü beliebig groß, ist also

iA(aj)i ^ (1 + >; jj) (1 + i««!^) • • • (1 + i«j-R),

l^l

1) „Meromorph^^ heißt „im Endlichen überall eindeutig nnd bis auf etwaige
Pole regnlär'^ Eine meromorphe, aber nicht rationale Funktion hat für x ^ 00
eine (einzige) wesentlich singaläre Stelle.

346 Achtet Kapitel.

weil ja die Konvergenz der Reihe 2^\a^\ bekanntlich die des Produktes
nach sich zieht. Aus der Bekursionsformel Äp='Ay^i+ a^xAy-% folgt
dann:

\Ar{x) -- A^^x{x)\^\a^xAr.%{x)\'^\ay\ßGj

so daß die Reihe

A^{x) + {A^{x) -A^{x)) + {A^{x) -A^{x)) + {A^{x) -A^{x)) + - - •

für \x\^Il absolut und gleichmäßig konvergiert. Sie ist also f&r \x\'^R
eine reguläre analytische Funktion; da i2 beliebig groß, heißt das aber
eine ganze Funktion.^) W. z. b. w.
Etwas allgemeiner wie Satz 24 ist

Sats 26. Wenn die Koeffizienten des Kettenbruches

1 + 3^ + 3*! + ^ + ... (a,+0)

1) Maület 2 hat noch bemerkt, daß A(a;), S{x) keine gemeinsame Nallstelle
haben. In der Tat, setzt man

lim A^ ;i(x) = A^(ä) a«0,l,2,.. .),

da diese Grenzwerte ja offenbar auch existieren müssen, so ist A (x) <= A« (x), nnd
die Formel (25), Kap. I lehrt für X»0, limt^=»(X>: B(jc) «r Ai(a;). Die durch
einen Dmckfehler entstellte Formel (29), Kap. I maß richtig lauten: A^^^ i^x
= 6jj__jul,, ;j + a^J.^__j^ jj . j und nimmt bei Anwendung auf unseren Eettenbruch
die Form an:

woraus für limyaaoc folgt:

(a) A;i__i(Ä) = A^(a;) + a;ja:A^_i(Ä) (1-= 1,2,8,...).

Wäre nun für einen bestimmten Wert von x zugleich

A(x) = Ao(a;) = 0, B(a;) = A^ {x) ^ 0,

80 müßte gewiß o; 4° 0 sein , weil offenbar A (0) =» 1 ist. Daher wäre nach (a)
auch Aji(a;)»0 für alle X (Schluß von X auf l-\-\). Aber da augenscheinlich
A^ j^[x) nur Glieder enthält, die in dem Produkt

(^ + «;i + i^)(l + «i + 1^) • • • (1 + «i+ t^)
vorkommen, und dabei insbesondere das Glied 1, so ist

Also auch, indem man zur Grenze f = oo übergeht:

00

W !Aj(a;)-i:<^(l + |a,,^.iXl)-l,

da das Produkt wegen der Konvergenz der Reihe 2^ \a^ ebenfalls konvergiert.
Weil aber die rechte Seite von (b) mit wachsendem X offenbar beliebig klein
wird, so ist gewiß Kj.{x)=^0 für hinreichend große X, im Widerspruch mit dem
zuvor Festgestellten. A(a;) und B(x) haben somit keine gemeinsame Nullstelle

§ 64. Beispiele. — Die Eettenbiüche von Gaufi mid Heine. 347

einen Grenzwert lim a,. — a + 0 haben, so sei T ein den Nullpunkt im

vssee

Innern enthaltender sfusammenhängender abgeschlossener Bereich, der außer-
dem mit einem vom Punkt — 7— in der dem Nullpunkt entgegengesetzten

Richtung ins unendliche geführten geradlinigen Schnitt keinen Punkt
gemein hat.

Im Innern^) von T ist dann der Kettenbruch eine bis auf etwaige
Pole reguläre analytische^ aber nicht rationale Funktion, die in der Um-
gebung des Nullpunktes auch gleich der korrespondierenden Beihe ist. In
den Polen ist der Kettenbruch unwesentlich divergent (van Vleck 4, Prings-
heim 5),

Beweis. Nach Satz 43, Eap.YII gibt es eine Zahln, für welche
der Ketteubruch (1) im Bereich T gleichmäßig konvergiert. Nach Satz 20
ist er also eine im Innern von T reguläre analytische Funktion, und
außerdem in der Umgebung des Nullpunktes gleich seiner korrespon-
dierenden Reihe ^„(a:). Wir wollen deshalb diese Funktion im Innern
Ton T überall mit $„(^) bezeichnen. Dann ist von hier an der weitere
Beweis wörtlich der gleiche wie bei Satz 2d, wobei nur an Stelle des

dortigen Bereiches |a?| < t- ; hier das Innere von T zu treten hat.

n. Wir wenden diese Sätze mm auf die Korrespondenzformeln
des § 59 an. In der dortigen Formel (14) haben die Koeffizienten a^

den Grenzwert — j • Daher ist bei Anwendung des Satz 25 der Schnitt

vom Punkt + 1 nach + 00 zu führen. Indem man zum reziproken Wert
übergeht^ ergibt sich also für alle x, die nicht dem Schnitte angehören^
die Formel:

(3)

'^%trß:-}r^-\l+ff^+^+---i^Ei.m^or^^^^^^^^

- (/g + y)(y-a + y) _ (cc + v)(y ^ ß + v)

^^ (y + 2v— l)(y + 2i/)' "»"+1 (y + 2v) (y + 2v + 1) '

wobei unter dem Quotienten links außerhalb des Konvergenzkreises die-
jenige analytische Fortsetzung zu verstehen ist, die man ohne Über-
schreitung des Schnittes erhält; in den Polen findet unwesentliche
Divergenz statt (Thome2, van Viech 3, Pringsheim 5). Daraus ergibt

sich also insbesondere, daß der Quotient ij! J ^ — r— ^ sich in der

zerschnittenen Ebene wirklich eindeutig analytisch fortsetzen läßt
und bis auf Pole regulär ist. Für Zähler und Nenner allein dagegen
läßt sich nichts schließen; doch ist ja aus der Theorie der hyper-
geometrischen Reihe bekannt^ daß sie daselbst überall regulär sind.

1) Übrif^ens auch auf der Grenze, weil sich ja stets ein ebensolcher Be-
reich angeben läßt, der T ganz im Innern enthält.

348 Achtes Kapitel.

Die Formel (3) gilt übrigens auch, wenn einmal a„+,-0 Tvird; nur

muß man dann den Eettenbruch mit dem Glied ^j^ abbrechen, wie

bereits Seite 312 oben bemerkt wurde. In diesem Fall ist der Ketten-
bruch eine rationale Funktion und in den Polen ist er sinnlos.
Ebenso folgt ans § 59, Formel (15):

(4)

F(a,l,y;a;)-p;J + i^^^+i?fl + j^ + ---(vgl.§59,F^^^^

wobei der Schnitt wieder von +1 iiach +00 geht (Thomel), und aus
§ 62, Formel (7):

i^(a, 1, y; a;) - 1 + j^ + i?»fJ + i^ + . . . (vgL §59, Formel(ll)),

a (a+v)(y + i' — 1) _ v(y — a + v — 1)

^""7' ^^* (y+2f — 2)(y+2y— 1)' ^*+l (ir+2v— l)(y+2»)'

(4a)

wo der Schnitt ebenfalls von + 1 nach + ^x) geht.

In den Formeln (3) und (4) sind eine Reihe bemerkenswerter Spe-
zialformeln enthalten, die wir noch angeben wollen.

A. Es ist für |a;|<l
daher folgt aus (4), wenn l,—ii, — x an Stelle von y, a, x tritt:

1(1-^) 1 2(2+^) _ 2(2-^),

X, —-zr^. - X

K^-rX) |i |i ^1 1 T^l 1 ^1 1 ^1 1 ^9
oder, indem man den Eettenbruch durch einen äquivalenten ersetzt:
C¥.\ nj.^\^ ^1 fia;| l{\+ii)x\ l{l-i^)x\ 2(2+ft)a?| 2(2->ft)a;|

(5) (1+^) ==|r-jr-+i — 2 — +j — 8 — +i — 4 — +j — 6 — +•*••

Schreibt man hier — ^ an Stelle von ft und nimmt den reziproken Wert,
so kommt noch (was auch direkt aus (4a) folgt):

(6) (1 + .)" = 1 +^+^(L-=iO^+p4'^*'+P^+P±^

Der Schnitt geht bei den Formeln (5) und (6) von — 1 nach — oo .'

B. Es ist für |a;|<l

log(l + a;) = a:-|' + |'--f i- ^ rci?'(l, 1,2-, -x>,

§ 64. Beispiele. — Die Kettenbrfiche von Gau6 und Heine. 349

daher folgt aus (4), wenn man a, y, x durch 1, 2, — o; ersetzt (und auch
gleich wieder einen äquivalenten Eettenbruch nimmt):

auch hier geht der Schnitt von — 1 nach — oo .

C. Etwas allgemeiner ist fOr |a;| < 1, n— 1, 2, 3, . . . :

X

/Jt_

dt Ä^+^ . «*»+^ «•»+^

n+l ' 2n + l ön + 1 ' \n' ' n' /

Setzt man in (4) also -, 1 + -, — a;" an Stelle von a, y, x, so kommt:

(8)

/' dt ^x\ l«a;"| n'a;* | (w+l)«a?"| (2n)«a;''
1+r |1 "^In+l '^|2n+l "^1 3n+l "^ | 4n~+l"

,Jn+l)«rc*'| (8n)«x>'| iBn + 1)««^
"^ I 6n+l "^jen + l "^1 7n+l "^

Hier sind aber^ weil x durch — x'^ ersetzt wurde, n Schnitte von d-j^ nach

S'j^oo ZU führen, wo #;^ = e " (Ä "=» 0, 1, . . . , n — 1); der Integrations-
weg darf diese Schnitte nicht überschreiten.

D. Für |a:!<l ist

daher folgt aus Formel (3), wenn man a, ß, y, x durch - T-,~„^,-^,x*
ersetzt:

/Qx (l+a?r-(l-xy'_ftx| (|i«-l)x«| _öi»-4)^ (^^9)x«|

^^^ (l+x)" + (l— xf ,l"^l 3 ""'"1 6 "•"[ 7 "•"■"'

wobei Schnitte von + 1 nach + 00 und von — 1 nach — 00 zu führen
sind. Setzt man x^~ und nimmt den reziproken Wert, so kommt

350 Achtes Kapitel.

Subtrahiert man hiervon fi und geht dann abermals zum reziproken
Wert über; so erhält man den Eettenbmch von Laguerre 6:

wo nun ein Schnitt von —1 nach +1 zu führen ist.
Dabei ist für 'z\>l:

also, wenn ig, i(i an Stelle von 0^ ^ tritt (< =y— l):
so daß aus (10) folgt:

2A*«otangi. 2ft| fi«+l| ft«+4| ^«+9| ^'+16|

(11) e -^+r^^i, + ]-Ji- + rbr' + \-17- + \-^i- + "'^

wobei ein Schnitt vom Punkt — i nach + i zu führen ist. Für (i ^ --
stammt diese Formel ebenfalls von Laguerre 1.

Durch die Substitution x^i tang9? (i ==y^l) wird die von +1
bis + 00 und von —1 bis — 00 aufgeschnittene a: -Ebene abgebildet auf
einen Streifen S der 97 -Ebene, der begrenzt ist von zwei Parallelen zur

imaginären Achse durch die Punkte ± y • Außerdem ist für reelle 9

zwischen ~ und + — :

4 4

(1 + i tangqp)^ — (1 — t tang cpy* (cos 9 + * siny)^ — (cos 9 — i sin qp)'*

(1 + ♦ tanggj)'" + (1 — * tai>g 9)" (cosy + * sin 9/*+ (cosy — i sin qp/*

2ism^(p . .

2 cosfiqp orT>

also nach (9), wenn man x^i tang^ einsetzt, zunächst für —-^<<P<Cy'

tanff tt(p = ^^°gy| _ S^^J^ ^^*£i _ (fi' — 4)tang«y

(12)

(ft* — 9) tang*y| (fx*— 16)tang*qp |

9

Diese Formel muß aber im Innern des Streifens S überall gültig sein;
denn ihre beiden Seiten sind daselbst bis auf Pole regulär und stimmen

für — T '^V ^T ^^* einander überein.

§ 64. Beispiele. — Die Kettenbrüche von Gauß und Heine.

351

Ist fi eine positive ganze Zahl n, so verschwindet ein Teilzähler
von (12); der Eettenbruch ist also durch einen endlichen zu ersetzen,
und es kommt:

(13)

tangng?

ntang<p| (n* — l)tang*qp

8

(n' — 4)tang'qp

: 6

(n* — (n— •l)*)tang*y
2n—l

wobei in den Polen von tangn^ der Kettenbruch sinnlos ist.
E. Es ist für |a;|<l:

Daher aus (4), wenn a, y, x durch — , — , a;* ersetzt wird:

(14) I0g^ = -J-P3^- —

9«'

16a;"

7 I 9 '

wobei wieder Schnitte von + 1 nach + oo und von — 1 nach — oo zu
fOhren sind. Setzt man x^ —y so kommt noch

(15)

1 '+1

2

z

1 I

iz

~bz

9

16

\g \9z \bz \7z I 9z
(Schnitt von —1 nach +1).

Dieser Kettenbruch ist bemerkenswert, wenn wir ihn in der äquivalenten
Form schreiben:

(16)

>^m

2

z

1

2

8

4

2

8

4

5

8
2'

3

7

9

dann ergeben sich nämlich seine Näherungsnenner aus

sie sind also, wie Jacöbi 1 gelegentlich bemerkt und später Büuche 1
neu bewiesen hat, die bekannten Legendreschen Polynome (Kugel-
funktionen), da letztere ja gerade durch diese Formeln definiert werden.
Ersetzt man in (14) x durch ix^ so erhält man

X

lx*\

4a;'

9 a;'

(17) arctang.;-i;i + ^ + i---- + ,---^.+

16a;'
9

+

wobei Schnitte von % nach i oo und von — i nach — i oo führen. Das
gleiche folgt aus (8) für n^ 2.

352 Achtes Kapitel.

F. Für la:|<l ist

,/^i Ä 1 a?* l X* 1-8 «• ^/l 1 1 jX

>^l-*-l--2--T 4- -2.4-6-- ••• = %' -T>T5^)'

, 1 rc» , 1-8 a:» , 1-8.6 ä' , ^/ 1 1 8 «N

Daher folgt aus (3), wenn a, /3, y, x durch -^ , — -r > -^ ; ^* ersetzt wird:

arc Bin a; a; | 1-2«*| 1.2a:*| 8-4a:"| 8-4a;*

(18) ji/r:^^«"n"""P8 |-5 p7 rr

6.6ä"| 6.6iC*

• • •

7

I 11 I 13

wobei wieder Schnitte von + 1 nach + oo und von — 1 nach — oo zu
führen sind.

Obwohl alle diese Formeln zum sicheren Besitz der Wissenschaft
erst gehören, seitdem Thome die Richtigkeit der allgemeinen Formeln
(3) und (4) bewiesen hat; kommen sie doch zum Teil viel früher, auch
schon vor Gauß (der nur die Korrespondenz bewiesen hat) in der
Literatur vor. So finden sich die Formeln (7), (17) bei Lambert la,
(6); 0), (8), (17) bei Lagrange 6, (9), (12), (14), (17) bei Euler 14.
Lambert glaubte bereits konstatieren zu können (allerdings nur aaf
Grund numerischer Rechnung), daß der Konvergenzbereich des Ketten-
bruches (7) über den der betreffenden Reihe hinausreicht, so daß der
Kettenbruch zur numerischen Berechnung von log (1 + x) &ach für
x>l brauchbar ist. Li der Tat kommt auch allen diesen Formeln
neben der theoretischen eine praktische Bedeutung zu wegen des großen
Konvergenzbereiches; bei vielen Formeln, insbesondere wo die Elemente
positiv sind, ist die Konvergenz für nicht allzu große x eine verhältnis-
mäßig rasche, so daß sie sich gut zur numerischen Rechnung eignen.

IIL In den Formeln (16) bis (21) des § 59, ebenso in (8) und
(9) des § 62 konvergieren die Teilzahler gegen NuU (bei der letzt-
genannten für {g{ <1). Die betreffenden Kettenbrüche sind daher nach
Satz 24 meromorphe Funktionen, die in der Umgebung des Nullpunktes
mit ihrer korrespondierenden Reihe übereinstinmien. Da das gleiche
aber auch von den linken Seiten jener Formeln gilt, so kann man dort
die Korrespondenzzeichen ohne weiteres durch Gleichheitszeichen er-
setzen, wobei nur in den Polen wieder unwesentliche Divergenz statt-
findet. Insbesondere liefert die Formel (8) des § 62, wenn man zur
Vermeidung der Brüche den Kettenbruch durch einen äquivalenten er-
setzt, die für alle x gültige Formel:

+ 1^-1^-^ + n?J--- (vgL§59,Fonnel(17)).

(19)

§ 64. Beispiele. — Die KetienbrÜche von Gauß und Heine.

853

Wenn y speziell eine positive ganze Zahl, so ist

X

6 — 1— — — •••

X

r-i

*(l,,;a:)-l + - + ^(^+,)

+

1 +

X'

r-1

80 daß ans (19) nach Multiplikation mit , _ > die Formel von Pad^l, 3
hervorgeht:

(20)

X'

-i + n + '-- +

.y-i

(r-i)!"^i
(r+i)x\ , 2x

(r-i)!

ya? I , lg I

y + l "^17 + 2

+

(r + 2)ar

+

3x

y + 8 ' lr+* I y + 6 ' |y+6

Für y '^1 entsteht hieraus die schön bei Lagrange 6 vorkommende

Formel:

/91^p« — 1X*I «I, «^1 «I, «I «I, a:| x\ x\ x\

|2 • |7 I

Ebenso ergibt die Formel (9) des §62 die fllr |j|< l.und für
alle X gültige Gleichung:

(22)

Als weiteres Beispiel erwähnen wir die aus (21), § 59 hervorgehende
Formel

"T i ; I < T

(23)

„ y(y;«)

-y + T7Tr +

o;

+

« t

+

y + 1 ' |y + 2 ' |y + a
(vgl. § 59, Formel (22)),

welche mit der Formel (20) des § 57 identisch ist (woselbst Literatur);
nur müssen hier die Werte y = 0, — 1, — 2, . . . ausgeschlossen werden,
was dort nicht nötig war, da für diese zwar die Funktion W^, aber

nicht die Funktion W einen Sinn hat. Speziell für y^Y ^o^^a.^us (28);

wenn man den reziproken Wert nimmt und 4a; = ±je;' setzt, die beiden
Lambert sehen Eettenbrüche (Lambert Ib):

(24)
(25)

e — e

z

z

z

— «

'1 + I »""^fö "'■

z*\

«* + «

tang^-if-lV-

+

deren enter för * "■ ö~ übergeht in

(26)

«y — 1 1 1

e' + l

^'+ ^

+

I 6y T^ HOy 'I Uy

+

Perron, Kettonbrftohe.

23

364 Achtes EapiteL

Diese Formel, die vor Lambert sich schon bei Eider 4 findet^ wurde in
§ 31 bereits für spezielle Werte von y benatzt. Setzt man in (25):

g ^ — und in (26): y = ^ -, so kommt , wenn man die Eettenbrüche

durch äquivalente ersetzt:

m fn\ m*\ m*| »i*

(27) tang - = .-^ ' - ,3^^ - - -^- - '

%m

^^^^ Im ■*■ |n" "^ |8n "^ |5n "^[Tn "^ '

• •

n

+ 1

wovon bereits in dem Beispiel auf Seite 253 f. Gebrauch gemacht wurde.
In der Formel (29) des § 59 haben die a^, wenn der reelle Teil
von u nicht NuU ist, den Grenzwert NuU. In diesem Fall stellt also
der Eettenbruch nach Satz 24 wieder eine meromorphe Funktion dar,
die in der Umgebung des Nullpunktes auch gleich der korrespondie-
renden Reihe, also deich dem Quotienten —r^^^—^-ri^ — ^ ist. Dieser

\ g)(a,/S+l,y + l;u;a;)

Quotient erweist sich daher mit seiner analytischen Fortsetzung als eine
meromorphe Funktion von Xj und in jener Formel (29) kann das Eorre-
spondenzzeichen wieder durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden
{van Vleck 3). Übrigens hat Prmgsheim 5, 6 bemerkt, was sich aber nicht
aus der Theorie der Kettenbrüche ergibt und hier nur beiläufig ange-
führt sei, daß auch eine einzelne Heine sehe Reihe q){a^ ßj y]U] x) sich
als meromorphe Funktion von x analytisch fortsetzt.

§ 65. Ein bemerkenswertes Divergenzphänomen.

I. Es soll jetzt an einem Beispiel gezeigt werden, daß nicht um-
gekehrt aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe auf die gleich-
mäßige Konvergenz des korrespondierenden Kettenbruches in der Um-
gebung des Nullpunktes geschlossen werden kann. In § 60, Formel (16)

fanden wir die Korrespondenz:

1

2co8a-a;| . cosa

X

^o(^) " V^ +4rccosa — 4a;*sin*a'^l + r- + -,

cos 2 a
<ij

cosa

COHft
X

cos 2a

r

COS 8 a cos 2 a

X • X I

cos2q; cos3q; ,

Hier sei a reeU zwischen 0 und n: gelegen, aber kein rationales Viel-
faches von %, der Kettenbruch also unendlich und nicht periodisch. Da

^Q(a;)*= l + 4a; cos« -- 4a;* sin*« = (1-j- 4x cos' y) (1 — 4a; sin'yj,

§ 66. Ein bemerkenswerteB DiYergenzph&nomen. 355

so hat die Reihe ^q{x) einen Konvergenzkreis, dessen Radius gleich
der kleinsten der Zahlen , ist. Für den Eettenbmeh

4C0ß'-rr 4 Bin •-TT

2 2

dagegen werden wir folgendes Verhalten nachweisen:

A) Auf dem im Konvergenzkreis gelegenen Stück der redien Achse
liegen ewar die KonvergenzsteUen Oberall dicht, und der Kettenbruch ist
dort auch gleich der Beihe.

B) Daselbst liegen aber auch die Bivergenzstellen überall
dicht

G) Dagegen gibt es abgeschlossene Bereiche, die aber keinen Punkt der
redien Achse, insbesondere nicht den Nullpunkt im Innern enthalten, in
denen der Kettenbruch gleichmäßig konvergiert und gleich der Beihe ist.

Bezeichnet man mit ü^ generell die Näherungszahler ^^ und -Nenner
B^ 1^ Ordnung des obigen Ketten bruches, so hat man die Formeln:

(1)

COSfra

, ü,^..-U,,+ ^^'''xU,^.. iv>l).

Indem man diese zueinandert addiert^ nachdem man die erste mit
— ^^^^"~ X multipliziert hat, erhält man:

COBva

(2) ü,,^^^(l + 2xcoBa) ü,,^,-x'ü,,_^ (v^2).
Sind nun y^, y^ die Wurzeln der quadratischen Gleichung

(3) y* = (1 + 2a; cos a) y — x\
also

yj — — (l + 2ir cos a + )/l -f- 4a; cos a — 4a;* sin* a)

(4) { 1 , ,

y,=. Y (1 + 2a;cosa — yi + 4a; cos« — 4a;' sin^aj,

so findet man direkt:

-4i — 1 + 2a; cos« = y^ + y»,

^3 - (1 + 2a; cos«)» - 2a;* - (y^ + y,)» - 2yiy, = y^* + y,«,

JB; - 1 + 2a; cos« - yi + y, - ^~:^y}'

23*

356 Achtes Kapitel.

Hieraus laßt sich schließen, daß für 1/ ^ 1 durchweg

(5) A.-x-yC + yt, -»«-i-'t^yf

sein muß. Denn dies ist ja für 1/ — 1, 2 richtig und folgt dann allgemein
durch den Schluß von v auf 1/ + 1 mit Hilfe der Formel (2), angewandt
für ?7«=--4 und U^B. Aus der letzten der Gleichungen (1) für U^^A
und Ü^B findet man dann auch Ä^^ und B^^, nämlich:

(6)

Ä,.-yr' + yr'-'--^^Hy: + y/)

B =yi -y^ 008(^ + 1)« ^y/-y,"
'" Vi— Vi cofl«'« yi — y«

Wir bemerken hier, was wir später brauchen werden, daß y^, y^,
so lange sie bei reellem x reell sind, stets positiv sein müssen, nur für
o: » 0 ist y^ » 0. In der Tat läßt sich ja die Gleichung (3) folgender-
maßen schreiben:

y = y' — 2ic cosa-y + ^* = (y — ^ cosa)* + x* sin*«,

wodurch die Behauptung evident wird.

Es wird nun weiter auf diejenigen Werte von x ankommen, für
welche | yi | "» | y^ | ist. Für diese kann man wegen y^ y, » x^

yi— iPe% y,=-a;e-'»

setzen, und die Gleichung I yi | =■ 1 ys | läuft dann darauf hinaus, daß 9
reeU ist. Dann kommt:

1 + 2ir cos a = yi + y^ = 2a; cos 9? .
Die ffesuchten x sind also von der Gestalt x ^ zrr -: d.h. sie

o 2 (cos 9 — cos a) '

sind reell und liegen auf den geradlinigen Schnitten, welche von

1 1

2 (1 — cos a) , . , a

nach + 00

4 sin' -
2

und von

2( — 1 — cos«) , , a

^ ' 4 COS* — -

2

nach — 00

führen. In jedem zusammenhängenden abgeschlossenen Bereich T, der
keinen Punkt dieser Schnitte, wohl aber den Punkt x ^0 enthält, ist

eindeutig und stetig und hat daher ein Maximum ^, welches kleiner

Vi

als 1 sein muß. Denn für x =^0 ist ' ~ ' == 0: wäre nun d ^ 1, so

§ 66. Ein bemerkenswertes Diyergenzphänomen.

357

müßte wegen der Stetigkeit irgendwo in T auch ^ — 1^ also l^sl °- |yi|

sein^ während doch T keine solche Stellen enthalt. Femer hat auch
I y^ — y, I in T ein Maximum Q,

Aus (5) folgt dann im Bereich T\

-^y-l

'2v-l

iVi - Vi)

yr + vt'

<'.-'.)eT^-)

y<

yi-y»

Das besagt aber, daß die Näherungsbrüche ungerader Ordnung gleich-
mäßig in T gegen den Grenzwert

(7) yj — y^ — yi -f- 4iX cos a — 4ic* sin* a

konyei^ieren.

Ganz anders verhalten sich die Näherungsbrüche gerader Ordnung.
Wir geben zunächst durch eine leichte Reduktion den Formeln (6) die
Gestalt

f ^^-a;sina(6,^iy/+6,^jy,')

(8)

wobei

(9)

l^^i-tangva —

X cos a — y^
xsma

(»-1,2).

Ist nun 2\ ein ganz in T enthaltener abgeschlossener Bereich, in

dem aber der imairinäre Teil von ?^^?^ absolut crrößer als eine

^ x sin a ®

positive Zahl 6 bleibt und auch | :r | > <7 ist ^), so folgt aus (8):

A
B

'-' - (y. - y,) - (yi - y,) (H'^-^ - 1)

(10)

(»1 - Vi)

2 i^i^ r*:» V

Da nach Voraussetzung der imaginäre Teil von %^ , absolut größer als
6 isty so wird auch 1 5^,1 1 > <y; femer

«r,2 Sr,!

S^l

a:sintt

<

O

<r sma

1) Dafi es solche Bereiche wirklich gibt, wird der Leser leicht erkennen.

358

Achtes Kapitel.

Daraufl ergibt sich

ßr, 1

^1 +

< 1 + -r? -K^,

^ ' ff* ain a '

WO also £* von x und i; nicht abhängt. Aus (10) folgt daher im Be-

reich T^f weil daselbst

Vi

^ e und I yi — yj I ^ 6r ist:

'2»

- (yi - yj)

SO daß in T^ auch die Näherungsbrüche gerader Ordnung gleichmäßig
gegen y^ — y, konvergieren. Damit ist zunächst unsere Behauptung C)
bewiesen.

U. Um jetzt A) und B) zu erledigen^ bilden wir die beiden Intervalle

(11)

^ <ir<0 und 0 < a; < — -

4C08' —

2

4Bm'— -
2

durch die Transformation

(12)

X COS a — y,
U =« ; —

— 1 — y 1 +4a? cos a — 4a5* sin* a
2a; sin a

stetig ab auf die Intervalle

(13) cotgY<M<(X) und — cx> < w< — tang y

In den Intervallen (11) ist y^ reell, muß also nach einer oben gemachten
Bemerkung positiv sein; der Differentialquotient

Vi

du l + 2a;co8a-|-}/l + 4a?cosa — 4a;*sin*a

dx 2aj*sina«)/l4-4ajco8a — iaj'sin*« a;*8ma)/l-f- 4 oleosa — 4a;'8m'a

ist daher ebenfalls beständig positiv, und folglich die Abbildung um-
kehrbar eindeutig.

Wir zeigen nun, daß diejenigen u, für welche der Ausdruck

(14)

v^\ tangi/a — u

über einer von v unabhängigen positiven Schranke bleibt, in den Inter-
vallen (13) überall dicht liegen. In der Tat, gäbe es ein von solchen u
freies Teilintervall J (die Endpunkte eingerechnet), so wäre für jedes
in J gelegene u der Ausdruck (14) bei passend gewähltem v beliebig

klein, also gewiß kleiner als -j-, wenn l die Länge des Intervalles J be-
deutet; somit:

§ 66. Ein bemerkenswertes DiTergenzpbänomen. 359

7 l

für geeignete Werte von v. Bezeiolinet daher ^^ das Intervall von

tang va — j-^ bis tang va + j- i, so wäre jede Zahl des Intervalles J

auch im Innern eines der Intervalle ^^^ jd^y d^^ , . , gelegen. Nach
einem Theorem von Borel^) gäbe es dann eine Zahl m derart, dafi jede
Zahl von e^auch im Innern eines der m Intervalle ^^, A^^ . . ., A^
liegen würde, so daß die Gesamtlänge dieser Intervalle mindestens
gleich l sein müßte. Sie ist aber in Wirklichkeit nur

T (^ + 2* + 3^ + ••• + ;;?)< 2" y < ^'

woraus zu schließen ist, daß das gedachte Intervall J in Wirklichkeit
nicht existiert. W. z, b. w.

Den in den Intervallen (13) überall dicht liegenden Zahlen u mit
der erörterten Eigenschaft entsprechen durch die Transformation (12)
gewisse Xy die in den Intervallen (11) überall dicht liegen. Wir wollen
zeigen, daß für jedes solche x die Näherungsbrüche gerader Ordnung
dem Grenzwert y^ — y^ zustreben, so daß der Kettenbruch konver-
giert, weil ja die Näherungsbrüche ungerader Ordnung ebenfalls diesen
Grenzwert haben. In der Tat, aus (8) ergibt sich

(15) ^^ - (y, - y,)

'-*;-(r

-4jy i;*L , Vv. /

Da aber in den Intervallen (11) wieder jyg I "^ l^i I ^^^ (diese Intervalle
haben ja mit den auf Seite 356 erwähnten geradlinigen Schnitten
keinen Punkt gemein), so wird

limi/«/'^V=0.

Aus (15) kann daher lim =^- '^Vi^yj geschlossen werden, sobald

gezeigt ist, daß ! -^ — unter einer von v unabhängigen Schranke bleibt.

1) Dieses Boreische Theorem lautet: ,,Wenn eine unendliche Menge von Inter-
vallen A die Eigenschaft hat, daß jede Zahl eines gegebenen Intervalles J^ die
Enden eingeschlossen, im Innern von mindestens einem unter ihnen liegt, so
kann man aus den Intervallen z/ eine endliche Anzahl herausgreifen, welchen
ebenfalls diese Eigenschaft zukommt/* — Der Leser findet einen sehr einfachen
Beweis dieses Satzes bei H. Lebesgue: Lebens sur Tint^gration et la re-
cherche des fonctions primitives, Paris 1904, Seite 105.

360

Achtes KapiieL

Nun ist definitionBgemäß

_^1_

'%.i

, X cos a — y,
tang va -. — -^

a;8ina

v^ (tang V a — u)

X cos a — y,
^ , o; sin a

„»T" t^*(tangira — i*)

und dies bleibt in der Tat unter einer Schranke, weil ja i/* | tang va — u\
nach Voraussetzung nicht beliebig klein werden kann. Damit ist auch
unsere Behauptung A) bewiesen.

Nunmehr zeigen wir, daß auch diejenigen u, welche der Ungleichung

(16)

tangva — m| < — r für unendlich viele v

v\

genügen, in den Intervallen (13) überall dicht liegen. Dazu ist nur
nötig, nachzuweisen, daß in jedem beliebigen Teilintervall J eine Zahl u
mit dieser Eigenschaft vorhanden ist. Zu dem Zweck sei allgemein S^

das Intervall von tang va : bis tang va -{ — |- Da a kein rationales

Vielfaches von sr, so kommt tang va jedem reellen Wert beliebig nahe.
Man kann daher ein Intervall 8^^ angeben, welches im Innern von J
liegt, sodann ein S^^, welches im Innern von S^^ ü^g^; ^sw. Dann
existiert aber der Qrenzwert

lim tangi/^tt «= u^,

und Uj liegt im Innern von J und von jedem S^ ; also ist

|tang«/,a-Mi|<;i^;

das heißt, die Zahl u^u^ leistet das in (16) Verlangte.

Den in den Intervallen (13) überall dicht liegenden Zahlen u mit
der Eigenschaft (16) entsprechen durch die Transformation (12) wieder
gewisse Xj die in den Intervallen (11) überall dicht liegen. Wir wollen
zeigen, daß für jedes solche x der Eettenbruch divergiert. Nun er-
gibt sich aus (8):

(17) j7^-(yx-y»)^g^^ y_^-

M »! \yt)

I.

Es ist aber lim — (— ) = 0. Wenn wir daher noch zeigen können, daß

der Ausdruck

für eine unbegrenzte Serie von v -Werten unter

§ 66. Ein bemerkenswertes Divergensph&nomen.

361

einer Schranke bleibt, so folgt, daß ^- dem Wert y^ — y. beliebifir
nahe kommt, daß also der Eettenbrach divergiert, weil ja

lim

'j*-i

war. Nun ist
fl8)

= «o -"l»-!

-yi-y» + yi-yi

♦"Im

v\

|tang

va — u\

tang

vce —

o; cos a —
XBiaa

y*

der Zähler dieses Bruches wird nach Yoranssetziing für unendlich yiele^
1/- Werte kleiner als 1. Für solche v liegt aber der Nenner beliebig
nahe bei

u —

X cos a — y,
xsintt

X cos a — y^ x cos a — y,

XBina

XBina

y» — yi

X sina

ist also großer als y

yi — yi

^csina

, SO daß der Bruch (18) gewiß unendlich

arsina

yT^yi

ausfällt. Womit auch die Behauptung B)

oft kleiner als 2

bewiesen ist.

Bei dieser Gelegenheit sei auch auf das von S. Dumas 1 untersucht»
merkwürdige Verhalten gewisser Kettenbrüche der Form

1 +

*i

+

K

+

k, I

^ + h ' 1^ + ^ ' U + 'i

+

hingewiesen. Bemerken wir zunächst, daß dieser Eettenbrach durch
die Substitution z ^ — äquivalent wird mit

iv« X

1 j. _2i:ii — 1

*-,x«

+

AJj X

1 + kx ' ll + ^s«

+

also mit den in diesem Kapitel behandelten in engster Beziehung steht
(siehe § 61). Dumas gewinnt nun aus der Theorie der elliptischen
Funktionen solche Kettenbrüche, bei denen sowohl die Konvergenz- als
die Divergenzstellen in der ganzen j?-Ebene überall dicht liegen. Wir
müssen uns aber hier mit diesem Hinweis begnügen.

Neuntes Kapitel.

Die Kettenbrüche von Stieltjes.

§ 66. Der Integralbegriff ron 8 1 1 e 1 1 j e s.

I. Sei j[f(x) eine im Intervall (a, b) wachsende Funktion von ic;
d. h. für a ^ Xi <C x^ ^h sei ^(x^) ^ ^(^); ©s ist also streckenweises
Eonstantbleiben nicht ausgeschlossen. Bekanntlich existieren die beiden
Grenzwerte

lim ^(a; + f) « ^(a: + 0) r^ra£x<b i^>Q),

e = 0

\imilf(x — s) ^ ilf(x — 0) tÜTa<x^b («>0),

and es ist ilf{x — 0) ^il;(x) ^ip(x + 0). An einer Unstetigkeitsstelle x
ist die Differenz ^(rr + 0) — ^(a; — 0) positiv und heißt die Große des
Sprunges; an einer Stetigkeitsstelle x verschwindet diese Differenz. Für
X ^ a bzw. a; = fe ist ^(a + 0) — ^(a) bzw. ^(6) — ^(6 — 0) die Größe
des Sprunges. Es können sehr wohl unendlich viele, sogar im ganzen
Intervall dicht liegende^ Unstetigkeiten vorkommen; jedoch sind sie
dann nur in abzählbarer Menge vorhanden^ so daß die Stetigkeitsstellen
überall dicht liegen. Denn ein Sprung größer als eine vorgegebene
positive Zahl 6 kann, da '^{x) ^ ^(&) beiben muß, nur eine endliche
Anzahl von Malen auftreten. Aus dem gleichen Grund ist die Funktion
^{x) auch im Riemannschen Sinne von a bis h integrierbar.

Eine Stelle § zwischen a und h heißt Konstanzstelle, wenn fär
hinreichend kleine positive s stets ^(| -- «) = ^(| + fi) ist; andernfalls
heißt I eine Wachstumsstelle. Für | = a und |=*6 modifiziert sich
diese Definition in leicht ersichtlicher Weise. Hat ^(rr) nur eine end-
liche Anzahl von Wachstumsstellen, so sind diese zugleich unstetig-
keiten, und ^(rr) ist abteilungsweise konstant. In der Tat, wenn
c und d(>c) zwei Wachstumsstellen sind, zwischen denen keine andere
mehr liegt, so läßt sich zeigen, daß '^(x) für c <Cx<id konstant ist.

§ 66. Der Integralbegriff von Stieltjes. 363

Denn da in diesem Fall — q— eine Konstanzstelle, so ist für hinreichend
kleine e

*(-t-'-)-»m-*(^+')-

Sei nun y die untere Grenze derjenigen Zahlen x, fOr welche

t(x) =" ^ (-

"t-1

ist. Offenbar mnß c ^ y < T" sein; wäre aber y>c, so hätte man
nach der Definition von y für beliebig kleine s

so daß y eine zwischen c und "^ Liegende Wachstnmsstelle wäre^ die

68 aber nach Yoraassetzung nicht gibt; es ist daher y =^ c. Ebenso ist
die obere Qrenze der Zahlen x gleich d, nnd man hat somit für alle x
zwischen c und d:

^(a;) ■= ^ ( g— ] =- constant. W. z. b. w.

Nach diesen Vorbemerkungen kommen wir jetzt zu

Lemma 1 und Definition 1. Ist ^{x) eine im Intervall (a, b)
ivachsende Funktion, f(x) eine ebenda stetige Funktion, die auch koynplexe
Werte hohen darf, so unterscheidet sich die Summe

n-l

wobei

a^XQ<x^<Xi<' "< x^_i < x„ = 6

^r ^ Sv ^ ^, + 1 (v =- 0, 1, . . . , n — 1)

ist, bdiebig wenig von einem ganz bestimmten Grenzwert, sofern nur die
Intervalle (x^, ^»+i) genügend klein sind. Dieser Grenzwert heißt ein
JStieltjessches IntegraV' und wird bezeichnet durdi

ff(x)dtix).

Offenbar genügt es, den Satz für reelle f(x) zu beweisen, da man
andernfalls den reellen und imaginären Teil gesondert betrachten kann.
Bezeichnet dann M^ das Maximum, m^ das Minimum von f(x) im Inter-
vall (x^, ^r+i)> SO bilden wir die Summen

364 Neuntes Kapitel.

w— 1

wobei der Index T die vorgenommene Intervallteilai^ mit den Teil*
punkten x^, x^, , . ., x^ andeuten soll. Sind 2\^ T, zwei beliebige
Teilungen, femer T^ eine Teilung, welche alle Teilpunkte von 2\ und
T, zugleich enthält, so ist offenbar

-«•ji ^ -^j, ^ öj, ^ öj, •

Also ^^ ^ a^ , und folglich, wenn A die untere Qrenze aller A^,
ä die obere Ghrenze aller a^ bezeichnet, auch A'^ä] daher

(1) Aj,:^A^ä:^a^.

Anderseits ist, wenn S die größte Schwankung von f(x) in den
Interrallen von T bezeichnet:

(2)

n-1

fr=0

r = 0

Aber wegen der Stetigkeit von f{x) gibt es bekanntlich zu jedem posi-
tiven £ ein positives 17 derart, daß d < £ wird, falls die Intervalle von
T kleiner als 17 sind. Aus (1) und (2) folgt daher A^a, Femer ist
offenbar

also auch

n-l
I 2 f(.ir)(^K + l) - *M - ^ I ^ ^T- «r^ *(V'(^) - ^(«))-

Diese Ungleichung enthält aber, da d mit den Intervallen von T be-
liebig klein wird, den zu beweisenden Satz; der Grenzwert A ist eben
das Stieltjessche Integral.

Beispiel. Hat il;(x) nur n Wachstumsstellen a^, ^s> • • v ^n ^^<^
macht daselbst Sprünge von der Größe 6^, 6^j . . ., <r^, so ist

b

ff{x)dil,(x) - <tj{a,) + ffs,/-(a,) + • • • + ff,/-(aj.

§ 66. Der Iniegralbegriff von Stieltjes. 365

Lemma 2 und Deflnition 2. Unter den Voraussetsfungen des Lemma 1
unterscheidet sich oucft die Stmime

«-1

2'*(^)(^(*'+i>-^<*'))

bdidng wenig van einem bestimmten Orenjswert, der cmaiog mit

fi>{x)df{x)

a

b&seichnet wird. Es gut dcmn die Formel der partidien Integration:

b b

ff(x)df(x) - tl,{b)f(b) - i,(a)aa)-ff(x)di>ix).

a a

In der Tat ist identisch
( «-1

(3)

2 *(50(r(^.+i) - rc^^) - Hi)m - *(«)/■(«)

ysü

wobei I.] — a, i^^h gesetzt ist^ und wobei die Ungleichungen gelten:

a - 6-1 - a?o ^ 5o ^ ^1 ^ fii ^ ^2 ^ • • • ^ ^—1 ^ l«-i ^ ^n = fi« - &•

Mit den Intervallen (x^^ ^»+i) werden aber auch die Intenralle (1^, 6y+i)
beliebig klein, so daß die Summe auf der rechten Seite von (3) den

Grenzwert / f(x)dt(x) hat. W.z.b. w.

Lemma 3. Wenn unter den Voraussetzungen des Lemma 1 ^{x)
hsw. f(z) eine im Riemannschen Sinn integrierbare Ableitung rl/{x) bzw.
f\x) hat, so ist

ff{x)di,(x) - ff{x)^\x)dx,

a a

b b

bzw. f'^{x)df{x)^f'^{x)f{x)dXj

wo die rechtsstehenden Integrale im Riemannschen Sinn zu verstehen sind.

Bemerken wir zunächst, daß die rechtsstehenden Integrale sicher
existieren, da ja bekanntlich ein Produkt von zwei integrierbaren Funk-

»"" ^ „»m di« Ablcihmg *'(»^)

' ^en i, nnd ar,^i bezeichnet. Ander-

«.»*» "'"i^SI/el'je"»''™ Integreb:

_I,im2/'(W«''&")(»,f-»,),
. jjebigen Wert zwischen a:,^.i und ai, bedeuten darf.

b

itebende Grenzwert ist aber gleich / f{x)-^'(x)dx, da ja
U existiert. Ebenso beweist man die zweite Formel des

Stieltjesscben Int^rale gelten die folgenden ßecben-
benso einfach wie bei Riemannschen Integralen zu be-
vas dem Leser Überlassen sei:

dt{x)~j'dji>{x) - ^{h) - ^{a),

lx)dil,(x)+ff(i)d1,(x)-j'f(x)dt{x) eüa<c<h,
f{x)d1,{x) — efflx)dt(x) für c - Komtiuite,

Xx)d,l,(x)\<,£ f(x)\d^,{x),

§ 66. Der Integralbegriff yon Stieltjes. 367

o o o

(F) f(fi W ± ft («))<?^(«) - ffi («) dH^ (x) ± ff, (x)di,ix) ,

a a a

b 00 00 b

a ysO ysO a

«0

falls die Reihe ^ Uip^) ini Intervall {a, h) gleichmäßig konvergiert.
Weiter definieren wir

h 00

lim ff{x) dif (x) = rf(x)dif(x),

6 = «a

O OD

lim J*if {x) df(x) « ft{x) df{x) ,

6 = 00^

und analog auch für die untere Grenze — oo . Die Formel der partieUen
Integration, sowie die obigen Rechenregeln außer (6) übertragen sich
ohne weiteres auf den Fall unendlicher Grenzen.

Beispiel. Hat ^(x) nur eine abzählbare Menge von Wachstums-
stellen CL^y a^y a^j . . . und ist

a<a^<a^<a^<'*'y lim a, = c»,

so sind dies, da in jedem endlichen Intervall nur eine endliche Anzahl
vorhanden ist, zugleich ünstetigkeitsstellen. Bezeichnet dann 6^ die
Oröße des Sprunges an der Stelle a,, so ist

00

ff(x)dtix)=^tfJia;).

v = l

II. Wir müssen nun eine Reihe von wichtigen EUlfssätzen beweisen

Hilfssatz 1. Wenn die im Intervall (a, b) wachsenden Funktionen
^i{x), ^^{x) an allen Stellen , wo beide stetig sind, sowie an den End-
punkten a, b sich nur um eine additive Konstante C (die auch NuU sein
kann) unterscheiden, so ist

0 o

ft\x)dn>^{x) --fmd^^ix).

Dies gut auch für b^oo, a^ — oo, falls dann von wenigstens einem der
Integrale die Existenz feststeht.

368 Nennte« Kapitel.

0£fenbar genügt es, die Formel ffir endliche a, b zu beweisen; denn
um sie alsdann f&r unendliche zu bekommen, braucht man nur den
beiden Seiten der Qleichung das Zeichen lim vorzusetzen. Da nun die
Stellen, an denen eine der Funktionen tlt^{x\ ^^{x) unstetig ist, nur in
tibzählbarer Menge Yorhanden sind, so liegen die Stellen Zj an welclien
i>i{x) » if%{po) -f G ist, überall dicht. Man kann daher die Intervalle
{x^y ^y+i) beliebig klein wählen und derart, daß il>i{x^ — ^,(a:J + C,
also auch

n-l n~l

wird. Daraus folgt aber die Behauptung nach Definition 1.

Hilfssatz 2. Hat im Intervall (a, h) die reelle stetige Funktion f(x)
keine oder nur eine endlicJie Anzahl von NuUsteüen, aber sonst konstantes

deichen, und hat dasdbst die wachsende Funktion if{x) unendlich mde

h

WachstumssteUen, so ist das Integral f f(x)dt{x) von NuU verschieden

a

und hat das Zeichen von f(x). Dies gilt auch, wenn 6 =- c», a = — oo f s#.

Das Zeichen von f{x) sei etwa das positive. Ist dann | eine im
Innern des Intervalls (a, V) gelegene Wachstumsstelle von i>{x\ welche
nicht Nullstelle von f{x) ist (solche | gibt es nach Voraussetzung), so
hat man

ff{x)d^{x)^f +f +f,

a a £ — f i + 9

WO s eine beliebig kleine positive Zahl sei. AUe drei Integrale rechts
sind ^ 0. Das mittlere, also auch die ganze Summe, ist aber für hin-
reichend kleines s gewiß von Null verschieden. Denn, da f(j^) > 0 sein
soll, so bleibt, wenn e klein genug ist, f(x) für i — s^x^i + s über
-einer positiven Schranke C] also wird

ff(x) dt(x) >fcdt(x) - c(^(| + a) - ^(1 - 6)) > 0,

weü ja I eine Wachstumsstelle von ^(a?) sein sollte.

Hilfssatz 3. Wenn ^(a?) eine im Intervall (a, h) wachsende Funk-
tion mit unendlich vielen WaciistumssteUen, f{x) eine daselbst stetige redte
Funktion ist, und wenn die n Gleichungen

ff{x)!x^dt{x) - 0 (Ä; = 0, 1, . . ., n - 1)

§ 66. Der Integralbegriff von Stieltjes. 369

bestehen, so gibt es im Innern des Intervalls (a, b) mindestens n verschiedene
Werte von x, für die f(x) verschtvindet; dies gilt auch, wenn 6 =- oo
a — — cx) ist.

Aas unseren Voraussetzungen folgt nämlich

b
(4) ff{x)P{x)drl,{x) - 0

a

für ein beliebiges Polynom P{x) von geringerem als dem n*^ Grad.
Hat nun die Funktion f{x) weniger als n Nullstellen zwischen a und b,
80 muß sie an mindestens einer ihr Zeichen wechseln, weil sonst nach

Hilfssatz 2 / f{x)di^{x) -f 0 wäre, gegen die Voraussetzung. Seien da-

a

her Ij, 1,, . . ., Sy die Stellen, an denen f(x) das Zeichen wechselt, also
gewiß NuUstellen von f{x), und somit ihre Anzahl v kleiner als n.
Dann hat die Funktion

f(x){x - li)(aj - Ij) . . . (x - I,)

nur eine endliche Anzahl von Nullstellen und sonst konstantes Zeichen«
Daraus folgt nach Hilfssatz 2:

b
ff{x){x - IJC« - I,) ... (a? - 6,)d^(a;) + 0,

a

im Widerspruch mit (4). Die Annahme von weniger als n Nullstellen
ist daher zu verwerfen.

Hilfssatz 4« Ist if(x) eine im Intervall (a, h) wachsende Funktion^

so stdU das Integral

b

dilf{x)
j5 + a;

0

Fi.) - /

eine für aUe e, die nicht dem Intervall — 6 ^z^ — a angehören, regti-
läre analytische Funktion dar. Das gleiche gut auch für 6 — 00, a — — 00,
falls das Integral f dtl>{x) sich bis bu diesen Greneen erstrechen läßt.^)
Sind a, b endlich, so ist F{z) auch an der Stdle 0 ^ 00 regulär.

1) Dann ist also der Ausdruck I ~-^- für alle xr mit positiv imaginärem

— OB

Teil eine reguläre analytische Funktion ; ebenso for alle z mit negativ imaginärem
Teil. Die beiden Funktionen brauchen aber nicht analytische Fortsetzung von-
einander zu sein.

Perron, Kettenbrflche. 24

370 Neuntes Kapitel.

Seien zunächst a, b endlich. Für j?! > |a' + |&! ist

b

a

Da die Reihe für a^x^h gleichmäßig konvergiert^ so folgt

» » b

F{e) - lfdi>(x) - -\ Jxdtix) + ], Jx'dtix) - + •••,

a

womit bereits die Stelle ^er »= cx> erledigt ist.

Für endliches 0 steuern wir gleich auf ein allgemeineres Resultat
zu, indem wir die Funktion untersuchen:

wo der Integrationsweg von Zq bis jer das Intervall (— 6, — a) nicht
treffen soll. Es gibt dann eine positive Zahl c derart, daß für alle in
Betracht kommenden g und x

Z + X > c

ist. Nun folgt für |Ä| < c:

h

/* de r dz

z'+x'^J z-fx

h

d^{x)

Also

V

a

b

G(z + h) — 0(e)

H")

^/(i^^i^^L^j: + ...).,(.) _^m^_/.,(.).

§ 66. Der Integralbegriff von Stieltjes. 371

Mithin ist

li„,^(Ü4zi«W_j.(,).

AsO

Das besagt aber, daß die Funktion G(/) eine Ableitung F(z) hat. Sie
ist daher nach den bekannten Folgerungen aus dem Cauchy-Goursat-
schen Integralsatz regulär, und ihre Ableitung F(0) ist ebenfalls regulär.
Im Fall unendb'cher Integrationsgrenzen bleibt der Beweis wörtlich
der gleiche, sobald gezeigt ist, daß die Integrale

OB •

''('■> -J^. 6» -/(/4?-,)^*w

— 00 —00 a„

überhaupt existieren. Da aber in diesem Fall vorausgesetzt ist, daß das

00

Integral /rf^(a:), d. h. der Grenzwert

a

b

existiert, so gibt es zu jedem beliebig kleinen positiven a eine Zahl Q
derart, daß für £r> G^

H

jdilf{x) < £

G

wird, wie groß auch H sei. Man hat daher auch

EHE

\J z + x^^J\z + x\^J e ^ c'

G G G

G So f^ *o ö

woraus bekanntlich die Existenz der beiden Grenzwerte

00

lim f-'^^^l = fdi^ix)

a

00

tJif /+>'■''> -fifr+.h^'->

a Sc

folgt. Ebenso zeigt man, daß die Integrale bis zur unteren Grenze — oo
ausgedehnt werden können.

24*

372 Neuntes Kapitel.

Damit ist nun nicht nur der Hilfssatz 4 bewiesen, sondern auch
gezeigt, daß F{si) die Ableitung Yon Gie)^ also G{z) ein Integral von
F{0) ist. Und da G{z) für z ^ g^ verschwindet, so folgt die Formel:

«0

und zwar auch fttr h =« c», a »= — cx>, falls das Integral / d^{x) bis zu
diesen Qrenzen erstreckt werden kann.

Hilfssatz 5. Wewn die FuiMon F{z) für alle z mit negativ imor-
gvnärem Teü die Ba/rstdbmg

^c) -/^f

— 00

zuläßt), wo -^ {x) eine wachsende Fimktion ist, und das Integral f dil> (x) » C

existiert, so läßt sich auch umgekehrt -^{x) bis zu einem gewissen Grad
durch F{z) ausdrücken, nämlich:

wo der IntegraMonsweg geradlinig ist, und dt den redien Teil des betreffen-
den Ausdrucks bezeichr^t

Läßt F(z) eine solche Darsteillung für aUe z mit positiv imaginärem
Teü zu, so ist in dieser Formel i durch — i zu ersetzen.

Offenbar genügt es, den Beweis für den ersten Fall zu führen, da
durch Vertauschung von i mit — i der reeUe Teil sich nicht ändert.
Auch darf man | > a voraussetzen, weil durch Yertauschui^ von | mit a
die Formel ungeändert bleibt. Nun erhält man unter Berücksichtigung
der Formel (5):

— a — <!/ 00— a — »»; oo a + iij

b

1) Der Fall endlicher Integrationsgrenzen I .^r^ ist hier mitinbegxif-

a

fen, indem dann -^(a?) = -^(6) für x'^b nnd ip{x)^==tif{a) für x<Ca ist.

§ 66. Dei Integralbegriff von Stieltjes. 373

Bekanntlicli ist aber

a + rfjj

/~r^ — •- reelle Zahl + »cd,
wo CO den aus Fig. 2 ersichtlichen Winkel bedeutet; er ist eine stetige

Funktion Ton x und 17 (>0): cd— cd (or^ 17). Setzt man dies ein, so kommt:

—a — iii 00

(6) flt(yfFig)de)=fa>(x,v)dil,{x).

Um den Grenzwert dieses Integrals füri; — + 0 zu berechnen^ zei^
legen wir es in fünf Bestandteile:

00 fl-V^ a-hVn i-Vn 5+V? •

(7) /«.(«, ri)dt(x) -/ +/ +/ +/ +/ .

a-Vn <»+Vi i-Y'n i+Y>i

— 0» —80

Im ersten Integral rechts hat a)(x, 17) den größten Wert an der obem
Grenze; also ist hier

G>(^^ V) < ß>(« - Vv> v) < arctg ;^ < V^.
Daher

a — Vij a —V^ 00

f(o(x, n)di>ix)^Ynfdi>{x) <ynfdi>(x) " cy^,

—00

und folglich:

(8) lim faixy fi)dil;{x) - 0.

Analog ist auch

00

(9) lim C(o(z, ri)dif(x) = 0.

Im Intervall a + V^<a;<|— V^ ist m(Xf rj) kleiner als « und hat
den kleinsten Wert an den Ghrenzen; also ist hier

V

Ä > cD(ir, ij) ^ jr — arc tg -— — arc tg

Vn l-a-l/^

> Ä — 2 arc tg ^ > Ä - 2y^;

Vv

374 Neuntes Kapitel,

daher

i-V^

.-KV

a + V^

< xjdilf{x)

a + Vv

>{tit-2yri)fdtl;(x). .

a + Vn

EUeraus folgt

(10) lim f(o{x, ri)d^{x) - nfd^{x) - ä(^(| — 0) — ^(a + 0)).

Femer hat man

a + VT ö— 0 a+0 a + VV

ßa(x,f))dil>{x)^f +f +f

a—Yri a — yiif a— 0 a + 0

Die beiden äußern Integrale rechts haben offenbar den Grenzwert Null;
das mittlere ist gleich

(D(a,i?)(^(a + 0)-^(a--0)),

und da augenscheinlich lim (o{a,ri) ^ y? so folgt:

17=0

tD{x, ri)djl){x) - ^ (^(a + 0) — ^(a — 0)).
Analog findet man auch:

(12) lim fm{x, 7i)d^(x) - f (^(| + 0) ~ ^(| - 0)).

4-yv

Setzt man nun die Werte (8) bis (12) in Gleichung (7) ein, so
kommt:

3p

lim / a}(rc, rj)dtlf{x) — jr —

»7 = 0 J

2 '

— 00

also mit Rücksicht auf (6) gerade die zu beweisende Formel des Hilfis-
satz 5.

Da an aUen StetigkeitssteUen JL(^-Q) + ^(S,+^.) _ ^(g) jat, so ist

nach Hilfssatz 5 die Funktion tl;(x) Ton einer additiven Konstanten ab-
gesehen durch F{z) an allen Stetigkeitsstellen eindeutig bestimmt. An
den eventuellen Unstetigkeitsstellen kann das nach Hilfssatz 1 natürlich
nicht der Fall sein.

Die Begriffe und Sätze dieses Paragraphen rühren von Stidtjes 4 a her.

I

§ 67. Der korrespondierende nnd aflsoziierte Kettenbmch eines Integrals. 375

§ 67. Der korrespondierende nnd assoziierte Eettenbmeh eines

Stieltj es sehen Integrals.

I. Sei

(1) 1 + c^x + c^x^-j

eine Potenzreihe mit dem unendlichen korrespondierenden Kettenbmch

(2) l + ('^f-' + l"'*' + ---.

Läßt man nun in Reihe und Eettenbmeh das Anfangsglied 1 weg und
setzt rr -» - , so geht die Reihe über in

(3) ?- + -> + ^ + --,
nnd der Kettenbmch wird äquivalent mit

W \g ^ 11 ^ \e ^ \1 ^ \z ^ \\ ^ '

also auch mit

W ^b.z'^lb, '^\b,z'^\b,-^\b,'z-^\b, ^

wobei nach § 42, U, C

(6) &,--, 6 =-^«^1. •-«^_, 6,

«««4-««y

ist. Wir nennen dann die Reihe (3) und den Kettenbruch (4) oder (5)
ebenfaUs miteinander korrespondierend, ziehen aber jetzt gewöhnUch
die Form (5) vor. Sind Ä^{0), B^{b) die Nähemngszahler imd -nenner
v^ Ordnung von (5), so erkennt man leicht (aus den Euler-Minding-
schen Formeln (§ 3) oder durch yoUständige Induktion), daß A^^^^{z\
-4, ^(^r) Polynome vom {v — Vf^ Grad, jB,^_,(jef), B^^{z) vom v^^ Grad
in g sind, und zwar spezieU

Ferner ist die Korrespondenz von (3) und (5) definitionsgemäß dadurch

A (z)
charakterisiert) daß die Entwicklung von ^^-^ nach fallenden Potenzen

von z bis zur Potenz z^^ einschließlich mit der Reihe (3) übereinstimmt
Der Zusammenhang zwischen den c^ und a^ ist durch den Satz 5, Kap. VJJLl
festgelegt. Daher kann die Reihe (3) niemals eine rationale Funktion
von z darstellen (vgl. S. 307 oben).

376 Nennt«! Kapitel.

Ist weiter
(8) 1 +

der mit (1) aBSOziierte Kett^nbrach, so erhält man, wenn man wieder
das An&DgBglied 1 wegläßt and X — - setzt:

W i7^ + IV^T' +

Wir nennen daher diesen Eettenbruoh aach mit der Reihe (3) assoziiert.
Der Zusammenhang zwischen den c, und den k^, l^ ist durch Satz 11,
Eap. Vin festgelegt. Sind K^iß), L^iß) die Näherungszähler und -nenner
v*" Ordnung von (9), so sieht man leicht, daß KX^) ein Polynom Tom
{v — 1)*™, i,(2) TOm v"" Grad ist, und zwar speziell

(10) i.(ir)-^+--.

Entwickelt man femer —5^— nach fallenden Potenzen von z, so stimmt

die entstehende Reihe mit (3) bis znr Potenz sr*' einschließlich üherein.
Sind endhch die Eettenbrüche (4) und (9) mit ein und derselben Reihe
korrespondierend bzw. assoziiert, so geht (9) aus (4) durch Eontraktion

herror, und es ist >-/,- — s*'7\ (siehe § 62, 1).

II. Sei ^(x) eine wachsende Funktion derart, daß die Int^p^e

(11) <=k-fi- xf-Uii,(x) {k - 1, 2, 3, . . .)

alle existieren. Der Fall endlicher Integrationsgrenzen ist dabei ein-
geschlossen,' worüber man die Fußnote S. 372 vergleiche; natürlich
braucht bei endlichen Grenzen die Existenz der Integrale nicht erst
vorausgesetzt zu werden, sondern ist selbstverständlich, l^ach Hilfs-
satz 4 ist das Integral

(12) M'l-

für nicht reelle e eine reguläre analytische Funktion. Sind die Integra-
tionsgrenzen endlich, so kommt fDr hinreichend große \e\:

f^ _/(i _ A + ^;,- - . . )d*{.) - i H

Wenn dagegen nicht beide Grenzen endlich sind, eo ist die gliedweise
Integration unstatthaft; das Integral ist dann nur formal gleich der

§ 67. Der korrespondierende nnd assoziierte Kettenbrach eines Integrals. 377

Reihe. Falls diese Reihe einen korrespondierenden bzw. assoziierten
Kettenbmch hat^ so wollen wir diesen auch mit dem Integral (12) kor-
respondierend bzw. assoziiert nennen, nnd zwar auch dann, wenn die-
yermittelnde Reihe für alle z divergiert.
Dann gilt der

Sati 1. Wenn ^(o;) eine wcxhsende Funktion ist mit unendlich vielen
Wachstumsstdlen, und wenn die Integrale

00

Cj -Jl- xf ~ ^di>(x) (k - 1, 2, 3, . . .)

— 00

aUe existieren, so besitzt das Integral

00

ß.

ß-{-x

— 00

stets einen assoziierten Kettenbruch

^ '+rr-^M + rT^-^ +

und zwar ist k^ positiv, die andern k^ negativ, FaUs if{x) für alle nega-
tiven X gleich ^(0) ist, so daß die untere Integratumsgrenze durch 0 er-
setzt werden kann, so existiert sicher auch der korrespondierende Ketten-
bruch

^1+^+^+ JJ+

und zwar sind dann alle h^ positiv.
Beweis. Die quadratische Fonn

(13)

geht, wenn man für ihre Koeffizienten c die Integralausdrücke einsetzt,,
über in

00

(14)

P"'( ^(- «)'»;) ''^c*)-

Für 5 » 1 ist sie also nach Hilfssatz 2 positiv dofinit.
Diskriminante

Daher ist ihre

9>»+i

CrQ • • •

C^ Cj

'v + 1

^y + l^v + 8' • • ^Jr + 1

378 Neunies Kapitel.

positiv. Da dies für r «= 0, 1, 2, . . . gilt, so ist nach Satz 1 1, Kap. VIII
•ein assoziierter Eettenbruch yorhanden, und die k^ haben nach den dor-
tigen Formeln die angegebenen Vorzeichen.

Ist ifjQc) fär alle negativen x] gleich ^ (0); so reduziert sich daa
Integral (14) anf

0 \» = 0 /

ist also auch fQr $ » 2 eine positiv definite Form. Daher ist aach die
Diskriminante

^2 ^8 • * • ^» + Ä

f + l . I ^ C^. . . ^r + 8

(-ir>,+,=

^t + i ^y+8 • • • ^y + J

positiv. Nach Satz 5, Kap. VIII existiert dann der korrespondierende
Kettenbruch, und die a^ sind alle positiv; nach (6) werden also auch die
iy positiv. W. z. b. w.

III. Wir beschäftigen uns jetzt zuerst mit dem assoziierten Ketten-
bruch. Für zwei sukzessive Näherungsbrüche gilt die Formel:

also, indem man durch Lj^{z)Lj^^^{z) dividiert und nach fallenden Po-
tenzen von z entwickelt, mit Rücksicht auf (10):

Da nun die formale Entwicklung des Integrals (12) mit der von ^
bis zur Potenz ^^^^ übereinstimmt, so kommt auch formal:

00

/

— CO

oder nach Multiplikation mit Lj^iß) =» jß^-|-

(15)

00

— 00

4 67. Der kortespondierende und aasoziierte Eettenbroch eines Integrals. 379

Da nun die Integrale (11) existieren, so existiert sicher auch das
Integral

— 00

da ja der Integrand hier offenbar eine ganze rationale Funktion von x
ist. Dann kann man aber der linken Seite von (15) die Form geben:

J - ^ + x - ^*(^) - ^^(^) +J -7+F ^^(^)'

— 0» —00

und hier ist das erste Integral offenbar eine ganze rationale Funktion
von 0. Da aber die formale Entwicklung nach fallenden Potenzen von
jer keine positiyen Exponenten enthält, sondern nach (15) mit dem Glied

( 1) "'1 *'a • • • *ji + 1
beginnt, so folgen hieraus die wichtigen Formeln (Heine 1, Poss^ 1):

oo

/L (z\ — X, (— x)

— 00

00

(17) /(- xfL^ (- «) d0(a;) = 0 für * - 0, 1, . . ., A - 1,

— 00

00

(18) /(- xfL,{- X) dtix) = (- l)\h . . . h,^.

— 00

Aus (17) und (18) erhalt man ohne weiteres auch noch:

00

(19) fh(- *)^i(- «)<'^(^) = 0 fOTft + i.,

00

(20) fiii- aj)Vv(x) = (- l)\kt . . . Ä;,^.,.

— 00

Hieraus kann die in Satz 1 enthaltene Bemerkung über die Vorzeichen
der k^ yon neuem gefolgert werden, da ja die linke Seite von (20) ge-
wiß positiv sein muß.

Als Anwendung dieser Formeln behandeln wir das folgende von
Heine 1 gestellte und gelöste

380 Neuntes Kapitel.

lünimnmproblem. Ist f(x) eine stetige reeUe, ^(x) eine wachsende
Funktion mit unendlich vielen Wachstumsstellen, für wdche die Integrale

ff{x)*di,{x), fif(x)dil;(z) (Ä-0,1,2,...),

— 0» —80

existieren, so soU unter allen Polynomen P^{x) vom höchstens n^ Grad
dasjenige bestimmt werden, fwr wdches das Integral

J, -Si.m - Pnix)ydti>{x)

— CO

ein Minimum wird.
Die Lösung lautet:

00

(21) P^(a;) » 2" ^f^F-*- ff(u)L,i-u)d^i^).

Beweis. Wegen (10) laßt sich P„(a;) oflFenbar in der Form an-
nehmen:

(22) P,{x) = ^oio(- x) + g,L,{-x) + ''' + g^L^{-- x) .

Die Konstanten g^ sind nun so zu bestimmen, daß das Integral J^ ein
Minimum wird. Es muß also

00

(23) I -ff^^ ^fiP,{x) - m) Z,(- X) di,{x) - 0

^ 00

sein für 1/ = 0, 1, ... n. Man kann hier vielleicht einwenden, daß unter
dem Integralzeichen differenziert worden sei, wozu die Berechtigung
nicht bewiesen wurde; allein wenn man in das Integral J^ für P^ den
Ausdruck (22) einsetzt, so entsteht eine quadratische Funktion der g^y
welche, in extenso geschrieben, kein g^ mehr unter einem Integral ent-
hält. Differenziert man diese, so entsteht durch Zusammenfassen unter
einem Integralzeichen wieder (23).

Setzt man in (23) für P^{x) wieder den Ausdruck (22) ein, so
kommt wegen (19) und (20):

00 ••

(24) (- iy\k,...K^,g,~Jf(x)LX- x)di>{x) •^ff{u)L,{-u)di,{u).

— 00 — 00

Hiermit sind die g^ berechnet^ und durch Einsetzen in (22) erhalt man
genau die angegebene Lösung (21). Daß wirklich ein Minimum ein-

67. Der korrespondierende und assoziierie Kettenbrach eines Integrals. 381

tritty ergibt sich aus den zweiten Ableitungen. Man erhält mit Rück-
sicht auf (19):

1 ^''^« r . . X f = Ofürft + i/

fL^{--x)L,{-x)dil;(x)

^ ^9r^9^ __^ A-v >' i'V / ^^ M>Ofür fi = i/.
Die quadratische Form

ist also positiv definit; so daß wirklich ein Minimum eintritt.

Die Lösung (21) gestattet noch eine bemerkenswerte Umformung
{Bhimenäuü 1). Schreibt man sie nämlich zunächst in der Gestalt

80 kann die Summe unter dem Integral auf folgende Weise ausgewertet
werden. Es ist nach der Rekursionsformel für die Näherungsnenner:

ir+i(- w) - (~ w + ?^+,)iX- «*) + *.+i^.-i(- «*)'

Multipliziert man die erste dieser Formeln mit L^i^— u), die zweite mit
iy(— x)y und subtrahiert sie dann voneinander, so kommt

i.^,(- z)LX- u) - i,^,(- u)Z,(- x)

Dividiert man diese Formel durch (— 1)*A^A:, . . . A;,^, und summiert als-
dann Ton V =- 0 bis n, so erhält man:

( — 1) Ä^Äg •••*„+!

(26)

Dadurch geht (25) über in die gewünschte Blumenthalsche Formel:

f i\n /• L , A— x)L (— u) — L^..( — u)LJ — x) , ^

— 00

382 ^ Neuntes Kapitel.

Da das Minimum von J^ mit wachsendem n offenbar abnimmt^ sd
liegt die Vermutung nahe, daß lim P^(rr) — f{t£) ist, d. h. wegen (22)^

n s=oo

daß sich f{x) in eine unendliche Reihe der Form

00

entwickeln laßt, wobei die Koeffizienten g^ durch (24) bestimmt sind.
Wir müssen indes auf die Untersuchung dieser Frage yerzichten, Yon
der bis heute nur ganz spezielle Falle behandelt worden sind {TUumen^
thal 1). Bemerkt sei nur, daß unter diesen Reihen auch die nach Le-
gen dreschen Polynomen fortschreitenden enthalten sind. Für

^(x) =
erhält man nämlich das Integral

-5-1

(a;fur \x'£l
konst für I a; ^1

/:

z -^x ^ z — 1

— l

und hier sind die Näherungsnenner des assoziierten Kettenbruches, ron
konstanten Faktoren abgesehen, die Legendreschen Polynome, wie aus
§ 64, n, E hervorgeht, da der dortige Kettenbruch (16) offenbar dem
assoziierten äquivalent ist.

lY. Ahnliche Formeln gelten für den korrespondierenden Ketten-
bruch, falls er existiert. Wir nehmen ihn wieder in der Form (5) an.
Es ist dann mit Rücksicht auf (7):

^i^i(^) ^iW (-1/ (-1)^ 1

^i + il- B.i^z) B,^,{z)B^(z) blbl'-bjb^^.z

- 4- . . .

i-fl » f

also auch formal

/dyix) _

und nach Multiplikation mit B^{£):

•jB,(r.

{ 67. Der korreBpondieiende und assoziierte Kettenbrach eines Integrals. 38$

wo 1/ »» oder — ist^ je nachdem X gerade oder ungerade. Die
linke Seite läßt sich aber anch in die Form setzen:

(z)^B^{-x)

8-\-X

dtlf{x) — A

z-\-x

d-^{x),

— 00

— oo

und daraus folgt dann, da das erste Integral offenbar wieder eine ganze
rationale Funktion von z ist:

(27)

Ol

/

e-\-x

dM>{x) - Ai,{z) ,

(28)

00

f{- xfB,{- x)di,(x) - 0,

— 00

für t — 0; 1, ... A — 1/ — 1, wo 1/ «f» — oder

2

2

(29)

I

/

— 00

(- xy-^B,{- x)di,{x) - ^^^l— ,

l , X + 1

WO V = -^ oder — ' —

Für gerade A(- 2v) folgt aus (28) und (29) weiter:

(30)

(31)

00

/b„(- a:)B,^(- a;)d^(a!) - 0 miv + (i,

— 00

00

Cb,,{- xfdi>{x) ^ ^ .

— 00

Dagegen erhält man für ungerade A (» 2i/ ~ 1) mit Rücksicht darauf^
daß jBjy_i(£r) für ;8f — 0 verschwindet (Formel (7)), unter anderm:

OD

(32)

H^0)W^->-i

— 00

Aus (31) und (32) ergibt sich wieder die in Satz 1 enthaltene Be-
merkungy daß, wenn ij{x) für alle negativen x gleich ^(0) ist, dann
alle h^ positiv sind.

L

§ 68. Der Satz tod Harboff.

wieder t{^) eü>e »ni Intervall (o, b) wachsende Funktion, die
:%11 konstant ist, so dürfen wir beim Studium des Int^prals

J ' + '!

, daH a und b Wachstumsstellen Ton ^(x) sind. Andem&lls
k j3 die untere Qrenze derjenigen Zahlen x, für welche

*W -*(»),

obere Grenze derjenigen Zahlen x, für welche
i sind gewiß a, ß WachstumBstellen von M>(!c), nnd außer-
'd-^{x) _

« + a!~J -. + .

1 nun eine wachsende Funktion i'i{x) definiert durch
tt(x) = fl>{x) für K<x<ß,
Vi(«)-K.{a-0), ^,{ß)~i>(ß + 0),
ß erst recht Wachatumsstellen von it>i{x), und unser Integral

Wir nehmen daher jetzt an, schon bei dem In-
seien a, 6 Wachstumsstellen von ii(x). Entwickelt man dann
iden Potenzen von e:

rd^,m

/:

n -Lr. e ~ e« ~ ?■ ~

an leicht den Eonvergenzbereich dieser Reibe bestimmen. Ist
die größte der Zahlen | a {, \b'', so ist

I Reihe gewiß für | ^ ] > G konvergiert (und natürlich gleich
:al ist). Für \e\<G dagegen divergiert sie. Denn bedeatet
iebig kleine positive Zahl, so ist zum mindesten für uo-

§ 68. Der Satz von Matkoff.

385

/ a + §

falls(7»|ar

faU86«|&|

: c^=/ a;|*~^d^(x)^

a

a + §

J\x\^-'di>{x)'^(G-sf-^fdi>(x),

a a

b b

so daß die Reihe fQr z ^ G — s gewiß diyergiert (weil nämlich a
und h WachstnmssteUen sind; also die ganz rechts stehenden Integrale
nicht verschwinden).

£s ist nun eine der hemerkenswertesten Tatsachen der ganzen
Eettenbrachlehre, daß das Konyergenzgebiet des assoziierten Ketten-
braches betrachtlich größer ist als das der Reihe. Es gilt nämlich der

Satz 2. Ist tl;(x) eine in dem endlichen IntervciU (a, V) wachsende

Funktion mit unendlich vielen WaclistumssieUen, so ist der nach Satz 1

b

stets existierende assoziierte Kettenbruch des Integrals f -~^- für alle

a

reellen und komplexen Zy die nicht dem Intervall —h^z^ — a ange-
hören, konvergent und gleich dem Integral. {Markoff 1.)

Beweis. Sind wieder K^iz), L^(z) die Näheningszähler und
-Nenner v^ Ordnung des assoziierten Ketten bruches, so ist nach
Formel (17) des Torigen Paragraphen

(2)

fs^L^i- x)dil;(x) = 0 für fc = 0, 1, . . . ;i - 1

Nach Uil&satz 3 folgt hieraus , daß die X Wurzeln des Polynoms
Zr^(— x) Yoneinander yerschieden sind und zwischen a und h liegen. Sie
seien x^, x^, . . . X;, so daß

(3)

(4)

a <,Xi<.b
Lx{- x^) = 0

(t = 1, 2, . . . k),
(t - 1, 2, ... A)

ist. Versieht man dann unter Sl(x) ein beliebiges Polynom höchstens
Tom (2A — 1)*" Grad, so gilt die Partialbrachzerlegung:

(5)

ß(«^)

wo L^ die Ableitung von L^ bedeutet^ und wo das Polynom G{x)
höchstens Tom {k — !)*•" Grad ist. Aus (5) folgt durch Multiplikation
mit Lj^{— x) und Integration:

Perron, Kottenbrilche.

25

386 Neuntes Kapitel.

Ja{x)d,K£) -fa(x)L,(- x)di,(i)

Hier Terschwindet aber nach (2) das erste Integral der rechten Seite.
Das Integral unter der Summe läßt sich wegen I'j(— x^ = 0 folgender-
maßen schreiben:

A,(-*,)-i,{-x)

hat also nach Formel (16) des vorigen Par^raphen den Wert Kj,( — x^,
80 daß die Torige Formel übergeht in:

(6)

Jfl(a:)d*W-2f;[_f, «W- ')

Da Sl(x) ein beliebiges Polynom vom höchstens (2l — 1)**" Grrad
sein darf, so findet man speziell f(lr a{x} = 1:

(7) *W-V.(a)-2'xiT-4-

D^egen filr il{x) - \ß._^ )L'{-^)\ • "^ J* ^^^" ii(-^*) = 0 e»°
Polynom Tom (2>l — S)"" Grad ist:

t) Eb sei hier bemerkt, daß dieee Formel auch bei der D&hernngsweiaea
Berecbmimg von Integralen eine betvoirageude ßoUe spielt. Ist f{x) eine be-
liebige stetige Panktion, so ist angenShert

ß''>'*''^-2ii~J/"-'-

Dies wird auf Grood der Formel (6) plausibel, indem man aich etwa f(x) durch
ein Polynom Si(x) vom (21 — l)»>iOrad approximiert denkt derart, daS

fl(a',} = fi^i) (rat i = 1, 2, . . . 1)

wird. Für tj>{x) = x, a = — l, &=-l fShrt die Formel auf die bekannte mecha-
nische Qaadtatni von QanB {Gauß S). Der allgemeine Fall wurde von SlieUjes 1
behandelt. Eine zusammenfaBsende Erörterong der hierher gehörigen Fragen
findet man bei Poett 1.

§ 68. Der Satz von Markoff. 387

a

also gewiß nach Hilfssatz 2:

(8) "4M)>^ (Ä-1,2,...A).

Da Ki{e) nur Tom (A — \)^^ Grad, so hat man weiter die Partial-
bruchzerlegung :

(9)

Aus (6) und (9) zusammen ergibt sich dann die wichtige Identiföt:

für ein beliebiges Polynom Sl{x) vom höchstens (2A — 1)*^ Grad.

Wir legen jetzt z einen beliebigen konstanten Wert bei , der je-
doch nicht dem Intervall —b^z^— a angehören
darf. Dann gibt es in der komplexen Zahlenebene
eine Stelle g, die von z weiter entfernt ist als von
jedem —x des Intervalles — 6^ — a;^ — a. Man
hat nur nötig, g als Mittelpunkt eines Kreises zu
wählen, der die Strecke (— 6, — a) als Sehne ent-
hält und den Punkt z außerhalb läßt (Fig. 3). Für
alle X des Intervalles a ^x^b ist alsdann ^ Pig.8.

(11) \^ + x >g,

t+x

<^,

wobei g und '& < 1 zwei Ton x unabhängige positive Zahlen sind. Dies
vorausgeschickt, wählen wir in (10) für Sl(x) speziell das folgende Po-
lynom (2A-1)*»° Grades:

1 _ /g + V

Daim ist

t -\- X ^ ' e-\- x\z — f/ '

so daß (10) übei^eht in:

Jz+x L^(z) Jz + x\z-Ü *^W j^Li{-x;)z+Xt\s-i)

26'

388 Neuntes Kapitel.

Da hier x und nach (3) auch alle x^ dem Interyall (a^ V) angehören ^ so
darf man die Glieder der rechten Seite nach Formel (11) abschätzen
und erhält dann:

n n I — X

a a

9
Wegen d* < 1 folgt hieraus:

2^

(^(6) — ^(a)) (nach (8) und (7)).

6

^ f^w = p;g«) . w. z. b. w.

a

II. Für den korrespondierenden Eettenbruch gilt der zu Satz 2
analoge

Sat2 3. Ist if{x) eine in dem endlichen Intervall (0, h) wachsende

Funktion mit ufiendlich vielen Wa4ihstums8tellen, so ist der nach Satz 1 stets

b

existierende korrespondierende Kettenbruch des Integrals j ^^ für alle

0

reellen und komplexen Zj die nicht dem Intervall —h^z^Q angekörm,
konvergent und gleich dem Integral.

Beweis. Sind wieder Ai{z)y Bj^{z) die Näherungszähler und
-Nenner A*®' Ordnung des korrespondierenden Kettenbruches, so ist nach
Formel (28) des vorigen Paragraphen

fx^B^{- x)d^(x) - 0

0

für Ä = 0, 1, . . . , A — 1/ — 1 , wo 1/ = oder -'T— -

Daher hat B^^—x) nach Hilfssatz 3 zwischen 0 und h mindestens

A— V verschiedene Wurzeln. Für gerades X ist Bj/^—x) vom Grad --^X—Vy

also sind dies alle Wurzeln. Für ungerades A ist £;(— rr) vom Grad

-^t_ «i — 1/ + 1, also ist noch eine weitere Wurzel vorhanden und

zwar nach § 67, Formel (7) die Wurzel 0. In jedem Fall sind also alle
Wurzeln voneinander verschieden und gehören dem Intervall (0, h) an
(eventuell mit Einschluß der Grenze 0); ihre Anzahl ist v, wir bezeichnen
sie mit rPi, or,, . . ., rTy. Ist dann Sl{x) ein Polynom vom höchstens
(A — 1)*®° Grad, so findet man als Analogon zur obigen Formel (6) auf
dem gleichen Weg wie dort:

(12) jsi{x)dn.{x) =2i;S33- ^(^.•)-

n f = 1

§ 68. Der Satz von Markoff. 389

Also speziell für i2(j;) =» 1:

(13) Hi)-^i-)-2t^0r

und für Ä(a;) — L ~)b'C— d' ^*® J* ^^ Polynom vom Grad
2(1/ - 1) ^ A - 1 ist:

b

(14) 0 < fl^—^z^- .-Td^C*) - 4if- *^ .

Aaßerdem ist auch

und ans (12) und (15) zusammen folgt als Aoalogon zu (10):

0 0 »=^

Ist 0 ein beliebiger konstanter Wert, der nicht dem Intervall — 6^j?^0
angehört, femer g ein wie vorhin bei Fig. 3 bestimmter Wert, so folgt
aus (16), indem man

au) - -'- - ^+ * + ^^+-*^' + ^^+^''- = -~-^Hf_

wählt, genau wie vorhin im Anschluß an Formel (10):

• b

I'

also auch

2*^

< -IT (*(*)- *(«)).

lim ^iW_ Cdllf{x)

W. z. b. w.

III. Die Beweise von Satz 2 und 3 versagen bei einem unendlichen
Integrationsintervall, weil dann ein Wert l der verlangten Art nicht
existiert. Wir dürfen, wenn es sich um das Intervall (0, oo) handelt,
annehmen, daß es beliebig große x gibt^ welche Wachstumsstellen von
^(^) sind, weil andernfalls die obere Integrationsgrenze durch eine end-
liche ersetzt werden könnte. Bedeutet dann G eine beliebig große Zahl^
so ist

00 00 00

(- l)'"\=Jx'~'dii>{x) >fx~''d^{x) > G'"\fdti>{x),

0 (i G

390 Neuntes Kapitel.

80 daß die Reihe * + -^ + • • • , welche ja den Übergang vom Integral

znm korrespondierenden Kettenbruch yermittelt, jetzt für e => G diver-
giert, also für keinen Wert von z konvergiert. Um so merkwür-
diger ist es, daß trotzdem in vielen Fällen der Kettenbruch konvergiert
und gleich dem Integral ist. Es gilt nämlich der

Satz 4. Sei ^(^) eine für ^ ^ 0 wachsende Funktion mit unendlich

00

vielen Wachstumsstellen und derart , daß die Integrale jx d^ipc) aUe

0

00

existieren, so daß nach Satz 1 das Integral I — ^^ stets einen karre-

0

spondierenden Kettenbruch

i; 1! i| i; i| i|

\b^z + 'b, +\fj + r&7 "^ \K^ ■•" \K + ' "

hat mit positiven b^. Wenn dann 2 b^ divergier t, so konvergiert der Ketten-
brach für aUe Zy die nicht der negativ reellen Achse inkl. 0 angehären, und
ist gleich dem Integral.

Wenn dagegen 2Jb^ konvergiert, so ist der Kettenbruch für alle x
diver gevU. {Stidiges 4 a.)

Beweis. Daß bei Konvergenz der Reihe 2b ^ der Kettenbruch
divergiert, folgt schon aus Satz 5, Kap. VII. Wenn aber Zb^ divergiert,

so lehrt Satz 37, Kap. VII, indem man dort x=^ — setzt, daß der Ketten-

bruch in jedem zusammenhängenden abgeschlossenen Bereich, der keinen
Punkt der negativ reellen Achse inkl. 0 enthält, gleichmäßig konvergiert
Er ist also nach einem schon wiederholt angewandten Satz von Weier-
straß daselbst eine reguläre analytische Funktion. Ebenso ist aber

00

nach Hilfssatz 4 das Integral it.- daselbst eine reguläre analytische

0

Funktion. Wir wollen jetzt zeigen, daß diese beiden Funktionen für alle
reellen positiven z übereinstimmen; bekanntlich müssen sie dann überall
identisch sein, so daß Satz 4 damit bewiesen sein wird.
Sei also 5 > 0. Nun ist identisch

00 00

U 0

/» , „ x) — B^ iz) CB^ (— «)•

§ 68. Der Satz yon Markoff. 391

Nach den Formeln (27)^ (28) des Torigen Part^raphen hat das zweite
Integral der linken Seite den Wert Ä^yQs), während das dritte ver-
schwindet^ da der darin auftretende Bruch ein Polynom vom (v — 1)*^
Grad in x ist. Man erhält daher, wenn man durch B^^(0y dividiert:

00

z •\-x

Beachtet man weiter, daß B^^_^{z) den Faktor e enthält, so hat in der
Identität

00

■Bj^iW -B»,-i(-*)

00

+ zj B,,.i(-^) -jj^^- d^{x)^zj — -^---^^

0 0

wieder nach den Formeln (27), (28) des vorigen Paragraphen das erste
Integral der linken Seite den Wert -i^^-iW» während das dritte ver-
schwindet; man erhält also, wenn man durch B^^_^{0y dividiert:

0 0

Da somit die Näherungsbrüche gerader Ordnung nach (17) sämt-
lich kleiner, die ungerader Ordnung nach (18) sämtlich größer sind wie
das Integral, so kann ihr gemeinsamer Grenzwert nur das Integral sein.
W. z. b. w.

Erstes Beispiel. Aus der bekannten Formel

00

Jl-'x^'^dx — r{a) (« > 0)

erhält man formal:

00

(19)

r'(a) J ' e + ~x r(oc)\ z" z^ "^ -?» "7

0

wo Sl die in § 59, Formel (24) eingeführte divei^ente Reihe ist. Bei Be-
rücksichtigung des Lemma S erkennt man, daß die linke Seite von (19)

"/^

*(>:)- TM J '''''-''''

im Intervall (0, oo) wachsende Funktion mit lauter Wachstums-
u ist. Nach § 59, Formel (26) wird daher der mit dem Integral (19)
«pondierende Eettenbmch der folgende sein:

H , «1, ^1 + _« + M , 2| 1 » + 2| Sj «+3|
]i +11 +1* +1 1 +|r +1 1" +1/ + i^-i ■

brauchen wir aber gar nicht erst die 6, zu berechnen und die Reihe
IQ unterBuchen. Denn Satz 10, Eap. VII lehrt, dafi der Eettenbruch
für positive s jedenfalls konrergiert; es liegt also nicht der in
l bemerkte DiTei^enzfall des Eett«nbruches vor, sondern der Kon-
nzfall, und wir erhalten somit

> 0 and alle z, die nicht der negativ reellen Achse inkL 0 ange-
(Stidtjes 4b). Durch Kontraktion (Formel (7), § 43) er^bt sich
mit demselben Qeltangsbereich:

"'"V ' '

£l" <** __i_i >■«_'__!!« + ' >J 3(''+?)l_

-t-x ^\^+« l'+t'+a |i+«+4 I«+«+8

E'ormel, die fUr sc ■= 1 schon von Tsi^hysckeff 1 und Laguerre S
;eben wurde.')

) In dea Formeln (18), (16) dea g 67 traten die gleichen Eettenbrüohe wie
1 (21) nnd (2!) aaf, aber andere Integrale. Der Leser wird die Terachie-
Integrale leicht miteinander identifiüeten kOnneo (fQr positive g), wenn
let allgemeinen Formel

^{ßiJ (l + xu)" i^W.J (l+a!o)f

1 ^ = 1, x = — setzt. Die Richtigkeit dieser Formel selbst ergibt aich
I, daB ihre boiden Seiten gleich dem Doppelintegrat

§ 69. Die Wurzeln der Näherungsnenner eines Stieltjesschen Eettenbraches. 393

Zweites Beispiel. Auf Seite 330 bemerkten wir in der zweiten
Fußnote^ daß die dortigen Ausdrücke (21) und (24) für reelle x einander

gleich sind. Setzt man x = ^ so ist also

(23) ~fon(') e-^dt » % V- «'^^-- A,, v

Für 0 < Ä < 1 sind bekanntlich q, K reell und positiv, so daß hier die

00

rechte Seite die Form f-jxj hat (vgl. das Beispiel auf S. 367). Der

0

korrespondierende Kettenbruch ergibt sich unmittelbar aus der Formel (28)
des § 61, nämlich:

(24) ^ + ,'-i+"M+';i + -"-J+-: +

\ z • i 1 ' , ^ 'I

Da dieser wieder nach Satz 10, Kap. YII dem konvergenten Typus an-
gehört, so sind die Ausdrücke (23) und (24) wirklich einander gleich.
Man erhält demnach, wenn man noch z durch y^, die Integrations-
variable t durch ty und den Kettenbruch durch einen äquivalenten er-
setzt, für 0<Ä;<l,y>0:

ec

(25) ß

y \y \ V \y \ y \y

(SHeltjes 4 b).

§ 69. Die Wurzeln der Nähemngsnenner eines Stieltjesschen

Settenbrnches.

Als Stieltjessche Kettenbrüche bezeichnen wir die Kettenbrüche
der Form

^ ^ \b,z ^\b, ^\b,z ^ b, ^

wo die h^ reelle positive ZaUen sind. Nach Satz 4 ist ein Integral

flO 00

0 0

sind. Die linke Seite entsteht nämlich, indem man zuerst nach v, die rechte,
indem man zuerst nach u integriert, wobei jedesmal die bekannte Formel

flO

«-'"u-'-^du- \r(,cc) ö:>o)

anzuwenden ist.

unter gewissen Bedingungen einem Stieltjesschen Ketten-

ich, der d&nn auch der korrespondierende ist. Umgekehrt wollen
zeigen, daB ein Stieltjesscber Kettenbruch im Konvei^nz-
gleich einem solchen Integral ist und daß er für das Integral
äie Bedeutung des korrespondierenden Kettenhniehes hat. Üb
IIB dieses Satzes, der erst in § 73 beendet sein wird, Torzube-
merken wir, daß die Näheruugszähler .4,(«) und -Nenner B^ii)
i mit positiven Koeffizienten sind. Speziell ist

^,W^1 für 2^0
die SX^) gelten die Bekursionsformeln

».,««-*>.*,«-»..« + -^.-,(4

I e, i zwei unabhängige Variable. Multipliziert man Gleichung(4)
j(j) und subtrahiert dann davon die Gleichung, welche man
rtauschnng von e und e erhält, so kommt:

dpliziert man ebenso die Gleichung (5) mit S^^i) und snb-
tavon diejenige, welche durch VertauBchung von e und e ent
erhält man:

[ = '')v + l^»rW-"lA^J + . JZTi

t man speziell
reell sind, so wird

""i reelle Polynome sind. Aus (6) und (7) folgt dann;

f F„(|,,)--r,..,(S,^)

69. Die Wuizeln der Näherungenenner eines Stieltjesschen Kettenbruches. 395

Da offenbar F^d, i?) — &i > 0, so ergibt sich aus (9) allgemein durch
den Schluß von X auf X + 1: ^

(10) (-l)'"'Fi(|,i,)^^>0.

Nach (8) ist dann für i? + 0 auch J?j(| + *^) + 0- Daher sind die
Wurzeln von B^(g) alle reell. Da sie wegen (2) und (3) nicht positiv
sein können, bezeichnen wir sie mit

-^i,A»-^2,i; •••; -^.,1 (i^-loder-^^).
Aus (8) folgt nun für S = — - rPy j^:

Für lim 17 =» 0 wird die linke Seite reell, also auch die rechte, und man
erhält

(11) B,'{-x,,,)B,_,i-x,,,)^r,i-x,,„0) + 0 (nach (10)).

Die Ableitung J5/(— Xj^^ ist also von Null verschieden; daher die
Wurzeln von B;^(z) sämtlich einfach. Aus der Gleichung

erhält man weiter für jer = — ^c^ ^:

^i(-^y.i)5a-,(-a;y.,)=(-l)^-S
und daher nach Division durch (11):

Hieraus folgt nun

SatB 5. Bei einem Stieltjesschen Kettenhruch , , ~ + tx- + • • •

sind die WwrBdn des Nähentngsnenners X^ Ordnung BJjs) aüe reell, ein-
fach und nicht positiv; die Wurzel 0 ist für ungerade X vorhanden, für
gerade X nicht Zerlegt man den Näiierungshruch X*^ Ordnung in Partiair
brüche

so ist

B (z) ^ ^ + ^jx 2 2 '

V

396 Neuntes E»piteL

In der Tat ist ja bekuintlich

Bach (12) poeitiv. Die Beziehung ^ 3fj,j = - erhält man so-

wenn man in Satz 5 beide Seiten der Gleichung nach fallenden
Dzen Ton s entwickelt. Denn es ist ja

^^) 11
die korrespondierende Reihe mit diesem Glied beginnt.

, Konvergenz and analytischer Charakter der Stieltjegschen
Kettenhrfiche.

I. Wenn in dem Stieltjesschen Kettenbrach

/^ariable z nicht negativ reeU oder NoU ist, so setze man e=-\js e*^-
i ist dann — x <^9- <.a, nnd der Eettenbruch wird äquivalent mit

V}'

— ^- + ,, +-

1 Satz 32, Kap. VII haben daher die Näherungsbrüche gerader Ord-
; and die ungerader Ordnung je einen endlichen Grenzwert.
Wenn die Reihe 2^b^ divergiert, eo wird der Kettenbmch fl) durch
iabstitution s — .^ Äquivalent mit

re'^' rc**, rr'fi

V + :V + r». +■■■'

t also nach Satz 37, Kap. VII gleichmäßig konvergent in jedem
ich der Form 0<r ^B, ~Jt + f^ip^x — s, und stellt somit
dem zusammenhängenden abgeschlossenen Bereich von e, der keinen
[t der negativ reellen Achse inklusive 0 enthalt, eine reguläre ana-
che Funktion dar.

Ganz anders verhält sich der Kettenbruch (1), wenn die Reihe 2!b^
'ei^iert. Nach Satz 5, Kap, VII ist er in diesem Fall für alle z di-

§ 70. Konvergenz u. analytischer Charakter d. Stieltjesschen Kettenbrüche. 397

vei^ent. Dagegen existieren nach Satz 6^ Kap. YII die folgenden Grenz-
werte:

lim A^^{z) = Ao(^), lim A^^^^{z) - K^{e)

.1 r = ao r — m

^^^ lim ^„ {z) - Bo (*) , lim B,,^, {z) - B, {z) ,

nnd es ist

(3) ^(^)B„W-^(ir)B,(;^) = l.

Man überzeugt sich leicht, daß die Grenzwerte (2) in jedem endlichen
Bereich von e gleichmäßig erreicht werden, und daß A^, A^, B^, B^
ganze transzendente tWktionen von e sind. In der Tat, wiederholt
man wörtlich den fQr Satz 6, Kap. YII gegebenen Beweis, wobei nur
h^^ I durch b^v-i^ ^^ ersetzen ist, so erkennt man, daß |^y(jer)| und
\B^{z)\ unter einer von v unabhängigen Schranke bleiben, die aber
auch von z unabhängig gewählt werden kann, wenn man e auf einen
Bereich i «s^ | ^ jR beschränkt. Dann konvergieren aber die a. a. 0. auf-
tretenden Ausdrücke

(4)

mit wachsendem v in diesem Bereich gleichmäßig gegen ihre Grenz-
werte A^j(j?), Ai(j?); ebenso die entsprechenden Ausdrücke mit B statt A.
Daher sind Aq, Aj, ebenso Bq, B^ für z <,R regulär, also, da R be-
liebig groß sein darf, ganze Funktionen von z. Da die Polynome A^{z),
B^(z) positive Koeffizienten haben, so ersieht man aus (4) für lim t/ — 00
auf Grund des Weierstraßschen Doppelreihensatzes, daß in Ao(jer), \{z\
ebenso in Bo{z), ^li^) beliebig hohe Potenzen von z auftreten; diese
Funktionen sind also auch transzendent.

Wir wollen noch zeigen, daß die Funktionen Bq^z), B^(z) keine
Nullstelle außerhalb der negativ reellen Achse haben. In der Tat, be-
deutet 6 eine der Zahlen 0, 1, und ist B„(z) = 0, so muß wegen (3)
A,,(jef) + 0 sein. Daher ist für diesen Wert von z:

A (z)
so daß der Quotient ^ ^~° , v keinen endlichen Grenzwert hat. Nach

dem, was wir zu Beginn dieses Paragraphen feststellten, ist das aber

nicht möglich, wenn z außerhalb der negativ reellen Achse liegt.

A (z)
Daraus ergibt sich nun leicht, daß auch die Quotienten ^ *^~%,"x

in jedem abgeschlossenen Bereich von z, der keinen Punkt der negativ
reellenAchse inklusiveOenthält,gleichmäßiggegenihre Grenzfunktion

398 Neuntes Kapitel.

A (ä)

d' fs konvergieren. In der Tat hat in einem solchen Bereich j 8^(^)1

ein von Null verschiedenes Minimum m, femer | Bj,(jef)| + | Ajy(j?) ' ein
Maximum ilf. Da aber B^^_„(js) gleichmäßig gegen Bj,(jer) konvergiert, so

wird für genügend große v im ganzen Bereich auch \B^^_„{ss) > —

sein. Dann ist aber

SO daß in der Tat wegen der gleichmäßigen Konvergenz von A^^_^(e)j
^2r-aW ^^^^ ^^^ Quotient ß^^^-c gleichmäßig gegen ^^c kon-
vergiert. Zusammenfassend erJattan

Sat8 6. Bei einem Stieltjessdien Kettenbmch rh ' "^ nr "^ ' ' ' ^'^^'

vergieren in jedem ztAsammenhängenden abgeschlossenen Bereich von z^ der
keinenPunJU der negativ reellen Achse inklusive 0 enthält, die Näkerungshriiche

gerader Ordnung ^ j : gleichmäßig gegen eine reguläre analytische Funk-

A (ß)
tion Fq{z); ebenso die Näherungsbrüche ungerader Ordnung ^^^-t-x

gleichmäßig gegen eine reguläre analytische Funktion F^(ß).

Falls die Reihe Z b^ divergiert, ist F^ (js) — F^ {0), der Kettenbruch
also gleichmäßig konvergent. Wenn aber 2 b„ konvergiert, sind Fq (jb\
F^ {0) zwei überall voneinander verschiedene meromorphe Funktionen, und
der Kettenbruch ist für alle z divergent, (Stieltjes 4 a).

n. Über die Möglichkeit, die Funktionen Fq(z), F^(z) eindeutig
über die negativ reelle Achse hinaus analytisch fortzusetzen, gibt der
folgende Satz einigen Aufschloß, der uns bald von Nutzen sein wird.

Satz 7. Sei 6 eine bestimmte der Zahlen 0, 1 ; femer a, b zwei Zahlen,
für die 0 ^a <ib sein soll. Wenn dann unter Beibehaltung der Bezeich-
nung von Satz 6 eine unbegrenzte Folge von wachsenden Indizes v^, v^, Vj, . . .
existiert derart, daß die Nenner der Näherungsbrüche

iv

,-aW ^2v.-gW ^2f,-aW

^2n-aW' ^2..-aW' ^2..-aW'

im Intervall (— b, — a) keine NuUstelle haben, so ist die Funktion F^{z)
über dieses Intervall hinaus eindeutig analytisch fortseizbar, und die obigen
Näherungsbrüche konvergieren gleichmäßig gegen F^{z) in jedem Kreis-

§ 70. Konvergenz u. analytischer Charakter d. Stieltjesschen Eettenbrüche. 399

ringj dessen Zentmm der Nullpunkt isty und dessen Badien r, R den Un-
gleichungen a < r < JB < & genügen. (StieUjes 4 a).

Beweis. Nach Satz 5 besteht die Partialbruchzerlegung

wobei

(6) ^J,tr.-o > 0, Jf,,, >0, ^ Mj^, =- f

ist. Wir setzen jetzt

jsTq — — ^^—^ — (- ii} (t/ reell, aber + 0)

und entwickeln die rechte Seite der Formel (5) nach Potenzen von
z — 0Q, Es kommt

wobei

(8) 9i,,--^ (^o + ^y,8,.,r^p' (A = 0,1,2,...).

Da aber auch jP^(^) für z '^ Zq regulär ist, hat man außerdem für ge-
nügend kleines \z — Zq\:

(9) F„(g) ^ g,- g,{z - g,) + g,is - g^y .

In einem Kreis mit dem Mittelpunkt z^^ der nicht bis zur reellen
Achse heranreicht, nahern sich nach Satz 6 die Funktionen (7) mit
wachsendem s gleichmäßig der Grenzfunktion F^{z), Nach dem Weier-
str aß sehen Doppelreihensatz ist daher

(10) g, = lim g,^, ^ lim ^ v _^^^ --^,,'

Wir wollen jetzt zeigen, daß der Konvergenzkreis der Reihen (7) und
(9) über die reelle Achse hinausreicht, indem der Kon^ergenzradius min-
destens gleich I ^0 + ^ I "^ i ^0 + ^ 1 i^*- I^ ^®^ ^^^ gehört nach Voraus-
setzung keine der Wurzeln — ^yj,. _^ dem Intervall (— 6, — «) an;
daher ist jer^ + or^. ^^ ^„ ' > Vo + ^ !? folglich nach (8) und (6):

(11) i'^. ^^iv+«/,,;;-«r~'^^u.+«i*"' M-'."+«p^^'

Neuntes Kapitel,
lies für alle s gilt, so ist auch

«n (1 1) und (12) ist in der Tat der Konvei^enzradina der Reihen
ind (9) mindesteUB gleich | ä^ + « ! ■ Folglich gehört das Intervall
, —a) dem Konret^enzkreis Ton (9) an, und die Funktion Fg{2)
sich über das Interrall hinaus analytisch fortsetzeu.
Nun war F„(ji) definiert für alle e, die nicht der negativ reellen
le angehören, und aus dem Bewiesenen folgt Doch keinesw^s, d&il
Überschreitung dieser Achse die Funktion eindeutig bleibt. Wir
en aber jetzt beweisen, daß die Kähercngsbrflche (7) in jedem
)e K mit dem Mittelpunkt 2^, dessen Radius kleiner als s^+a
'leichmäßig g^en den Wert der Reihe (9) konvergieren. Da der
zwert dieser Nahem ngsbrU che für alle nicht reelles z definitions-
i& gerade Fg(e) ist, so muß dann auch die Reihe (9) gleich ^„{tl
selbst wenn e im Innern des Kreises K die reelle Achse fiber-
tten hat; damit wird also die Eindeutigkeit von F^ (e) bei über-
litnng der negativ reellen Achse bewiesen sein.
Für alle e im Kreis K ist non

■ < 1 von e nicht abhängt; außerdem gilt in K die Formel (7), da
r KonvergenzradiuB der Reihe (7) mindestens | «^ + o [ ist Daher
aan in K die folgende Abschätzung:

Ijl - ^(- ^YsÄ'-',y I -I j2(- i)'fe,.-ftX»-».)'

i'läi..-a!l«-«cil'+2' ( »'.• +'Si ) «-«. '
i'lä,,.-ftll«-'.l' + 2 ,,,|.-;-4.|i.i '-'.'(««=iiai)u.a2))

kann man zu jedem vorgegebenen positiven e eine Zahl k so tvählen,
ler zweite Term der letzten Zeile (der von s nicht abhängt) kleiner

§ 71. Der Hauptsatz von Stiellgeg.

401

wird als -;-• Alsdann wird für genügend große s, etwa für s^s^ auch

der erste Term kleiner als -ä- Daher ist für s ^ s^ im ganzen Kreis K

;iM)

<e,

womit die in K gleichmäßige Konvergenz der Näherungsbrüche (7)
gegen den Wert der Reihe (9), also anch gegen die Funktion Fg{z)
bewiesen ist.

Nun denken wir uns einen Kreisring von der in Satz 7 verlangten
Art. Daun gibt es einen Kreis K mit dem Mittelpunkt g^y der die
Punkte — h und — a außerhalb läßt, da-
gegen die Schnittpunkte der Grenzkreise
des Ringes mit der negativ reellen Achse
innerhalb (Fig. 4). Nach dem soeben Be-
wiesenen konvergieren die Näherungs-
brüche des Satz 7 in £" gleichmäßig
gegen F„(js). Das gleiche ist aber nach
Satz 6 auch in dem außerhalb K liegen-
den Teil des Ringes der Fall, da dieser
Teil keinen Punkt der negativ reellen
Achse enthält. Die Konvergenz ist also
im ganzen Ringgebiet eine gleichmäßige, womit Satz 7 vollständig
bewiesen ist.

Flg. 4.

§71. Der Hauptsatz Ton Stieltjes.

L Wir knüpfen jetzt an die in Satz 5 gegebene Partialbruchzer-
legung an; danach ist, wenn wieder 6 eine der Zahlen 0, 1 bedeutet:

(1)

'iv

-aW _ V

3f.

>,Jiv-<j

^iv-erW f^ ^ + ^J,tr-a

(2)

^i,2.-a>0, y^^fr-a-J-

y=i

^

Wir denken uns die Wurzeln Xj^^^_^ von B^^_„{— z) der Größe nach
geordnet:

(4)

l,Jlr-a

>Ofür<y = 0
-Ofür<y = l,

Perron, Kettenbraoho.

26

Nenntea E&pit«!.
efinieren eine wachsende Funktion 'Ptr-oi^) ^ folgender Weise:

,r-o{x)~^l,l^-« fßr ^l,U-a <^^ ^,J,-o

leichnng (1) Mät sich dann die Form geben:

'nsere nächste Aufgabe ist nan, nachzuweisen, daß die Funktionen
'x) f(lr lim v^co im wesentHchen gegen eine Grenzfunktion kon-
ren, wobei die Worte „im wesentlichen" natürlich genauer zu prä-
n sein werden. Ersetzt man in (6) die Zahl v durch v -t- Jl, so
t durch Subtraktion:

ekelt man hier beide Seiten nach fallenden Potenzen von s, so be-
die linke Seite erst mit der Potenz i,_g-^L- Recht« aber kommt;

'gibt sich

^:i^d<p^,^,^_^{x)-J3^<itpi,_„(x)^0 (i = 0,l, ..2v~ö-l).

Di» gliedweise Integration ist hier trotz der obeten Iat«gratiouBgreiiEe
labt, weil ja die Funktionen Vj, + ji_„(*) und 9'j»-o(*) ^^ genügend
; kouBtaut eind, ao daß die obere IntegrationegrenEe auch durch eine end-

"setzt werden kann.

§ 71. Der Hauptsatz von Stieltjes. 403

Da die beiden Funktionen 92v-ö(^) ^^^ 92y+ix^o(^) ^^^ x^O ver-
schwinden und für hinreichend große x den gemeinsamen konstanten

Wert , - haben^ so ist Gleichung (7) für i = 0 eine Identität. Für ä: > 0

aber folgt durch partielle Integration nach Lemma 2 und 3:

0 0

(Ä; = 1, 2, . . . 2i/ - <y - 1),
also auch

0

wenn -Pt»«a-«(^) irgend ein Polynom höchstens vom Grad 2v — <y — 2
bedeutet.

Nun können die beiden Funktionen Vir+ix-a{^) ^^^ 9jy_o(^)^i^*
überall einander gleich sein. Denn da das Polynom S^^+%x-a('~' ^) "^^^
höherem Grad ist wie -Bjy.aC""^); ^^ g^^* ^^ gewiß eine NullsteUe
^y,«y+si-a ^®^ ersten, welche nicht Nullstelle des zweiten ist. Daher
wird Xj fy^fx-~a ^^^ 9^%v-a{^) ^^^ Konstanzstelle sein, während 92r+2i-o(^)
daselbst einen Sprung macht. Seien nun QiyQ^j'-^Qfi diejenigen Stellen,
an denen die Funktion (p%r-^ix-a(j^) "" Viv-a(pÖ ^ ^®^ Weise sich
ändert) daß entweder

oder aber

(B)

.<P2v + «i-a(p*+0)-9>2.-a(P*+0)<0

ist. Solche q^ muß es geben; denn andernfalls wäre die Funktion
%»+22-a(^) ~ V2»-a(^) ^^^ konstantem Zeichen, ohne identisch zu ver-
schwinden, was der Gleichung (8) für Pj^^^,., = 1 widerspricht. Die q^
der Art (A) sind offenbar unter den Wurzeln Xj^t+tx^a *^ suchen; die
Q^ der Art (B) unter den Wurzeln

80 daß ihre Anzahl höchstens v — 6 sein kann. Denn die Wurzel x^^^^^^
kann für 6^1 nicht als q^ der Art (B) in Frage kommen, weil sie ver-
schwindet und weil

9'2r+2;i-a(0) — 9ip~a(P) ^^^^^ > 0, Boudem = 0

ist. Die Anzahl fi ist mindestens 2v — tf — 1 ; denn wäre fi^2i/ — ^— 2,
so würde das Integral

26*

1

404 Neantes Kapitel.

0

nach (8) yersch winden , was aber nicht möglich ist, da der Integrand
augenscheinlich von konstantem Zeichen ist, ohne überall zu verschwin-
den. Ordnet man die Qj^ der Größe nach:

Qi<9t<Qi< "<Q^y

so sind dies abwechselnd solche der Art (A) und solche der Art (B).
Insbesondere muß q^ von der Art (B) sein, weil 92,+22-a(^) — %»-<t(^)
für hinreichend große x nicht > 0, sondern =» 0 ist. Daher sind über-
haupt Q^, (>^-», P^-.4; • • • von der Art (B), und da ft ^ 2i/ — <f — 1, so
muß die Anzahl dieser q^ von der Art (B) mindestens gleich v — 6 sein.
Da wir aber vorhin sahen, daß sie auch höchstens i/ — tf ist, so ist sie
genau v — tf , und die Qj^ der Art (B) sind gerade die v — <y Zahlen (9).
Setzt man also diese in (B) ein und berücksichtigt noch, daß ^t^^^x^ai^)
eine wachsende Funktion ist, so erhält man die wichtigen Ungleichungen:

(10)

(für j = tf + 1, tf + 2, . • •, v).
II. Wir setzen jetzt für x'^0

(11) lim inf 9>»,-<,(«) = Za(«)

y = 00

(12) lim sup ^,,_^(^) =- tai^)'

Offenbar ist

(13) XoiO) = *„co) - 0,

(14) 0 £ Xo(^) < U^) < i; ,

und Xai^)^ ^a(^) s^^ ebenfalls wachsende Funktionen, also

(15) Xa((^)<Xo(P) füra<6,

(16) ^aip)<^aQ>) füra<6.

Wir behaupten aber weiter, daß auch ^a(^) ^ XaO^) für a < 6 ist. Um
dies nachzuweisen, seien a, h zwei beliebige, aber im folgenden konstant
zu haltende Zahlen, und 0 < a < 6. Dann gibt es zwei unbegrenzte
Serien von Indizes: v^jV^, , , , und ii'x, li^u - - - derart, daß

(17) lim ()p, (a) - *^(a), lim 9, (6) = ;i:^(6)

1 = 00 «ssOO

§ 71. Der Hauptsatz Ton Stieltjes. 405

ist. Wenn nun etwa zwischen — b und — • a für unendlich viele s eine
Wurzel von B^^ ^„(z) liegt, also zwischen a und b eine der i/,— <y Zahlen
^i,«^,-ö 0' = 1 + tf, 2 + <y, . • •, V,), so ist wegen (10) fÖr /t,, > v,:

und daher^ indem man s unbegrenzt wachsen läßt,

t„(a) < XaQ>).

Analog ist, wenn zwischen — b und — a für unendlich viele s eine Wur-
zel von JB,^ -oW ^i®K*> *lso zwischen a und 6 eine der /(*,— tf Zahlen
^J^Ms-^' 0' =- 1 + <^^ 2 + tf, . . ., /ij, wieder nach (10) für i/,.> ft,:

also wiederum durch Grenzübergang: p^a(a) < Xo(^)-

Es bleibt daher nur noch der Fall zu untersuchen, daß zwischen
— 6 und — a fÖr genügend große s weder eine Wurzel von B^^ ^a(/)
noch von JB,^ ^a(/) ^i^g^* I^ diesem Fall ist aber nach Satz 7

und zwar nähern sich die Quotienten ihrem Grenzwert F^^e) gleich-
mäßig in einem Kreisring mit dem Nullpunkt als Zentrum und mit den
Radien a + s und 6 — £, wo c(> 0) beliebig klein. In einem solchen
Ereisring gelten aber die Laurentschen Reihen

da ja diese Funktionen in dem Kreisring regulär sind. Nach dem Weier-
straßschen Doppelreihensatz ist dann in dem Kreisring auch

00

wobei

a;i«lima;^.= lim/J^^,.

«SOS s = oo

Nun kann man aber a^ ^, ß^ ^ leicht berechnen. Da jetzt nämlich keine
der Zahlen iCy j^ _^ zwischen a und b liegt, so ist tp^^ -„(^) ini Innern
des Intervalles (a, b) konstant, und man hat daher nach (6), wenn 0 im
Innern des Kreisringes liegt:

^

406 Neuntes Kapitel.

a + t

■ßi^h..-.^'^ ^M^w.-A^^

^=Ö 6-.

Über die Berechtigung der gliedweisen Integration vergleiche man die

Fußnote Seite 402. Der Koeffizient von - ist somit insbesondere

z

0

ebenso findet man auch

0

Also für lim s =^ oo:

(18) «_, ^ Hm 98 (a + s) ^ lim 9«^,-a(» + «)•

« = 00 *=ao

Nun ist aber

woraus für lim « = cx) nach (17) und (18) folgt:

Daher ist wiederum ^^(a) ^ XrrC*)- Diese Ungleichung für a < 6 gilt
somit in allen Fallen. Insbesondere ist daher auch *„(a — 0) ^ Xa(« + 0),
und in Verbindung mit (14) erhält man:

(19) Xa(<^ - 0) < ta(a - 0) < Xaici + 0) < ^,(a + 0).

00

III. Wegen der Ungleichungen (14) existieren die In.tegrBleJdXa(p'^)y
J^^aip^)} ^^d folglich sind nach Hilfssatz 4 die beiden Integrale

§ 71. Der Hauptsatz von Stieltjes. 407

0 0

in jedem zusammenhängenden abgeschlossenen Bereich^ der keinen Punkt
der negativ reellen Achse inkl. 0 enthält^ reguläre analytische Funktionen
von e. Aus (19) entnimmt man aber, daß die Funktionen %a{x)y i>„{^)
an allen Stellen Xj wo beide stetig sind, den gleichen Wert haben, ebenso
nach (13) an der Stelle x^O. Nach Hilfssatz 1 sind also die beiden
Integrale (20) einander gleich. Für x^O und für die Stetigkeits-
steUen von x^, ^^ ist außerdem mit Rücksicht auf (11) und (12):

(21) %o{^) =• ^aW =■ ^^ 9«,-a(^)-

ysoo

Man wird daher vermuten, daß die Integrale (20) aus (6) für lim i/ » oo
hervorgehen. Das ist nun in der Tat der FalL Zum Beweis sei zu-
nächst z eine beliebige positive Zahl. Dann ist zu zeigen, daß zu
einem beliebig kleinen positiven b eine Zahl N gefunden werden kann
derart, daß für v ^ JT

00

z-^-x J z + x

<B

wird. Nun ist aber für G>0:

00 00

G

ebenso auch für alle v:

00

^dip^^_„{x)

r

g + x ^\{z + G)'

Man kann daher die Zahl G so groß wählen, daß für alle v

00 00

\G G ,

ist, und hat dann nur noch zu zeigen, daß für genügend große v ge-
wiß auch

G G

rd^„(x) _ r^yar-gC^) I ^ _f

408

Neuntes Kapitel.

wird. Zq dem Zweck waUe man eine Reihe Ton ZaUen

(22) artt-0<a;,<a;,<.--<a:._i<a;.
derart, daß die Bedingungen

(23) Xi^,- x,<^''l- (i

(24) a;<,(««)="^o(««) = l»m«iPj.-aW

= G

= 0,1,...,« — !),
{i = 0, 1, . . ., n)

r = ao

erfüllt sind. Das ist sicher möglich^ weil ja die Gleichungen (21) aoßer
für X =^0 auch für alle Stetigkeitsstellen Ton Xaf ^a S^l^^; ^^^ ^^^
diese Stellen überall dicht liegen^ wie Seite 362 bemerkt wurde. Nach-
dem die Anzahl n und die Zahlen x^ in dieser Weise gewählt sind, kann
man weiter wegen (24) einen Index N^ so groß wählen^ dafi für v ^ A\

(25)

wird. Nun ist

G

V'a(^i)-9».-n(^<)l<

zs
8n

(i«0,l,-..,n)

J i+x J z + x "'f^.yj g + x J e + x )'

also auch

Aus (25) folgt aber für v ^ ^Vj:

oder^ was dasselbe sagt:

Jdt^(x)-Jd(p^^,^{x)

i-*^*

<

Man kann daher setzen:

(27)

*<

wobei — 1 < -ö"^ < 1 ist Anderseits ist aber

*< + 1 *i + 1

«+

Xj Xi .T.-

§ 71. Der Hauptsatz von Stielljes.

also auch

'•+1 *<+i

wobei S{ dem Intervall (x,, x,-^j) angehört. Ebenso ist

409

*<+i '«+1

WO auch 1^ dem Interwall {x^y a^i^j) angehört. Durch Subtraktion der
beiden letzten Formeln kommt mit Rücksicht auf (27):

(28)

Xi

Da aber offenbar 1 1. — 1^ I < '^t+i ~ *i> ^** ^* wegen (23)

_ !_ 1 _ _ IJ<^< ^

Daher erhält man aus (28) die Abschätzung

<+i ^i ^ ^1 *

H-ifl

'< + l

Trägt man dies in (26) ein, so kommt schließlich:

''i + i

G

G

Q

0 0 0

6.«

= -i- ^a(G) + I- < 1 + 1 • W. Z. b. W.

Wir haben damit in der Tat für positive z gefunden:

{^"^f"' ^ lim r

410 Neuntes Kapitel.

also auch nach (6) und mit der Bezeichnung des Satz 6

/

Diese Formel gilt aber sogleich für alle endlichen z, die nicht der nega-
tiv reellen Achse inkl. 0 angehören. In der Tat wissen wir, daß sowohl
F^{e\ wie das Integral für alle diese js reguläre analytische Funktionen
sind. Da sie aber für die positiven z übereinstimmen , so sind sie mit-
einander identisch. Wir erhalten so das Stieltjessche Haupttheorem:

Sats 8. Bei einem Stielt j esschen Kettenbrtich rr-^ + pi; — I"* '

lassen sich für alle nicht der negativ reellen Achse inkl. 0 ungehörigen z
die nach Satz 6 existierenden Grenzwerte der Naherungsbrikhe gerader
und ungerader Ordnung in Form van Stieltjessdien IntegrcUen darstdlen:

00

!i".fetl-^"«-r.+^' (-»-"'

ivo %(x), Vi(^) wachsende Funktionen sind. {Stidtjes 4a.)

§ 72. Fortsetzung. — Asymptotische Reihen. —

Das Momentenproblem.

I. Eine wesentliche Ergänzung zu Satz 8 ist nun

Sats 9. Die beiden in Satz 8 auftretenden Stiel tj esschen Iwtegi^
sind mit dem betreffenden Stieltj es sehen Kettenbruch korrespondieret-

(Stidtjes 4 a.)

Zum Beweis sei wieder

(1) ;'+S + ?. + ---

die mit dem Stieltj esschen Eettenbruch korrespondierende Keihe.

Dann ist nur zu zeigen, daß diese formal gleich f ^--- ist, d.h. daß
die folgenden Gleichungen bestehen:

00

Ck =/(- xy-^dtai^) (^ == 1, 2, 3, . . .).

§ 72. FortsetEüng. 411

Wir beweisen zunächst, daß diese Integrale alle existieren. Für
jt = 1 ist die Existenz evident, weil ja ta{^) ^ h ^^** Nimmt man an,

die Existenz sei bereits für k ^1,2, . . , k erkannt, nnd setzt man dem-
gemäß Yorläufig

00

(2) /(- xf- 'dn,„(x) = c; (Ä = 1, 2, . . . i) ,

0

so erhält man

00

(S)

0 Ü VI/

Anderseits ist aber, weil die Reihe (1) mit dem Stieltjesschen Ketten-
bmch korrespondierend ist, für großes z

00

0

also, indem man das Integral nach fallenden Potenzen Ton a entwickelt,
worüber wieder die Fußnote Seite 402 zu yergleichen ist:

00

/(- xy-^d,p,^_„(x) -c, (Ä = 1, 2, . . . 2v-o).

0

Für positive e und für 2v — ö > X v&i daher auch

00 00

u

^1 4- ^« -L . . . 4- fi -L A 5i+-*

^ ^' z" z-

wobei 0 < -O- < 1 . Für lim v = cx) folgt hieraus

(4) j'„(5)-^'+j+.-+-2+ö^:; (o^ö^i).

Subtrahiert man diese Gleichung von (3), so kommt uaeh Multiplikation
mit B^\

00

(5) (ci'-<^)ir^-i+(c,'-c,)^-H-.+(c/-c,)=d'^;-»-y\-_^<d^>).

0

412 Nenntee Kapitel.

Nun gilt aber die Abschätzung

O m (i

da ja das letzte Integral nach der Annahme (2) existiert Für genügend
große G wird es beliebig klein, und indem man dann noch z unbegrenzt
wachsen läßt^ findet man

00

iz SA * ^'""^''^ ■ ^ •

Daher ergibt sich aus (5) für lim jer »= oo :

lim [(V_ cO«^-»+ (V- c,y-'+ ■■■ + (c/- c,)] = 0,

X s 00

also

(6) ^1 ~ ^; ^i ^ ^y ' ' - ^X ^ ^X-

Setzt man das aber in (5) eiu; so kommt nach Multiplikation mit £z

00

0

also wegen 0 ^ ö ^ 1 :

X+i(-*)''^^''(*)-'''^^+.i'

00

0

Daher a fortiori

/4x*''^*»^l''^ + il-

0

oder also

s t

U

Da. dies für beliebig große z gilt^ so folgt, daß das Integral (2) auch
für k ^ k + 1, folglich fQr aUe k existiert. Dann sind aber auch die
aus dieser Existenz gefolgerten Gleichungen (6) richtig, und man erhält
die Formel:

(7) f(- xy-^dtl>„{x) = Ct (k = 1, 2, 3, . . .) W. z. b. w.

U

§ 72. Asymptotische Reihen. 413

n. Multipliziert man Formel (3) mit i^ und berücksichtigt (6), so
erhält man:

00

(8) ^(fM -';-:•. -;i) - A/, ;- (-.y d^„(a:).

0

Setzt man nun z ^\e\ ^^, — ä < -ö* < ^tt, so ist für .r ^ 0 offenbar

wobei g '=^1 oder p. -^ ist, je nachdem j 'ö* | ^ ^ ^^^^ 1*^1 > 2 * -l^*^®^
folgt aus (8):

00

0

Läßt man hier g unbegrenzt wachsen und hält d^ konstant, so kommt
(9) lim 0^(r„(ir)-";--;^. -^)-0 (X-1,2,3,...).

S s= 000

Speziell für 'd* = 0 läfit sich diese Formel auch direkt aus (4) ablesen.
Nach Poincare sagt man beim Bestehen der Gleichungen (9), daß die

(im allgemeinen beständig divergente) Reihe - + ■ , H die Funktion

F^(ß) asymptotisch darstellt, und zwar auf dem Halbstrahl, der mit der
reellen positiven Achse den Winkel d" bildet. Wir erhalten also

SatB 10. Die mit einem Stielijesschen Kettenbnkch Icorrespon-
dierende Reihe stellt die Grenzwerte, denen sich die Näherungsbriiche ge-
rader und ungerader Ordnung nähern , asymptotisch dar auf jedem von
der negativ reellen Achse versdhiedenen Halbstrahl.

III. Falls die Reihe 2b^ konvergiert, existieren, wie wir Seite 397
oben sahen, die Grenzwerte

lim A,^_„{z) = A„(ir), lim B,,_„(z) = 6^(5).

ysoo vssoo

In Verbindung mit Satz 8 ergibt sich daher in diesem Fall:

00

A„W rd^n(^) . ^ .N

Nach Satz 10 ist dann die Differenz

B.(«) B.W B,«B.(«)

414 NeimteB Kapitel.

auf jedem von der negativ reellen Achse verschiedenen Halbstiahl
asymptotiBch gleich Null, oder indem man den reziproken Wert nimmt:
Die Funktion Bg(«)Bi(£) wächst absolut genommen auf jedem solchen
Halbstrahl rascher ins Unendliche wie jede noch so hohe Pot«nE
von \e\.

Wie wir auf S. 397 sahen, liegen die Nullstellen von B„(ä) sämt-
lich auf der negativ reellen Achse. Sind — ß,— a zwei Nullstellen von
B„(if), zwischen denen keine andere mehr liegt, und sind a, | zwei
Zahlen, die den Ungleichungen geniigen:

so ist die Funktion „Vv im Innern und auf der Grenze des Beebtecks

mit den Ecken

— I, — a, — a — ifj, — I — ii; (?j reeü + 0}

regulär. Der Hilfssstz 5 liefert also in Verbindung mit dem Cauch;-
Bchen Integralsatz, wenn alle Integrationswege geradlinig sind:

■J.,,(l - 0) +y„(.i + 0) _ i/.„(a - 0) +j,„{a +_0) ,. „ (l_ i'K^ , \

weil ja offenbar A„{g), B„{e) fOr reelle e reell sind. Es ist daher die
Funktion tf'o(x) im Innern des Intervalles (a, ß) konstant. Die Wachs-
tumsstellen von ^„{x) liegen somit diskret und sind NuUstellen von
Bg(— g). Infolgedessen nimmt das Integral (10) die Oestalt an

(11) B^w --Stt^,' g„„>o,«„.,^o.

Die Summe bat tatsächlich unendlich viele Glieder, also B„(£) unend-
lich viele Nnllstellen. Denn andernfalls wäre (11) eine rationale Funk-
tion; daher würde auch die korrespondierende Reihe eine rationale
Funktion darstellen, was in Wahrheit nicht möglich ist, wie schon
S. 375 unten bemerkt wurde. Aufierdem ist lim «g , = oo, weil sonst die

Funktion (11) nicht meromorph wäre. Die Reihe — -\- -',-(--■ ist in-
folgedessen beständig divergent.

Wir wenden uns jetzt zu dem Fall, daß die Reihe £b^ divergiert.
Da alsdann der Kettenbruch konvei^ert, so ist F^(e} — .F\(«), also

/<i% (2) ^ fäll), (ü)
3+X J «" + iu'

§ 72. Das Momentenproblem. 415

das heifit, der Wert des konTergenten Eettenbmches läßt sich in Form
eines solchen Stieltjesschen Integrales darstellen. Da

OB

ß

0

also

lim ^o(^) ^ lim ^i (^) ^ ^ >

ar = OQ X SS 00 *'l

60 lehrt Hilfssatz 5^ daß ^o(^) ^^^ ^i (^) j^^^ im wesentlichen einander
gleich sein müssen. Er liefert nämlich fQr lim| » cx):

2 "" 2

Beispiel. Der Kettenbrach

FM ^11 + 11 + 1. + 11 + 11 + 11 + ...

ist ein konyergenter Stieltj es scher Kettenbrach, maß sich also in
Form eines Integrales darstellen lassen. Da er aber periodisch ist,
findet man sogleich

m~-\+W' + T'

WO die Wurzel so za nehmen ist, daß sie fQr positive g positiv ist, und
bei der analytischen Fortsetzung die negativ reelle Achse nicht über-
schritten werden darf Es muß also eine wachsende Funktion '4f{x)
geben, für welche oq

- 1 + M/' + * 'firi

0

ist. Diese Funktion kann, nachdem ihre Existenz ja feststeht, auf Grund
von Hilfssatz 5 gefunden werden. Man erhält

- T + W"- + ^ "7 2«(^ + i) ^'''

0

was sich hinterher auch leicht verifizieren läßt.

IV. Im Anschluß hieran behandeln wir noch das von Stieltj es
aufgestellte und gelöste Momentenproblem (Stieltjes 4 a). Dieses lautet:

Wenn eine unbegrenzte Serie von positiven Zahlen ffi, ffi, ff^) » > »
gegeben ist, so soll eine für a: « 0 verschwindende und für x'^0
wachsende Funktion tlf{x) mit unendlich vielen Wachstumsstellen ge-
funden werden, die den Gleichungen genügt:

(12) fi- ^dt {x) = 9t Qc= 1, 2, 3, . . .)•

416

NenntM Kapitel.

Der Name UomeDtenproblem erklärt sich daraus, daS Stieltjes das
:ial dil^(x) sla eine MassenTerteilung auf der X-Achse interpre-
bezeichnet dann die Integrale (13) als die Momente dieser
Erteilung.

1 ^{x), x(^) z^B^ wachsende Funktionen, die an allen Stellen,
I stetig sind, einander gleich Bind und diefUr x^^O verschwinden,
«h Hilfssatz 1

fa-'dt{=-^) -fx'-'dxix).

[so ^{x) eine Lösung des Momeutenproblems ist, so ist z(x)
eine. Zwei derartige Lösungen werden wir nicht als vonein-
rsehiedea ansehen. Ist nun i>{x) eine Lösung, so ist formal

fdMx]

1 Satz 1 gibt es einen hiermit korrespondierenden Kettenbruch
itiren b^, also einen Stieltj es sehen. Setzt man ihn in die
jte Form ~ - -{- ^ + • ■ ■ , so sind auch die a, positiv, und
an fiii = (— l)*'"^Ci setzt, so ei^bt sich leicht aus Satz 5,
J, daß die Ausdrücke

(-irv.-(-ir

ein müssen, oder, was dasselbe s^t:
9i 9t ■■■ Sr j 9t 9»

9t 9t ■■■ 9r*i >0. 9t 94

dingungen sind also jedenfalls fQj die Lösbarkeit des Momenten-
) notwendig. Sie sind aber auch hinreichend. In der Tat, wenn
[t sind, so hat die Reihe

z 5, Eap. VUl e

korrespondierenden Eettenbruch

, h^, also einen Stieltjesschen. Nach Satz 8

L

§ 72. Das Momentenproblem. 417

sich die Grenzwerte seiner Näherangsbrache gerader und ungerader
Ordnung in der Form darstellen:

(16) lim j-f ; - fe(*), lim^-^i^-r-

. _ i~+^'

0 0

und nach Satz 9 ist der Kettenbruch (15) mit diesen Integralen korre-
spondierend; d. h. es ist

00

/(- xy-'d^,{x) - (- Vf-'g„ /(- xf-'di,,{x) - (- If-'g,.

0 0

Die Funktionen %{x), tiip^) ^^^^ also Lösungen des Momentenproblems.
Wenn nun Sb^ konvergiert; so divergiert der Eettenbruch, und die
beiden Integrale (16) stellen wesentlich verschiedene Funktionen dar.
Daher sind ^o(^)>^i(^) ^^^^ ^^^^ verschiedene Lösungen des Momenten-
Problems. Es gibt aber in diesem Fall sogar unendlich viele Lö-
sungen, indem offenbar jede Funktion der Form

^(ar)-a^o(^) +/5^i(^),
wo a, ß positive Konstanten mit der Summe 1 sind, eine Lösung darstellt.
Wenn dagegen £b^ divergiert, so konvergiert der Kettenbruch (15),
und die Integrale (16) stellen beide die nämliche Funktion dar. Folg-
lich sind nach Hilfssatz 5 die Funktionen ^o(^); ^i(^) ^^ allen Stetig-
keitsstellen einander gleich^) und liefern daher ein und dieselbe Lösung des
Momentenproblems. Man sieht aber leicht, daß es in diesem Fall über-
haupt nur diese eine Lösung gibt. Denn ist ^(rr) irgendeine Lösung,
so muß das Integral

z -f X

00

nach Satz 4 gleich dem mit der Reihe (14) korrespondierenden Ketten-
bruch (15) sein, also eine eindeutig bestimmte analytische Funktion
F{z) darstellen. Daher ist nach Hilfssatz 5 auch f(x) an allen Stetig-
keitsstellen eindeutig bestimmt^); das heißt aber, das Momentenproblem
hat in diesem Fall nur eine Lösung.

Man kann diese Ergebnisse auch in folgender Weise aussprechen:

Satz U. Ein Stieltjesscher Kettenbruch 5 + rr^ + ' • ^^ "**"

endlich vide oder nur ein Tcorrespondierendes Integral^ je nachdem die
Reihe Zh^ konvergiert oder divergiert. — Wenn Zh^ divergiert, so ist der
Kettenbruch für alle jbt, die nicht der negativ reellen Achse inkl. 0 an-
gehören, konvergent und gleich dem korrespondierenden Integral.

1) Efl ist a|>„(0) =» 0, während i/>^(0 + 0) = lim i/j„(e) nicht a priori bekannt

ist. Der Hilfssatz 5 kann daher nicht etwa für a = 0, sondern muß hier für einen
beliebigen negativen Wert von a angewandt werden, wobei man VaC^)"^^ ^^
denken hat für negative x.

Perron. Kettenbrftohe. 27

Zehntes Kapitel.

Die P ade sehe Tafel.

§ 73. BegriiF der Päd 6 sehen TafeL

I. Sei

(1) ^{x) - c^+c^x + c^x^+ c^a^,+ ■ . . .

eine Potenzreihe^ deren konstantes Qlied nicht verschwindet^ also

(2) Co + 0.

Ob der Eonyergenzradius von Null verschieden ist oder nicht, ist gleich-
gültige da wir vorläufig wieder nur die formalen Qesetze ins Auge
fassen. Sind /x, v zwei beliebige Zahlen der Reihe 0^ 1; 2, • • •; so wollen
wir eine rationale Funktion

(3)

/<.»

herstellen, deren Zahler höchstens vom v**" und deren Nenner höchstens
vom ft**" Grad ist, und derart, daß aus der formal gebildeten Potenzreifae

(4) 5ß(:r)F,.,(x)-D;,.,(^)

die Potenzen von x bis zur (/i + 1/)*®° einschließlich herausfallen. Setzen
wir zu dem Zweck

(5) Ü'^,X^) ^cco+cc^x-\ 4- a^^r"

(6) V,,r(^)-ßo + ßi^ + "' + ß,^,

so ergeben sich zur Berechnung der unbekannten Koeffizienten a,., ß^
die folgenden Bedingungsgleichungen:

§ 73. Begriff der Fad^schen Tafel.

419

(7)

.c^ßo+<^v-ißi-i \-c^-ußu^^

(8)

<^r + lßo+<^vßl +

+ c^_^+i^^.--0

^r + /,Ä+^,+/i-l/'l+ HC^^^e^-O,

wobei die etwa auftretenden c mit negativem Index durch Null zu er-
setzen sind; für ^ » 0 fällt das Gleichungssystem (8) weg. Hieraus
ersieht man^ daß unser Problem stets lösbar ist; denn das homogene
Gleichungssjstem (8) läßt sich^ weil es eine Gleichung weniger enthält
als Unbekannte^ stets befriedigen, ohne daß alle /S^ verschwinden; so-
dann findet man aus (7) die a,.. Und zwar ist (von einem Proportio-
nalitätsfaktor abgesehen) im allgemeinen bloß eine Lösung vorhanden;
nur wenn die /x- reihigen Determinanten der Matrix

^»■ + 1 ^v

>-/<+!

^y + 2 ^vfl ^v_u+« l'

^v + H ^v + fi-l ■ • ' ^v

alle verschwinden y gibt es mehrere Lösungen. Aber selbst dann zeigt
sich, daß die Funktion (3) trotzdem eindeutig ist (Fröbenius 1, Pade 1).

Denn ist yrrz) ^^^^ zweite Lösung, so beginnen die Potenzreihen für

^(^)K,r(^)-U,,A=>Ö und ^(x)r\x)-ü'>(x)

beide erst mit der Potenz a;^ + ''+^ (oder einer höheren). Daher enthält
auch das Polynom

da es identisch gleich

(*(a;)F^.»W - C/'^„(x))F»(a;) - (^(a;)F«(x) - U'>(.x))V^Jx)

ist, keine geringeren Potenzen von x als die ((i -{■ v + ly. Da es aber
nur höchstens vom (ji + v)*^ Grad ist, so muß es identisch verschwinden;
daraus folgt

^•(«) y^,M *»-z. D.w.

27*

420

Zehntes Kapitel.

Wir schreiben diese nach dem Bewiesenen eindeutig bestimmte
rationale Funktion jetzt in ihrer irreduzibeln Form

(9)

wobei also die Polynome Pu,»(a:) und öu,»(^^ keinen Teiler gemein
haben, und wobei wir offenbar weiter Torauasetzen dürfen, daß

(10)

P^„(0)

Q}

Q„M

1

ist. Man bemerke jedoch, daB die Potenzreihe

im Gegensatz zur Reihe (4) sehr wohl mit einer geringeren als der
{li + v+ 1)^^ Potenz von x beginnen kann. Denn es kann eintreten, daB
das Gleichungssystem (8) nur für /Jq'^O befriedigt wird, so daß U^^^{x)
und V {x) den gemeinsamen Faktor x haben. Aus dem gleichen Grund
läßt sich nicht immer erreichen, daß die Tajlorsche Reihe der Funk-
tion (3) bis zur Potenz a?**"*"" einschließlich mit ^{x) übereinstimmt
Für beides diene als Beispiel:

?P(a;)«l+x«; /i

V

1.

Hier findet man nämlich:

Ä^-O, a^^O, aj = /3i - beliebig;
also, indem man etwa /3i ^^ 1 wählt:

Daher ist zwar ^Fi j — üi ^ = o(?\ aber der Ausdruck ^öi,i — -Pi, x^^^
enthält schon die zweite, nicht erst die dritte Potenz Yon x. Und die

Entwicklung von hl nach Potenzen von x stimmt mit ^ nur bis zur

ersten, nicht bis zur zweiten Potenz von x überein.
Wegen (9) können wir setzen

y^A^) = Q,,MA9o + 9i^ + --- + 9r^),

wobei >l^0, 5^j+0, j-^O ist. Daher werden aus der formal gebildeten
Potenzreihe

§ 78. Begriff der Pad^schen Tafel. 421

die Potenzen von x bi« zur (jit + vj^ einschließlich herausfallen. Das
gleiche ist dann wegen g^^O auch bei der Reihe

der Fall. Dabei ist x^P^^^{x) höchstens vom Grad v — r, also höchstens
vom Grad v] ebenso x^Q^^y{x) höchstens vom Grad /ii. Diese Resultate
fassen wir zusammen in

Sats 1. Zu jeder Poienzreihe Cq+ c^x + c^x^ + - " {c^^ 0) und gu
jedem Wertepaar (fi, v) der Reihe 0, 1, 2, . . . gibt es ein und nur ein Faar
von teilerfremden Polynomen P^^^(x), <?»,,(a?) derart ^ daß P^^^(Q)^c^^
Qf,^y(0) «= 1 ist, und daß eine Potenz x^ existiert {X — 0, 1, 2* . . .), für
welche x^P^^^{x) höchstens vom v*^, ^ö^,y(^) höchstens vom /x^ Grad
ist, während gleichzeitig aus der formal gebildeten Potenzreihe

die Potenzen von x lis zur (/x + v)"* einschließlich herausfallen. (Pade 1).

II. Wir konstruieren jetzt eine Tafel mit doppeltem Eingang,
deren Zeilen und Kolonnen wir der Reihe nach mit 0, 1, 2, . . . nume-
rieren; das Feld, welches der Zeile mit der Nummer fi und der Kolonne
mit der Nummer v angehört, bezeichnen wir mit (/i, v]. Wir schreiben

dann in jedes Feld [fi, v] den Bruch J"'* , . • Die so konstruierte Tafel

von rationalen Funktionen nennen wir die zur Potenzreihe ^(x) ge-

P (x)
hörige ,,Padesche Tafel". Die Funktionen J''^. . sollen „Tafel-

brüche'' heißen, und wir werden speziell vom „Tafelbruch des
Feldes [ji, v]" reden.

Die erste Zeile der Pa de sehen Tafel (die Zeile mit der Nummer
NuU) kann in jedem Fall ohne weiteres hingeschrieben werden; sie ist
folgende:

<^o <^o + Cia; Co + CjX + Cja;* Cf^ + CiX+ c^x* + c^x^

Dagegen ist die Berechnung der anderen Tafelbrüche, wenn auch ohne
prinzipielle Schwierigkeit, in der Praxis doch meistens sehr langwierig.
Wir geben umstehend für zwei Beispiele den Anfang der zugehörigen
Padeschen Tafel. Warum bei der zweiten Tafel einige Linien etwas
dünner gehalten sind, wird im nächsten Paragraphen auseinandergesetzt
werden.

422

Zehntes Kapitel.

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§ 73. Begriff der Pad^schen Tafel.

423

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424 Zehntes Kapitel.

§ 74. Normale und anormale Tafel«

I. In der Pa duschen Tafel heißt das Feld [^, v] normal, wenn
der Tafelbrach dieses Feldes keinem andern Feld mehr angehört; der
Tafelbrach selbst heißt dann ebenfalls normal. Andernfalls heißen
das Feld [fi, v] und der zugehörige Tafelbruch anormal.

Wir untersuchen jetzt, welchen Feldern ein und derselbe Tafelbrach
angehören kann. Sei wieder

(1) ^W - Co+ c,x + c,x'+... (c,+ 0)

irgendeine Potenzreihe, und

ein zugehöriger Tafelbruch in irreduzibler Form, und

P(0) = Co, Ö(0)==1.

P{x) sei genau vom p**», Q(x) genau vom j*^ Grad, und die Potenz-
reihe

(3) ^(x)Qix)-Pix)

beginne genau mit der Potenz x^. Falls (3) identisch verschwindet,
setzen wir k ^ oo. Nach Satz 1 wird der Bruch (2) dann und nur
dann dem Feld [fi, v] angehören, wenn eine ganze Zahl >l ^ 0 existiert
derart, daß

(4) A+i)^i/, A + 2^fi, X + k^(i + v+l

ist. ^) Diese Ungleichungen sind also nach A (^ 0), /i, v aufzulösen. Zu-
nächst erhält man

so daß gewiß k^p + q + 1 sein muß, damit überhaupt eine Lösung
von (4) existiert. *) Setzen wir demgemäß

k=p + q + 1 +r,

1) Hier kommt zum erstenmal die Voranssetzung c^ 4° 0 zur Geltung. Denn
in (4) bedeutet die Zahl X-]-p den Grad von x^ P{x). Wenn aber c^ ■« 0 wäre,
80 könnte P{x) identisch verschwinden, also den Grad jp == 0 haben; x^P{x)
hätte dann nicht den Grad X-\-p^^Xj sondern würde ebenfalls identisch ver-
schwinden, hätte also den Grad 0.

2) Wenn also Ä;<;j) + g + l, so ist (2) überhaupt kein Tafelbruch.

§ 74. Nonnale und anormale Tafel. 425

SO muß r ^ 0 seiii^ und die Forderungen (4) lauten jetzt:

(5) ^ + P^v, A + g^fi, ^+p + q + r^(i + v.

Hieraus folgt

ll + q + v

also auch

(6) P + r'^v, q + r^li.

Wegen (5) und (6) können fär v nur die Werte p, p + l, - - - p + r,
und für (i nur die Werte q, q + 1, . . , q + r in Betracht kommen. Der
Bruch (2) kann also höchstens den (r + 1)* Feldern

[q + ri, J) + rJ (ri, r,«0, 1, ...r)

als Tafelbruch angehören. All diesen gehört er aber auch wirklich an.
Um das zu erkennen, brauchen wir bloß zu beweisen, daß für ft » g -f r^,
V = p + r, den Ungleichungen (5) durch eine ganze Zahl A ^ 0 genügt
werden kann. Man sieht aber ohne weiteres, daß das in der Tat der
Fall ist, indem man für X die kleinste der Zahlen r^, r^ wählt Somit
ergibt sich

Satz 2. In der zu einer Potenzreihe ^{x) gehörigen Fad eschen
Tafel baden die Fdder, in denen ein und derselbe (irreduzible) Tafeibruch

Pix)

J)-z auflritt, ein Quadrat. Ist P(x) vom p*^, Q(x) vom q^ Grad, und

beginnt die Potenzreihe ^Q — P mit der Potenz ipP"*"«+'""*" ^, so muß r ^ 0
sein, und das Quadrat umfaßt die'(r + 1)* Felder:

[q + ri,p + rj] (rj, r^ « 0, 1, . . . r).

Dabei kann auch r — oo sein^ was dann bedeutet, daß ^Q— P identisch
verschwindet. {Pade 1, 4.)

Bei einem normalen Tafelbruch ist, da er nur einem einzigen Felde
angehört, r -» 0. Aus Satz 2 folgt dann speziell

Satz 3. In der zur Potenzreihe ^{x) gehörigen Pade sehen Tafd

P (x)
ist der (irreduzUle) Tafdbruch J'^ . ^ des Feldes [g, p] dann und nur

dann normal, wenn Pg^pix) und Qg^p(x) genau vom p^ bzw. q*^ Grad
sind (nicht von geringerem), und wenn die Potenzreihe ^ Q^^ — P^^p genau
mit der Potenz a; **+'■*■* beginnt (nicht mit einer Iwheren).

Bei dem ersten Beispiel auf S. 422 kommen anormale Tafelbrüche
nicht vor, wenigstens soweit die Tafel dort angegeben ist. Wir werden
aber im nächsten Paragraphen sehen, daß für die Funktion e* tatsäch-
lich alle Tafelbrüche normal sind. Dagegen treten bei dem zweiten Bei-

426 Zehntes Kapitel.

spiel auch anormale Tafelbrüche auf. um die Quadrate mit gleichen
Tafelbrüchen besser hervortreten zu lassen, sind die Linien, welche die
Felder eines solchen Quadrates trennen, etwas dünner gezeichnet.

IL Wir suchen jetzt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
dafür, daß das Feld [fi, v] normal ist. Zu dem Zweck setzen wir

(7)

c,. «'..„i . . . C^_p 1

c,+i c^ ... c,_^+, i_^ /'/t, »' = 0,1,2,...

<0

t'.^j /^»' = ü,l,
"•' \c,-OfÖr i

^r+fi ^r + ti-\

^-l.,= l

Wenn dann '^^,y= 0, so sind die Gleichungen (7), (8) von § 73

derart lösbar, daß «,, = 0 ist. Der Bruch ^^'- « y- gehört daher

auch dem Feld [fi, v — 1] an, ist also nicht normal.^)

Wenn i^^,_i^y+i ^ 0, was nur für /x > 0 möglich ist, so läßt das

System (8) von § 73 die Lösung ß^^ = 0 zu. Der Bruch ''^- = -/'-

gehört also auch dem Feld [/it — 1, i/] an, ist daher wieder nicht normal

Wenn ^„_i,y = 0, was nur für |it > 0, i/ > 0 sein kann, so laßt

das System (7), (8) von § 73 die Lösung /J© = 0, «^ = 0 zu, so daß ü^^^,

F^ y den Faktor x gemein haben. Der Bruch gehört dann auch

dem Feld [/i — 1, i; — 1] an, ist also wieder nicht normal.

Endlich wenn -^^<,y+i = 0, so ist das System (8) von § 73 derart
lösbar, daß zugleich

wird, so daß aus der Potenzreihe

(8) W) v.A'^) - u,M

P U

auch die (/x + v + !)*• Potenz herausfällt. Der Bruch ^ = ^^ ge-

hört also auch den Feldern [jji, v + l] und [/x + 1, v] an, ist daher
wieder nicht normal.

In allen vier Fällen kann übrigens auch auf Grund von Satz 3 der

Bruch y^~ als nicht normal erkannt werden.

1) Für v=^0 hat das keinen Sinn. Aber z/ ^ «» 0 würde Cq =» 0 besagen,
was wir ansgeschlossen haben.

» j

§ 74. Normale und anormale Tafel. 427

Wenn dagegen die vier Determinanten

von Null yerschieden sind; so läßt sich zeigen, daß das Feld [/it, v] nor-
mal ist. Denn zunächst läßt das Gleichungssystem (7), (8) von § 73
dann nur eine Lösung zu (natürlich yon einem Proportionalitätsfaktor
abgesehen), und zwar wird:

cf^ + O wegen -^^.,+ 0,

^,,+ 0 wegen z/^_i^,^i + 0,

A + 0 wegen z/^_,^,+ 0,

^^+^+1/^0+ ^v+^A+ • • • + ^+i/5^ + 0 wegen ^^^^^j + O.

Speziell wegen dieser letzten Ungleichung wird die Potenzreihe (8) die
Potenz 0?^+''+^ wirklich enthalten. Wegen a^+O ist der Zähler des
Bruches

genau vom v^^ Grad, ebenso wegen /5„ + 0 der Nenner genau vom ^*®^
Grad. Der Tafelbruch (9) wird daher nach Satz 3 normal sein, sobald
seine Irreduzibilität feststeht. Nim haben wegen /Sq 4" 0 Zähler und
Nenner gewiß nicht den Faktor x gemein. Sie haben aber auch keinen
andern Faktor gemein, weil man sonst durch Wegheben dieses Faktors

einen zweiten Bruch ''-, also eine zweite Lösung des Gleichungs-

Systems (7), (8) von § 73 erhalten würde, während es doch nur eine
gibt. Damit ist nun folgendes bewiesen:

Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß in
der zur Fotenzreihe Cq + c^x + c^rr* + . . • gehörigen Fadeschen Tafel das
Fdd [/x, v] normal ist, besteht darin, daß die vier Determinanten

^^,v; ^A*-i,^+i^ ^/u-i,v; ^^,. + 1 {siehe Formel ad

von Null verschieden sind. {Fade 1.)

Eine Potenzreihe heißt normal, wenn ihre Tafelbrüche sämtlich
normal, also alle voneinander verschieden sind. Die Padesche Tafel
heißt dann ebenfalls normal. Aus Satz 4 folgt hiernach sogleich

Satz 5. Die Fotenzreihe Cq+ c^x + c^x^+ - ' • ist dann und nur
dann normal, wenn die Determinanten d^^^ (siehe Formel (7)) alle von
NuU verschieden sind.

ZehntM Eapitel.
DBbeBondere wird daher bei einer noimalen Potenzreihe auch

' Ci Cj . . . c.

~±^r-

,+ 0,

■±^,-».,+ 0

Eine normale Potenzreihe l + (\x + c^x* + ■ -■ ist alao nach
), Kap. VIII zugleich seminormal.

11. Im Anschluß hieran beweisen wir noch

lats 8. Ist '${x) = f,+ c^jT -f c,x'+ ■ ■ ■ eine Potenereihe, vmd

1er irredueible Taf^iruch des Feldes [(i, v] , so gelten, wenn die Dt-

lante ^^_],, {Formel (7)) von NtiU versdiieden ist, die Formdtt

1 X

%.r

Vegen -^^.i.j+O haben nämlich die Gleichungen (8) des § H
ine Lösung, und zwar ist ^^+0. Man erhält daher den Tafelbruch

ogleich in irrednzibler Form, und wenn man ^(,=■1 setzt, wird
■ 6^,,- Durch Elimination der übrigen jS^ ans den Gleichungen
id (ij) des § 73 erhält man dann

§ 75. Die Exponentialfunktion.

429

woraus sogleich der behauptete Ausdruck für Q^ , hervorgeht. Durch
Multiplikation von Q^,^^ mit ^ '^Ue^x^ ergibt sich dann weiter:

00 00 00

/< 1

-P V;/,»

'v-ZU + l

>4- M

'v + ^-1

« • . fy^

Hieraus muß aber ^ <?„ ^ — -P„^y hervorgehen, indem man die Potenzen
von X nur von der (v + ^ + l)**'' an beibehält. Dadurch geht die erste
Zeile dieser Determinante über in

00 00 00

i.^+y + l 2a|u + y

;i = r+i

oder, was dasselbe ist, in

I

x^x

4 = 1

Es kommt somit:

«0 ~P - ^ -

A*-!»"

OO OB OB

> /• ^V+,M+i >^/. ^»+^ + i ^ p «.V+/U+2

^/^»+/i+i^ //^v+.«+i-i* •••^/^»+ar

1^1

i^i

• • * o,

y-/u + l

'V+ M

'r + /u-l

• . . &.

was aber mit der in Satz 6 angegebenen Formel offenbar gleichbe-
deutend ist.

§ 75. Die Exponentialftinktion.

I. Wir wollen speziell für die Funktion e* die ganze Padesche
Tafel konstruieren. Natürlich ULßt sich die allgemeine Methode des
§ 73 anwenden; doch führt der folgende von Pade 1 eingeschlagene
Weg rascher zum Ziel. Ist F{() ein Polynom vom m**° Grad, so er-
hält man durch partielle Integration:

1 1

Je"F{t)dt - ^^^^'' - ^^^^ - ^Je*'F\t)dt,

430

Zehntes KapiteL

und daher durch wiederholte Anwendung dieser Formel:
Also, indem man mit (— Vf^x^^ mnltiplisiert :

»(w).

»(m-1)

^{F^^\0) - F''^^'\0)x + ... + (- l)"2^(0)O

0

Setzt man hier speziell

(1) F{t)^f(\-tr,

also m » jit + v> so kommt, weil i = Q eine /i -fache, ^ •» 1 eine v-fadie
Wurzel von F{t) ist:

i^(0) = 0 , J5"(o) = 0, . . . J-'"- " (0) = 0, F^^ (0) + 0 ,

Bo daS die obige Formel übergeht in:

[ e'iF^^'hl) - F'-''^'-^\l)x +••• + (- IfF^'hDx")
- (F^"-'"(0) - F^*''-'-\0)x+ ••'• + (- li'F^hO)x^)

(2;

Diese Formel zeigt nun, da die rechte Seite^ nach Potenzen von x ent-
wickelt, erst mit der Potenz a>"+'' + ^ beginnt, daß der Tafelbruch des
Feldes [fi, v] der folgende ist:

Nun erhält man aus (1) durch Differentiation:

;is:o

V

§ 76. Die Szponentialfaiiktion.

431

also für n^ ^:

^"^ w = (;) z^' (ni,) (" - ^y (- 1)"-" = (- 1)"-"«' c:.) ^

und für » ^ v:

^'"^w-(n:i,)(n^.)(«-«')!-'(-ir=(-irn!(^^j

Der Tafelbruch (3) geht daher in folgenden über:

(4)

(f* + *')J + (f* + i'-l)!(j)a: + 0* + »'-2)!(2)a:' + ...+fi!(|;)x'

(^ + r)!-(M+i'-l)!(j)a: + (fi + i'-2)l(5)x«-... + (-irt'!(j)a:^

Hieraus ersieht man^ daß die Padesche Tafel normal ist. Denn
andernfalls müßte^ da gleiche Tafelbrüche nach Satz 2 stets in Quadrate

ü.

ü.

/u+l,r+l

verteilt sind, einmal -^— = -J^^-*^- sein; also

f*f^

/<+i,r+i

oder, indem man die Werte aus (4) einsetzt:

[(^ + 1/)! + . . . + tilx'^Mii + 1/ + 2)! + (- lT^\v+ l)\x^^']

Das ist aber nicht der Fall, wie die Vergleichung der Koeffizienten von

a/' '*"'"'" auf beiden Seiten beweist.

Da demnach die Tafel normal ist, muß nach Satz 3 der Bruch (4)
bereits irreduzibel sein. Dividiert man daher in (4) noch Zähler und
Nenner durch (/x + v)\, so erhält man für den Zähler P^ ^ und den
Nenner Q^^^ des irreduziblen Feldes [^, v] die folgenden Ausdrücke:

(5)

P.A^)-^ + -S.v.+

v(y — 1)

(lt + v){ii + v-l)

V — 1) 2! "^ '

+

V (v — 1) • • • 2 ■ 1

X

(/*+v)C^+ V — l)---(ft+l) vi

t f

(6)

i*0*-i)

X'

0 (x) = l -^— ^ + -^"^ ~ — —

432 Zehnies Kapitel.

Nach diesen Formeln kann das erste Beispiel auf S. 422 sofort hin-
geschrieben werden. Aus (5) und (6) entnimmt man unmittelbar noch
die folgende Identität:

(7) Q,A<') = Pr,,(-^),

die sich übrigens auch a priori leicht einsehen laßt.

II. Wir geben hier von diesen Formeln gleich eine Anwendung, in-
dem wir folgenden Satz beweisen:

SatB 7. Jede unbegrenzte Serie von verschiedenen Tafdbrüchen der
Funktion 6* Jconvergiert für alle Werte von x gegen e*.

Es ist zu beweisen^ daß

(8j lim

P,.A^)

ist, wobei lediglich die Summe fi + v nach irgend einem Gesetz ins Un-
endliche wachsen soll, während über ft und v selbst nichts Spezielles
verlangt wird. Setzt man zuimchst i; > 0 Yoraus^ so läßt sich Formel (5)
folgendermaßen schreiben:

(9)

wobei für V -= 1 die Summe einfach wegfällt. Nun ist aber für p = 2, 3, . . . v:
daher auch, wenn man p ^ 2,3,- - • p setzt und dann multipliziert:

-(t L\(x- r\...(i-P-}Y^ ^f^ "^ ^ 'I

= \v V V J 2v

1) Für 0 < «i < 1 ist n&mlich

Denn für «^ -)- a, -| \-e >_1 ist das selbstversiÄndlich ; für «^ + «, -] 1- « <; i

sieht man es sofort durch den Schluß von p auf p -}- 1 ein.

§75. Die Exponentialfanktion.

433

Für p = 2, 3, • • • 1/ kann man also

(-:)(-i)-(-'7-')

setzen, wodurch (9) übergeht in:

-i-^-ZV'-' (0S»,-,<1)

f-..w - ' + /^i +2(' - ».-''%7%L7-:)'

j,«2

P(P — 1) / ^X \^

I

pl 2v V + "

)

wobei die zweite Summe für v
folgt dann weiter:

P=8

1 einfach wieder wegfällt. Daraus

(10)

^..,w-«

VX

2(1, + vr

)■

1»-«

/»«f+i

Nun ist aber identisch

}_( VX \^_

i? 1 V + v/ "^

ira:'

2y

1 / VX \^"*

20* + ^)* (1>-1)JP (P

1 / "^A

also für p ^ 1/ + 1 :

p\\iL + v) 2(,4 + v)«(i>-2)! Vji+w v^^-^^p-i^^;

Setzt man dies in (10) ein^ so kommt:

P*8

Hier ist aber die rechte Seite absolut nicht größer als

v\x

2(^ + sr)*-^(p — 2;!

Perron, Kettenbrflche.

p-2 V\X\ C'' ^ '.^\ ^

28

^

434 Zehntes Kapitel,

so daß man erhält:

vx

- - I « \l

(11) '^.<^-^"'\^%T^-

Diese zunächst nur für i/ > 0 hergeleitete Formel gilt aber auch f^
V = 0, weil dann die linke Seite identisch yersch windet.

Vertauscht man in (11) ^ mit v und ersetzt x durch — x, so
kommt mit Rücksicht auf (7):

(12) \%M-^\<4^v>-

Aus (11) und (12) erhalt man sogleich:

(13)

Um (p^.,(x)-e^+')-0,

(14) lim \Q^,M

Multipliziert man Gleichung (14) mit e' und subtrahiert sie dann
von (13), so kommt

(15) liin(e'(2,.,W-P,„,(a;))»0,

fl + VssCO

was sich übrigens auch aus der mit (2) gleichbedeutenden Formel

1

ohne weiteres ergibt. Aus (12) folgt nun aber weiter:

0)l^!«

— jUX

M + 1'

_!<*«:!' ^eA'^_'^!'''*^c-''^ - ^'*^"

«(/t + f)- 2(/i + r)^ 2(^ + 1.) •

Für große Werte von fi + v bleibt daher Qf,^^(x) \ bei konstantem x
über einer positiven Schranke, so daß aus (15) sogleich die zu bewei-
sende Gleichung (8) folgt.

Für den Fall, daß der Bruch — sich einem Grenzwert ca nähert,

liefern die Formeln (13), (14) sogar noch mehr; nämlich:

— m«

hmP^^^{x) = e"*\ limO) = c*""'' (Pade S),
woraus durch Division für diesen speziellen Fall auch wieder

lim -'''"- = ^
folgt.

§ 76. Die Laguerresohe DifferentialgleichuDg. 435

§ 76. Die Lagnerresche Differentialgleichung.

I. Es gibt noch einige andere Fälle^ in denen die Pad^sche Tafel
sich mit einem Schlage herstellen laßt. Die Potenzreihe ^{x) genüge
formal der Differentialgleichung erster Ordnung

(1) L^'+M^ + N^O,

wo L, Mj N Polynome in x sind^ und der Akzent formale Differentiation
nach X anzeigt. Der zu ^{x) gehörige irreduzible Tafelbruch 7/^**^,-7
des Feldes [fi, v] genügt nach Satz 1 der Bedingung

wo auch O eine Potenzreihe ist^ und A ^ 0. Durch Differentiation von

(2) erhält man

(3) «,„r+<?;„?--p;..=«^^'-^Oi,

wo O^ ebenfalls eine Potenzreihe bedeutet. Eliminiert man $^$' aus
den Gleichungen (1); (2), {3), so erhält man:

\L M N \ ^L M 0 ;

I I I

0 p — p i^'O 0 xf^-^^'^+^D. \
oder anders geschrieben:

Da die linke Seite dieser Gleichung ein Polynom ist, so ergibt sich

wo auch &^,^X^) ein Polynom; falls L den Faktor x hat, so erkennt man
außerdem durch Vergleich von (4) mit (5), daß auch 0^^^ diesen
Faktor hat

Setzt man nun zur Abkürzung

(6) LP' +MP +yQ =js: ,

so geht (5) über in:

(7) Q K -LP Q' ^xf-^^^-^e .

28*

(4)

436 Zehntes Kapitel.

Hieraus folgt durch Dififerentiation:

Q K' +0' (K -LP' -L'P )-LP O"

oder; wenn man in der Klammer links für K^^^ den Wert (6) einsetzt
nnd dann zur Abkürzung

(8) K' +NQ' =Ä

setzt:

Aus (7) und (9) erhält man dann durch kreuzweise Multiplikation :

oder nach einfacher ümordnung der Glieder und nach Division durch
P •

(10)

+ ^r o _ 0.

wobei zur Abkürzung

gesetzt wurde. Da Q und P^ ,, keinen gemeinsamen Teiler haben, so
lehrt Gleichung (10), daß das Polynom G^ ^ durch P^ ^ teilbar ist Setit
man demgemäß

(12) G^^^R^^^P^,,,

so besagt die Gleichung (10), daß Q^ , der folgenden linearen homo-
genen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügt:

\ +if 0 =0,

deren Koeffizienten ganze rationale Funktionen von x sind. Wir nennen

(13) die Laguerresche Differentialgleichung, Laguerre 2, 4, 7 hat sie
allerdings nur für /t » i/ aufgestellt.

Setzt man in (11) für 2J^ ,, und 6?^ „ die Werte aus (8) und (12)
ein, so kommt zunächst:

X \xS' +(a+v-X)® ^-x® (K' +NQ' \ = H P

^fty^V Hy^^ \^ ~ ^ Hy*\ '^^M,>\ Mf*~ ^Ht*) -^fi.v-^ fit* '

§ 76. Die Lagaerrescbe DifferentialgleicbtiDg. 437

Wenn man hier für K und K' den Ausdruck (6) und seine Ablei-

tung einsetzt, so entsteht nach ordentlicher Zusammenfassung der Glie-
der eine (im allgemeinen inhomogene) lineare Differentialgleichung
zweiter Ordnung für P^^^, die in dem nachstehenden Satz explizit an-
gegeben ist:

Sats 8. Wenn die Potenzreihe ^(x) '^ €q + c^x + C2Z^+ -" (cq + O)
formal der Differentialgleichung genügt

L5ß'+iTZ$ + iV = 0,

wo Ly M, N Polynome in x sind, so genügen Zähler und Nenner des zu

P (x)
^(x) gehörigen irreduziheln Tafelbruehes ^ ' . des Feldes [(i,v] den bei-

den linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

( xL@ P" + \(L' + M)x@ - xL& -(ji + v- l)Le, IP' ,

wobei auch 0^ ,,, H^^^ Polynome sind. Speziell 0^ „ ist definiert durch die
Gleichung

L(Q P' - P Q') + MQ P +N(^ ^^^r-i^

und hat, falls L durch x teilbar ist, ebenfalls den Faktor x. Die Zahl k
hat hier die gleiche Bedeutung wie in Satz 1.

Die Laguerresche Differentialgleichung wird illusorisch; wenn
©^ ,, identisch verschwindet; dann liefert sie nämlich lediglich H^^^^O,
also keine Differentialgleichung für ^^ „. Die Bedingung ®^,y*^ 0 ist
aber nach der Definition von 0^ ^ gleichbedeutend mit

^^(r)+^r +'''=''

woraus nach Subtraktion von (1) entsteht

^

438 Zehntes Kapitel.

P

Wenn 5ß keine rationale Funktion, so ist 5ß — ^P- nicht identisch Nidl,
und aus Formel (2) folgt, weil 0^,^(0) =• 1 ist:

P

wobei r ^ 0 eine ganze Zahl, und 5ßi eine Potenzreihe ist, deren kon-
stantes Glied nicht verschwindet. Setzt man diesen Ausdruck in die
vorige Gleichung ein, so kommt:

M

L

-Älo8(*-^^)--Ä»og(^^'-^^^"-*^)

also

Daraus folgt der

Zusats Bu Sats 8. Wenn $ {x) keine rationale FunJUion, und wenn der

fr Ti/F

Ausdruck lim -j- nickt gleich einer negativen ganzen ZaJU, die absM

'^fi + v — l + l ist, so kann das Polynom 0^^^ nicht identisdi ver-
schwinden.

II. Wenn die in der Laguerreschen Differentialgleichung vor-
kommenden Polynome ® , H bekannt sind, findet man durch Inte-
gration sofort den Nenner des Tafelbruches -^^, sodann durch Integra-

>,"
tion der zweiten Differentialgleichung des Satz 8 auch den Zähler. Lei-
der lassen sich aber die Polynome 0^,^, jS^,,. nur in wenigen Fallen
bestimmen. Die folgenden Beispiele sind so ziemlich die einzigen, io
denen eine vollständige Durchfiibrung der Rechnung bis heute möglich
ist. Laguerre 2, 6 hat zwar noch einiges weitere versucht, aber mit
wenig Erfolg.

Erstes Beispiel. SS^{x) = d". Hier ist $'— «ß = 0; also

i«l, M 1, N^O.

^{x) ist keine rationale Funktion, und j = — a; ist für rc = 0 keine
negative ganze Zahl. Daher kann Q^^^ nach dem Zusatz zu Satz 8 nicht

§ 76. Die Laguerresche Differentialgleichung. 439

identisch yerschwinden. Die Definitionsgleichang für @^^^ lautet in
unsemi Fall:

Da aber P^,, höchstens vom (v — l)^ Q^^^ höchstens Yom (fi — X)^^
Ghrad ist (nach Satz 1), so ist die linke Seite dieser Gleichung höchstens
vom Grad fi + v — 2X, während die rechte mindestens den Grad fi + v — X
hat. Hieraus ist zu schließen, daß 2 = 0, ®^ ,, eine (von Null verschie-
dene) Eonstante c, und daß P^,^^, Q^^^ genau vom Grad v, bzw. fi sind,
weil sonst der Grad der linken Seite zu klein würde. Die Laguerresche
Differentialgleichung lautet demnach:

xQ" +(x-u-v)Q' +H Q =-0,

wo -ff^ „ statt -—'^ geschrieben ist.^) Aus dem Grad der einzelnen Terme

dieser Gleichung schließt man, daß auch H^^^ eine Konstante ist, und
da Q^ y genau vom fk*^^ Grad, so ergibt sich, indem man speziell den
Eoemzienten von oc^ in obiger Gleichung gleich Null setzt: fi + jBf^ ^ « 0.
Hiemach werden dann die beiden Differentialgleichungen des Satz 8
die folgenden:

Setzt man in sie zwecks Integration

rmO r=0

ein, so erhält man die Rekursionsformeln

^ — r V — r

Sr+i^* — (^;:Zfi ^ r) {r + 1) ^'•' ^'•+1 "" (^"+V— r) (r + 1) -^'- '

also schließlich, da g^= Q^,v(9) =- 1; Po^ -^mA^^ = Co= 1 ist:

O «1— ^ — 4- **(^ — 1) ^*_

4.r— ir /*(/t-i).-.2-i x^'

P =14--'' ^-1-- v(v—l) x^

.«»»' "^ (i + v 1! "•" (ji* + i')(/t + i' — 1) 2! "^

in Übereinstimmung mit den Formeln (5), (G) des § 75.

1) Das werden wir auch bei den folgenden Beispielen tun, ohne es weiter
hervorzuheben.

440

Zehntes Kapitel.

Zweites Beispiel. ^(a:)«(l— a;)"; a sei keine ganze 2kLhl, daher
?ß(ic) keine rationale Funktion. Es ist (1 — a;)^'+ «^ =» 0; also

L« l—x, M=^a, N^O,

Nach dem Zusatz zu Satz 8 kann ®„ « wieder nicht identisch yerschwin-
den; die Definitionsgleichung für &^^^ lautet diesmal:

(1 - x) {Q,,rP;.>-P^..Q;,.) + ae^.,P^.»- a^ +'-''«,

/'t*'»

woraus man genau wie vorhin schließt, daß X — 0, B^^ ^ = ^ ^^^f ^
daß P^ ,,, Q^^^ genau vom Grad v bezw. (i sind. Die Laguerresche
Difierentialgleichung ist jetzt die folgende:

Daher muß auch jBT, ^ wieder eine Eonstante sein, fQr welche man aas
dem Koeffizienten von x^ den Wert

findet. Die Differentialgleichungen des Satz 8 lauten demnach :

x(l - ^)P;;.- [fi + V''{fi + v-l + a)x]P;^r-' v{a + ft)P^..= 0,

und ihre Integration nach der gleichen Methode wie beim vorigen Bei-
spiel führt auf endliche hypergeometrische Reihen:

^,.,v^-fX- fi, —v + a,--ii-v; x),

F(— Vy — fi — cc, — ^ — V] x) {Pade 5),

^^y^

wo F die gleiche Bedeutung wie in § 59, Formel (11) hat.

Drittes Beispiel. 5ß(a:) = (1 — a;)** log(l — x) + 6r(a;); « sei eine
ganze nicht negative Zahl, und G{x) ein Polynom, das für x = 0 nicht
verschwindet. Hier ist

also

(1 _ x)^'+ «^ + (1 - ^)"- (1 - x)G\x) - aG{x) = 0,
L^l-x, M^a, y=^{l-xy-{\-x)G\x)-aG{x),

Wir bezeichnen mit n den Ghrad des Polynoms N'^ offenbar ist n ^ «•
Sodann beschränken wir uns auf diejenigen Felder [^, v], für welche
V ^ |[t + n ist. Die Definitionsgleichung für ®^^ „ lautet jetzt:

(1 - x) {Q,,rP;.^r - P,.vQ;,.) + « Q,.rP,,. + NQ,'^. « 0;''+--^©^.,,

§ 76. Die Lagueiresche Differentialgleichang. 441

und nach dem Zusatz zu Satz 8 kann S„ « wieder nicht identisch yer-
schwinden. Da der ßrad der linken Seite dieser Gleichung wegen
v^ [i + n höchstens gleich ^ + ^ — 2A ist, so folgt wieder A = 0,
ö^y=c, und ^^y ist genau vom (i*^ Grad. Die Laguerresche
Differentialgleichung ist daher die gleiche wie vorhin:

und hat wieder das Integral:

Die Gleichung für P^ „ wird dagegen folgende:

^ - 2xNQ;^.+ [(fi + v)N-xN']Q,^,,
Sie kann, da -Wund Q^^^^ bekannte Polynome sind, sofort durch den
Ansatz P^, v =^l?r^'^ integriert werden, wobei jp^ = P^ ^(0) gleich dem

r = 0

konstanten Glied Cq von ^ sein muß. Man erhält dann eine einfache
Rekursionsformel zur Berechnung der andern p^.

Für V <C fi + n versagt die Methode, weil dann 0^,, keine' Kon-
stante mehr ist, sondern selbst ein unbekanntes Polynom.

Viertes Beispiel, ^(x) genüge formal der Differentialgleichung

x{a + ßx)^'^ (r + äx)^ + n + ^1^ + • • • + y«^" = 0 (yo= r),

wo a, ß nicht beide verschwinden. Es ist hier

L=^x{a + ßx), M^ — {y + öx), N=yQ+y^x^ h y^a;».

Setzt man ^ == Cq + Cjic + CjO?* + • • • in die Differentialgleichung ein,
so erhält man für die c^ die Rekursionsformeln

(«r- y)c,+ (ßr^ß^ SX^, + y,= 0 (r = l,2,...,n),
{ar - y)c, + (/Jr - /J - ö)c,^^ ^0 (r ^ w + 1).

Damit sich die c^ rekursorisch berechnen lassen, werden wir

(a) ar-y + 0 (r= 1, 2, 3, ...)

voraussetzen; ferner setzen wir voraus, daß ^ keine rationale Funktion

ist. Nun hat man

xM y-\-Sx

L "^ ~" a-\-ßx'

442 Zehntes Kapitel.

Für a+0 ist also ( -y -j = — ^ , was wegen (a) keine negatiTe ganze

Zahl ist. Für a=^0 kann nach (a) nicht anch 7/ => 0 sein; folglich hat

in diesem Fall ^ an der Stelle x ==0 einen Pol. Nach dem Zusatz

zu Satz 8 kann also ®„ . in keinem Fall identisch yerschwinden. Wir
beschränken uns nunmehr auf diejenigen Felder [(i, v]^ ftlr welche
v^(i — l + n. DaL den Faktor x hat, wird nach Satz 8 auch 0^^ ^ den Fak-
tor o: haben, und die Definitionsgleichung fEir S^^^, welche jetzt lautet:

lehrt dann, weil die linke Seite höchstens vom Orad (i + v — 2Ji + l ist,
daß A = 0, 0 =cir ist, und daß ^^ „ genau den fi^" Grad hat. Die
Laguerresche Differentialgleichung wird daher zunächst folgende:

Hieraus ersieht man, daß H^^y^ax^ sein muß, wo a eine Konstante
ist^ für die man aus dem Koeffizienten von x^"^* den Wert

a ^ - ß^ifi - 1) + [(^ + „ -- 1)^ -^ d]fi ^ (i{ßv - *)

ermittelt. Die Laguerresche Differentialgleichung wird also endgültig
die folgende:

xia + ßx) (>;:,- { {(i + v)a^y + [i(i + v^ l)ß - S]x] «;,,

+ /t(/Ji;-d)(?,,.v=0.

Sie wurde, falls w = 0, von Pade 6 gefunden. Ihr Integral ergibt sich

wieder durch den Ansatz Q^,^y'=^ ^Qr^'^] man erhält:

r = 0

Q,„-'F(-(,,-v+''p,-ii-p + ^;-^x) falls «/3+0,

Q„r'-ü{-(^,-v + j;^^) falls a-0,

wobei die Bezeichnung des §59 (Formeln (11), (17), (24)) angewandt ist
Die Differentialgleichung für P^ ^ lautet:

x\a + ßx)P;^r-x{{ii + v)a + y + [{^ + v-l)ß + *]x} P;..
+ {(fi+v+l)r+v(ß(i+ö)x}P^^,,^^2xNQ;,r+[((i + v+l)N--xN']Q,^r.

§ 76. Die Laguerresche Differentialgleichung. 443

1'
Sie kann dnrch den Ansatz -P^^^y^^i?^^^ wojPq = Cq ist, leicht inte-

griert werden, da N und Q^^^ bekannte Polynome sind. Man erhält
wieder eine einfache Rekursionsformel für die Koeffizienten p^.

Fünftes Beispiel {de Mowtessus de BcUlore 2), ^{x)=-Cq+CiX-\ —
genüge formal der Differentialgleichung

(a) x{a^ + a,x + a^x')^\x) + (^o + n^)?(^) - Wo + S,x ^ 0

und sei keine rationale Funktion. Außerdem sei

05) ^«0+^0 + 0 für i/«l,2, 3, ...,

80 daß die Rekursionsformeln, die man aus (a) für die Koeffizienten c^
erhält:

(«o+yo)^i+yi^o+*i = o,

diese wirklich eindeutig bestimmen. Es ist hier

L=^x{ccQ + aiX + cc^x^), M^y^ + y^x, N= -Co^o + ^i^-

Da L den Faktor x enthält, so hat auch ®^ „ den Faktor x. Wegen der
Voraussetzung (/)) ist aber (~j-) keine negative ganze Zahl^ so daß

S„ « nach dem Zusatz zu Satz 8 nicht identisch verschwindet. Wir be-
handeln jetzt den Fall v^^j der allein unserer Methode bequem zu-
ganglich ist. Die Definitionsgleichung für @^^^ lautet:

x{uq + a^x + a^x^) (C^,^ P;,^ - P^,^ ^;,^) + {y^ + y^x) ^^.^ P^,^

Da hier die linke Seite höchstens den Grad 2^ — 2A + 1 hat^ anderseits
S„ „ den Faktor x enthält und nicht identisch verschwindet, so schließt
man: A == 0, 0^^^ — ex, Feraer muß wenigstens eines der Polynome

^nyfiy Qfitfi S^^^^ ^^^ ^*^" Grad sein, weil sonst der Grad der linken
Seite zu klein würde. Die beiden Differentialgleichungen des Satz 8
sind daher zunächst die folgenden:

-x*[2fic^+y^+{2iia^'-a^+y^)x + 2{fi'--l)aiX^]Q^^^u+SM.HQH,fi'^^f

x\aQ+ a^x + a^x^)P^lf,
-^•M2^ao-?^o+(2^ai-ai-yi> + 2(^~l)a3^*]P;,^

+ [JE[,,^-{l+2ti)Y,x--2fiy,x']P,^^
-2x\e,y,^S,x)Q;^,,-^[il+2(i)c,y,-2(id,x]Qu^^.

444 Zehnies Kapitel.

Aus der ersten ersieht man, daß H^^^ die Form x^{a + hx) hat, wo a.fc I
Konstanten sind. Setzt man dies ein und sucht durch den Ansatz

/ = 1 r = 1

ZU integrieren, so erhält man zur Bestimmung der Koeffizienten q^y p^
die Rekursionsformeln:

(r + 1) [(r - 2^)ao- yo]?r+i + {^(f ~ 2/t>i - ry^ + a]q^

(r _ 2^) [(r + l)ao + ^olPr+i + [(^ - 2^) (ra, + yj + a]p^

wobei die q und p, deren Index <0 oder >|t ist, verschwinden. Speziell
für r «= fi + 1 kommt:

[/^(l - ^)«2 + *] ^;i = 0, [f*(l - ii)a^ + 6]p^ « 0.

Da aber wenigstens eines der Polynome ö^^^, P^,^ den ft*^ Grad wirk-
lich erreicht, so sind g^, p^ nicht beide nuU, und man erhält:

Setzt man diesen Wert in die Rekursionsformeln ein, so kommt speziell
für r =^ ^:

[- ii{^a^ + yj + a]q^= 0, [- fi{iicc^ + yj + a]p^ = 0,
woraus aus gleichem Grunde folgt:

Damit ist das Polynom H^^^= x^(a + bx) gefunden, und unsere
Rekursionsformeln gehen über in:

(r + 1) [{2^ - r) «0 + yo\Qr+i - (^ - 0 Kf* ~ 0 «^ + nlSr

{2(1 - r) [{r + l)ao + nlPr+i = (/^ - 0 CO - 0«i - yi]l>r
+ (ft ~ r)(ft + 1 -r)a,i)^_i + (2ft~2r- l)Coyo?r+i -2(^-r)dig^,

für r = 0, 1,...,^ — 1. Die Anfangskoeffizienten sind

so daß alle q^, p^ sich hieraus ohne Schwierigkeit der Reihe nach be-
rechnen lassen, weil nach unserer Voraussetzung (/3) der Koeffizient von
g^^i bezw. p^^i niemals verschwinden kann.

§ 77. Die Kettenbrüche der Pad^schen Tafel. 445

§ 77. Die Kettenbrüche der Padöschen Tafel.

I. Sei wieder ^(x)^Cq + CiX + c^x^-\ eine Potenzreihe (Cq+O),

P (x)
und '^^r\ der irreduzible Tafelbruch des Feldes [fc,i/], wobei $^y(0)=l,

p (0)=»Cq sein soll. P^,^„ Q^^y sind dann Polynome vom höchstens
v^ bezw. /lA*^ Grad. Wir wollen den Tafelbruch regulär nennen^ wenn
wenigstens eines der Polynome P^^^, Q^^^^ wirklich den Grad v bezw.ft
hat. Nach Satz 1 wird dann die Reihe $^^,y — P^,, mit der Potenz
0?^+''+* oder einer höheren beginnen (es ist nämlich >l«0). Sind daher

zwei reguläre Tafelbrüche, so enthält der Ausdruck

*** l'P x^, V "^/u, v) Vfi + a, y + t V'P Xyu + a, y + * ^ + «r, y + 1 / x/<, y

auch keine geringere als die (/ia + i/ + 1)** Potenz von x. Daraus folgt:
(1) P 0 —P 0 =a/*+''+^6?*''*

^,y?

WO der Grad des Polynoms G /^ offenbar höchstens gleich der größeren
der beiden Zahlen tf — 1 , r — 1 ist.

II. Wenn ^{x) eine seminormale Potenzreihe und

a^x \ . a^x a^x

^(a;)<^l+ Yi+ Y-+ Y' +

^y

ist; 60 hat der Näherangsbruch (2 1/)^' Ordnung ^ - dieses Kettenbruches

-^2y

Zähler und Nenner höchstens vom v*^ Grad, und die Potenzreihe

^Pjy — -4,^ beginnt erst mit der Potenz x^^'^K Infolgedessen ist ^

der Tafelbruch des Feldes [v, v]. Femer hat der Näherungsbruch

(21/— 1)**' Ordnung „ — einen Zähler vom v*^^ und einen Nenner vom

höchstens (v — l)*®"* Grad, und die Reihe ^B^^^^— A^^^^ beginnt mit

der Potenz a;*^ Daher ist p* — - der Tafelbruch des Feldes [i/ — l,v].

Die Näherungsbrüche des korrespondierenden Kettenbruches sind also
der Reihe nach die Tafelbräche der Felder

(2) [0, 0], [0, 1], [1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3], [3, 3], [3, 4], . . . .

446

Zehntes Kapitel.

Wir betrachten jetzt allgemeiner die folgende Serie von Feldern

(3) [0,x],[0,x + l], [l,x + l], [l,x + 2], [2,x + 2],[2,x + 3j,...,

die für x = 0 mit (2) übereinstimmt. Die Gruppierung dieser Felder ist
in Fig. 5 angedeutet (für x » 2). Wir setzen voraus, daß keine zwei
aufeinanderfolgenden Felder dieser Serie den gleichen Tafelbruch haben.

Dann sind überhaupt alle Tafelbrüche der Felder (3)
Yoneinander yerschieden; denn wären zwei gleiche
darunter, so müßten nach Satz 2 auch alle da-
zwischenliegenden mit diesen identisch sein^ also
auch zwei aufeinanderfolgende, entgegen der Vor-
aussetzung. Femer sind diese Tafelbrüche auch
alle regulär; denn wären bei einem von ihnen
Zähler und Nenner beide von geringerem Grad
als ihrem Feld entspricht, so würde derselbe Bruch gewiß auch dem
vorangehenden Feld angehören; es würden also wieder zwei gleiche auf-
einander folgen.

Nach Satz 4, Kap. VI gibt es einen Kettenbruch

' ff ■

Pig. 6.

(4) A+l' + ,r+A +

dessen Näherungsbrüche der Reihe nach die Tafelbrüche der Felder (3)
sind, also die folgenden:

(5)

Co,«

0,x 0^_+l A^^'t^ h^jt^ -^2, x + »

^ ' ^0,x+l' ^l,x + l' ^lyX + i' Ö2,x+»

Wir wollen den Kettenbruch (4) unter allen äquivalenten derart aus-
wählen, daß seine Näherungszähler und -Nenner gerade die Zähler und
Nenner der Brüche (5) sind. Dann hat man:

(6)

(7)

(8)
(9)

/'o/'l+ «l~-Po,x + l» /*!= ^0,x + l = l>
"(•jX + fi"^ PiM"li-l,*+/t'i' "»/•-'/«-l.x + iu-l

QfljK + ff— P»/< V/,_1,X + /1+ *J/l"^-l,X + ^-l

"fi,x + it + i°^ P»/« + l "//.« + " "^ ''^/« + l-S<-l.x + /a

(^>l,

/^^l.

Aus (6) und (7) folgt noch:

**i*~-^o, x+i ^o,«— ^x + l*^

x + l

Ferner ergibt die Auflösung von (8) und (9) mit Rücksicht auf die
wegen der Regularität der Tafelbrüche (5) anwendbare Formel (1):

§ 77. Die Kettenbrüche der Pad^schen Tafel. 447

"«/* + l ^1,0 ^ "8/i + l >jl,0 •*''

WO alle 6r Konstanten sind (Grad 0 nach Seite 445); und zwar 4" ^f
weil nnter den Tafelbriichen (5) keine gleichen sind. Die Teilzähler a^
sind also yon /it «- 2 an alle gleich x multipliziert mit Eonstanten; die
Teilnenner ß^ sind Konstanten. Setzt man daher in (8) und (9) speziell
ic = 0, so kommt; weil ^^^^(0) == 1 ist,

Setzt man femer a^= a^x{(i ^ 2), wo also die a^ Konstanten sind, so
folgt aus (8) und (9), wenn man durch x dividiert und dann x gegen
Null abnehmen läßt:

Somit ergibt sich

Sats 0. Wenn in der au einer Potenzreihe Cq + c^x + c^x^ + - - - ge-
hörigen Päd eschen Tafd unter den Tafelbrüchen der Fdderseric

[0,xl L0,x+l],[l,x+l],[l,x + 2],[2,x + 21 [2,^ + 3], [3,x + 3],...

ieine zwei aufeinanderfolgenden identisch sind, so sind sie alle vonein-
ander verschieden und sind der Reihe nach die Näherungsbrüche des
Kettenbruches

wo die a^ Konstanten sind und ewar, wenn Qf^^^{x) der Nenner des irre-
dueiblen Tafelbruches des Feldes [;*, v\ ist und Q^^^yiO) =* 1:

Speziell im Fall x = 0 ist es der korrespondierende Kettenbruch,

448 Zehntes Kapitel

Ebenso erkennt man, daß die Tafelbrüche der Felderserie

(+l,0],[x + l, l],[x + 2,l],[x + 2,2],[« + 3,21i:x + 3,3],...,

eine zwei aufeinanderfolgenden identisch sind, der Keibe nach
erungsbrüche eines Kettenbruches der folgenden Form sein ^verden
der Näheningebruch nullter Ordnung mcht mitgereclmet ist):

\-d,x-i----+d,a^^ \ 1 ^1 1 ^i 1 ^1 1 ^

nu das aber auch sofort auf Satz 9 zurOckfQhren, indem man die
Br reziproken Reihe ^j : betrachtet,^)

lispiel: Die Exponentialfunktion. Bei dieser wissen wir, daß
elbrüche Bormal, also voneinander verschieden sind. Femer iat
Formel (6) des § 75 angegeben, aus der man entnimmt:

an das in die Foimeln des Satz 9 ein, so Iiommt

"'." . + 2,. + , + !,,_ 1 (JTv_l)(. + !rt'

„ IL 4._l' t

"•/■ + ' , + !f+lT^x + S|, (« + !,.)(, + 2,. + 1)

ttenbmcli wird also folgender:

*"_*' i (' + ')» ] , _!:« I

J-. I «• , (-+')l| («+l)l» + 2)i , (. + 2)(.-|-»)|

(• + »)(« + <)J , (» + *)(» + 5)1

]"' r - +1 ---1

unbegrenzte Serie von verschiedenen Tafelbrücben nach Sats 7
' konvergiert, so ist auch dieser Eettenbruch gleich e'. Indem

Ist nOmlich J''^ der irredasible Tafelbruch des Feldes ffi, v] fOr die

e ,

ihe ¥(«), Bo iat ~~ der irreduzible Tafelbmch des Feldes [», (i] för
roke Beihe ~-y Daa folgt nnmittelbar am der DefiniMon der Tafel-

§ 77. Die Eettenbrüche der Pad^sohen Tafel.

449

man dann zur Vermeidnng der Brüche einen äquivalenten wählt; erhält
man die Formel von Pad^ 1:

x

X + l

^-l + ^ + - + S + ÜTT-

(x + 1)* I 1 1 • *

{x + 2)x\

+

x + 2 ^ |x + 3 I K + 4

die wir in § 64 bereits auf andere Weise gefunden haben (Formel (20)).

in. Wenn der unendliche Eettenbruch

1 +

kiX

I "^^ I I *8^

\i + l,x • \i + l,x ' |i + ^s^ ' |i + «4«

mit der Reihe ^(x) assoziiert ist, so hat sein Näherungsbruch v^ Ord-

nnng -*— Zähler und Nenner vom v*^ Grad (höchstens), und außerdem

fallen aus der Reihe 9ßZr_— JSl die Potenzen von x bis zur (2v)*«' ein-

schließlich heraus. Folglich ist j"" der Tafelbruch des Feldes [v, v]. Die

Näherungsbrüche dieses Eettenbruches sind also der Reihe nach die
Tafelbrüche der Felder

(10) [0,0].[1,1], [2,2],[3,3J,....

Wir betrachten jetzt allgemeiner die folgende Serie von Feldern

(11) [0, x], [1, X + 1], [2, x+ 2], [3, X + 3], ... ,

deren Gruppierung in Fig. 6 veranschaulicht ist (für x ^ 2). Wir
setzen voraus, daß keine zwei aufeinanderfolgenden
den gleichen Tafelbruch haben, woraus wieder folgt,
daß alle Tafelbrüche dieser Serie voneinander vei^
schieden sind und daß sie regulär sind. Ist dann

(12)

''•+h. +1^+1% "^

s

\

\

■^

Flg. 6.

der Kettenbruch, dessen Näherungszähler und
-Nenner der Reihe nach die Zähler und Nenner
der irreduzibeln Tafelbrüche der Felder (11) sind, so hat man:

(13)
(14)

(16)

% - -Po « = Co + Cl « + • • • + «X a^

voVi + ii — Pi,K+i> % — ^i,x+i

Qli,x + fi °" Vfi Y^-l,x + jH-l "T v"^-«,x + ^-«

^^2

Aas (13) and (14) folgt noch

(16) gi= P,.x+i-(Co + Cia; + • • • + Cx^)«i.»+i»

Perron, Kettenbrftche. 29

450 Zehntes Kapitel,

wof&r man auch schreiben kann:

(17) fi-Pi.«+i-*«i.«+i+(c,+i^+'+c,+,««+» + ...)«i..+x.

Wegen (16) ist t^ ein Polynom (« + 1)*^ Grrades, wegen (17) fehlen
aber die Potenzen bis zur x*^ einschließlich, und es kommt:

(18) tt-c^^^x'^K

Weiter erhalt man durch Auflösung Ton (15) unter Benutzung Ton (1)
(weil die Tafelbrüche wieder regulär sind):

so daß unter Berücksichtigung des Grades der G (siebe Seite 445) die
Vuf L für li ^ 2 von der Form

sind, wo f»^, l^, Je^ Konstanten; wegen der zweiten Gleichung (14) ist
auch noch rj^^m^ + l^x. Setzt man diese Werte in die zweite Glei-
chung von (14) und (15) ein und setzt noch

so kommt:
und für fi^2:

also, indem man die Koeffizienten von ccf^, rr^, a? beiderseits vergleicht:

m.-l, k-^l^
1-m^, <lf'm^q^-'' + l^, 3^ = «».?^" + ^.«^'' + *^ (f»^2).

wobei 2^^— 0 zu denken ist. Hieraus findet man t»^, Z^, t^, und es
ergibt sich

Satz 10. Wenn in der. ssu einer Fotenzreihe c^ + c^x + c^a^ + . . . ge-
hörigen Padeschen Tafel unter den Tafelbrüchen der Felderserie

[0, x], [1, X + 1], [2, X + 2], [3, X + 3], . . .

heine 0wei aufeinanderfolgendev^ identisch sind, so sind sie aUe voneinander
verschieden und sind der Beihe nach die Näherungsbrüche des Ketten-
bruches

§ 77. Die Eettenbiflche der Pad^hen TafeL 4&1

WO die k^y L Konstanten sind und gwaty wenn

der Nenner des irredtißibdn Tafelbruches des Feldes [[i, x + ii] ist:

uobei q^^^ ^0 eu denken ist. SpeeieO, fwr x » 0 entsteht der assoziierte
Kettenbruch.

Ebenso erkennt man, daß die Tafelbrüche der Felderserie

[x, 0], [x + 1, 1], [x + 2, 2], [x + 3, 3], . . .,

wenn keine zwei aufeinanderfolgenden einander gleich sind, der Reihe
nach die Nähemngsbrüche eines Eettenbruches der folgenden Form
sind (wobei wieder der Nähemngsbrnch nullter Ordnung nicht mitge-
rechnet ist):

i .d,^y^'\ Kx^ \ k:y_\

Doch kann man das auch sofort auf Satz 10 zurückfahren, indem man
wieder die Tafel der reziproken Reihe ^^ betrachtet.

Beispiel. Es soll der assoziierte Eettenbruch hergeleitet werden
für die Potenzreihe

welche für il » 0 übergeht in

1 + c log - ^- •
' ^ l + hx

Dabei soU $(a:) keine rationale Funktion sein, also

^ + ±1, ±2, ±3,...; A + c + O; a + 6.

Man besiätigt leicht, daß '^{x) der Differentialgleichung genügt:

(1 + ax){l + 6a?) «P' + A(6 - a)?P + c(6 - a) - 0

und zwar auch dann^ wenn A » 0 ist. Diese ist ein Spezialfall von der
im fünften Beispiel des § 76 behandelten Differentialgleichung und geht
aus ihr herror, wenn man

«0—1, «1 « a + &, «8 — aft, yo " 0, y^^ k{b — a), dj — c{b — a)

29*

462

Zehntes Kapitel.

setzt. Für die Eoeffizienten des Tafelbruchnenners

«^^(«) - 1 + ??"'»= + 2ir'**+ • • • + 4^v

besteht daher die Rekursionsformel

(r + l)(2^-r)4^j,

(?Ü'1 = 0, gi^^-U r-0,l,...^-l),
aus welcher sich für r »- 0^ 1 nach leichter Reduktion ergibt:

8

«r

2^ — 1 16 ^^ *'^-'

0*^2)

Doch ist die letzte Formel auch fQr fi ^ l noch anwendbar, weil sie

dann j^ *" ^ S^^^f ^^^ ®^ ^^ ^^^^ ^^ verlangt ist. Aus diesen Formeb
folgt durch eine einfache Rechnung:

.0")

Cu-i)

K-9T-9r"-(9'^

.(m)

»0.-iK-(/.-i) (a-ft)'[X'-(n-l)»]
«1 ;2i — 4(2ft— 8)(2fi— 1)

(/*k2)

Nnn ist

^0.1
«0,1

l + (A + c)(a-6)a: + ^?^,

^0.0

^M

also nach Satz 2 auch v^^-- + ^^'- (wie sich natürlich durch Ausrech-

Vi,i Vo,o
P

neu des Tafelbruches ^ — ebenfalls bestätigen läßt). Aber auch ftr

ft ^ 2 ist niemals ^^ - A:ii»'^-J . Andernfalls müßte nändich iden-

tisch ö^,^= ö^_i,^_i sein, also der obige Ausdruck k^ gewiß yer-
schwinden, was aber wegen A + ± 1> ± 2, . . . nicht möglich ist. Hier-
nach ist Satz 10 anwendbar (für x = 0), und man erhält als assoziierten
Eettenbruch den folgenden:

^^ (X + c)(a-6)a; | ^ \ 2~ ) LS

(19)

■+rt--''7>

1+ -g-«

(-!')

+ ;----

3-6

+

m

[i\/>.t

a — 6\«(i« — 2»)aj«| /g — ft\»(I« — 8«)a;

67

1 + 2 ^

+

§ 77. Die Kettenbrüche der Pad^schen Tafel. 453

Nach Satz 30, Kap. VII (mit p^ — 2) wird er in einer hinreichend
kleinen Umgebung des Nullpunktes gleichmäßig konyergieren und daher
nach Satz 20, Kap. YIU auch gleich der assoziierten Reihe ^(x) sein,
also gewiß keine rationale Funktion; auch nicht, wenn man vom be-
liebig yiele Glieder wegläßt. Unser Kettenbmch ist aber auch limitäiv
periodisch und daher nach Satz 42, Kap. YU in jedem zusammen-
hängenden abgeschlossenen Bereich Tj der den Nullpunkt im Innern ent-
hält und in welchem die Wurzeln q^, q^ der quadratischen Gleichung

(20) p._ (i + ^ a;) ^ + ^(a - 6)»:r«- 0

ungleiche absolute Betrage haben, wenn man vom genügend yiele Teil-
brttche wegläßt, gleichmäßig konvergent^), also nach einem schon mehr-
fach angewandten Weierstraßschen Satz im Innern von T eine regu-
läre analytische Funktion. Diese kann aber nach dem oben Gesagten,
weil T den Nullpunkt im Innern enthalten sollte, gewiß nicht rational
sein. Aus den Sätzen 1 und 3, Kap. I schließt man dann, daß der
Eettenbruch (19) selbst in T bis auf etwaige Pole regulär ist und daher,
weil er in der Umgebung des Nullpunktes den Wert $(^) hat, im
ganzen Bereich T die Funktion ^(x) darstellt.

Es kommt demnach auf diejenigen Werte x an, fQr welche die Wurzeln
9if Qi ^^^ Gleichung (20) gleichen absoluten Betrag haben. Um diese

zu ermitteln, setze man, weil (>i?j •" t^ (« — bya^ ist:

p^»l(a-6)a;c'v, (f^-^^ia -b)xer*V'^

dann läuft die Gleichung |(>i| ^ |(>i| darauf hinans, daß (p reell ist, und
es kommt:

1 +^^a; — piH-p,- Y(a-6)aJCOS5P,

also

j- cos9> - -^ aem'f — b cos« ^•

Daher durchläuft — die gerade Strecke Ton — a bis — b, somit x selbst

SC

1 1

den Kreisbogen, der die Endpunkte und — ^ hat und in seiner

Verlängerung den Nullpunkt trifft. Für alle x, die nicht diesem Kreis-
bogen angehören, ist daher, wenn man den Kettenbruch (19) durch
einen äquivalenten ersetzt, ^(x) gleich

1) In einem solchen Bereich ist nämlich, wenn 9, die absolut kleinere

Wnnel bedeutet, das Maximum von

gewiß kleiner als 1.

454 Zehntes Kapitel.

{de Montessus de BaUare 2). Übrigens ist das nichts Neues. Denn unser
Resultat geht durch die Substitution

a — 6

X

2

Über in die Pormehi (10) für A « jit, bzw. (15) für i « 0 des § 64, und
zwar genau mit dem dort angegebenen Geltungsbereich.

In ganz gleicher Weise läßt sich übrigens auch für die allgemeine im
fünften Beispiel des § 76 behandelte Potenzreihe der assoziierte Ketten-
bruch herleiten. Er wird^ wenn auch die Koeffizienten eine ziemlich
komplizierte Form haben, für cc^+O ebenfalls limitarperiodisch. An
Stelle der Gleichung (20) tritt dabei (die Detailrechnung übei^hen
wir der Kürze halber) die folgende:

woraus sich wie oben schließen läßt, daß der Kettenbruch überall die
Funktion ^{x) darstellt. Ausgenommen ist nur, wenn die Gleichung
ccq '{' Oj^x + Oj^"» 0 eine Doppelwurzel hat, eben diese; andem&lls der
Kreisbogen, der die beiden Wurzeln dieser Gleichung miteinander ver-
bindet und in seiner Verlängerung den Nullpunkt trifft {de Mantessm
de Bcdlore 2).

lY. Von ebenso einfacher Bauart sind diejenigen Kettenbrüche,
deren Näherungsbrüche die Tafelbrüche einer Kolonne oder einer Zeile
der Padeschen Tafel sind. Wir betrachten etwa die Tafelbrüche der
(x + 1)*~ Kolonne

(21)

und nehmen an, daß keine zwei aufeinanderfolgenden identisch sind,
woraus wieder ihre Regularitöt, also die Anwendbarkeit der Formel (1)
folgt. Wenn die Zähler und Nenner dieser Brüche die Näherungs-
zähler und -Nenner des Kettenbruches

(22) d„+r.l + ^^j + ...

sein sollen, so hat man:

-^0, X -^0, X

^1.«

^».x

J'.,x

Ö0.x" 1 '

Öl.x'

««.x'

«5.x'

§ 77. Die KeUenbrüche der Pad^schen Tafel. 455

(23) S

l>--Po,x-<^+<'l^ + --- + <'x'

n

(24)

*o*i + n = -Pi.x, *.-«M,

(25)

1

(m ^ 2).
Aus (23) und (24) folgt noch

(26) y^ = p,^^ _ (<^ + C« + • • ■ + C,3f) ^1,«,
wofOr man auch schreiben kann

(27) yi- Pi„- $^1.«+ (c«+,«-^* + ««+,a:«+»+ • • OÖi,«-
Wegen (26) ist y^ ein Polynom vom (x + 1)*^ Grad, und daher wegen (27):

(28) Y,-c,^x^*K

Femer erhält man durch Auflösung von (25) unter Berücksichtigung
von (1):

Also haben mit Rücksicht auf den Grad der G (S. 445) die d^, y^ für
^ ^ 2 die Form

wo e^, h^y g^ Konstanten sind. Führt man diese Werte in (25) ein und
setzt dann x^Oj so kommt speziell: 6^»-l; die außerdem sich er-
gebende explizite Darstellung von A^, g^ mag dem Leser überlassen
bleiben. Da wegen (24) auch 8^^ 1 + ^^ ist; so ergibt sich fQr den
gesuchten Eettenbruch die folgende Form:

(29) ^+c,^ + ...+c,^+r'f^ + i-,-fy + fY^+-.

Ebenso erkennt man, daß die Tafelbrüche der (x +1)^^ Zeile der
Reihe nach die Naherungsbrüche eines Eettenbruches der folgenden
Form sind (wobei der Näherungsbruch nuUter Ordnung wieder nicht
mitgerechnet ist):

1 I ^x+i^"*"N 9*^ I 9*'^ I

Doch kann man das auch wieder auf den vorigen FaU zurückführen,

indem man von der reziproken Reihe ^y-r ausgeht. Speziell für die

erste Zeile (x » 0) ist der Kettenbruch (30) kein anderer als der, welcher
der Reihe 0 + c^ + c^x + c^a^ -f . . . äquivalent ist; er ist daher nach
Satz 7, Kap. VI gleich

466 Zehntes Kapitel.

(31) ^_ «.*

C, I 1 Cfl

'0

1

— X

Co

Co ! «1

hat also in der Tat die Form (30) fQr x » 0.

y. Selbstverständlich läßt sich auch zu jeder andern Serie von
Tafelbrüchen, wenn nur keine zwei aufeinanderfolgenden identisch sind,
ein entsprechender Eettenbruch konstruieren (nach Satz 4, Kap. VI),
der dann allerdings yon komplizierterer Bauart sein wird. Wir begnügen
uns mit diesen einfachsten von Pade 1 angegebenen Typen, wollen aber
noch auf einen wesentlichen Unterschied, der zwischen ihnen besieht,
hinweisen. Es gilt nämlich zunächst der

SatB 11. Für jeden unendlichen Kettenbruch der Form

e

^ia?*+*| a^x\ a^x

(a) Co + Cjä; + • • . + c^x"" + j ^ ^ + j-^-' + p i H

(^x+i+0, a,+ 0)
hew. der Form

C^ I f X I Km X I Km X

(b) c,+ c,x+>>. + c,af^+f^^-^ + ^ + ^ + ^^-

(^x+i + 0, *,+ 0)

gibt es eine und nur eine Potenjsreihe, zu welcher er in der Bejsiehung
steht, die in Säte 9 bjsw. 10 mm Ausdruck gebracht ist.

Beweis. Daß es nicht mehrere solche Reihen geben kann, ist ohne
weiteres klar, da ja zwei Potenzreihen, die unendlich viele Tafelbrüche
gemeinsam haben, bis zu beliebig hohen Potenzen übereinstimmen
müssen, also identisch sind. Um den Beweis, daß es wirklich eine gibt,
etwa für die Form (a) zu führen (für (b) ist er nx>ch einfacher), zeigt man,
was dem Leser überlassen sei, daß der Näherungsbruch (2 1/)^ Ordnung

^ höchstens einen Zähler vom {k + i/)*** und einen Nenner vom

1/*^ Grad hat; ebenso -^^^— einen Zähler vom (x + i/)*^ und einen
Nenner vom {v — 1)*^ Grad. Da außerdem

SO stimmt die Taylor sehe Reihe für -^ mit einer ganz bestimmten Po-

r

tenzreihe bis zur Potenz 0;*+" einschließlich überein, also ^^ ^ bis zur

8y-l

§ 78. Die Eonvergenzfrage.

457

Potenz a;t''+''^ +("-!) und ^"^ bis zur Potenz a:('^+»^)+'' Das besagt aber,

daß ^^~ * und ^ für diese Reihe die Tafelbrüche der Felder [v - 1, x + v]

bzw. [v, % + v\ sind. W. z. b. w.

Im Unterschied dazu gibt es für einen Kettenbruch der Form (29)
bzw. (30) im allgemeinen keine Reihe, deren Padesche Tafel in ihrer
(x + 1)^*^ Kolonne bzw. Zeile gerade die Näherungsbrüche dieses Ketten-
bruches enthält. Z. 6. wird ja der Bruch

+

i + \'x '^ \l + \'x "^ I 1 + V«

der aus (30) für x = 0 henrorgeht, nur dann der ersten Zeile einer
Päd Aschen Tafel entsprechen , wenn er die spezielle Form (31) hat,
wenn also d^h^ + ^i = 0, ä/ + J'/ = 0 ist.

§ 78. Die Konyergenzfrage.

I. Diese Frage ist zur Zeit noch wenig geklärt. Wenn eine un-
begrenzte Serie von Tafelbrüchen der Reihe $(:r) in einem zusammen-
hängenden abgeschlossenen Bereich T, der den Nullpunkt im Innern
enthält; gleichmäßig konvergiert, so ist die Grenzfunktion nach einem
schon oft benutzten Weierstraßschen Satz im Innern von T regulär
und in der Umgebung des Nullpunktes auch gleich der Reihe ^(x).
Jede in T gleichmäßig konvergente Serie von Tafelbrüchen stellt also
die nämliche analytische Funktion dar.

Wenn dagegen der Bereich T nicht den Nullpunkt im Innern ent-
halt, so versagen diese Schlüsse. In der Tat kann es dann auch vor-
kommen, daß zwei Serien von Tafelbrüchen gegen verschiedene analy-
tische Funktionen konvergieren.') Ist z. B. 6i + 6^ + ftj + • • • eine kon-
vergente Reihe positiver Zahlen, so wird der Kettenbruch

1 +

1

+

6,6,

X

I

+

K\

X

"t*" • • • .

1+ M + Ai.

+

X

I X

h

+

zwar divergieren; aber die Näherungsbrüche gerader und ungerader
Ordnung werden nach Satz 6, Kap. IX je für sich konvergieren, und

1) An diesem umstand dürfte der von Pade 2 nntemommene Yersnch
scheitmi, eine Theorie der divergenten Reihen auf folgende Definition zu grün-
den: „Wenn sich in der zn einer beständig divergenten Potenzreihe gehörigen
Päd Aschen Tafel eine konvergente Serie von Tafelhrüchen findet, so soU defini-
tionsgemäfi die divergente Reihe gleich dem Grenzwert dieser Serie sein**

458

Zehntes Kapitel.

zwar gleichmäßig in jedem endlichen Bereich Ty der der negativ reellen
Achse nicht beliebig nahe kommt. Die Grenzwerte sind also zwei von-
einander verschiedene analytische Funktionen. Betrachtet man nnn
die mit dem obigen Eettenbruch korrespondierende Reihe und die zu-
gehörige P ade sehe Tafel, so sind nach Satz 9 die Näherangsbrüche
gerader bzw. ungerader Ordnung einfach die Tafelbrüche der Felder

bzw. der Felder

[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 31, . . .
[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 41 . . ..

Diese beiden Serien konvergieren daher im Bereich T gleichmäßig, aber
beide nach ganz verschiedenen Qrenzfunktionen. Andere Serien geben
möglicherweise wieder andere Funktionen; doch ist darüber nichts be-
kannt.

IL Positives weiß man über die Konvergenz recht wenig. Ein be-
merkenswertes Einzelresultat ist unser Satz 7. Von größerer Allgemein-
heit ist

Satz 12. Die Funktion F{x) sei im Kreis | ^ | ^ -ß regulär , abge-
sehen von [i Polen erster Ordnung a^,cc^, . - * a^, im Innern des Kreises,
von denen aber keiner im NuUpunkt liegt.

Entwickelt man dann F{x) in der Umgebung des Nullpunktes in die
Taylor sehe Reihe und konstruiert die eu^gehörige Padesche Tafd, so kon-
vergieren die Tafeibrüche der {fi -\- 1)^ Zeile für \x\<R gegen F(x),
und jstvar gleichmäßig für

k* ; ^ -R - « > , ^ - «. I ^ * (» == 1 ; 2, . . ^) ,

ivo €>0 bdiebig klein sein dmf}) (de Montessus de BaUore 1.)

Der Satz bleibt übrigens richtig, wenn Pole höherer Ordnung vor-
handen sind, und (i die Summe der Ordnungen bedeutet. Doch ist der
Beweis zwar nicht prinzipiell, aber formal erheblich umständlicher, wes-
halb wir uns auf Pole erster Ordnung beschränken wollen. Wir setzen
wie in § 74, II:

(1)

^/--v-=

'r-l

• • • v.

^i-f 1

. • • C,

^v + /U-l^v + /i-2 • • • ^r

und benötigen zunächst folgenden

1) Man kann sogar sagen : gleichmäßig füx \ x \ < R^ \ x — a^] "^ 9 . Da näm-
lich F(x) anf dem Kreis 1 x | :» ü noch regulär vorausgesetzt ist, so bleiben die
Voraussetzungen des Satzes bestehen, wenn man H durch eine etwas grOftere
Zahl R^ ersetzt.

§ 78. Die Eonvergenifrage.

459

Hilfssatz. Sind die beiden Determinanten -^^«i,^ wwrf -^^«i,y+i
von NuU verschieden, so ist

P O —P O ^(^iY-^'----xf*+^+^

-"^u.v + l Vii,v -'^ft.v^UfV + l \ ^) A '*' •

In der Tat ist der links stehende Ausdruck ein Polynom vom
höchstens (ft + v + 1)**° Grad. Anderseits ist er gleich

Wendet man hierauf die Formeln von Satz 6 an, was wegen -^^^-1^^ + 0,
^^_i^^i + 0 möglich ist, so sieht man, daß die Potenzen bis zur
(/* + !/)*•" einschließlich herausfallen, so daß die Potenz a?"+''+^ allein
übrig bleibt, und zwar mit dem Koeffizienten

V-i.v

^v + fi + l^y + ^

y + 1 S

t'+a

>+l

>+l

^y-fi + l

'V-/U + «

womit der Hilfssatz bewiesen ist.

Um nun den Beweis Yon Satz 12 in Angriff zu nehmen, seien die
/i Pole Ui der absoluten Größe nach geordnet :

(2) 0<\a,\£\a,\^"'^\a^\<R.

Nach den Voraussetzungen ist dann fQr | x | ^ i2:

(3)

<=1 ^ = 0

^,+ 0.

Da die letzte Reihe insbesondere für \x\ = R noch konvergieren muß,
so ist

(4) \g^\<CR'%

wo C von V nicht abhängt.^) Für | a; | < | «i | gilt nun die Taylorsche
Reihe

(6)

wobei wegen (3)
(6)

F(x) = ^c,x',

1) Ebenso werden in der Folge alle C mit einem oder mehreren Indicei
Zahlen bedeuten, die von v nicht abhängen.

460

Zehntes KapiteL

(7)

d~^A,ar-'

<b1

ist. Man hat daher oach der Produktregel für Determinanten

(8)

y

d.

rf^_l •••^v-^+l

^y + l

<i, ••d,_^ + 2

"'y + fi

-l^» + /u-2-' • ^t-

Ayr'-

••^X"'

>

A<-*-

■■^A-'

,«--" + »... a-'-^ + i

1

A ••

■ ■A

1

a, • • • «

Ci(ai«,..-a^';

wobei C^^O ist. Läßt man in jeder der beiden in (8) rechts stehenden
Determinanten irgend (i — Je Zeilen weg und bildet das symbolische
Produkt der zwei so enstehenden A;-zeiligen Matrizes, so resultiert eine
Ä:-reihige ünterdeterminante yon der in (8) links stehenden Determinante,
und jede Unterdeterminante kann auf diese Art hervorgebraclit werden.
Wendet man aber auf das symbolische Matrixprodukt die bekannte Ent-
wicklungsformel an\), so findet man eine Summe Ton K j Gliedern,
deren jedes die Form hat:

Mit Rücksicht auf die Ungleichungen (2) folgt somit, daß jede %-reihige
Unterdeterminante von (8) absolut kleiner ist als (7|| c^^a, . . . cc^\~*. Er-
setzt man daher in (8) links die d Ton irgend ft — A; Zeilen durch g mit
Beibehaltung des Index, so wird die entstehende Determinante nach dem

Bewiesenen und mit Rücksicht auf (4) absolut kleiner als C, | o^- • • ^k^~ \'*'
Dividiert man sie dann durch (8), so wird der Quotient absolut kleiner

, nähert sich also mit wachsendem v der NoIL

R

B

• • — ■

—y

als

Daraus folgt insbesondere auch

^ +9

' ' - d

lim —

J^^^ lim

Vssoo

1_

' ' • d

V-/U-H

• • •

d ^ ' * ' d

v + fi"! V

Cu

1) Siehe z. B. Baltzer: Theorie nnd Anwendung der Determinsn-
ten. 6. Anfl., § 6, Abs. 1. — Gordan-Eerschensteiner: Vorlesungen über
Invariantentheorie, I. Bd. Abs. 81.

§ 78. Die Eonvergenzfrage.

461

^e mau erkennt, wenn man die Zählerdeterminante in eine Summe Ton
2^ Determinanten zerlegt. Für genügend große v ist daher

(9) 2|C7,|.|«i««---«J"*>l^;.-Ml>il^i|-K«.-%r>0.

•

also gewiß die Bedingung des Hilfssatzes erf&Ut.
Nun gilt weiter die Formel:

cl • • • tt

A<--^.< 0

— •r — itt — 1 — y— /«— 1/\

«1 •••% 0

d * * * c»

A •••^^ 0

-»-1 -*-i rt

«1 • • • % 0

(10)

und ebenso auch:

0,

(11)

— v — l — v + ii — 1

rfy + t "d^^u + i

d , ' ' ' d

0 ...(t" -O 0

•

— y— /u— 1 — V— a —1a

• ■ • • • •

•

ulj • • • J.^ • • • ^^ 0

-c-l — r-1 y^

a, • • • «,, 0

0

Analog wie oben ist irgend eine Ä;-reihige Unterdeterminante von (10)
oder (11) wieder ein symbolisches Matrixprodukt und erweist sich abso-
lut kleiner als C^\a^. . . a^"^. Ersetzt man daher in (10) oder (11)
die d Ton (i — Jc+l Zeilen durch g mit Beibehaltung des Index, so wird
die entstehende Determinante absolut kleiner wie Cg | «^ . . . aj^Bf " "*"*!"',
also erst recht kleiner wie C^cc^...a^R\~^, Infolgedessen wird auch
bei Berücksichtigung von (10) ^)

(12)

Ai,y

abs

• • • c,

v-fi

^t + fi ' ' ' ^v

< ^el«!«»- • '^u^

— ■¥

und bei Berücksichtigung Ton (11)

(18)

abs

-y— l -y + u-i;

>+i

• ■ • &,

»-/u+l

^r + /i • • . Cy

< C't I«!«!. . . a^iJ

^—V

1) abi bedeutet „absoluter Betrag*', da Absolutstriche bei Determinanten
nicht zweckmäßig Bind.

462

Zehntes Kapitel

Aus (13) und (9) ergibt sich dann:

abs

/u-l,r

tt.

^r + l^r

• • •

. . . «^ 1

• •

^V-^fi^t + ft-l • • • ^y

wofttr man aber nach Satz 6 auch schreiben kann:

(14)

Setzt man daher

Q,.M) I < ^8

R r*

(15)

Q^,M - 1 + ?!''(«) + «i"'«' + • • • + qj:^x'

(16) (l-±)(l-^)...(l-±J-l+q^x+q,x^+- + q^:r."^Qix),

80 folgt aus (14):

lim [(«W - gj«,+ (gC" - g,)«» + . . . + (gW - g )«/<] - Um ^ ..(«,.) - 0

ras« IPSSCB

für i^l,2y , . ,y iiy woraus man unschwer schließt:

Vssoo

yssOO

VBSOO

Daher wird auch
(17)

lün «^„(a;) = ^(a;),

v = ao

und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Bereich. Zu jedem positiven b
gibt es also ein n derart^ daß IQ^^^j im Bereich

(18)

x\^R — B, \x — ai\^B (i— 1,2, ...,|it)

f^T v^n stets über einer positiven von^r undi/ unabhängigen Schranke c
bleibt. Betrachten wir nun die Reihe

(19)

■P/,,n , ■^/■'V.' + l _ ^|M.A

wofür man nach dem Hilfssatz auch schreiben kann

(20)

/"»» I / 1\f^

Q

+ (- ly

fi,n

§ 78. Die Eonvergenzfrage. 463

so ist im Bereich (18) ihr allgemeines Glied absolut kleiner als

^/*-i,r' ^'

nach (9) und (12) also kleiner wie C^ ( ~r~^) • ^^^ Reihe (19) ist
daher gleichmaßig konvergent, d. h. es existiert der Grenzwert

(21) lim^""

gleichmäßig im Bereich (18). Da dieser Bereich den Nullpunkt im
Innern enthält, so ist der Grenzwert (21) auch gleich F(x)y womit
Satz 12 bewiesen ist.

in. Ist Q der Eonyergenzradius der Reihe

(22) "V 'Vjhi^/. + .+i,

so wird mit Rücksicht auf (17) auch die Reihe (20) för |a?| < (>, \x—a^\'^6
konvergieren, fBr |^|> (» aber divergieren. Dieser Konvergenzradius ist
leicht zu bestimmen, wenn F{x) noch im Kreisring R^\x < jBi regulär
ist, abgesehen von einem einfachen Pol cc^^i im Innern. Dann kommen
nämlich zu den seitherigen Überlegungen noch diejenigen hinzu, welche
daraus hervorgehen, wenn man (i durch (i+l und B durch R^ ersetzt.
Dadurch gelangt man neben (9) für große v zu der analogen Formel:

(23)2|(7/;.|aia,...a^^J""~'>|^^^,+J>Y|C/Haiaj...a^+J""~\.

Aus (9) und (23) folgt dann:

so daß der Konvergenzradius q gleich cl^^^\ ist. Hieraus ergibt sich
insbesondere noch

Satz 18. Sei F{x) eine meromorphe Funktion mit den tmendlic/i
vielen einfachen Polen a^, o^, ce,, . . . und sei

o<kl<kl<l«8l<---.

Konstruiert man dann die Padesche Tafd m der Potenereihe, welche in
der Umgebung des NuUpunJctes gleich F{x) ist, so hmvergiert für fi^l,
2, 3, . . . allgemein die [i*^ Zeile der Tafelbrüche für \x\<\a^ ' gegen F{x)
(die Pole ausgenommen), und divergiert für \x\>'a^\. (de Montessus
de BdOore 1.)

464 Zehntes Kapitel.

Bei einer meromorphen Funktion F{pii) mit höchstens einfebchen
Polen sieht man leicht, daß es auch Tafelbruchserien gibt, die für alle
regulären Stellen gegen F{p^ konvergieren. Wenn nämlich gar kein
Pol vorhanden, so ist F{pc) eine ganze Funktion, und die Tafelbrüche
der ersten Zeile leisten daher das Verlangte. Ist eine endliche Anzahl
von Polen vorhanden, etwa ft, so sind es nach Satz 12, wo man dann
R beliebig groß denken kann, die Tafelbrüche der (ji -{- ly^^ Zeile. Hat
aber F{x) unendlich viele Pole a^, 0,7 • • • ^^^ ^^^

0

AI V T 1*1^ *l I llY 1

so muß hier unendlich oft Ungleichheit statthaben, weil die Funktion
sonst nicht meromorph wäre. Sei etwa

«/".l <\^Hi-\-i\ (»=^1,2, 3,...).

Ist dann s^, £g, ... eine Serie positiver Zahlen mit dem Grenzwert Null,
80 wird nach Satz 12 die (ft,.+ 1)*® Zeile für

(24) |^|<l«/u-+ii — 2£o \x — ai\^8iy . . ., \x — af,^\^Bi

gleichmäßig gegen F{x) konvergieren. Es gibt daher einen Index v^
derart, daß im Bereich (24)

<^.

wird. Da aber eine beliebig gewählte reguläre Stelle sicher dem Be-
reich (24) angehört, wenn nur i genügend groß, so folgt hieraus fOr
jede reguläre Stelle:

lim 5^'-'f ^ == F(x) . W. z. b. w.

lY. Satz 13 legt die Vermutung nahe, daß bei einer beliebigen
Padeschen Tafel jede folgende Zeile in mindestens dem gleichen Be-
reich konvergiert wie die vorausgehende, allenfalls abgesehen von der
Gh-euze des Bereiches. Das ist aber keineswegs der Fall. Vielmehr kann
es sogar vorkommen, daß zwar die Potenzreihe sdbsty also die erste ZeHe
der Tafetbrüche einen endlichen oder auch imendlichen Konvergemradius
iiatj und trotzdem schon die zweite Zeile mindestens in einer überall dichten
PunJUmenge des Konvergenzkreises divergiert, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei ^1, ^2, yg, . . . eine abzählbare Menge von Zahlen +0, die in
der ganzen Zahlenebene überall dicht liegen, und außerdem komme jede
einzelne unendlich oft vor. Wir wählen dann die Koeffizienten c^^ von

§ 78. Die Konvergenzfrage.

465

Null yerschieden und derart, daß die Reihe IJc^^x*'' einen vorgeschrie-
benen Eonvergenzradius q (eventuell oo) hat. Sodann setzen wir

^8y+l =

( n^r för ln'^1

'8y

für|y,j>l,

BO daß der Eonvergenzradius von ^{x) =2Jc^x^ ebenfalls gleich q ist.
Nun lehrt Satz 6 für c^+ 0:

c.

ei.,(*)-i- -:-*«,

also in unserm Fall speziell:

«..»,(a;)-l-7-a: für |yj>l,

Da jedes y^ unendlich oft auftritt, so gibt es also unter den Tafelbruch-
nennem der zweiten Zeile unendlich viele, welche füirx^y^ verschwinden.
Die zweite Zeile der Tafelbrüche kann daher f&r kein y^ konvergieren,
weil unendlich viele für a; = y^ einen Pol haben. Da die y^ überall dicht
liegen, so ist damit unsere Behauptung erwiesen. Ob für andere Werte
von X vielleicht Eonvergenz eintritt, mag dahingestellt bleiben.

Perron, Kettenbrflchc

30

Elftes Kapitel

Über Kettenbrücke, deren Teilzäbler nnd -Nenner
rationale Funktionen ihres Stellenzeigers sind.

§ 79. Die KoüTergenz dieser Kettenbrficlie.

I. Die Elemente des unendlichen Eettenbmches

mögen die Form haben

und speziell alle Teilzähler mögen von Null verschieden sein. Für
p<2q ist

hm -'^_ =0 ftlHo- - ^ - <r —

r — 1 V

für genügend große v. Nach Satz 27, Kap. VII wird daher der Ketten- •
bruch

(3) ft„+;--l+ Jt?i + ...

für genügend große n gewiß konvergieren, so daß auch der Ketten-
bruch (1) noch mindestens im weiteren Sinne konvergiert (Satz 2,
Kap. VII).

Für i? = 2g ist zu beachten, daß h^ für hinreichend große v gewiß
+ 0 sein wird. Ist das etwa für t/>n der Fall, so betrachten wir den
mit (3) äquivalenten Kettenbruch

+

§ 79. Die EonTeigenz gewisser Kettenbrüohe. 467

Dieser ist jetzt limitarperiodisch^ nnd zwar ist

r p

- - - ^^^ — •

S

lim , b " R

Nach Satz 41, Kap. VU konvergiert er daher noch mindestens im wei-
teren Sinne, wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung

ß,

9

ungleiche absolute Beträge haben. Dann wird also auch der Ketten-
bruch (1) noch mindestens im weiteren Sinne konvergieren. Die Wurzeln
sind

2

V'

ft

sie haben also ungleiche absolute Beträge dann und nur dann, wenn der
Radikand nicht der negativ reellen Achse inkl. Null angehört.

Ist endlich p > 2g, so setzen wir den Ketten bruch (1) in die äqui-
valente Form

wobei nach § 42, II, C

**1 »ja^ . . . i*2y "l**S • • • "äv+1

ist, und untersuchen die unendliche Reihe 2J|(2^|, auf welche wir das
Ejriterium anwenden^):

w ;i».«('-rvi)i<';Br;7r'

Nun ist nach (5) f&r gerade und ungerade v:

d^ ay + i K \ * / \ V ' J V '

SO daß der Grenzwert (6) gleich p— 2q ist. Die Reihe 2\d^\ konver-
giert daher für jp — 2g > 2. Dann ist aber nach Satz 5, Kap. VII der
Kettenbruch (4), also auch der äquivalente (1) divergent und nicht ein-
mal im weiteren Sinne konvergent.

1) Es ist das nichts anderes als das bekannte Kriterium von Raab«, au-
gewandt auf die beiden Partialreihen 21 ß^^\ uud ^letgr+il'

30*

468 Elftes Kapitel.

Es bleiben noch die Fälle p »» 2 g -f 1 und p^2q + 2 zu erledigen.
Beschränken wir uns dabei auf den Fall positiver a^, b^, so finden wir:

-CO V «r+l

ßn

-7_ für » = 2g + 2
oo für i? = 2g + 1 .

In beiden Fällen wird also die Beihe ^ y -"^ -^* divergieren, und

daher nach Satz 10, Kap. YII der Eettenbruch (^1) konvergieren. Sind
die a^j b^ nicht sämtlich, sondern nur fOr genügend große v positiv, so
ist der Kettenbruch dann noch mindestens im weiteren Sinne konver-
gent Es tritt das ein, wenn die a^, /3| reell sind, und speziell a^ >0,
ßg > 0. Dabei kann man aber die Bedingung ß^>0 nachträglich wieder
fallen lassen, indem man, falls ßg<0 ist, den Kettenbruch (1) durch
den äquivalenten

• • •, dess»

(«,■+0),

(ß,+0),

ersetzt. Wir fassen diese Resultate zusammen in

Satz 1. Der unendliche Kettenbruch 6^ + ,^— + ,?* - +
Elemente die Form haben:

^y =" «0 + «1^ "I 1- «p*''' + 0

ist für p > 2g -f 2 divergent und nicht einmal im weiteren Sinne hm-
vergent. Er konvergiert dagegen mindestens im weiteren Sinne in folgen-
den drei Fällen :

1) Wenn p <C2q ist.

2) Wenn p = 2q ist, und die Zahl ' - j— ^ nicht der negativ reeüen

Achse inJd. NuU angehört.

3) Wenn p = 2q + l oder p = 2q + 2 isty und eugleick «^ > 0 wfiä
die anderen a^, ß^ reell sind.

In allen drei Fällen konvergiert der Kettenbruch, wenn man vom ge-
nügend viele Teilbrüche ivegläß, sogar im engeren Sinne,

In den wenigen noch übrig bleibenden Fällen lassen wir die Kon-
vergenzfrage o£Fen. Indes werden wir in § 82 speziell den Fall p = 2,
g=«l, auch wenn ß^ -{- Aa^^Q ist, noch in ziemlichem Um&ng er-
ledigen können.

§ 80. Zusammenhang mit Differentialgleichungen. 469

IL Der Fall; daß die Elemente a^j b^ rationale gebrochene Funk-
tionen von V sind^ ist nur scheinbar allgemeiner als der behandelte. Denn
bringt man a^y \ auf gemeinsamen Nenner und setzt demgemäß

wo a^'f bjy c/ rationale ganze Funktionen von v sind^ so besteht die
Äquivalenz

wodurch der ursprüngliche Eettenbruch auf einen andern zurückgeführt
wird; dessen Elemente nun rationale ganze Funktionen von v sind.

§ 80. Zusammenhang mit Differentialgleichungen.

Die Eettenbrüche von dem im vorigen Paragraphen behandelten
Typus lassen sich auf mehrfache Art mit gewissen Di£Ferentialgleichungen
in Zusammenhang bringen. Bereits Euler hat in den meisten seiner
Arbeiten; die von Kettenbrüchen handeln, einen Zusammenhang mit der
Riccatischen Differentialgleichung hergestellt. Da aber eine Ric-
catische Differentialgleichung sich bekanntlich durch eine einfache
Transformation in eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter
Ordnung verwandeln läßt und umgekehrt, so kann auch zwischen dieser
letzteren und den Kettenbrüchen leicht ein Zusammenhang konstruiert
werden. Wir bewerkstelligen dies nach Ä. Steen 1 in folgender Weise.

Sei

(1) y=Qoy'+Piy

//

die Differentialgleichung, wobei die Akzente Differentiation nach der
unabhängig Veränderlichen x andeuten, und wo Q^, P^ irgendwelche
analytische Funktionen von x sind. Aus (1) folgt durch Differentiation

y'=Q,y+Qoy"+Pi'y"-\-Piy"';

oder einfacher:

y'= Q^y"+ P,y"\

wobei

Durch wiederholte Differentiation erhält man so:

(2) y<'> = «»y«'-^^' + P,+,y<*+*' (f-o, 1,2,. ..),

470

Elftes Kapitel.

wobei die Q^y ^^y+i ^i<^^ rekursorisch aus folgenden Formeln ergeben:

(3)

Vir i__n' f -^v+i""!-

1 - e;-i '

QU

Das Verfahren kann fortgesetzt werden^ soUnge dabei Qr— 1+ 1 bleibt
Ans dem Qleichungssystem (2) folgt nun nach § 57 unter gewissoi
Umstanden:

y

O 4- ^^ ^ 4- -■'*•-' 4-

womit der gedachte Zusammenhang zwischen den Eettenbrüchen und
den linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung hergestellt ist.

Erstes Beispiel. Die Differentialgleichung

wo n eine positive ganze Zahl, hat, wie man sofort verifiziert, das par-
tikuläre Integral

y - rr»+ 1. (J) a;«-« + l 3 (J) a?'-*+ 13.5 (J) a;-«+ . . .,

welches ein Polynom n*^ Grades ist. Es wird also y^"^ + 0, y("+*) = 0.
Das Gleichungssjstem (2) läßt sich nun hier am bequemsten bilden,
indem man die gegebene Differentialgleichung t/-mal differenziert Da-
durch erhält man:

oder einfacher und mit Rücksicht auf y(*+^) = 0,

y^'^-^,y''^'' + n^z.-,y''^'' (a.^o,i,...,n-2),

Nach Satz 44, Kap. VII folgt hieraus, weil y(*) + 0 ist:

+

y X

n

n— 1

1

n

1 ;

1

.. + J

X

n—i

T^

n—i

i^

X

1

= 5_. + . " !. + . "-2 1 + Jlziil 4- . . . + ' I

§ 80. Zusammenhang mit Differentialgleichungen.

471

Oder^ indeni man mit n multipliziert und für y das obige Polynom
einsetzt:

(4)

, n — 1 t , n — 2 ! ,

X + r ' + r - — +

+

X

*-+i.(;)x«-»+i.3(^)^-*+i-»-6 (;)«—+

*"-*+if7')*-»+i-»("7')*-'+i-8-6("7')x-'+

mit der Einschränkung, daß der Kettenbruch für die Nullstellen des
rechts stehenden Nenners sinnlos wird.

Zweites BeispieL Aus der Differentialgleichung

y

X , , l

y H — y

ff

folgt durch v-malige Differentiation:

y<''> = f^1;y«''^*'+^,y'-'" (v-0,1,2,...).

Ist also a positiv, x negativ, und y ein partikulares Integral, das mit
allen seinen Ableitungen positiv ist, so kommt nach Satz 46, Kap. YII
(Bedingung A):

— X

(5) \ .- +

CK

«+i

— X
a+1

+ --+^ +

X

+ iL+M+« + ».^.

— X

\^x

a+2

da ja dieser Kettenbruch nach Satz 10, Kap. YII sich als konvergent er-
weist. Ein partikuläres Integral von der verlangten Beschaffenheit ist
nun wirklich vorhanden, nämlich

00

ux —

2 «.a-1

u^'-^du.

Denn aus dieser Formel folgt einerseits durch i/-malige Differentiation^):

.('')

1) Es würde zu weit führen, wenn wir hier ausfahrlich begründen wollten,
daß die Differentiation unter dem Integralzeichen erlaubt ist. Es kann das auch
um so eher dem Leser überlassen werden, als wir die Schlußformel (6) in $ 83
noch auf eine zweite Art beweisen werden.

472 Elftes Kapitel.

80 daß also alle Ableitangen positiv sind; anderseits durch partieUe Inte-
gration:

0 0

wie es sein soll. Da x negativ vorausgesetzt war, setzen wir a; =« — £
und erhalten dann ans (5) nach Multiplikation mit a:

« t«*

{^) s + n + pj- + -g- + • • • = « ---— — (g^^j

je ^u'^du

§ 81. Die Eettenbrfiche mit dem allgemeinen Glied ^^^t!^.

I. Die Methode des vorigen Paragraphen soll jetzt speziell auf die
Differentialgleichung

(1) ßy-iy- ^)y'+ xy",

angewandt werden, wo /}, y Eonstanten sind. Sucht man durch den An-

00

Satz y ^^D^x^ zu integrieren, so findet man für die Koeffizienten die

RekurBio'nrfonnel:

Gehören daher die Zahlen ß und y- ß beide der Reihe 0, — 1, — 2, . .
an, 80 gibt es zwei Integrale dieser Form, nämlich

rtrO fss-y+l

Wir wollen diesen Fall in der Folge ausschließen. Dann gibt es ein
und nur ein Integral, welches im NuUpunkt regulär ist, nämlich nach
der obigen Rekursionsformel das folgende:

(2) y.4>,{ß,r,^) = -rh+fi!+i)?l + nMS + '---^

dabei ist js. . = 0 zu setzen für (> =* 0, — 1, — 2, . . . . O^ verschwindet

identisch nur in dem ausgeschlossenen Fall; andernfalls ist die Reihe (2)
beständig konvergent, also O^ eine ganze Funktion von x und nicht
identisch null.

§ 81. Die Eettenbrüche, bei denen ay=a + &«', b^=c-j- dv.

473

Differenziert man Gleichung (1) i/-mal und setzt dann für y das
Partikulärintegral 0^ ein^ so kommt:

(3)

f (/} + v) <I>,W(/3, y ; «) = (y - a; + v) <I>i<'+ 1)(|3, y; a;) + a;<I>/'+ «)0S, y; a;)

(v-0,1,2, ...).

Hier sei zunächst /3 « — n eine negative ganze Zahl^ also^ damit
nicht der ausgeschlossene Fall vorliegt: y + w + 0, — 1,— 2, . . .. Dann
ist <&|(— w, y; x) ein Polynom genau vom n^^ Grad, also

Ot^^'K-n, y; x) + 0, 0/«+^)(- w, y; a;) - 0,
so daß man aus (3) erhält:

X

(i; = 0,l,...,n-2),

fl^^(«-i)(^n,y;a?) = -

Nach Satz 44, Eap.VII folgt hieraus:

y —X
n

X

n

X

n— 1

X

T

n — 1

y — Ä + 2
n— 2

y — Ä+n — 1

n— 1

= ^'~^ +

n

X

{n—2)x\ (n— 8)a;|

1*0;

— n ' |y — Ä + l |y — x+2 |y — a; + 8

|y — «+'* — 1 '

oder nach Multiplikation mit —n:

(4)

y— a;—

{n — l)x\

\y — X+l

l'X

(n— 2)a;|_
|y — a; + 2 |y — a; + n — 1

(y + w + 0,-1,-2,...),

= — n

wobei für die NullsteUen des rechts stehenden Nenners der Kettenbruch
sinnlos ist; außerdem folgt aus dem genannten Satz, daß für alle von
^ r= 0 verschiedenen Nullstellen des Nenners der Zähler nicht auch ver-
schwinden kann, weil die Teilzähler des Kettenbruches aUe von Null
verschieden sind. Übrigens läßt sich auch für die ausgeschlossenen
Werte von y der Kettenbruch in ähnlicher Weise berechnen {Perron 4);
man braucht bloß statt O^ das oben angedeutete Integral y^ zu setzen,
welches ja auch ein Polynom vom Grad — /J = w ist, worauf wir aber
nicht weiter eingehen wollen.

474

Elftes Kapitel.

Wir wenden uns jetzt dem Fall ^ + 0, — 1, — 2, ... zu. Dann folgt

aus (3):

Auf dieses Gleichungssjstem kann man für x^^O den Satz 46, Eap.VII
anwenden^ und zwar das Kriterium D mit q^ ^ ^y sobald sieh zeigen
läßt, daß nicht alle 9^^''^ verschwinden, und daß

<6)

lim sup Vl^i^'^Kßf y] ^)\ = endlich

ysoo

ist. Würden aber alle Ableitungen O^^*^ (v«0, 1, 2, . . .) för einen ge^
wissen Wert x ^ Xq verschwinden, so wäre <&i, wie die Entwicklung
nach Potenzen von x — Xq zeigt, identisch Null, entgegen unserer aus-
drücklichen Feststellung. Femer sieht man ohne weiteres, es ist identisch

(7)

*i'(Ay;aj) = ^*,(^ + i,y+i;a:);

also auch für große v:

*i<"(A y; «) - /3(/3 + 1) . . . (jS + v - l)*i(/3 + v,r + v;x)

r{r + v) V '^ Y + vu "^(y + ,)(y + ,+i)2! "< ;

Ist nun m irgendeine ganze Zahl größer als |/3| und größer als 2|}'|, so

ist für l^m:

ß + l

r + i

2

= 4.

Daher für v^ m:

J<^/^KAr,^)H

ß(ß + l)...(ß + m -1) ß + fn ß + v^-1

ß + v x_ ß-\-vß + v-\-\x^

y+y +

•ß{ß + l).,.{ß + m-iy Ay-m(.,\^x\\4^x\^ \

^1 r(y4-m) \ "^ 1! "^ 2! '^ /

riy + m)
ß(ß + l),..(ß + m-l)

A X j 1

e -4

Zieht man die V*® Wurzel, so ergibt sich die zu beweisende Beziehung (6),
80 daß man wirklich den Satz 46, Kap. VII auf das Gleichungssystem (5)
anwenden darf. Dadurch erhält man für rr + 0:

§81. Die Kettenbrüche, bei denen a^^^^a + bv, &,.= c + (f v.

475

y — X

+

X

7

X

y — X

+

Y — x+l

- +

ß+i

y — x+2
7+2

+

+ n^+Ji^ +

y — x-\-l \y — x-\-2

oder nach Multiplikation mit ß und mit Rücksicht auf (7):

(8)

(^+1)0? I , (/?+2)a;| «^+8)0;

y-x + l • |y — a; + 2 ' |y-a; + 3 "^ ' * ' <Pi(P+i,y+l;a:)

(a: + 0; /3 + - 1, -2, - 3, . . .) (Perrow 4),

wobei für die Nullstellen des rechts stehenden Nenners der Zähler nicht
verschwindet^ und der Eettenbruch unwesentlich divergiert. Nach unserm
Beweis ist zwar in (8) der Wert /3 » 0 auch auszuschließen; doch kann
dieser nachträglich wieder zugelassen werden^ sogar zusi^men mit
y=«0, — 1,— 2,.... Die Gleichung (5) geht nämlich für v=^0 wegen
(7 über in

und diese gilt, wie man durch Einsetzen der Potenzreihen für O^ leicht
verifiziert, auch für ß ^ 0. Es ist daher

^i(0,y;x)
'^,{i,y + Ux)

«y-a; +

X

'c^i(2,y + 2;x)

und wenn man hier rechts den Eettenbruch (8) für ß =^1 einsetzt, wo-
bei y um eine Einheit zu erhöhen ist, so geht gerade die Formel (8)
für /J = 0 hervor. ^) Speziell für ^ « 0, y = — m kommt die Formel

(9)

— m

X

xA -- i-i- ^^ '4- -^^ ^H = 0

•^11 — m — a; ~|2 — w — o; ~|3 — wi — ä ~

(a: + 0; w«0, 1,2,...)

{Perron 4),

die sich übrigens für x ^1 schon bei Evler 12 und Trernbley 1, für
Ä =• — 1 bei Euier 2 findet.

1) Nach Satz 1, Kap. I. Die Sache bleibt richtig, der Beweis bedarf aber,
um bei der benutz ten letzten Hilfsformel NuUen als Nenner zu vermeiden, einer
kleinen formalen Modifikation, die dem Leser überlassen sei, wenn x eine Null-
steile von *i(l,y + l;a;) oder *j (2, y + 2; a;) ist. Beide Funktionen zugleich
können nicht verschwinden, wie oben bei Formel (8) bemerkt wurde.

476 Elftes Kapitel.

Die Formel (4) geht bei Berücksichtigung von (7) über in:

(10)

^_„ , (-n + l)a!| (-n + 2)a;| . (-l)-x

'^ •^f I 7 — «-f-i Ir — a; + 2 ■" ''ly-x + w— 1

= ^Lt5Ll-£L (y + „ + o,-l,-2,...):

^i(— n + iiy + i;«) ^

das besagt aber^ die Formel (8) ist auch richtig für negative ganze ß,
vorausgesetzt, daß man dann den Kettenbruch bei dem verschwindenden
Teilzahler abbricht. Mit diesem Vorbehalt ist also in (8) nur mehr der
Fall auszuschließen^ daß die Zahlen ß + 1 und y — ß beide der Reihe
0^ — 1^ — 2, . . . angehören; das ist auch ganz naturgemäß^ weil in diesem

Fall die rechte Seite von (8) die bedeutungslose Form ~ hat.

IL Wenn man Gleichung (8) mit einer willkürlichen Zahl d(+0)
multipliziert, erhält man

Mit diesem Kettenbruch suchen wir nun den folgenden zu identifizieren:

''+U + d +\cX-2-d+]c+Td +■■■ (6 + 0,rf+0).

Es ergibt sich dabei:

also durch Auflösung:

b o ^ h -\- cd js j

Somit erhält man aus (11):
Satz 2. Der Kdtenbruch

^ + \c + d + I c+ 2d + [c + 3d + • • • ^^ + 0' ^ + ^)

ist gleich dem Quotienten

,1 1 , ^ a(a + b)_, . . (o + (y~l)&)

I ^/b + cd\ '^ ^ ',y . ß^cd , \

, V» (a + &U« + 2&) • • • (o+ *'«»)

(»+-'+.) ■.■ft.'vr(^^^+.+.)

§ 81. Die Kettenbrüche, bei denen ay= a + &v, 6,.= c + dv. 477

vorausgesetety daß die Zahlen ^-^- wnrf -^^ ^ nicht beide der Reihe

O, — 1, — 2, . . . angehören. Verschwindet dabei ein Teäzähler, so ist der
Kettenbruch bei diesem abzubrechen. Verschwitzet der Nenner des Quo-
tienten ^ so kann der Zähler nicht verschwinden, und der Kettenbruch ist
dann unwesentlich divergent bezw., wenn er abbricht, sinnlos. {Perron 4.)

Beispiel. Für a = 0, c = l — &, rf = l erhält man

(12) i-»+,AJ+-^;+,/'v+-—

2 — & ' 8 — & ' 14 — 6 ' e&— 1

in Übereinstimmung mit der Formel (14) des § 45 für a; = — 6.

Allgemeiner erhält man für a = 0, c =« n — 6, rf = 1 die Formel
von Pade 1 :

(13)

^ ^ "^ |n4-i-:& "*■ "n + 2 — 6 "^ ;n + 3 — & "^

— „-1 ^ (n=l,2, 3, .. .),

I „_.,(,._.__'L_..._ »:_)

die für 6 = 1 schon Euler 2 kennt. Dagegen kommt für a = 0, c = — n— ft,
d = 1 (n = 0, 1, 2, . . .) wieder die Formel (9).

Der Satz 2 bleibt auch für & == 0 im wesentlichen richtig. Das läßt
sich leicht mit Hilfe der Differentialgleichung

herleiten, wobei man zunächst zu der Formel

00

^riv + v) vi

(14) >' + |^;T + ;/+2^+|i;;.^+---=-.f- , (^+0)

i/-r ,/-r I/-T- ^ ^ ^ ^ ^

. ^riY + v + i) vi

gelangt. Da diese aber mit der Gleichung (20) des § 57 identisch ist,
so wollen wir auf die angedeutete neue Herleitung verzichten. Multi-
plizieren wir (14) mit der willkürlichen Zahl d(+0), so geht der Ketten-
bruch über in

, , a;d I xd , xd [ ,

^^ "•" Yd + d "*■ \yd + 2d "^ \yd + Sd "^ *

Setzen wir daher yd ^ c, xd «= a + 0, also y ** — , x =^ — y, so er-
gibt sich

478 Elftes Kapitel.

Sats 3. Für a + 0, d + 0 gut die Formel

/.4. « I I ^ I I ^ I I

"^^ ' 2.7. r^/v . X •• 2".«; .p/A

y

^,d^^v\r{^^ + v)j ' \^d«%!r(| + r + i)y'

miY der Einschränkung y daß der Kettenbruch unwesenÜich divergiert, werm
der Nenner der rechten Seite verschwindet; der Zahler kann in diesem
Falle nicht verschwinden. {Euler 4, Perron 4.)

Das ist nnn gerade die Formel des Satz 2 für & » 0.

III. Die Differentialgleichung (1) geht durch die Transformation
y =« e!^0 über in die folgende:

(15) {ß - y)ß = (y + x)z + xz\
Diese hat das partikuläre Integral

und das ist die einzige im Nullpunkt reguläre Funktion, welche der
Differentialgleichung (15) genügt, wenn man wieder den Fall ausschließt,
daß die Zahlen j3 und y — ß beide der Reihe 0, ~ 1, — 2, . . . angehören.
Daher ist

(16) a>, (^, y ; a;) = Ce» *i (y - /3, y ; - a;) ;

den Wert der Konstanten G findet man^ indem man :r —> 0 setzt, wobei
aber, falls y = 0, — 1, — 2, . ... ist, zuvor durch x^"'' zu dividieren ist.
Es kommt in allen Fällen: C =» 1.

Durch logarithmische Differentiation folgt aus (16):

^i(fty;«) ^ <^i(y — fty; -a;)

oder mit Rücksicht auf (7):

p^(^ + 1, y + 1; a;) _ j _ (yjriL^i (y-P+i,y + i;-x) ^
*i(fty;^) *i(y — fty; — a:)

Wendet man auf beide Seiten dieser Gleichung die Formel (8) an und
multipliziert mit x^ so kommt:

(17)

• • •

L :, _ (1 -!>-:. _ /-^-.^^i;^ - ^-? +J)^' - . . (Perro« 4),

l y + ^ |y + a:+l |y + a;+2 ^ ^'

§81. Die Keitenbrüche, bei denen a^=a-\-bVf b^'^^c+dv. 479

wobei im Fall eines verschwindenden Teilzählers der betreffende Ketten-
brach bei diesem abzubrechen ist, und wobei die Gleichheit auch in der
Weise stattfinden kann^ daß jeder der beiden Kettenbrüche unwesentlich
divergent bzw. sinnlos ist. Unsere Bedingung , daß die Zahlen ß und
y — ß nicht beide der Reihe 0, — 1, — 2, . . . angehören dürfen, läßt sich
dann dahin aussprecheu, daß wenigstens einer der beiden Ketten-
brüche (17) nicht abbricht. Übrigens läßt sich auch umgekehrt zeigen,.
wo7on wir aber absehen wollen, daß die Formel (17) tär x + 0 niemals
richtig ist, wenn beide Kettenbrüche abbrechen {Perron 4). Am inter-
essantesten und nützlichsten ist nun der Fall, daJB einer der beiden ab-
bricht. Setzt man etwa /S — y = » = 0, 1, 2, . . ., so kommt

Satz 4. Der unendliche Keitenbruch

(y + ^O-'c I , (r + n + l)x\ (y + n + 2)a; ,
y — a; "^ | y — x+1 "^ | y — x + 2 "^ >

wobei n «■ 0, 1, 2, . . . ist^ während y und x ganz belieinge Zahlen sind,
nur so, daß kein Teihähler verschmndet, ist gleich dem endlichen KeUen-
bruch

jnx I (n — l)a; | (w— 2)g ^ ' ^ _

•*'t-|y + a.1-|y + a;+l "^|y + x+2 -^ ' " -^ \y + x + n-i

Faüs dieser letztere sinnlos ist, ist der erste unwesentlich divergent.
Erstes Beispiel. Für n » 0 und n <— 1 erhält man:

(18)

r« I ^ (r+Da^ I ^ (r + 2)«^ I , ^

\Y — X I y — x+l \y — x-\-i

(y + 0,--l,--2,...;x + 0),

( (y + 1)X\ (r + 2)x I , (y + 3)^ ' ^X{Y + 1+X)

)\ y^X '^ \y-x+l '^ \y-X+2 ^

(19) ll^""^ |y — ^+1 |y — ^ + 2 r + x

l (y + -l,-2,-3,...;x + 0).

Da in (19) für x = — y der Nenner rechts verschwindet, wird der Ketten-
brach unwesentlich divergieren. Geht man also zum reziproken Wert
über, so kommt:

(20) i 2y + l i 2y + 2 2y + 8

1 (j, 4. - 2, - 3, - 4, . . .) {Perron 4).

Wir haben hierbei den Wert y ==» — 1 nicht ausgeschlossen, weil er
nachträglich wieder zugelassen werden kann; dann geht nämlich die
bereits bewiesene Formel (9) für w =- rc =- 1 hervor. Auch der Fall
y » 0, der allerdings kein Interesse bietet, ist offenbar zulässig.

480 Elftes Kapitel.

Zweites Beispiel. Für y=x^l erhält man, wenn »=0,1,2,... ist:

I 0 " "^ , 1 "^ j 2 "^ ■^"^|2"^| S "*" r"]» + i>

woraus sogleich auch folgt:

(n±2\ n + Sj n+J] n+l| nl n-l| , 1 i

(21) I 1 "^1 2 "^1 3 "^ ^1 1 '^\2^\ 8 '^•••-'■|n-j-l

1 (n = 0,1,2,...) (Euler 12).

Der unendliche Kettenbruch links ist also für n » 0, 1, 2, . . . stets
rational. Dagegen ist das für n = — 1 nicht mehr der FaU, da er

dann nach (12) für & = 1 den Wert -^ hat.

IV. In der Theorie der Gammafunktion setzt man

<22) -P^CW-^^'-TT^ (y+0,-1,-2,...),

v = 0

wofür man, wenn y oder wenigstens der reelle Teil von y positiv ist,
auch schreiben kann:

(23) P^{y) =fe-^uy 'du (SRCy) > 0).

0

Das ergibt sich einfach, indem man für e" " die gewöhnliche Reihe setzt
und dann gliedweise integriert. Aus (22) folgt sogleich durch Vergleich

mit (2):

<24) P^{y) = r(y)xy a>, (y, y + 1 ; - x),

und daher nach (16) auch, weil dort (7=1 sein mußte:

<25) P,(y) = r(y)xye-'0, (1, y + 1 ; x) .

Demnach ergibt sich aus (8) für /? =» 0, wenn man zum reziproken Wert
übergeht:

<26) ex ''p,(y) = ^_^ + |^-----. + -_^-^ + |--_^J + ...

(Schlömüch 2, Perron 4).

Einen zweiten Kettenbruch für P^{y) erhält man, wenn man in (17)
ß, y ersetzt durch 1, y + 1; dadurch kommt zunächst:

___ « J ??^__lj 3^ I

y + x+l |y + a:+2 1/ + ^ + ^

§ 82. Die Kettenbrüche, bei denen ay==a + 6v-fcv',6y=cJ-fcv. 481

Addiert man beiderseits y — x und geht dann zum reziproken Wert
Ober, so kommt links gerade der Kettenbruch (26), und man erhält
alBo auch:

{Nachreiner 1, Lerch 1, Perron 4).

§ 82. Die KettenbrQche mit dem allgemeinen Glied

<*»!__ g + fty + cy'l

V

I. Wir behandeln jetzt nach der gleichen Methode die hypergeome-
trische Differentialgleichung

U) aßy^[y^(l+a + ß)x]f/' + (x ^ x')y'\

Eine yersuchsweise Integration durch den Ansatz y ^ ^^D^x^ liefert
für die Koeffizienten D^ die Rekursionsformel

(« + V)(ß + V)B, - (y + i;) (1 + V)D^^,.

Wenn daher die Zahlen a und y — a beide der Reihe 0, — 1, — 2, . . .
angehören, so gibt es zwei Integrale dieser Form, nämlich:

— o

Das gleiche tritt ein, wenn die Zahlen ß und y ^ ß beide der Reihe
0, — 1, — 2, . . . angehören. Diese zwei Falle schließen wir von nun an
aus. Dann gibt es ein und nur ein im Nullpunkt reguläres Integral
unserer Differentialgleichung, nämlich nach der obigen Rekursionsformel
das folgende:

(2) y'-^iK/',?,^)-r(yj + r(-+r)rr + ' 1^+2) — 2i+-"-

Diese Reihe verschwindet identisch nur in den ausgeschlossenen Fällen.
Andernfalls hat sie den Konvergenzradius 1 ; nur wenn mindestens eine
der Zahlen a, ß gleich 0, — - 1, — 2, . . . ist, bricht sie ab, ohne identisch
zu verschwinden. Außerdem genügt sie, wie man sofort verifiziert, der
Funktionalgleichong

(3) F,'(a, ß, y; x) - aßF,(a +1, ß + l,y +1- x),

wo der Akzent Differentiation nach x bedeutet.

Perron, Kettanbrflohe. 81

482

Elftes Kapitel.

Die Differentialgleichung (1) hat im Endlichen nur die singnlaren
Stellen a; » 0 und x ^1. Schneiden wir also die o^-Ehene Uuigs der
reellen Achse von -f* 1 his -f- oo auf, so ist die Reihe (2), da sie für
X ^0 regulär ist, eine in der aufgeschnittenen Ebene überall reguläre
und eindeutig fortsetzbare analytische Funktion; wir wollen sie überall
mit F^ bezeichnen. In der Umgebung einer beliebigen Stelle 1, die
nicht dem Schnitt angehört, gilt dann die Taylorsche Reihe

00

(4)

^i(a, ß, r, X) = 2Ä ^''(«' p' y; ^) (* - ^y

»=0

Ihr Konvergenzradius ist, wenn «, ß von 0, ~ 1, — 2, . . . verschieden
sind, endlich, da i^^ alsdann keine ganze Funktion ist. Weil aber die
Differentialgleichung im Endlichen nur die singulären Punkte x <— 0
und a; = 1 hat, weil das Partikulärintegral F^ für x = 0 regulär ist,
weil endlich jede Stelle | in der aufgeschnittenen Ebene geradlinig vom
Nullpunkt aus erreicht werden kann, wird der Konvergenzkreis der
Reihe (4) gerade bis zum Punkt x « 1 reichen. Der Konvergenzradius
ist also gleich { 1 — | { und nach der Gauchy-Hadamardschen Formel
für den Konvergenzradius ergibt sich somit:

(5) lim 8up f^ F^^a, ß, y; |) | = y^ (für a, ^ + 0, - 1, - 2, . . .).

Nach diesen Vorbereitungen differenzieren wir die Gleichung (1)
i/-mal und setzen dann für y das Partikulärintegral JP^ ein; so ergibt sich:

(6)

(a + v){ß + v)F^\a,ß,r,x)
= [y + V - (2t;+ 1 {■tc + ß)x\I^;^'-\a, ß, y, x)
[+ (X - x>)F^;^'\a, ß, r; X) (v = 0, 1, 2, . . .)•

Nun seien zunächst die Zahlen a, ß von Null verschieden, aber wenig-
stens eine von beiden negativ ganz. Wegen der Symmetrie in a, ß
dürfen wir annehmen, daß etwa a «= — w, und ß von 0, — 1 , ... — (n — 1)
verschieden ist; zugleich muß auch, damit nicht einer der ausgeschlosse-
nen Fälle vorliegt, y + n + O? — 1^ — 2,... vorausgesetzt werden, aber
weitere Einschränkungen sind nicht nötig. Dann ist F^^ ein Polynom
vom n**^ (nicht geringeren) Grad, also

tT\- n, ß, y; x) + 0, lf^'\- », ß, y; x) - 0,

SO daß aus (6) speziell hervorgeht:

§ 82. Die Eettenbrüche, bei denen a^^^a-^-hv + cv^ b^^^d-^-ev. 483
iTi- n, ß, y; .) - - ^ + 7;i^|j-:^ It^'\- n, ß, y; .)

X — ä'

»(1'+»)

(n-i.)(^ + i.)^i

i^rX-^^/»^y5^) (v = 0,l,...n-2).

l^,^*~^-n,/J,y;a:)

Nach Satz 44, Kap. VU folgt hieraus:

x — x^

F^{—n,ß,y;x)
FA—^^ßf7y^)

n/?

y + l~(8 — n + |J)aj

x — Ä'

2 • (/J + n — 2)

(n- !)(/?+ 1)

(n — l)(|S + l)(a; — Ä«)

_y — (i-« + fta;

y + n— 1 — (n — 1 +P)x
r7(ßZf-n-- 1)

(n-2)(j3 + 8)(g--g')|

— n/?

+

n|3

|y+l-(8-n+/3)ar

y +'n — 1 — (n — 1 + (3)a; *
oder nach Multiplikation mit — n/3 und mit Rücksicht auf (3):

(7)

y —

_ _i:_(H- n-l)(a?-a;«) I F, (- n,^y3^

|y + n-l-(n-l + fta: 2i;(-n + 1,^ + l,y + l;a:)
(/J + 0, - 1, . . . - (n - 1); y + n + 0, - 1, - 2, . . .).

Dabei ist für die Nullstellen des rechts stehenden Nenners der Eetten-
bruch sinnlos. Für die von o; — 0 und ^ *- 1 verschiedenen Nullstellen
dieses Nenners kann außerdem nach dem gleichen Satz der Zähler nicht
yersch winden y weil dann alle Teilzähler des Eettenbruches yon Null
verschieden sind.

Wir wenden uns jetzt dem Fall a, /J + 0, — 1, — 2, ... zu. Als-
dann läßt sich das Gleichungssystem (6) folgendermaßen schreiben:

(8)

\+"Vl'.tifi7-^W:^r''('.f.r,') («-0,1.2....).

Da JF\ nicht identisch Null ist; so können nicht alle Ableitungen
F^^\v - 0, 1, 2, . . .) verschwinden. Folglich ist auf (8) für rr - a?« + 0

der Satz 46, Kap. VIl anwendbar^ und zwar das Kriterium D, voraus-
gesetzt daß

31*

484 Elftes EapiteL

lim_8up"|7i;i?^'>(a,/J,y;a;) <|^

ist, unter q^ die absolut kleinere Worzel der Gleichung
(9) q^'^(1-'2x)q+X'-x*

verstanden. Wegen (5) läßt sich dieser Bedingung die einfachere Form
geben:

Da die Wurzeln der Gleichung (9) aber l — x und — x sind, so besagt
das soviel wie 1 1 — :r { > | rt; | . Diese Bedingung ist gleichbedeutend

damity daß der reelle Teil von x kleiner als — ist; alsdann wird man

also den Satz 46, Kap. YII auf das Gleichungssystem (8) anwenden

können und erhält daher fCLr o: 4" 0 ^i^d 9t(a;) < y :

F[{a,ß,y;x)

l-2{x — x*) , 2'^{x — x^

t-[Y'-{t + €c + ß)x] aß' I (a + i)(ß^-i)

^ aß ^ 2[y-hJ.-(8+a+ftx]"^ 8fy + 2-^6 + a + ftxJ "^

(a + l)lß+l) (a + 2)(P + 2)

(« + 1) (P + 1) (a; - ««)

= y-(l + « + P)a: Ol _,{a+J){ß + 2)(x-x*)\

~ <^ß '^\Y+l'-(S + a + ß)x "^j y+2-(6+a + fta; "^** '

oder nach Multiplikation mit aß und mit Rücksicht auf (3):

y ^^i-«-t-P;*-|-|y + l_(3 + a + ßx -•-.y + 2-(6 + « + ft«

(10)

+ (?L+l)J^+_*) (* - ^5J + . . . = *"'« («' /*< r 5 «)

y + 3-(7 + a + ^)a: ' F, (a + 1./} + 1, y + 1;«)

(x + 0 , 81 («)< I ; a , /J + - 1, - 2 , - 3 , . . .) ,

wobei für die Nollstellen des rechtsstehenden Nenners der Zähler nicht
verschwindet, und der Eettenbruch anwesentlich divergiert. Der Wert 0
fQr a oder ß war zwar bei unserm Beweis anch auszuschließen; er kann
aber nachträglich wieder zugelassen werden, sogar zusammen mit
y = 0, — 1, — 2, • • •. Die Formel (8) ist nämlich für v — 0 weg^n (3)
gleichbedeutend mit:

^i(«, ^, y; ^) - [y - (1 + « + ß)^]Fii<^ + 1, /S + 1, y + 1-, x)

+ (« + l)(/3 + l)(x - x')F,(a + 2, /3 + 2, y + 2; x),

§ 82. Die Eettenbrüche, bei denen ay'=^ a-]-bv-\- cv\ b^=^d-{-€v. 485

und diese Gleichung gilt^ wie man durch Einsetzen der Potenzreihen
für JP\ leicht verifiziert, auch für a/J — 0. Ist etwa /? =• 0, so folgt
daraus:

lJ^,(a + 2,2,y + 2;a;)

und wenn man hier rechts den Kettenbruch (10) für /3 » 1 einsetzt,
wobei a und y um eine Einheit zu erhöhen sind, so geht gerade die
Formel (10) für /} » 0 hervor.^) Genau so zeigt man auch, daß in der
Formel (7) der dort ausgeschlossene Wert j3 =- 0 tatsächlich noch er-
laubt ist.

SchUeßlich sind in (10) auch noch die negativen ganzen Zahlen
für a und ß zulässig, vorausgesetzt, daß man danli den Kettenbruch bei
dem ersten verschwindenden Teilzähler abbricht; alsdann geht nämlich
(10) über in die schon bewiesene Formel (7). Mit diesem Vorbehalt
sind somit in (10) endgültig nur die folgenden zwei Fälle auszuschließen:

1. Die Zahlen a + 1, y — a gehören beide der Reihe 0, — 1, ~ 2, ... an.

2. Die Zahlen j3 + 1, y — /S gehören beide der Reihe 0, — 1, — 2, . . . an.
In diesen Fällen würde ja auch die rechte Seite von (10) die bedeutungs-
lose Form — haben.

Wir bemerken hier noch die für j3 « 0, y =» — m aus (10) hervor-
gehende Spezialformel:

(11)

^ ' ^ |1 — m — (8 + a)x ' ,2 — m — (6 + a)a:

^ iS — m—iT + aix ^

für m - 0, 1, 2, . . .; « + - 1, - 2, - 3, . . .; a? + 0, «(a?) < | •

IL Aus der Gleichung (10) entsteht durch Multiplikation mit einer
willkürlichen Zahl d{+ 0):

[y - (1 -f- a + ß)x]S + ^7+ 1— (3-+TTM<J

Mit diesem Eettenbruch suchen wir nun den folgenden zu identifizieren:

, ^H-& + cj a + 26 + 4c| a + Hb + dej «"L^A+i?^ 4_

1) Hier ist die Fnfinote von Seite 476 8iimgemäfi zu wiederholen.

486 Elftes Kapitel.

Dabei ergibt sich

(12) a - aß{x - a^)S*

(13) b~{tt + ß)(x- 3^)d*

(14) <!-(«- X*) S*

(15) d-[y-(H-a + /J)a;]*

(16) e-(l-2a;)*.

Aus (14) und (16) folgt aach noch:

(17) c*+4c-d*.

Da d + 0, «(«) < y, a; + 0 sein muß, so ist wegen (14), (16), (17)

jedenfifJls

^ c + 0, e + 0, e»+4o + 0

YorauBzusetzen. Aus (16) und (17) folgt dann weiter
/1ß^ «. ^ ^ ^ ^ ^

Da 8l(2r) < y sein muß, so ist demnach auch der Fall auszuschließen,
daß die Zahl -^ -.—r- nemtiv reell ist: und das Vorzeichen der Wurzel

in (18) ist dann so zu wählen, daß der reelle Teil von — - r= positiv

wird. Die Zahlen a, /J gehen aus (12), (13), (14) als die Wurzeln der
quadratischen Gleichung cz^^bz + a ^0 hervor; endlich y ergibt sich
aus (15):

y-(l + a + |3)^ + 4=-(l+-3^ + 4

V ^ e)\2 2 Ve^JTÄ^) ^

Somit kommt schließlich, wenn wir uns der bequemeren Formulierung
halber auf nicht abbrechende Kettenbrüche beschränken:

Satz 5. Der unendliche KettenbmAdi

, a + 6 + c| a + 26 + 4c| a + 36 + 9c| a + A6+16c,
»"Ti d-f-e +1 d'Jr'^e "^|"d + 3c "^1 d-f4(5 "^

mü lauter von Null verschiedenen TeüeäMem, hei welchem außerdem

c' -4- 4 c

C + 0; ß + 0? c* + 4c + 0 wnei die Zahl — ^ — nicht negativ redl ist,
ist gleich dem Quotienten

Ve*+ 4c • F,{a, ß, r, x) : F,{a + l, ß + l,y + 1; x).

§ 82. Die Kettenbrüche, bei denen ay= a + 6v + cv\ 6^= d+ cv. 487

Dabei bedeutet F^ die durch Formel (2) definierte Beihe und deren ana-
lytische Fortsässung für 81 (x) < - • Femer sind a, ß die Wurzeln der
quadratischen Gleichung ez^—hz + a^Q\ endlich ist

uiu2 das Vorzeichen der Quadratwurzel muß überall so gewählt werden, daß
füf-y. ^.-^"1 > 0 wird.

Verschwindet der Nenner des Quotienten, so kann der Zahler nicht
verschwinden, und der Kettenbruch ist dann unwesentlich divergent.

Beispiel. Bei dem Eettenbruch

^^|2 ^|8 ^,4 ^|6 ^

ist a = 0, 6 =« c ==» ei = e — 1. Man erhält also:
und der Kettenbrucb ist daher gleich

1/6

-'{--'■' ^) -.('•-*i^)

2]/6 / v iyi

N an ist aber

F ^ o o.V^-l\ 1-2T/6-1 (l-a)-(8-8) /T/6-l\

^ \ ' ' ' "Tj^T/ ■ ■*" a'ii 2 v^r "^ 3T2! v"Tpr/

(1 ■ 2 ■ 3) • (2-8-4)/v/5— 1 \* ,

"•■ 4!"8I V'aVö'/"^"""

. 1 + V^jzi + /V?zil\V z' V^ziiV+ . . . — ili- .

^ 2]^ ^l, 2]/6 ;^V 2|/6 ^^ V6 + 1

Der Eettenbruch wird also gleich

1/5. 2V? =_>^+i.

'^ ^6+1 2

In der Tat ist er auch äquivalent mit l + |i+ri+ji+'-

488 Elftes Kapitel.

III. Die Differentialgleichung (1) geht durch die Transformation
y =-= (1 — xf''^''^z über in die folgende:

(19) (y - a)(y - ^)^ « [y - (1 + y - a + y - /3)a:]/+ (x - J^y\

die von gleicher Bauart ist und das partikuläre Integral hat:

(20) ^-Fi(y-a,y-^,y;a;).

Die Funktion (20) ist nicht identisch Null und ist das einzige im Null-
punkt reguläre Integral der Differentialgleichung (19)^ wenn wir wieder
die Fälle ausschließen, daß jede der Zahlen ttyy — a oder jede der Zahl^i
fi,y — ß der Reihe 0, — 1, — 2, . . . angehört. Es ist daher

(21) F,(a, ß, r, x) - C(l - xy-'-^F.ir -a,y-ß,r, x).

Die Eonstante C ist wieder gleich 1, was wir übrigens nicht brauchen.
Durch logarithmische Differentiation folgt aus (21):

oder unter Berücksichtigung von (3):

aßF,{a + l,ß + l, y + l^x)
F,(a,ß,y;x)

„ a+_^-y (^y^t,){y^ß)F,(y-a + l,y-ß+l,y + l;x)

— 1 — a; "^ F^{y — cc,y — ß,y;x)

Auf beide Seiten dieser Gleichung wenden wir die Formel (10) an und
ersetzen die entstehenden Kettenbrüche durch äquivalente, indem wir

jedem Teilnenner den Multiplikator - — beifcLgen. Multiplizieren wir
dann noch mit o; und machen die Substitution - — = £, wodurch die

1 — 0? ''

Bedingung 3l(rc) < ^ sich transformiert in | J | < 1, so kommt schließ-
lich die schon von JS/uler 2 angegebene Formel:

(22)

«<»l I ^ («+!)(/?+!) g_ _ I _j_ («+8)(p+8)g ,

|y-(l+«+|J-y)| ' |y+i-(2+a-f.^_y){ ' |y+a-(8+«+^-y)|
_ C„ _L «_ «^t J. (y-«)(y-^l J , (y-ar+l)(y-|!l+l)g |

wobei folgendes Toraaszosetzen ist:

§ 82. Die Kettenbrüche, bei denen a^'^ a -\- bv -\- cv\ 6y=d + cv. 489

l)Esi8t|||<h

2) Nicht jede der zwei Zahlen a, y — a und auch nicht jede der
zwei Zahlen ß,y — ß gehört der Reihe 0, — 1, — 2, . . . an.

3) Wenn nicht alle Teilzähler von Null verschieden sind, so ist der
betreffende Kettenbruch beim ersten verschwindenden Teilzähler abzu-
brechen (bei dieser Festsetzung braucht offenbar auch | = 0 nicht
mehr ausgeschlossen zu werden).

Übrigens kann die Gleichheit (22) auch wieder in der Weise statt-
finden, daß jeder der beiden Kettenbrüche unwesentlich divergiert bzw.
wenn er abbricht, sinnlos ist. Im Gegensatz zu der analogen Formel
(17) des vorigen Paragraphen kann es aber hier vorkommen, daß beide
Kettenbrüche abbrechen; denn es ist nicht ausgeschlossen, daß die
Zahlen a und y — ß beide der Reihe 0, — 1, — 2, . . . angehören; nur
darf dann weder y — a noch ß dieser Reihe angehören. Am nützlichsten
ist der Fall, daß einer der beiden Kettenbrüche wirklich abbricht. Setzt
man etwa a — y ==« w === 0, 1, 2, . . ., so kommt

Sats 6. Der Kettenbruch

_ {y + nm I , (y + n+l)(/?+l)|| (y + ti + 2) (^ + 2)^
jy~(/^ + «+l)S"^ly + l-«? + n+2)|'^|y + 2-(P + n + 3)g"^*"

wobei n = 0, 1, 2, . . . ist, während ß, y, | ganz beliebige Zahlen sind,
nur sOj daß y + w + 0, — 1, — 2, . . . und daß 1 1| < 1 , ist gleich dem
endlichen Ketienbruch

Vr~r'*;5 l«_l_/'Ä_L_•._l^t i«_li_i_^ä-l.«— ö^

y + (^ + n-l)g |y4-i + (|S + n-2)|

(n-2)(y-|S + 2)g | i . (y _ |J + « - l)g |

y + 2 + (/J+n-3)g I y + n-l + /?g

FaUs dabei eifi Teilzähler verschwindet, ist der betreffende Kettenbruch
bei diesem abzubrechen. Ist der zweite Kettenbruch sinnlos^ so ist der erste
unwesentlich divergent, bzw, wenn er abbricht, ebenfalls sinnlos,^)

Beispiel. Für n = 0 erhält man die Formel

ßy^ |_^ (P+l)(y + l){ |_^ (£+2)(y + 2)^|_^ ^^

(23) { |y~(P+i)S ' |y + i-(P+2)g ' |y+2-(^4-3)g

für r<l, y + 0,-1,-2,...,

welche bei Euler 2, Trembley 1, Stern 2 vorkommt. Wenn hier speziell
y = ^ -|- Ij so ist der Kettenbruch äquivalent mit dem periodischen

|i-«"^|i-S'^|i-fi"*'

1) Die Bedingung, dafi (3 und y^ß nicht beide der Reihe 0, — 1, — 2, . . .
angehören dürfen, konnte hier unterdrückt weiden, da ihr Qegenteil mit unserer
Forderung y-|-n4*0i — 1» — 2,... ohnedies nicht verträglich ist.

490 Elftes Kapitel.

und dieser hat für | 5 1 < 1 den Wert jSJ, wie man in der Tat auch mit
Hilfe von Satz 8, Kap. VI oder von Satz 38, Kap. VII leicht bestätigt.
Ist j3 == — w eine negative ganze Zahl, so folgt aus (23):

<24)

_ _^^ _i _ (n^l)(y+l)g I _ (n--2Xy+2)| | ___ _ l-(y+n-l)£| __ ^
y+(n-l)fi |y+l+(n-2)g |y+2+(n-3)i '" | y+n-l "«,

für y + O, -1, -2,..., -(n-1).

Nach unserem Beweis dieser Formel sind zwar zunächst alle negativen
ganzen Zahlen für y auszuschließen, und ist 1 1 1 < 1 vorauszusetzen.
Allein beide Seiten der Gleichung (24) sind rationale Funktionen von
I und y (speziell y tritt, wie die rechte Seite zeigt, nur scheinbar auf).
Dann müssen offenbar nur solche Werte von | und y ausgeschlossen
werden, welche nach Verwandlung des Kettenbruches in einen gewöhn-
lichen Bruch dessen Nenner und Zähler zum Verschwinden bringen.
Für solche Werte verschwindet aber stets auch ein Teilzähler; es können
daher nur die Werte 5 = 0 und y = 0, — 1, ... — (n — 1) sein; doch
ist der triviale Wert | = 0 offenbar noch zulässig. Die Formel (24) er-
gibt sich übrigens auch unschwer aus (7) für ß^y.

IV. Nach Satz 1 wird der Kettenbruch mit dem allgemeinen Glied
. ^^_/~~— ) wobei c + 0, e + 0 sein soll, gewiß konvergieren, wenn

die Zahl — '^- nicht Null und nicht negativ ist. Das ist nun gerade

die Bedingung, welche wir auch in Satz 5 in Kauf nehmen mußten.
Indes ist der Kettenbruch auch im Fall e* + 4c = 0 einer Behandlung
zugänglich, wenn wir uns an früher erlangte Resultate erinnern. Nach

§ 57, Formel (12) ist nämlich, wenn — statt a;, und a -f- 1 statt « ge-
schrieben wird:

(25)

J i^ + uf'"'

du

du

für reelle a + — 1; — 2, ~ 3, . . . und positive /S, 0. Wenn dabei auch a
positiv, so ist der Kettenbruch mit einem Stieltjesschen äquivalent
und, da er für positive g konvergiert, wird er nach Satz 6, Kap. IX für
alle 3, die nicht der negativ reellen Achse inklusive 0 angehören, kon-
vergieren und eine reguläre analytische Funktion darstellen. Da aber
für diese js auch die Integrale in (25) offenbar reguläre analytische
Funktionen sind, wofür wir den ausführlichen Beweis übergehen wollen,
80 gilt für alle diese 0 auch die Gleichung (25).

§82. Die Kettenbrüche, bei denen a^=sa-\-bv + cv\ hy^^d + ev. 491

Wir wollen jetzt auf den Eettenbruch (25) die Kontraktionsformel
(8) des § 43 anwenden^ sodann die entstehende Gleichung mit zd multi-
plizieren, wo d irgend eine von Null verschiedene Zahl bedeutet^ und
dann noch beiderseits die Zahl ßd hinzu addieren. Dadurch entsteht
die Formel:

^^^-ra-rpTA;" ^(^g^cc+ß+s)d '{z+a+ß+b)ö

(26)

/

^ßS

I -TTi du \ I — du

J (-?+ti)« + ^ J {z + uf

l+e

r^u^

\

ßd'-

r^uf

(«+«)

«+i

du

für a > 0, /} > 0, 0 nioht Null und nicht negativ. Mit diesem Eetten-
bruch läßt sich nun der folgende identifizieren:

(c + 0, 6 + 0),

-r , T-, o . + , — j -|-o : r

(27) ^ + rä + e ■! ä + U

I d + Se

vorausgesetzt; daß die Wurzeln der Gleichung cz^ — bz + a=^0 positiv
sind, daß c' + 4c = 0 ist, und daß die Zahl - ,-"— nicht der ne-
gativ reellen Achse inklusive Null angehört. Dabei ergibt sich nämlich
in der Tat:

a aßd^, b (a + ß)ö^, c d«

d^{£i + a + ß + l)S, 6-2*.

Somit ist d — -X-. a,ß sind die Wurzeln der Gleichung c0^—bz + a='O,

also nach Voraussetzung positiv; ferner wird 6* + 4c == 0, wie es sein
soll, und endlich ist

d /b . ^\ . 2d 4&— c*+2de

e

-(«+^+i)+4— (-:-+i)+T-

so daß 0 nach Voraussetzung nicht der negativ reellen Achse angehört.
Die Identifizierung des Kettenbruchs (27) mit (26) ist damit geleistet.
Endlich läßt sich noch der soeben ausgeschlossene Fall vollständig
erledigen, daß gleichzeitig

(28)

6«+4c==0, 46 + 2rf6-6^-0

ist, wobei wir gar nichts weiteres vorauszusetzen brauchen. Aus Satz 10,
Kap. VI folgt nämlich, wenn wir zu dem dortigen Kettenbruch noch
die Zahl ß + 0 hinzu addieren, sodann die Zahlen a, ß, 0 resp. ersetzen

492 Elftes Kapitel.

durch -T , o , ^"ö — (^fts ßine Spezialisierung bedeutet) und schließ-
lich mit einer willkürlichen Zahl 2d(4"0) multiplizieren:

a *, wenn 91 («) > SR (|3), oder a^ß
j3d, wenn 9i(a) < 91 (/J), oder a = /3
divergent, wenn a + ft 9i (a) « 91 (j3).

Dabei findet im Divergenzfall stets ^^wesentliche Divergenz'^ statt, d. h.
der Kettenbruch ist nicht einmal im weitem Sinne konvergent. Sachen
wir nun hiermit den Eettenbruch (27) zu identifizieren, so kommt:

a aßd\ b^-{a + /J)d«, c ^^

d^{a + ß + l)ä, e = 2d.

(29)

Daher ist wieder * — « , und a, ß sind die Wurzeln der quadratischen

Gleichung cz^—hg + a^O. Die übrigen Forderungen (29) sind dann
wegen der Voraussetzungen (28) von selbst erfüllt. Somit ergibt sich

Satz 7. Der Kettenbruch

, a + 6+_c| a-|-26 + 4c! a + Sb + 9c\ a + 46+16ci
^"'"'" d + e "^ \ d + 2e "•" | ' d+Se "*" | d + 4« "* '

dessen Teüzähler alle von Null verschieden sind, und bei welchem außerdem
c4=0, e + 0, e*+4c==0, U + 2de-e^^0

is^, Äa< den Wert — z, wo z diejenige Wurzd der Gleichung cs^ — bjr + a

« 0 bedeutet, weiche den größeren reellen Teil hat Hohen beide Wurzdn
gleichen reellen Teil, so konvergiert der Kettenbruch nur, wenn z eine

Boppdvmrzd ist, und zwar wieder gegen den Wert -^z, ÄndemfäUs di-
vergiert er und ist nicht einmal im weitem Sinne Tconvergent

§83. Die Methode von Gesäro.

I. In anderer Weise hat Cesäro 1 gewisse Kettenbrüche mit Diffe-
rentialgleichungen in Zusammenhang gebracht; doch wurde die gleiche
Methode schon etwas früher von Tannery 1 in einem sehr speziellen
Fall angewandt. Wir schicken zwei Hilfssätze voraus.

Hilfssatz 1. Die Potenzreihen

ao 00

»=0 n=0

§ 88. Die Methode von Gesäro. 493

mögen für \x\<, q Tconvergieren, Die Koefßeienten Q^ seien von einem
gewissen n -Wert an aüe positiv^ und außerdem sei

P

lim ^ = a, lim 9 (a:) = oo ,

wenn sich x wachsend dem Wert q nähert. Unter diesen Varaussä0ungen
ist auch

Hilfssatz 2. Die Potenzreihen

00

n=sO n = 0

seien für alle x konvergent. Femer seien die Koeffizienten Q^ von einem
gewissen n-Wert an positiv, und lim ~* = a. Unter diesen Voraus-

n — 00 Vn

Setzungen ist auch

hm V N = of •

= 00 9 (a?)

«=00

Beweis. Sei s eine beliebig kleine positive Zahl. Nach Voraus-
isetzung ist dann für hinreichend große n, etwa n'^p:

Daher

f (x) n = 0 «=J9 « = 0 «=|>

^^ ip{x) "* p-1 CO » p-1 0»

»aO K=p 11 = 0 0=P

Im Fall des Hilfssatz 1 folgt hieraus fOr 0 < x < p:
(2) l'^l-a ^"-"- - ,- - -.^^iL__

- ^IQnlo' + ^Qn^'
n = 0 n=p

sobald der Nenner positiv ist. Wegen lim 9? (a:) = oo hat aber die

Summe ^^ Q^sf* för x^q den Grenzwert 00. Die rechte Seite der

Ungleichung (2) hat also den Grenzwert £, woraus die Behauptung des
Hilfssatz 1 folgt^ weil ja s beliebig klein angenommen werden darf.

494

Elftes Kapitel.

(3)

Im Fall des Hilfssatz 2 folgern wir aus (1) fSr x > 1 :

fix)

tf{x)

n—O n=p

— a

w-P

00

n=:0 nssp

^ ,-,

-/*

sobald der letzte Nenner positiv ist. Da aber offenbar

00

lim^Q^x-'P^cx>,

**=• n=p

SO hat die rechte Seite von (3) für lim rr^^oo den Grenzwert f, woraus
die Behauptung des Hilfssatz 2 folgt.

IL Wir untersuchen jetzt den Kettenbruch

m ''^J ^ (« + «i)(^+ii)J , (« + 2«,)(^ + 2ft) I (a + 8a,Xp + 3ft) |

wobei wir

(5)

« > 0, /3 > 0, y > 0, «1 > 0, /3i ^ 0, ^^ ^ 0

voraussetzen, so daß alle Elemente von (4) gewiß positiv sind (nur das
Anfangsglied ist Null). Nach Satz 1 fiir p = 1, 2; g = 0, 1 ist der
Eettenbruch (4) mindestens im weitem Sinne konvergent; da aber
seine Elemente positiv sind, konvergiert er auch im engem Sinne-. Wir
bringen ihn jetzt auf die äquivalente limitarperiodische Form

aß

(6)

a + ^i

y_ _

a + aj

ß + ßi I P±2ft| ß + ^h

a + 2a,

y + 2y,
a -|- ÖOj

y + ^yi

a + 4a,

+

und bezeichnen die Näherungszähler und -Nenner v^' Ordnung von (6)
mit Ä^, B^, Dann sind alle Ä^, B^ positiv (nur Ä^ = 0), und es ist

(7)

" ' 1 a + tti a + na, »•■"* ' a-^na^ *•"* \ = /

0 ' 1 « + «1 a+na, *~i ' a + na, »~* ^ ^ '

Aus diesen Rekursionsformeln erkennt man leicht, daß die beiden Reihen

(8)

«0 oo

nsO

« = 0

§ 83. Die Methode von Cesaro. 495

formal die folgenden linearen Differentialgleichungen befriedigen:

\ x(ai - y^x - ßiX^)g>'+ [cc — yx — {ß + ßi)x^]tp =- a .
Die zugehörige homogene Gleichung ist für beide die gleiche, nämlich:
(10) x{a,^y,x^ ß, 3?)y' +[a-yx-{ß + ß,)x*]y - 0 .

Da nach (5) nun a^ > 0 ist, so sind die Quotienten

kleiner als eine von n unabhängige Schranke G^ und aus (7) folgt daher

also a fortiori

Hieraus schließt man aber sogleich

A,+ A,_,<{G+ir-\A,+ A,)
und daher erst recht

Ebenso ist auch

Iniolgedessen hat jede der Reihen (8) einen von Null verschiedenen Kon-
yergenzradius. Diese Reihen sind also wirkliche Integrale von (9) und
konvergieren als solche mindestens in einem Kreis, der durch den dem
Nullpunkt am nächsten gelegenen singulären Punkt der Gleichung (10)
hindurchgeht. Ist q (^ oo) der Radius dieses Kreises, und ist, falls ^
endlich, zugleich

lim 9 (x) =» oo ,

*=?

so wird der Kettenbruch (4) oder (6), da seine Konvergenz ja feststeht,,
nach den Hilfssätzen 1 und 2 den Wert

haben. Der Grenzwert der rechten Seite kann aber durch Integration der
Gleichungen (9) direkt berechnet werden. Ist y ein Integral der homo-
genen Gleichung (10), so erhält man die Integrale der Gleichungen (9),
indem man f(x)^yu, q>(x)^yv in (9) einsetzt. Dadurch ergibt sich:

x(cc^ — y^x — ßiX^)yu =» aßx]

496 Elftes Kapitel.

Folglich

wo C^y C, Integrationskonstanten sind. Schließlich kommt also

<12)

Dabei sind nach willkütlicher Annahme einer unteren Integrationsgrenze
die Eonstanten C^, C^ noch passend zu bestimmen, damit f{x\ g>(x)
wirklich die B^unktionen (8) werden. Wir wollen jetzt verschiedene
Fälle im einzelnen durchrechnen.

ni. Wir setzen zuerst

Die Gleichung (10) lautet dann

(13) xy + {a — yx — x^ y =^ 0 ]

sie hat außer x =^0 keinen singulären Punkt im Endlichen, so daß der
Eonyergenzradius der Reihen (8) gleich oo ist. Bringt man (13) auf
die Form

y' f^ , i

— = [- y + X,

y X ' ^

SO folgt sogleich durch Integration

«»

y^x e
Daher nach (12):

-a/*+2

y*+ö"/ /* — yx —

ar»

denn, da a positiv, ist es offenbar erlaubt, die untere Integrations-
grenze 0 zu wählen. Da nun die außerhalb der Klammem stehenden Fak-
toren für lim x = 0 unendlich werden, da aber die Funktionen f(x)j g>{x)

§ 88. Die Methode von Cesäro. 497

nach ihrer Definition (8) für o: » 0 regulär sind^ müssen die Klammer-
größen für rr — 0 verschwinden; dies gibt Cj «0, Cg = 0. Daher ist

X e dx

TW 0

.1

m (x) « *'

/«.-,

Der Eettenbruch ist nun nach dem Bewiesenen gleich dem Grenzwert
dieses Quotienten für o: = cx>. Also kommt:

a? c da:

0

da ja diese Integrale offenbar existieren. Damit ist die Formel (6) des
§ 80 zum zweitenmal bewiesen; man braucht nur, um sie genau zu er-
halten, zum reziproken Wert überzugehen.

IV. Wir wenden uns jetzt zum Fall

Die Differentialgleichung (10) lautet dann

(15) x(l - x)y' + (« — y^ - ßx^y — 0.

Sie hat im Endlichen nur die singulären Stellen rr » 0 und x^lj so
daß der Eonvergenzradius der Reihen f{x\ q>(x) also mindestens 1 ist.
Die Gleichung (15) läßt sich folgendermaßen schreiben:

^ = — ^ — -— P~y _ ß

y X 1 — X '^*

woraus durch Integration folgt:

y^x^^l^xy^-'e-^^
Daher nach (12)

X

fix) - x-'il - x)'-^-' e-^'{c,+ aßf x'il -xf^^-'-'e^'d:^,

0

X

q>(x) - a;-"(l - x)''-''-'e-^'(c, + afx'-'il -xY^^'-'-^^'dx) ,

0

da die untere Integrationsgrenze 0 offenbar wieder erlaubt ist Die außer-
halb der Klammem stehenden Faktoren werden für lim ri; «— 0 wieder

Perron, Kettonbrttohe. ' 32

498

Elftes Kapitel.

unendlich, so daß die ElammergroBen selbst für x » 0 yersch winden
müssen. Das ergibt wieder C^ ^0, C^^ 0. Setzt man dann noch

ß+y-a>0

voraus, so wird lim ^{pc) = ooy woraus auch folgt, daß der Konvergenz-

»«=1

radius der Reihe ip{x) nicht größer als 1, sondern also gleich 1 ist
Der Eettenbruch ist dann nach dem Bewiesenen gleich

lim ^^% = lim —^

i9(«)

»^\

et ra;«~^(l-a:)/* + y-«-^«/*'d«

Da diese Integrale wegen /3 + ;/ — a > 0 bis zur Stelle x= \ erstreckt
werden können, ergibt sich also:

(16)

\t

y + i

y + 2

I r + 8

/» T

/^««(l -«)'*+''-"-*

-"-^fi'd

X

für

rx''-\l-x)i'+r-<'-iffi'a

(a>0, ß>0, r>0,
ß+Y-a>0

X

{Euler 5, 10, Perron 4). Ein Spezialfall dieser Formel findet sich auch
bei Gesa/ro 1. Übrigens läßt sich die Formel (16) auch aus dem all-
gemeinen Satz 2 herleiten, sogar mit einem etwas weiteren Geltungs-
bereich {Perron 4).

Wir wollen noch einen bemerkenswerten Spezialfall aus (16) her-
leiten. Setzt man a — 1 und ersetzt y durch y — /3 -|- 1, so kommt,
wenn man noch beiderseits die Zahl y — ß hinzuaddiert:

(17)

ß
r-ß+

y - ^ + n^ä+i + [7=?"- + • • • =

\r-ß+i

X

r{l — xf^e^'{y-'ß+ßx)dx

i '

Cil^xy'^e^'dx

{ß>0,y>0,y+l>ß).

Hier ist aber der Integrand des Zählers die Ableitung von —(1 —xYe^*]
das Zählerintegral ist also gleich 1. Das Integral des Nenners aber

geht durch die Substitution a; = 1 — ^ über in

§ 88. Die Methode von Cesäro. 499

0

(vgl § 81, Formel (23)). Geht man also in (17) zum reziproken Wert
über, so kommt:

I (/J>0, y>0,y+l>Ä.

Damit ist die Schlömilchsche Formel (26) des § 81 für den FaU
positiver Elemente zum zweitenmal bewiesen.

V. Wir nehmen jetzt den Fall

Die Differentialgleichung (10) lautet dann:

(19) x{l - x){a, + ß,x)y' +[a-yx^{ß + ß,)x']y - 0.

Der dem Nullpunkt am nächsten gelegene singulare Punkt ist also x^l^
so daß die Reihen f(x), q>(x) mindestens den Eonyergenzradius 1 haben.
Die Gleichung (19) läßt sich folgendermaßen schreiben:

wobei

ist. Durch Integration kommt
und daher nach (12):

X

fix) = «-^(1 -x)-\a,-^ ß,xf(c, +aßfx\l -xf-\a,+ß,xy'^'dx) ,

0

X

<p(.x)-x-^il-x)-\a, + ß,xf(c,-\-afx^-\\-x)^\a,+ß,x)-^'dx);

0

denn es ist -4. > 0, und daher die untere Integrationsgrenze 0 gestattet.
Da die Terme außerhalb der Klammern für lim rc =- 0 unendlich werden,
muß wieder (7^ — 0, Cj •= 0 sein. Setzt man femer JS > 0 voraus, so
wird lim 97(0;) = cx), so daß der Eonyergenzradius der Reihe (p(x) nur

gleich 1 sein kann. Der Eettenbruch wird dann gleich

82*

500

ElftM EM>itel-

lim 41- - lim -^

1 9(«)

»al

also, da die Integrale wegen jB > 0 wieder bis o; =» 1 erstreckt werden
dürfen:

(21)

aß\ (« + «.)(P + ft)| (a + 2a,)(p -Mft) ,

^-T

1

_ /«>0, ß>0, y>OA
^1 \«i^ft>0, -B>0/

/V-Vl-a;)^~^«, + fta?)-^~^da;

wobei ^, JB, 0 die Werte (20) sind {Euler 8, 6).
Speziell für a^ « /3^ =-» 1 kommt:

«£j (« + 1)(P + I)| . (a + 2)(^ + 2)|

Ir "^1 r "^r y "^ " " '

(22)

/«"(i — «)*

(1 + a:)

L(^_a-y-l)

d^

-ß^

|(/!?-a+y-l) i.(^-.a-y-l)

0

(a > 0, /S > 0, y > 0, /S - « + y + 1 > 0),

und wenn man auch noch a = ß ^ l setzt:

7-1

(23)

Ir ^|y ^\y ^Ir ^

0

dx

1+x

1 y-1

dx

(y>0)

(f'tOer 6).

Für ^»aH- 1 folgt aus (22), wenn man durch a dividiert ond 2y
statt y schreibt:

$ 88. Die Methode von Gea&ro. 501

/ «+1| («+!)(«+ 8)1 (« + a)(« + 8)| (« + 8)(«+4)|

1

(24)

0

0

/a>0\
ly>0J

Hier formen wir den Nenner durch partielle Integration nm in

SaO SasO

In gleicher Weise lafit sich der Zähler umformen. Addiert man dann
noch beiderseits die Zahl 1, so entsteht die Formel Ton Cesdro 1:

1 -J. « + ^1 j. («_+.!) (?L+ 2)J . (« + »)(«+ 8)1 . (« + 8)(a-[-4)J

(25).

, "^ U + »^ ^-« /a>0\

Mit Hilfe der Formel (21) lassen sich auch einige frOher erlangte
Resultate Ton neuem bestätigen. Setzt man nämlich

a-j,, /J-g|, «1=1, ft-6, y = r-(l+p + q-r%

so wird nach (20)

A=p, B^r — p, C — r — q—1,

und die Formel (21) geht Ober in:

P26 _l . (P+l)(g+l)l _ I . __(£+2)(9+2)S ' ,
>-(l-|-i»+4-r)l "^ lr-|-l-(a+|.+J-r)5 "^ |r+2-(8+P+9-r)6 "^ " '

(26)

V ;^ 1 (r>p>0, q>0, 1^|>0,\

502 Elftes Kapitel.

Führt man hier eine neue Integrationsyariable y ein mittels der Sab
stitntion

X

80 geht die rechte Seite Yon (26) zunächst über in
(27) -^, 0 •

0

Der Zähler in (27) läßt sich aber anders schreiben. Es ist iwmlich

identisch

1

0

1

''(fi + q-r)fy'~''-\i-yY-\i + iyy'dy

0

1

+ {r-i)jV~'i^-9)'"\i. + ^yr'dy,

0

wovon man sich leicht überzeugt^ wenn man alle Olieder auf die linke
Seite bringt und unter ein Integralzeichen vereinigt; dann ist der Inte-

grand nämlich einfach die Ableitung nach y von y'^"'(l — yY{l + ly)"' :
das Integral also Null. Der Ausdruck (27) ist daher auch gleich

(r-q)^ /y''"^(i-y)^~'(i + £y)"^rfy

ß'-P-\l-y)P-\l + ^yr9dy

0

Der hier auftretende Bruch unterscheidet sich nun von dem in (26)
auftretenden nur dadurch; daß die Zahlen p, q durch r—p, r — g er-
setzt sind. Er läßt sich also, wenn noch r>g und r>(l--p — 9 + r)l
vorausgesetzt wird, durch den analogen Eettenbruch ausdrücken, wo-
durch man schließlich erhält :

1) Führt man dies in (26) ein und setzt noch y^^e'^^^ so entsteht eine
für £ a« 1 bei StieUjes 8 vorkommende Formel.

§ 84. Die Formel von Pincherle. 503

P^^ I + (P+^)(g+l)6 I ^ (P+2)(g4-2)S , _j_

r-(l+l>+3-^)6 • |r+l-(2+i)+g-r)| ' |r+2~(3+p+g-r)5

für 0<6^1, r>p>0, r>q>0,

r>(l+j9 + 2-r)|, r>(l-p-3 + r)6.

Das ist nun wieder die Formel (22) des vorigen Paragraphen, die
allerdings dort in viel weiterem Umfang bewiesen wurde. Nur an einer
Stelle reicht auch der jetzt erlangte Geltungsbereich über den früheren
hinaus, indem der Wert £ » 1 jetzt zulässig ist. Gleichwohl liefert uns
auch dieser Wert kein neues Resultat, sondern nur eine interessante
Bestätigung der Formel (32) des § 47, welche nämlich durch die Sub-
stitution

aA-b + c a — 6+c a-\-h + 2c

nach Multiplikation mit c entsteht.

§ 84. Die Formel Ton Pincherle.

I. Wir wenden uns jetzt den allgemeinen Kettenbrüchen der Form

(1) *o+^ +,>' + ••• (a,+ 0,v = l,2,3,...)

ZU, bei denen a^, b^ ganze rationale Funktionen von v sind. Dabei soll,
wenn a^ vom p^ b^ vom g*®" Grad ist, 0 <^ ^ 2g sein. Ohne weitere
Beschränkung der Allgemeinheit darf dann auch p^q vorausgesetzt
werden. Denn wenn das nicht von vornherein der Fall ist, so läßt sich
der Eettenbruch doch durch einen äquivalenten mit dieser Eigenschaft
ersetzen, z. B. wenn alle 6^ + 0, durch

Wir wollen daher schon bei dem Eettenbruch (1) die Ungleichungen
0 < q^p ^2q voraussetzen. Dann zerlegen wir das Polynom a^
irgendwie in zwei Faktoren: «^=^^-.1^^, wobei c^__^ genau vom
q^^ Grad sein soll, also d^ vom (p — q)^^, d. h. höchstens q^^ Grad.
Der Eettenbruch (1) schreibt sich dann folgendermaßen:

(2) 6^ + ^^ + ^_^ + --^-- + ... (^^^^0,1.^1,2,3,. j
und ist daher äquivalent mit dem limiiärperiodisclien

d.

«i.1 . e,

(3) h+'r +

0

c, I c, I c, I c.

504 Elftes Kapitel.

Wir setzen nun

<^y^n+ 71^ + yiv(v— 1) H +ygv{v — 1) • • • (f/ — g+ 1) y,+0

(4)

1:

da sich auf diese Form ja offenbar jedes Polynom 9^ Grades bringen
läßt; 8^ darf auch Null sein. Sind q^, q^ ^^^ Wurzeln der quadratisclien
Gleichung

(5) y,ß'-ß,0-ö,-^O,

80 wollen wir noch |(>i| > l^sl voraussetzen. Wenn sich dann gewisse
Zahlen Xq^ x^, x^, , . , bestimmen lassen, die den Bekursionsformeln

(6) ^o=Mi + ^i^;

(7) ^^«^^ +^^ + 1^ (r=« 1,2,3,...)

genügen, und zwar derart, daß

für pj+O
endlich für 9, = 0

(8) limsupT/lir \{ '^'^*'

^^ ..00 ^'^' ^'l«endlicl

ist, so wird nach Satz 46, Kap. VII der Eettenbruch (3) gleich — sein,

falls x^ nicht verschwindet. Wenn aber die Gleichungen (7) nur för
v^n bestehen, und wenn a;„^i+0 ist, so wird entsprechend immer noch

^n + 1 ^n + 2

X b <J -

V!

^n + 1 ^n-1 I ^+i I ^n+2

also auch

sein. Natürlich brauchen in diesem letzteren Fall die Bedingungen
Cy_j «4* 0, d^+i + 0 auch nur für v^n erfüllt zu sein.

II. Dem Rekursionssystem (7) suchen wir nun wenigstens für hin-
reichend große V (v'^n) durch folgenden Ansatz zu genügen:

(10) x,^f<p{z)z'''dB (v^w),

wobei die Funktion q){z) und der Integrationsweg l noch geeignet zu
bestimmen sind (sog. Laplacesche Transformation, nach Laplace 2).

§ 84. Die Formel von Pincherle. 50i>

Die ersten Bedingungen^ welche wir dem Weg l auferlegen wollen^ sind
die folgenden:

(11) /d[9^(^)(^)^-» + i+^] - 0 (v^n; A=0,l,...,g-2).

D. h. die in den eckigen Klammem stehenden Ausdrücke sollen am Ende
des Wegs l den gleichen Wert haben wie am Anfang; für 9 = 1 fallen
diese q — 1 Bedingungen weg. Aus (10) folgt dann durch wiederholte
partielle Integration mit Rücksicht auf (11) sukzessive:

(12)

{v-l)x^'^ßp\js)e"-^^d2 (y^n)

(v-'l)(y — 2)"'{v-q+l)x^^fq)('i-^^(z)z'''-^^-^dz (v^n),

l {v — l)(v — 2) • • • (v — q)x^

l 1 i

Addiert man die q + l Gleichungen (10), (12), (13) zueinander, nach-
dem man sie zuvor der Reihe nach mit yo> ^i* • • •> ^7 multipliziert hat,
so kommt für v^n:

^,-i^v = J^"'(yo9> + ri^v +•'• + y,z'^^'^)dz ^fd[(p(^- 'K^)y,^"''-'l

Setzt man statt der y^ die ß^ bzw. d^ und ersetzt v durch v + l bzw.
V + 2, so ergibt sich analog:

i i

Führt man diese Werte in die Gleichung
welche ja mit (7) identisch ist, ein, so kommt:

506 nilftes Kapitel.

Das Rekursionssjstem (7) wird daher für v^n durch die Werte (10)
sicher befriedigt, wenn die Funktion g>(j8) ein Integral der linearen
Differentialgleichung g*"' Ordnung

(14) 2(r^'^-^^'' - *^)^V^'^W = 0

ist und außer den Nebenbedingungen (11) noch der folgenden genügt:

(15) /rf[9>(»-»)(£r);e— »+»(y,«» - ß^e - «,)] = 0 (y> n).

l

Weil yq^^f ^^ ^^^ nach der allgemeinen Theorie der linearen
Differentialgleichungen der Punkt cx> für die Gleichung (14) eine so-
genannte Stelle der Bestimmtheit, d. h. es gibt eine ganze Zahl m der-
art, daß für jedes Integral von (14)

(16) [9'(^)*'-»+a-x = 0

ist. Alsdann wird, wie aus der bekannten Form des allgemeinen Inte-
grals hervorgeht, auch

(17) [<)pW(;.)ir-»+»+a= « = 0 (A - 0, 1. 2, . . .)

sein. Vergleicht man aber damit unsere Bedingungsgleichungen (11),
fio liegt es nahe, n^m zn wählen und den Anfangs- und Endpunkt
des Wegs l ins Unendliche zu legen, wodurch dann die Forderungen (11)
und (15) erfüllt sind. Da die x^ nach (10) im Integranden den Faktor jer"'
enthalten und da sie, um der Forderung (8) zu genügen, nicht allzu
groß werden dürfen, wird man gut tun, den ganzen Weg l möglichst
vom Nullpunkt entfernt zu halten. Anderseits darf aber der Weg l
auch nicht so beschaffen sein, daß er sich auf den Punkt <x> zusammen-
ziehen läßt, ohne dabei über eine im Endlichen gelegene singulare Stelle
von g){z) gezogen zu werden; denn sonst wäre das Integral (10) einfach
Null für alle v. Als singulare Stellen von q)(js) kommen nun, da q>(z)
der Differentialgleichung (14) genügt, außer 0 und oo nur die Wurzeln
der Gleichung (5) in Betracht, also q^ und q^. Da wir I^J > Ip»! voraus-
gesetzt haben, so ist q^ die vom Nullpunkt am weitesten entfernte
singulare Stelle, und unsere Überlegungen führen dazu, den Weg { in

der Weise zu fixieren, daß er längs der Verlängerung

der Verbindungsstrecke Oq^^ aus dem Unendlichen
kommt, den Punkt p^ mit einem sehr kleinen Radius £
umkreist und dann längs derselben Geraden ins Un-
endliche zurückkehrt (Fig. 7).
_ Alsdann sind auch in der Tat alle Forderungen

j,^ ^ erfüllt. Zunächst (llj und (15), weil Anfangs- und

Endpunkt im Unendlichen liegen. Aber auch (8);
denn auf dem Weg l ist überall \£f\ ^ |(>i| — f, und nach (16) bleibt

§ 84. Die Formel von Pincherle. 507

j (p(js)is''^\ auf l unter einer Schranke G (die übrigens von s abhängt).
Dann ist aber für v > m + 2:

x^\ =» I (p(z)0~"^djs

/fp{ß)z-^ dz^ ; ^ G r\dz \ ^ H

i i

wo H Yon V nicht abhängt. Hieraus ersieht man^ wenn nur der Radius s
kleiner als |(>i| — l^al gewählt wird, daß gewiß auch die Forderung (8)
erfüllt ist. Es wird daher sicher die Gleichung (9) gelten ^ wenn nur

^n + l+0 ist.

Wenn (p(z) im Punkt q^ von höherer als {q — 2)*®' Ordnung ver-
schwindet; d. h. wenn q>{fi){z — Q^'~^'^^ für lim je? = ßi verschwindet, so
kann als Weg l auch einfach die gerade Linie von q^ bis oo gewählt
werden, in der dem Nullpunkt entgegengesetzten Richtung. In der Tat
ist dann

letzteres weil y^^^— ß^ss — d^ den Faktor z — q^ enthält und weil
tpii-^)(ji) nicht so stark wie (^ — ßO"^ unendlich wird. Für unseni
neuen Weg l sind also die Forderungen (11) und (15) wieder erfüllt.
Daß das gleiche auch von der Forderung (8) gilt^ ergibt sich ebenso
wie vorhin. Zusammenfassend erhalten wir das Theorem von Pincherle 1 :

Satz 8. Ist q^ l eine ganze Zahl und setzt man

K- ßo+ /»i^ + A^(v- 1) + ••• + ß,v{v-l)"-{v -q + 1) /3,+ 0,

€^^yQ+ YiV + y^v(y—l) -\ h y^i;(i;— 1) •• • (v — q + 1) y,+ 0,

^v= *o+ *i^ + S^v{v—l) -\ h d^v(v — l) '" (v — q+ 1),

wo wenigstens ein <y,+ 0, und bezeichnet man mit p^, q^ die Wurzeln der
quadratischen Gleichung y^z^— ß^ff — ö^=^Qy wobei \Qi\>\q%\ sein soU,
so gibt es eine ganze Zahl w ^ 1 derart, daß Cy_i + 0, d^^^ + 0 für
V ^ w, und daß

[9(;är>-" + ^],„,= 0

ist für jedes Integral <p{z) der linearen Differentialgleichung

9

y'(y,«»-/},;?-<J,yg.W(^) = 0.

Außerdem gilt die Formel

508 £1^8 Kapitel.

I

wenn (p^ {z) ein solches Integral der Differepiüalgleichung ist, für welches
der Nenner nicht verschwindet}) Dabei ist der Integrationsweg l eine

Linie, die in der Verlängerung der Strecke Op, aus dem Unendlidien
JcomnUy den Punkt q^ in einem kleinen Kreis umläuft und längs der näm-
lichen Geraden ins Unendliche zurückkehrt.

Faüs aber (Pi{z)(z — Qi) "' für lim z =^ Qi verschwindet, kann für l
auch einfach der gerade Halbstrahl gewählt werden, der vom Punkt q^ in

der Verlängerung der Strecke Oq^ ins Unendliche führt,

III. Wir behandeln jetzt einige Beispiele.
Erstes Beispiel. Sei

6^«y — 1 + v, c^^a + v, d^«/3 + 0.

Hier ist g » 1 ; die Differentialgleichung lautet

(z^-z)zg>\z) + [az^- (y - l)z - ß](p{z) - 0

und hat das Integral

(p(g) = z't^--y+\z — i)/*+y-«-ie' .

Setzt man 9i(a) >0 voraus, so wird, q){z)^^^^ 0; man kann also w= 1
wählen. Die Wurzeln der Gleichung z^—z^O sind Pi=l, Pj=0.
Setzt man noch 9l(^ + y— a)>0 voraus, so ist auch [^^WC^ — l)],„i=0.
Also darf man als Integrationsweg die gerade Strecke von 1 bis oo
wählen. Es kommt so:

y+(-+m+(-+J)ß\+.,.^a^- .

|^-^^-y-^(;?-l)^+y-«-^'dir

oder, indem man z '= — setzt :

1) Der Satz gilt, wenn ein solches Integral vorhanden ist; es soll damit
nicht behauptet werden, daß ein solches immer vorhanden ist. Tatsächlich l&ßt
sich zwar beweisen, daß, von genau angebbaren Grenzfällen abgesehen, ein
solches Integral wirklich existiert; doch kann diese Frage hier unerörtert bleiben.

(18)

§ 84. Die Formel von Pincherle. 509

1

(« + 1)PJ (. + 2)/?| _ 8^

^^1 y + 1 ^1 y + 2 ^ '^ 1

0

fürSR(^ + y)>3l(«)>0, ß + 0,

sofern das Nennerintegral nicht yerschwindet. Damit ist die Eulersche
Formel (16) des vorigen Paragraphen wieder gewonnen, nnd zwar mit
einem erheblich weiteren Geltungsbereich.

Zweites Beispiel. Sei
6^— r— 1+1/ — (i/ + p + g — r)|, c^ « p 4- v, df^ =- (3 — 1 + v)g

Die Differentialgleichung lautet dann

[£r« -(!-!> -6] VW

+ [pe*- (r-l)g+ifi + q- r)U - (? - l)!]^^ = 0
und hat das Integral

Setzt man 9i(|)) > 0 voraus, so wird q)(z)^^^=^ 0, so daß, wenn auch
rf^ + 0 flir V ^ 2, wieder n — 1 gewählt werden darf. Die Wurzeln der
Gleichung

«»-(1-1)5-6 = 0

sind Qi= i, Qi^ ~''^y ^°^ zwar ist 1 die absolut größere, wenn man
|5| < 1 voraussetzt. Ist auch noch 91 (r — ;>) > 0, so wird

[<p(5)(«-i)U, = o,

und als Integrationsweg darf daher die gerade Strecke von 1 bis oo
gewählt werden. Man erhält alsdann:

p

dz

1

rz-^'\z-iy"-p-\z + if"'dz

oder, indem man wieder jsr = — setzt:

510 Elftes Kapitel.

(P+i)ö+i)£ I . {p+^Xq+m I

(19)

-p

0^ ^ ^ ^^^ /SR(r)>5R(i))>0, 0<|g|<lx

V « + -1,-2,-3,... r

rxP(i—x)'"'P'\i+ix)^"'dx

sofern das Nennerintegral nicht verschwindet. Damit ist die Euler-
sche Formel (26) des vorigen Paragraphen wiedergewonnen and zwar
mit einem Geltungsbereich, der erheblich über den früheren hinaus-
reicht, allerdings in einem Punkt auch zurückbleibt, indem früher noch
der Wert £ == 1 zulässig war. Im wesentlichen auf unserem zweiten
Weg wurde die Formel (19) von Andoyer 1 gewonnen.
Bekanntlich ist

p-\l - xy-''-\l - ^xy-dx^ "^^^^p^- F(a, ß, r, I),

fQx^(y)>'Si(ß)>0, |||<1,

WO F wieder die hypergeometrische Reihe (siehe Seite 311) bedeutet
Man bestätigt das leicht, indem man in dem Integrauden den Faktor
(1 — 6^)"" durch die binomische Reihe ersetzt und gliedweise integriert,
was sich leicht rechtfertigen läßt. Demnach kann man die Integrale in
(19) auch durch hypergeometrische Reihen ausdrücken, und es ergibt
sich, wenn man p, q, r,^ bzw. durch jS, y — a, y, — S ersetzt:

(20)

« j. n 4- /^_^^s _ (ß + mr-'^+m _ tf + 2)(r-« + 8)li

(9(l{y) > ?R(/3) > 0, 0 < |||< 1, a - y + 1, 2,3, . . .).

Diese Formel wurde ebenfalls von Andoyer 1 angegeben. Aus ihr geht
im wesentlichen wieder die Formel (10) des § 82 hervor, wenn man
rechts auf Zähler und Nenner die bekannte Transformationsformel

Fia, ß, r, I) = (1 - l)"'*-F'(y - «, ß, r, jizi)

anwendet (vgl. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Diffe-
rentialgleichungen, Bd. 1, § 74).

Literatur.

(Die Z*hlan in [] beseiolmen die Seiten, wo die betreffende Schrift litiert ist. Ein f bedeutet, daft.

die betreffende Schrift nichts mit Kettenbrflohen sn tnn h»t.)

Abkürzungen der Zeitschriftentitel.

Abh. Münch. »= Abhandlungen der kgl.

bayr. Akademie der Wissenschaften

zn München. Zweite Klasse.
A. Math. = Acta mathematica.
Ann. äc. n. <= Annales scientifiques de

r^cole normale sup^rieure.
Ann. Toul. «= Annales de la facult^ des

Sciences de Toulouse pour les sciences

math^matiques et les sciences phy-

siques.
Arch. =3 Archiv der Mathematik und

Physik.
Bull. P^t. » Bulletin de TAcad^mie

imperiale des sciences de St. Paters-

bourg.
Bull. s. m. = Bulletin des sciences ma-

thtoatiques.
Bull. S. M. F. ^ Bulletin de la soci^t^

mathämatique de France.
C. Gott. rec. »» Commentationes socie-

tatis regiae scientiarum Gottingensis

recentiores.
C. Pet. SS Commentarii Academiae scien-
tiarum Imperialis Petropolitanae.
C. B. =* Comptes rendus h^domadaires

des s^ances de TAcaddmie des sciences.
J. de math. «s Journal de mathämatiques

pures et appliquäes.
J. ^c. pol. = Journal de l'^cole poly-

technique.
J. f. Math. B= Journal für die reine und

angewandte Mathematik.
Line. = Atti della reale Accademia dei

Lincei. Rendiconti.
Math. Ann. i-> Mathematische Annalen.

Mäm. Berl. = M^moires de TAcadämie
royale des sciences et helles -lettre»
(de Berlin).

Mäm. P^t. 3» M^moires de TAcad^mie
imperiale des sciences de St. Paters-
bourg.

Monh. SS Monatshefte für Mathematik
und Physik.

Nachr. Gott. =» Nachrichten der könig-
lichen Gesellschaft der Wissenschaft^
zu G5ttingen. Mathematisch-physika-
lische Klasse.

N. C. Pet. =s NoTi commentarii Acade-
miae scientiarum Imperialis Petropo-
litanae.

N. Mem. Berl. =» Nouveauz mämoires
de TAcad^mie royale des sciences ei
belles-lettres de Berlin.

Ph. mag. SS The London, Edinburgh
and Dublin philosophical magazine
and Journal of science.

Proc. £d. = Proceedings of the royal
Society of Edinburgh.

Proc. Lond. = Proceedings of the Lon-
don mathematical society

Rend. Pal. = Rendiconti del circolo
matematico di Palermo.

Sb. Münch. = Sitzungsberichte der ma-
thematisch-physikalischen Klasse der
kgl. bayr. Akademie der Wissenschaf-
ten zu München.

Trans. A. M. S. ^^ Transactions of the
American mathematical society.

Ztschr. s=» Zeitschrift für Mathematik
und Physik.

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fractionibus continuis observationes.
C. Pet. 11, ad annum 1739. [206, 218,
498, 600]. — 6. t De numeris qui sunt
aggregata duorum quadratorum. N. C.
Pet. 4, ad annum 1762 et 1753. [36].

— 7. t Demonstratio theorematis Fer-
matiani omnem numerum primum for-
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algorithmi singularis. N. C. Pet. 9,
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seriei divergentis 1 — m rc + «i (m + n)x *

— f»(m -f- ♦*) (»'^ + 2n)a:* + !»(!»-}-♦*)
•(f» + 2n)(wi + 3n)a5* etc. in fractio-
nem continuam. Nova Acta Academiae
scientiarum Imperialis Petropolitanae 2,
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tiones circa fractiones conÜnuas in

hac forma contentas :

n\ n + l_

'11 2

+ ^H^ + pL^ +' etc. mL.

3 I 4

P^t.4, pour rannte 1811. [476,480].—
18. De fractionibus continuis Wallisii.
M^m. Pät. 6, pour l'ann^ 1812. [224,
226]. — 14. Gommentatio in fracüonem
continuam qua illustris La Orange
potestates binomiales expressit. M^m.
Pät. 6, pour l'annee 1813 et 1814. [362].

Falk, M« 1. Om konvergensen af Kedje-
bräk med blott negativa leder och
Ee4jebrä,k med omvezlande positiva
och negativa leder. Diss. Upsala 1869.
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^l.y ^ 1.2.y(y+l)

«(«+l)(a+2)Ptf+lXP+2)^,
"*■ 1.2.8.y(y+l)(y+2) "^ '
C. Gott. reo. 2, 1813 =« Werke, Bd. in.
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=a Oeuvres, III. [IIOJ. — 6. Sur Tusage
des fractions continues daus le calcul
integral. N. M^m. Berl. ann^e 1776
= Oeuvres, IV. [862, 368]. — 7. Addi-
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1798 =« Oeuvres, Vn, auch deutsch
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continues d'une fonction qui saüsfait
ä une äquation Unfaire du premier
ordre ä. coefficients rationnels. Bull.
S. M. F. 8, 1879 = Oeuvres, L [436]. —

5. Sur la fonction

m-

BulL

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00

e~'dx

X

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r^duction en fractions continues d'une
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nued fraction of Gauß and other conti-
nued fractions. Annais of mathema-
tics (2) 3, 1901. [299, 347, 864]. —
4. On the convergence of algebraic
continued fractions, whose coefficients
have limiting values. Trans. A. M. S. 6,
1904. [288, 347].

Wallis^ J. 1. Arithmetica infinitorum,
1666 B= Opera mathematica, I. [6, 209,
224]. — 2. Tractatus de algebra, 1686
=: Opera mathematica, II; a. Kap. 10,
11. [42, 66, 62]. b. Kap. 84. [209].
C. Kap. 98, 99. [102].

lYdlfflng, £• 1. Wer hat über Ketten-
brüche gearbeitet? Mathematisch-na-
turwissenschaftliche Mitteilungen, be-
gründet von Dr. 0. Böklen (2) 10, 1908.
[VI].

Verzeichnis der bemerkenswerten Kettenbrüche.

Seite Formel

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Formel

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1. Nnmerisolie Eettenbruche.

42
1S2
184
134

Fußnote

184

6'

138

2

209

16a
16

213

2

184

6'

208

10

! 209

213

6

188

1

208

12

209

17

223

6

1

188

1

1'

209

15

209

1

1

18

226
227

8

4

18
28 a
30 a

2. Relationen zwisclien zwei Eettenbrüclien.

202
218
218

9

219

10

223

20

478

17

488

8

220

12

224

24 21

479

Satz 4

489

9

222

15

228

82

480

21

508

22

Satz 6

28

3. Eettenbrucli = ZaU oder gesclüossener Ausdruck oline Integralzeiolien.

207
208
208
209
209
210
211
212
215
219
222

6

9
11
13
14
19
20

2
Satz 10
11
16

228
225
226
226
226
226
226
227
227
348
348

17
26
27

27 a
28

28 a
29
30
80 a

6
6

349
349
850
350
350
351
351
351
851
851
852

7

9
10
11
12.
18
14
15
16
17
18

353
858
858
858
358
854
354
471
478
475
477

20

21

24

26

26

27

28

4

4

9

12

477
477
479
479
479
480
481
488
485
489
490
492

13

14

18

19

20

.26

27

7

11

23

24

Satz

4. Eettenbrucli = Beihe oder Quotient von Reihen.

299
347
348

20 i

348

4a

3

352

19

4 ;

358

22

853
471
475

28
4

8

476 I Satz 2 !' 481

478
480

Satz 3 484
26 l! 486
510

27

10

Satz 6

20

6. Eettenbruch » Ausdruck mit Integralzeichen.

208
229
297
298
298
298

8

298

16

480

26

498

17

501

38

349

8

481

27

499

18

501

12

392

21

490

25

500

21 ,

508

13

392

22

491

26

500

22

509
510

14

898

25

1 497

14

500

23

15

472

6 !

1

, 498

16

501

24 ,

1

25
26

Satz 8
18
19

Sachregister.

alternierend 246

Anfangsglied 4

anormal 424

äquivalent (Eettenbruch und Reihe) 205

— (Eettenbruch und Produkt) 211
äquivalente Eettenbrüche 196

— Zahlen 68
assoziiert 324. 376. 377
asymptotisch 418
ausgezeichnet 188

bedingt konvergent 230

Bereich 260

beste Näherung 54

Diagonalkettenbruch 185
divergent 21

eingeschalteter Bruch 55

Elemente 4

enger (konvergent im engem Sinn) 282

Euler-Mindingsche Formel 9

Extension 208

fastkulminierend 96
Fundamentalformeln 15

Ganze (Kettenbruch nach nächsten (ran-
zen) 168

gemischtperiodisch (regelmäßiger Eetten-
bruch) 70

— (halbregelmäßiger Eettenbruch) 166

— (allgemeiner Eettenbruch) 271
gleichmäßig divergent 261
gleichmäßig konvergent 260
Glied 4

(n -^ l)-gliedriger Eettenbruch 4

halbregelmäßig 154
Hauptnäherungsbruch 55
Hurwitzscher Eettenbruch 127

imprimitiv 78

inverser Eettenbruch 82

inverse Periode 83

Eettenbruch (endlicher) 3
Eettenbruchdeterminante 11
Konstanzstelle 862
Eontinuante 11
Eontraktion 200
konvergent 21

korrespondierend (Eettenbruch und
Beihe) 303. 804. 875

— (Eettenbruch und Integral) 377
kulminierend 96

Eumulante 11

Laguerresche Differentialgleichung 436
Legendrescher Irrationalitätssatz 258
limitärperiodisch 285
Liouvillesche Zahl 141

meromorph 845
Minimumproblem 880
Momentenproblem 415
Muirsches Symbol 6

nächste Ganze 168

Näherung 55

Näherungsbruch (eines Eettenbruches) 7

— (einer Zahl) 43
Näherungsgesetz 48
Näherungsnenner 7
Näherungszähler 7
Nebennäherungsbruch (eines regel-
mäßigen Eettenbruches) 55

— (eines halbregelmäßigen Eetten-
bruches) 161

normal (Feld, Tafelbruch) 424

— (Potenzreihe, Tafel) 427

Ordnung (eines Näherungsbruches usw.)
7. 48

520

Sachregister.

Pad^sche Tafel 421

Feilsche Gleichimg 102

Periode 69. 70

periodisch (regelmäßiger Eettenbruch) 68

— (halbregelmäßiger Kettenbrach) 166

— (allgemeiner Eettenbruch) 271
primitiv 78

quadratische Irrationalzahl 78
quasiperiodisch 144

reduzierte Zahl 79
reduziert-regelmäßig 168
regelmäßig 28
regulär 445

reinperiodisch (regelmäßiger Eetten-
bruch) 68

— (halbregelmäßiger Kettenbruch) 166

— (allgemeiner Kettenbnich) 271

seminormal 804

singolär 178

sinnlos 20

Sprung (Größe des Sprimges) 362

Stieltjesscher Kettenbruch 898

Stieltjessches Integral 868
Stolzscher Irrationalitätssatz 253
symmetrischer Eettenbruch 83

Tafelbruch 421
Teilbruch 4
Teilnenner 4
Teilzähler 4

Transformation t^, %i 169
Transformation t^, %^ 160

unbedingt konvergent 230
unvollständiger Quotient 40
unwesentlich divergent 21

vollständiger Quotient 40
Vorperiode 71

wachsende Funktion 362
Wachstumsstelle 362
weiter (konvergent im weitem Sinne) 232
Wert (Zahlwert) eines endlichen Eetten-

bruches 20
Wert (Zahlwert) eines unendlichen Kei-

tenbruches 21
wesentlich divergent 21.

b

n

Bezeichnungen.

... 8

\Kj 2»,, f V

[&0, &1, . . ., &J 27

[^, &1, . . ., &A.-i] 69

[&01 K^ ' . M ^Ä-n ^11 • • -1 h+k-i] 71

= 196. 206. 212

306

rsj

a

h

frf>(x)df{x)

^1

368

365

— ^,

Po. &1, . . '. ^,-p \. . . M &,,+ *^_i 6,^, . . ., \ + k,-l K,^ • • -1 ^. + t,-i • • •] 1^4

Druckfehler.

Seite 15. Formel (29) muß lauten: A^^^^^_^
Seite 346. Formel (a) muß lauten: A^_i(rr) =

A;i(a?) + a^a;A^^i(:c).

^♦^

Bmelinianii, P.^ Zahlentheoiio. yersnoh einer GesamtcUrstellung dieser Wiseen-
eohaft in ihren Hanptteilen. In 6 Teilen.

L Teil: Die Elemente der Zahlentheorie. Xn, 264 S. gr. 8. 1898.
AnMtatischer Nendmok 1910. geh. n, JC 6.40, geb. n. JC 7.20.

IL „ Die analytische Zahlentheorie. XVUl, 494 8. gr. 8. 1894.
geh. n. JC 12.--, geb. n. JC 13.—

m. „ Die Lehre von der KreisteUong und ihre Besiehongen cur Zahlen-
theorie. Mit Holzschnitten and 1 lith. Tafel. XII, 800 S.
gr. 8. 1878. geh. n. JC 7.—, geb. n. JC 8.—

IV. ,, Die Arithmetik der quadratischen Pormen. L Abt. XYI, 668 8.
gr. 8. 1898. geh. n. JC 18.—, geb. n. JC 19.—

Y. „ Allgemeine Arithmetik der ZahlenkOrper. XXII, 548 S. gr. 8.
1906. geh. n. JC 16.—, geb. n. JC 17.—

- Yorlesungen tlber die Natur der Irrationalcahlen. X, 151 8. gr. 8. 1892.
geh. n. JC 4. —

niedere Zahlentheorie. 9 Teile, gr. 8.

L TeU. X, 408 S. 1908. geh. n. JCIS.—^ geb. n. JC 14.—
n. „ Additive Zahlentheorie. X, 480 S. 1910. geh. n^ 16.—, geb. n. J^17.—

Bauer, G., Vorlesungen tlber Algebra. Herausg.rom Mathem. Verein Mftnchen.
Mit dem Porträt G.Bauers als TitelbUd und 11 Textfig. 8. Auflage. Von K.
Doehlemann. VI, 876 8. gr. 8. 1910. geh. n. ^ 11.— , geb. n. «A; 18.—

Biermanii, 0., Elemente der höheren Mathematik. Vorlesungen sur Vor-
bereitung des Stadiums der Differentialrechnung, Algebra und Funktionen-
theorie. XII, 888 8. gr. 8. 1895. geh. n. JC 10.—, geb. n. JC 11.—

Barkhardt, H., Vorlesungen Aber die Elemente der Differential- und Integral-
rechnung und ihre Anwendung sur Beschreibung von Naturerscheinungen.
Mit 88 Figuren Im Text IX, 858 8. gr. 8. 1907. geb. n. JC 6.—

Cesiro, E., elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der
Infinitesimalrechnung. D eutsche Ausgabe von G.Kowalewski. VI, 89 1 8.
gr. 8. 1904. geb. n. JC 15.—

Csaber, Em., Vorlesungen Aber Differential- u. Integralrechnung. 2 Bde. gr. 8

I. Band. Differentialrechnung. 8. Aufl. Mit 116 Figaren im Text. XIV,
560 8. 1906. geb. n. JC 18.-

II. „ Integralrechnung. 2. Aufl. Mit 87 Figuren. VIII, 582 8. 1906.
geb. n. JC 12.—

Einfahrung in die hOhoro Mathematik. Mit 114 Figuren. X, 888 8.

gr. 8. 1909. geb. n. JC 18.—

Dnr^ge, H., Theorie der elliptischen Funktionen. 6. Aufl.,bearb. ▼. L. Maurer.
Mit 36 Holsschn. Vm, 436 8. gr. 8. 1908. geh. n. JC 10.—, geb. n.^fC 11.—

Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen Terftnder-

lichen Größe. In 6. Auflage neu bearbeitet von L. Maurer. Mit 41 Text-
figuren. X, 897 8. gr. 8. 1906. geh. n. JC 9.—, geb. n. JC 10.—

Flicke^ B.y knrsgefaßte Vorlesongen über rerschiedene Gebiete der höheren
Mathematik mitBerüokaichtigungd. Anwendungen. Analytisch-fanktionen-
theoretischer TeU. Mit 102 Fig. IX, 520 8. gr. 8. 1900. geb. n. JC 14.—
[Der n. (8ohla£-) Teil über Algebra und Geometrie ist in Vorbereitang.]

Grundlehren der Mathematik für Stadlerende und Lehrer. In 2 Teilen.
Mit Tielen Figuren, gr. 8. In Leinwand geb.

LTeU: Die Grundlohren der Arithmetik und Algebra. 2 B&nde.

1. Band: Arithmetik Von 0. Färber. XV,4108. 1911. n.JCd.—

2. „ Algebra. Von E. Netto. [In Vorbereitung.]

IL „ Die Grundlehren der Geometrie. 2 Bftnde.

1. Band: Die Elemente der Geometrie. Von ILThieme. XII,
894 8. 1909. n. Jl 9.—

8. „ Die geometrischen (Gebilde yom Standpunkte der Ver-
wandtschaften. Von W. F r X. M 0 7 e r. [In Vorbereitung.]

Terlag Ton B. 0. Teubner in Leipzig und Berlin

Hfffter, L.y Binleltiuig In die Theorie der linearen Differentiiügleichangen
mit einer an»bh&ngigen Yariebien. Mit 3 Teztflgaren. XIT, iS8 9. gr. H.
1894. geh. n. JC 6.—, geb. n. JC 7. —

Klein, F., antographierte Yorleeangihefte. 4. geh.

AusgewUüte Kapitel der Zahlentheorie.

Heft 1. S91 8. (W.-S. 1895/96) 1 S., nnyerftnderter Abdruck 1907.
Heft 2. 854 S. (8.-S. 1896) j lusammen n. JC 14.50.

antographierte Vorleanngshefte. 4. geh.

Über die hypergeometrische Funktion. (W.-S. 189S/94.) Neuer unverftuderter
Abdruck. IV, 668 8. 19U6. n. JC 9.—

Kroneeker, L., Vorlesungen ttber die Theorie der Determinanten. Bearb. und
fortgefahrt Ton K. Henaol. 1. bis 81. Vorlesung. Mit 11 Teztflguren.
Xn, 890 8. gr. 8. 1908. geh. n. JC 20.—, geb. n. JC 21.—

Lan dau, E.,Handbuch der Lehre Ton der Verteilung der Primsahlen, t Bde. gr. 8.
I. Band. XVin, 664 8. 1909. geh. n. JC 80,—, geb. n. JC 81.—

IL

IX, S. 666—961. 1909. geh. n. JC 14.—, geb. n. JC 15.—

Legen dre, A.»]l» Zahlentheorie. Nach der 8. Anagabe int Deuttohe Über-
tragen von H. Mae er. 8 B&nde. 2., wohlfeile Autgabe. L Band: XVm,
442 S., II. Band : XII, 463 S. gr. 8. 1893. geh. je n. JC 6.—

Markoir, A. A., Düferenaenrechnung. Autor, deutache Überaetaung ron Th.
Friesendorff und B. Prtlmm. Mit Vorwort Ton R. Mehmke. VI,
194 8. gr. 8. 1896. geh. n. JC 7.—

Wahraoheinliohkeitareohnung. Deutach von H. Lieb mann. VII, 318 S.

gr. 8. 1918. Mit 7 Figuren, geh. JC 18.—, geb. M 13.—

Minkowski, H., Geometrie der Zahlen. IX, 866 8. gr. 8. 1896. 1910. geh.
D. JC 9.—, geb. n. JC JO.—

[Lieferung L 1896. geh. n. M 8.—. IL 1910. geh. n. M 1.—]

diophantische Approximationen. Eine Einführung in die Zahlentheörle.

Mit 82 Figuren. VIII, 236 8. gr. 8. 1907. geb. n. JC 8.—

Netto, E.y elementare Algebra. Akademische Vorlesungen ftlr Studierende
der ersten Semester. Mit 19 Fig. VUI, 200 8. gr. 8. 1904. geb n.^ 4.40

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II. „ XII, 519 8. 1899. geh. n. JC 16.—, geb. n. JC 17.40

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die Detomünanten. IV, 128 8. 8. 1910. geh. 11.JC 3.80, geb. n.JC 8.60

Nielsen, N., Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen. XIV, 408 S. gr. 8.
1904. geh. n. JC 14.—

Handbuch der Theorie der Oammafunktion. X,326S. gr.8. 1906. geb.n...A:i8.-

Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transsendenten. VI, 106 S.

gr. 8. 1906. geh. n. JC 8.60.

Lehrbuch der unendlichen Reihen. Vorlesungen, gehalten an der TTnlreraitlt

Kopenhagen. Vm, 887 S. gr. 8. 1909. geh. n. JC 11.—, geb. n. JC 12.—